1. Équation du mouvement

M. V - DYNAMIQUE - OSCILLATIONS FORCÉES

1. Équation du mouvement

• On considère un pendule à ressort vertical avec amortis- sement visqueux, mis en oscillations forcées (de pulsation ω quelconque) par un mouvement sinusoïdal permanent du support : z_A = z_A0 + Z_Am cos(ωt).

En posant ω₀² = k

m ^{et α =}

!

2m et en prenant pour origine la position dʼéquilibre obtenue pour z_A = z_A0, lʼéquation du mouvement peut sʼécrire :

z^•• + 2α z^• + ω₀² z = ω₀² Z_Am cos(ωt).

◊ remarque : l'effet du fluide est décrit par mʼ = m + m_e et

!

"

g =

!

g

!

m"m_d m+m_e (avec m_d pour le fluide “déplacé” et m_e pour le fluide “oscillant”).

• Dʼune façon analogue à ce qui a été étudié en électricité, la solution géné- rale de cette équation est la somme :

◊ dʼun régime transitoire amorti, solution de lʼéquation homogène ;

◊ dʼoscillations forcées, solution particulière de lʼéquation complète.

Bien que le régime transitoire soit moins vite amorti en mécanique quʼen électricité, on se limite ici à lʼétude du régime forcé quʼon cherche sous la forme : z = Z_m cos(ωt+φ) ; donc en notations complexes :

z = Z_m e^j(ωt+φ) = Z_m e^jωt avec Z_m = Z_m e^jφ.

◊ remarque : lʼamplitude Z_m n'est pas une impédance… (lʼanalogie électromé- canique permet de définir des “impédances” en mécanique).

◊ remarque : lʼanalogue électromécanique de z est la charge q = Cu_C du condensateur ; les résultats sont donc un peu différents de ceux obtenus pour le courant i = u_R

R dans un circuit “RLC” (il faudrait utiliser la variable z^•).

• Lʼéquation : z^•• + 2α z^• + ω₀² z = ω₀² Z_Am cos(ωt) correspond à lʼéquation complexe : (-ω² + 2jαω + ω₀²) Z_m e^jωt = ω₀² Z_Am e^jωt dʼoù on déduit par identification : Z_m =

!

Z_Am"₀²

"₀² # "²+2j$" c'est-à-dire : Z_m =

!

Z_Am"₀²

("₀² # "²)² +(2$")²

et sin(φ) = -

!

2"#

(#₀² $ #²)² +(2"#)² .

2. Amplitude du mouvement et résonance

• La variation de Z_m(ω) donne une résonance si lʼamortissement nʼest pas trop grand, mais avec un maximum pour ω_r ≠ ω₀.

En fait : dZ_m d! ⁼

!

2Z_Am"₀²" #("₀² $ "² $2%²)

[("₀² $ "²)² +(2%")²]^{3/ 2} sʼannule pour :

◊ ω = 0 : tangente horizontale avec Z_m(0) = Z_Am ;

◊ ω = ω_r =

!

"₀² #2$² : résonance si et seulement si α <

!

"₀

2 ^(la limite critique n'est pas la même que pour les régimes transitoires) avec un extremum Z_m

M = Z_m(ω_r) =

!

Z_Am"₀² 2# "₀² $ #²

=

!

Z_Am"₀²

"₀⁴ # "_r⁴ .

• On peut définir la “bande passante” comme la largeur de la courbe de réso- nance pour Z_m =

!

Z_m

M

2 ^:

On obtient ainsi : ω⁴ - 2ω²ω_r² + 2ω_r⁴-ω₀⁴ = 0 et ω² = ω_r² ±

!

"₀⁴ # "_r⁴ .

Le calcul exact est ensuite compliqué, mais pour X =

!

"

#_r ^{petit :} ω² = ω_r².(1 ± 2X.

!

1+X² ) ; ω ≈ ω_r.(1 ± X -

!

1 2^X

2 ± X³...) ; Δω ≈ 2α.(1 + X²...).

• On peut alors définir le “facteur de qualité” :

Q

⁼

!

"_r

#" ^≈

!

"₀ 2# ⁼

!

km

" ^(réso- nance plus “aiguë” si lʼamortissement est faible).

On peut en outre noter que

!

Z_m

M

Z_Am ⁼

!

"₀² 2# "₀² $ #²

≈

Q

^{pour α petit.}

3. Déphasage

• Le déphasage varie (entre 0 et -π) de façon analogue à celle obtenue en électricité pour lʼintensité du courant dans un circuit RLC (entre -

!

"

2 ^et

!

"

2 ^{) :}

◊ déphasage φ = -

!

"

2 pour ω = ω₀ quel que soit α ;

◊ bande passante Δω = 2α délimitée (pour tout α) par φ = -

!

"

4 ^{et -}

!

3"

4 ^.

& exercices n° I et II

4. Puissance

• La puissance mécanique d'une force

!

f est :

P

⁼

!

f •v ; pour un mouvement rectiligne, l'expression algébrique

P

= f.v est l'analogue mécanique de la puissance instantanée électrique p(t) = u(t) i(t).

◊ remarque : si on utilise en électricité le “produit scalaire complexe” pour noter la puissance moyenne : P = U.I^* on peut être tenté de considérer qu'il s'agit de l'analogue logique du produit scalaire envisagé précédemment ; cette pseudo-analogie est toutefois “bâtarde” car les puissances considérées (instantanée et moyenne) sont des grandeurs différentes.

• Pour calculer la puissance moyenne reçue par le système, on peut considé- rer que c'est celle fournie par le moteur qui actionne le support :

f_A(t) = k.(z_A - z - ℓ₀) = k.[z_A0 + Z_Am cos(ωt) - z_eq - Z_m cos(ωt + φ) - ℓ₀] ; v_A(t) = z_A^• = -ω Z_Am sin(ωt) ;

P

^{(t) = f}_A^.v_A ⁼

!

1

2^{kω ZAm Zm [sin(2ωt + φ) - sin(φ)]}

-

!

1 2^kω

!

Z_Am² sin(2ωt) - mgω Z_Am sin(ωt) ; P = <

P

(t) > = -

!

1

2^{kω ZAm Zm sin(φ) =}

!

k"Z_Am² #₀²#² (#₀² $ #²)² +(2"#)^{2 .}

◊ remarque : on considère ici que le ressort “fait partie” du système décrit par un point matériel ; son énergie cinétique est négligeable ; son énergie poten- tielle élastique est considérée comme propriété du “point”.

◊ remarque : le déphasage entre f_A et v_A est φ_A ≠ φ ; P = F_AeffV_Aeff cos(φ_A).

• On peut aussi considérer que cette puissance est celle fournie par le ressort à M, ou dissipée par les frottements (équivalant à l'effet Joule en électricité) :

v(t) = z^• = -ω Z_m sin(ωt+φ) ; f(t) = -λ z^• = λω Z_m sin(ωt+φ) ;

P

(t) = -f.v = λω²

!

Z_m² sin²(ωt+φ) ; P = <

P

(t) > =

!

1 2^λω

2

!

Z_m² =

!

k"Z_Am² #₀²#²

(#₀² $ #²)² +(2"#)^{2 =}

!

P₀x²

(1"x²)² +4#²x^{2 .}

Ceci correspond ici encore à une courbe de résonance :