OSCILLATEURS AMORTIS 1 Doubleur de tension
Une source de tension continue de f.e.m E = 10V est montée en série avec un interrupteur (K), une diode idéale, une bobine idéale d’inductance L= 10 mH et un condensateur idéal de capacité C = 0,1 µF. Le condensateur étant déchargé à t = 0, l’interrupteur (K) est fermé. Déterminer les variations de la tension uC(t) aux bornes du condensateur.
2 Dipôle R,L,C parallèle
On considère un dipôle R,L,C parallèle alimenté à l’instant t = 0 par une source de cou- rant dec.e.mi0. Données numériques :R = 50 Ω,L= 0,10mH,C= 10nF,i0 = 1,0.10−2 A.
1) Montrer que l’équation différentielle vérifiée par u(t) est de la forme : d2u
dt2 + ω0 Q
du
dt +ω20u= 0 Calculer ω0 et Q.
2) Quel est le régime de variation deu(t)? À l’instantt= 0, le courant est nul dans la bobine et le condensateur n’est pas chargé. Donner les expressions littérales et numériques de u(t).
Réponses : 1)ω0 = √1
LC,Q=RCω0 =R qC
L; 2)u(t) = iC0t e−ω0t.
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3 Décrément logarithmique
On étudie la réponse u(t) à un échelon de tension e(t) dans le circuit ci-contre.
1) Déterminer la valeuru∞ vers laquelle tend u(t) lorsque la valeur de e(t) est E, en dessinant un schéma équivalent du circuit en régime permanent.
2) Démontrer que d2u(t)
dt2 + 2λdu
dt +ω02u(t) = ω02u∞ et exprimerλ etω0 en fonction deL,C, R1 etR2.
3) Définir et tracer un échelon de tension. Expliquer comment on le réalise expérimentale- ment.
4) On observe sur un oscilloscope la courbe u(t) ci-contre.
4.a ) Déterminer la valeur numérique de la pseudo- périodeT.
4.b) Déterminer la valeur numérique du décrément logarithmique
δ= 1 nln
u(t)−u∞ u(t+nT)−u∞
5) Exprimer la forme mathématique de u(t) en fonction de λ, ω0, u∞ et t. On ne cherchera pas à déterminer les constantes d’intégration.
6) Déterminer la relation entre δ, λet T. En déduire la valeur numérique de λ. Sachant que R1 = 200 Ω, R2 = 5,0 kΩ, L = 100 mH, déterminer la valeur numérique de C, puis du facteur de qualitéQ.
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4 Portrait de phase
Attribuer à chaque portrait de phase le bon facteur de qualité parmi les valeurs suivantes : 0.1; 0.2; 0.5;1; 5; 50.
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5 Mesure d’un coefficient de viscosité
Le référentiel du laboratoire Rg(O, ~ex, ~ey, ~ez) est supposé galiliéen et le champ de pesanteur terrestre ~g =g ~ez uniforme.
Une sphère M de rayon r et de masse m est attachée à un ressort dont l’autre extrémité est fixe enA. La masse du ressort est négligea- ble et, dans son domaine d’élasticité, le ressort non tendu est caractérisé par une constante de raideurk et une longueur à vide `0.
La période d’oscillation deM dans l’air, où le frottement est négligeable, est T0.
La sphère plonge dans un liquide de coefficient de viscositéηet est ainsi soumise, au cours de
son mouvement, à une force de frottement fluide qui, à faible vitesse, obéit à la loi de Stokes : F~1 =−6πηr ~v.
Le vecteur vitesse~v du point M est exprimé dans le référentiel Rg. La pseudo-période des oscillations de M dans le fluide est TP.
1. Exprimer la condition d’équilibre de M dans le fluide. En déduire la longueur `eq du ressort à l’équilibre, en fonction de m, de la masse m∗ du fluide déplacé par la présence de la sphère, dek, `0 etg.On rappelle que la poussée d’Archimède est égale à l’opposé du poids du volume de fluide déplacé.
2. On note z l’écart à la position d’équilibre, de telle sorte qu’à un instant quelconque, la longueur du ressort s’exprime sous la forme `(t) = `eq +z(t). Écrire l’expression de l’équation du mouvement de la sphère plongée dans le liquide. Montrer que le régime est pseudo-périodique si
η <
√km
3πr .
3. Donner l’expression deη en fonction deTP, T0, m et r.
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