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Devoir maison

Ce devoir est tr` es inspir´ e du sujet du baccalaur´ eat 2018.

Les valeurs num´ eriques ont ´ et´ e chang´ ees.

A traiter pour le lundi 3 juin.

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Exercice 1 4 points

Parmi les ´ etudiants de l’enseignement sup´ erieur de France m´ etropolitaine et des DOM, 17 % sont inscrits dans un ´ etablissement d’ˆIle-de-France. Parmi ces ´ etudiants inscrits dans un ´ etablissement d’ˆIle-de-France, 45 % le sont dans une universit´ e.

Parmi les ´ etudiants inscrits en province ou dans les DOM, 71 % sont inscrits dans une universit´ e.

Source : Minist` ere de l’Enseignement Sup´ erieur, de la Recherche et de l’Innovation.

Dans la base recensant l’INE (Identifiant National ´ Etudiant) de chaque ´ etudiant, on choisit de fa¸ con

´ equiprobable un identifiant.

On consid` ere les ´ ev` enements suivants :

A :

l’INE est celui d’un ´ etudiant inscrit dans un ´ etablissement d’ˆIle-de-France

B :

l’INE est celui d’un ´ etudiant inscrit dans une universit´ e

.

1 Compl´ eter l’arbre de probabilit´ e figurant en annexe, ` a rendre avec la copie, repr´ esentant la situation de l’´ enonc´ e.

2 Traduire l’´ ev´ enement A ∩ B par une phrase et calculer sa probabilit´ e.

3 Montrer que la probabilit´ e de l’´ ev´ enement B est ´ egale ` a 0,591 4.

4 montrer que : P _B (A) ≈ 0, 1149.

Interpr´ eter ce r´ esultat en terme de proportion dans le contexte concret de l’exercice

Exercice 2 6 points

Cet exercice est un questionnaire ` a choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre r´ eponses propos´ ees est exacte.

Pour chaque question, indiquer la r´ eponse choisie.

Aucune justification n’est demand´ ee.

Chaque r´ eponse correcte rapporte un point. Une r´ eponse incorrecte, multiple ou une absence de r´ eponse, ne rapporte ni n’enl` eve de point.

1 Une augmentation de 40 % suivie d’une baisse de 30 % revient ` a une ´ evolution globale de :

a. +10 % b. +9, 8 % c. −10 % d. −2 %.

2 Une variable al´ eatoire X suit la loi normale de moyenne ´ egale ` a 4 et d’´ ecart type σ = 0, 25.

On donne ci-dessous la courbe de densit´ e de la variable al´ eatoire X.

La probabilit´ e p(3, 6 6 X 6 4) est ´ egale ` a :

a. 0, 5 − p(X > 3, 6) b. 0, 5 + p(X > 3, 6) c. 1 − p(X > 3, 6) d. p(X > 3, 6) − 0, 5 .

3 On consid` ere la fonction f d´ efinie sur l’intervalle [−3 ; 6, 5] dont la courbe repr´ esentative C <sub>f</sub> est donn´ ee ci-dessous. Sur ce graphique figure ´ egalement la droite (AB) tangente ` a la courbe C _f au point A(2 ; 4).

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1 1 2 3 4 5

0

A B

On admet que la fonction f est d´ erivable sur l’intervalle [−3 ; 6, 5] et on note f ⁰ sa fonction d´ eriv´ ee.

(i). f ⁰ (2) est ´ egal ` a :

a. 4 b. − 1

4 c. −4 d. 2.

(ii). L’ensemble des solutions de l’in´ equation f ⁰ (x) > 0 est :

a. [−3 ; −2] ∪ [1 ; 6] b.

−3 ; − 2 3

∪ [4 ; 6, 5]

c.

− 2

; 4

d. [−2 ; 1] ∪ [6 ; 6, 5].

4 On consid` ere la fonction g d´ efinie sur l’intervalle [−2 ; 8] par g(x) = x ³ + 6x ² − 15x + 8.

On admet que la fonction g est d´ erivable sur l’intervalle [−2 ; 8] et on note g ⁰ sa fonction d´ eriv´ ee.

(i). Pour tout x appartenant ` a l’intervalle [−2 ; 8], g <sup>0</sup> (x) est ´ egal ` a :

a. 3x ² + 12x − 15 b. 2x ² + 6x − 15 c. 3x ² + 8x − 15 d. 3x ² + 6x − 15.

(ii). Le minimum de la fonction g sur l’intervalle [0 ; 10] est :

a. −15 b. 0 c. 8 d. −24.

Exercice 3 4 points

Le tableau ci-dessous donne la consommation d’´ energie primaire d’origine fossile (charbon, gaz, p´ etrole) d’une grande r´ egion Fran¸caise entre 2005 et 2013. Elle s’exprime en million de tonnes ´ equivalent p´ etrole (Mtep) et est arrondie au dixi` eme.

Ann´ ee 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Rang de l’ann´ ee : x _i 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Consommation d’´ energie primaire d’origine fossile (en Mtep) : y i

86,0 93,0 91,1 84,0 80,0 87,0 71,0 73,0 72,8

Source : http ://www.statistiques.developpement-durable.gouv.fr

Une repr´ esentation graphique du nuage de points de coordonn´ ees (x _i ; y _i ) est donn´ ee en annexe.

1 Donner l’´ equation r´ eduite de la droite d’ajustement de y en x obtenue par la m´ ethode des moindres carr´ es. Les coefficients seront arrondis au centi` eme.

2 On d´ ecide d’ajuster le nuage de points par la droite D d’´ equation y = −2, 5x + 92.

Tracer la droite D sur le graphique donn´ e en annexe, ` a rendre avec la copie.

3 La loi de 2015 relative ` a la transition ´ energ´ etique fixe ` a la France l’objectif suivant : avant 2030, r´ eduire de 25 % la consommation en ´ energie primaire d’origine fossile par rapport ` a sa valeur en 2012.

Selon le mod` ele retenu ` a la question 2., l’objectif de la loi sera-t-il atteint ? Si oui, au cours de quelle

ann´ ee ? On expliquera la d´ emarche utilis´ ee.

Exercice 4 6 points Partie A

Le tableau suivant, extrait d’une feuille automatis´ ee de calcul, fournit l’´ evolution des encours (solde comp- table) des Investissements Socialement Responsables (ISR) d´ etenus par les investisseurs de la cellule place- ment d’une grande banque, au 1

janvier des ann´ ees allant de 2010 ` a 2014. La plage de cellules C3 :F3 est au format pourcentage arrondi ` a l’unit´ e.

A B C D E F

1 Ann´ ee 2010 2011 2012 2013 2014

2 Encours des ISR (en mil-

liard d’euros) 42 60 73 76 110

3 Taux d’´ evolution annuel (en pourcentage)

Source : Novethic

1 Choisir, parmi les propositions suivantes, la formule ` a saisir dans la cellule C3 d’un tableur afin d’obtenir par recopie vers la droite les taux d’´ evolution annuels jusqu’en 2014, des encours des inves- tissements socialement responsables :

= (C2−B2)/C2 = (C2−$B$2)/$B$2 = (C2−B2)/B2 = (B2−C2)/C2.

2 Quelle est la valeur affich´ ee dans la cellule F3 ? Partie B

On suppose que la valeur des encours des investissements socialement responsables augmente tous les ans de 25 % ` a partir de 2014. On note u n la valeur des encours des investissements socialement responsables, exprim´ ee en milliard d’euros, au 1

janvier de l’ann´ ee (2014 + n).

On a ainsi u ₀ = 110.

1 Justifier que la suite (u _n ) est une suite g´ eom´ etrique dont on pr´ ecisera la raison.

2 Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n.

3 En d´ eduire une estimation de la valeur des encours des investissements socialement responsables, au 1

janvier 2018.

4 On consid` ere l’algorithme suivant :

N ←− 0 U ←− 110

Tant que U < 1 000 N ←− N + 1

U ←− 1, 25 × U Fin Tant que

a Quelles valeurs contiennent les variables N et U apr` es ex´ ecution de cet algorithme ?

b Interpr´ eter ces valeurs dans le contexte ´ etudi´ e.

ANNEXE A rendre avec la copie ` Exercice 1

Exercice 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Rang de l’ann´ ee

Consommation d’ ´energie primaire d’origine fossile(Mtep)