Retournement de l'aimantation assisté par un champ micro-onde d'une nanoparticule individuelle

HAL Id: tel-00767410

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00767410

Submitted on 19 Dec 2012

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

micro-onde d’une nanoparticule individuelle

Raoul Piquerel

To cite this version:

Raoul Piquerel. Retournement de l’aimantation assisté par un champ micro-onde d’une nanopar- ticule individuelle. Autre [cond-mat.other]. Université de Grenoble, 2012. Français. �NNT : 2012GRENY022�. �tel-00767410�

THÈSE

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE

Spécialité : Physique

Arrêté ministériel : 7 août 2006

Présentée par

Raoul PIQUEREL

Thèse dirigée par Dr. Wolfgang WERNSDORFER

préparée au sein de l’institut Néel, CNRS/UJF dans l'École Doctorale de Physique, Grenoble

Retournement de

l’aimantation assisté par un champ micro-onde d’une

nanoparticule individuelle

Thèse soutenue publiquement le 9 mars 2012, devant le jury composé de :

Dr. Mairbek CHSHIEV

Commissariat à l’Énergie Atomique – Grenoble, Président

Pr. Stéphane MANGIN

Université Henri Poincaré – Nancy, Rapporteur

Dr. André THIAVILLE

Université Paris XI – Orsay, Rapporteur

Dr. Edgar BONET

Institut Néel – Grenoble, Examinateur

Dr. Thibaut DEVOLDER

Institut d’Électronique Fondamentale – Orsay, Examinateur

Pr. Mathias KLÄUI

Université de Mainz – Mainz (Allemagne), Examinateur

Dr. Christophe THIRION

Institut Néel – Grenoble, Examinateur

Dr. Wolfgang WERNSDORFER

Institut Néel – Grenoble, Directeur de Thèse

Tout d’abord, je tiens ` a remercier les membres de mon jury de th` ese qui ont accept´ e d’´ evaluer mon travail, en particulier St´ ephane Mangin et Andr´ e Thiaville qui ont effectu´ e le rapport du manuscrit de th` ese. Je remercie aussi Edgar Bonet, Thibault Devolder, Mathias Kl¨ aui, Christophe Thirion et Wolfgang Wernsdorfer pour avoir fait partie de ce jury et Mairbek Chshiev pour l’avoir pr´ esid´ e.

Je remercie les directeurs successifs de l’Institut N´ eel, Alain Fontaine et Alain Shuhl, de m’avoir acceuilli au sein de l’Institut N´ eel. De mˆ eme, je remercie les directeurs successifs du d´ epartement NANO, Jo¨ el Cibert et Herv´ e Courtois.

Je tiens ` a remercier les personnes qui m’ont encadr´ e pendant cette th` ese, du premier jour jusqu’` a la soutenance de th` ese. En premier lieu, mon directeur de th` ese, Wolfgang Wernsdorfer, l’homme que l’on ne peut jamais mettre en d´ efaut. J’ai appris ´ enorm´ ement de choses et j’esp` ere ˆ etre capable de les mettre en pratique dans ma carri` ere. Mon co- directeur de th` ese, Edgar Bonet, que je consid` ere comme un puit de savoir et l’une des personnes les plus brillantes qu’il m’a ´ et´ e donn´ e de rencontrer. La troisi` eme personne a avoir

´

enorm´ ement contribu´ e ` a ce travail de th` ese est Christophe Thirion. Il n’avait officiellement pas de r´ esponsabilit´ es dans ce travail mais s’est tout de mˆ eme ´ enorm´ ement impliqu´ e. Je le remercie alors pour son aide pr´ ecieuse, y compris lors des passages moins sympathiques de la r´ edaction du manuscrit ou de la pr´ eparation de la soutenance. Enfin, je remercie Oksana Gaier, que l’on a acceuilli sur le projet du retournemet assist´ e en temps que post-doc dans le milieu de ma troisi` eme ann´ ee de th` ese. Sa curiosit´ e et ses questions pertinentes m’ont ammen´ e ` a me poser les bonnes questions avant d’entamer la r´ edaction du manuscrit.

Je tiens aussi ` a remercier les personnes avec qui j’ai pu travailler de pr´ es ou de loin pendant ces trois ann´ ees. Daniel Lepoittevin et Christophe Hoarau du service ´ electronique et Eric Eyraud du service d’ing´ enierie exp´ erimentale. Je remercie aussi les permanents (actuels ou pass´ es) du groupe Nanospintronique et Transport Mol´ eculaire, Franck Bales- tro, Nedjma Bendiab, Vincent Bouchiat et Laetitia Marty, pour leurs discussions et leurs remarques sur la physique, la recherche ou tout le reste.

Mon projet de th` ese sur le retournement assist´ e de l’aimantation est n´ e de la collabora- tion de deux ´ equipes ext´ erieures avec l’´ equipe Nanospintronique et Transport Mol´ eculaire.

Durant ces trois ann´ ees, nous avons ´ et´ e amen´ es ` a nous rencontrer plusieurs fois pour di- verses occasions et je les remercie pour leurs discussions enrichissantes et points de vue. Il s’agit de l’´ equipe d’Hamid Kachkachi de l’Universit´ e de Perpignan et l’´ equipe de V´ eronique Dupuis du LPMCN ` a Lyon.

Il y a ´ evidemment beaucoup de gens que je voudrais remercier mais ¸ca serait impensable

d’en faire une liste exhaustive ici. Ni voyez pas non plus un top 10 de mes meilleurs

amis mais plutˆ ot un aper¸cu des gens qui ont bien rempli ma boˆıte mail ces derni` eres

ann´ ees. Je commence donc par remercier Alexia Gorecki qui est la personne que je connais

depuis le plus longtemps ` a Grenoble. On a beaucoup travaill´ e mais on a quand mˆ eme eu le

temps de bien rigoler. Je remercie Fabien Bonnet pour ses d´ emo de windsurf, sa vision du

monde et son humour cinglant. Je remercie S´ ebastien Kawka, parce que les bi` eres-kebab

des soir´ ees d’´ et´ e n’auront plus jamais la mˆ eme saveur. Je remercie Christelle pour beaucoup

de choses, entre autres pour sa gentillesse, sa disponibilit´ e et aussi sa cuisine... Je devrais

non-remercier les gens qui vont suivre puisqu’ils ont ´ et´ e la plus grande entrave ` a ce travail

de th` ese, notamment pour m’avoir rendu d´ ependant ` a la caf´ eine. Je non-remercie donc Mathias Urdampilleta, dit Bifle, pour son amour du reggae, pour ˆ etre noir ` a l’int´ erieur et pour avoir ´ epargn´ e mon oeil. Je non-remercie Romain Vincent, dit Sergent, pour aimer l’informatique autant que moi et pour nos soir´ ees ` a manger les pizzas les plus grasses du monde. Je non-remercie Antoine R´ eserbat-Plantey pour avoir fait partie du trio borrom´ een du D 206, pour ses bons coups de p´ edales, son humour et mˆ eme son style !

Je remercie mes parents, Colette et G´ erard, ainsi que la banque parentale qui ne m’a jamais demand´ e de compte et m’a toujours support´ e dans mon choix de carri` ere.

Enfin, je voudrais remercier le plus sinc` erement que possible Julie. C’est difficile de faire

comprendre par ´ ecrit ` a quel point les gens comptent ou ont compt´ e et c’est encore plus

difficile pour elle. Elle qui est arriv´ ee dans ma vie au moment o´ u les choses commen¸caient ` a

se gˆ ater mais qui a sacrifi´ e son temps et son ´ energie pour m’´ epauler et m’encourager jusqu’` a

la fin. Elle me motive, me donne confiance en moi et comprend comment je fonctionne (et

peut donc y rem´ edier).

Introduction g´en´erale 7

1 Introduction 9

1.1 Syst` eme magn´ etique . . . . 9

1.1.1 Aimant uniforme . . . . 9

1.1.2 Anisotropie magn´ etique . . . . 10

1.1.3 Energie totale . . . . ´ 12

1.2 Mod` ele de Stoner-Wohlfarth . . . . 13

1.3 Retournement dynamique . . . . 16

1.3.1 Pr´ ecession de l’aimantation . . . . 16

1.3.2 Pr´ ecession amortie – Mod` ele de Gilbert . . . . 18

1.3.3 Pr´ ecession forc´ ee . . . . 20

1.3.4 R´ esonance ferromagn´ etique . . . . 22

1.3.5 R´ esonance non-lin´ eaire . . . . 23

1.3.6 Retournement assist´ e . . . . 26

1.4 Probl´ ematique et objectifs . . . . 37

2 Magn´etom´etrie microSQUID 39

2.1 Dispositif . . . . 39

2.2 Le magn´ etom` etre . . . . 41

2.2.1 Propri´ et´ es SQUID . . . . 41

2.2.2 Caract´ eristique

I_c

(φ) . . . . 43

2.2.3 Placement des objets magn´ etiques ` a ´ etudier . . . . 43

2.3 Circuit de d´ etection . . . . 44

2.3.1 Electronique bas-bruit . . . . 45

2.3.2 Automate TiCo . . . . 46

2.4 Protocole de mesure . . . . 47

2.4.1 Plan du microSQUID . . . . 47

2.4.2 Mesure directe . . . . 47

2.4.3 Mode en contre-r´ eaction . . . . 47

2.4.4 Mode froid . . . . 49

2.4.5 Mode aveugle . . . . 50

2.4.6 Mesure par dichotomie du champ de retournement . . . . 51

3

2.5 Automate rapide ADwin . . . . 51

2.5.1 L’automate . . . . 52

2.5.2 Chemins et mouvements . . . . 53

2.5.3 Asservissement . . . . 55

2.6 Syst` eme d’acquisition NanoQt . . . . 56

2.7 Dispositif micro-onde . . . . 56

2.7.1 Dispositif . . . . 57

2.7.2 Etalonnage . . . . 57

3 Magn´etom´etrie num´erique 61

3.1 Equation du mouvement adimensionn´ ee . . . . 62

3.2 Syst` eme mod` ele . . . . 63

3.3 Choix des outils num´ eriques . . . . 63

3.4 M´ ethode d’int´ egration . . . . 64

3.5 Protocole de simulation . . . . 65

3.6 Le crit` ere de retournement . . . . 67

3.7 L’enveloppe de raccordement . . . . 68

3.8 M´ ethode de cartographie . . . . 68

4 Astro¨ıde dynamique 71

4.1 Formulation de la probl´ ematique . . . . 71

4.2 Protocole, m´ ehodologie et mat´ eriaux . . . . 72

4.2.1 Protocole . . . . 72

4.2.2 Impulsion AC . . . . 75

4.2.3 Syst` emes ´ etudi´ es . . . . 76

4.3 Observation de l’astro¨ıde dynamique . . . . 78

4.3.1 Approche exp´ erimentale . . . . 78

4.3.2 Approche th´ eorique . . . . 80

4.3.3 Conclusion . . . . 85

4.4 Effet du temps de mont´ ee . . . . 86

4.4.1 Approche exp´ erimentale . . . . 86

4.4.2 Approche num´ erique . . . . 88

4.4.3 Conclusion . . . . 91

4.5 Position de la r´ esonance . . . . 92

4.5.1 Interpr´ etation . . . . 92

4.5.2 Conclusion . . . . 96

4.6 Conclusion . . . . 96

5 Bassins d’attraction 99

5.1 Probl´ ematique . . . . 99

5.2 Protocole . . . . 101

5.2.1 Pr´ eparation du paysage ´ energ´ etique . . . . 103

5.2.2 Pr´ eparation de l’´ etat initial – Impulsion pompe . . . . 104

5.2.3 Evolution de l’aimantation – Impulsion sonde . . . . 105

5.2.4 Diagramme de Fresnel . . . . 105

5.3 Retournement en fonction de l’´ etat initial . . . . 107

5.3.1 Protocole exp´ erimental . . . . 107

5.3.2 Discussion sur la rotation de la phase . . . . 107

5.3.3 R´ esultat exp´ erimental . . . . 109

5.3.4 Conclusion . . . . 110

5.4 Effet de l’amplitude du champ AC . . . . 110

5.5 Effet du champ DC . . . . 111

5.6 Effet de la relaxation . . . . 112

5.6.1 Pr´ ecession libre . . . . 112

5.6.2 Effet de l’amortissement . . . . 112

5.7 Conclusion . . . . 116

Conclusion g´en´erale 123

A Projection Mercator 127

B ´Equation LLG explicite et implicite 129

Depuis une dizaine d’ann´ ees, la demande en stockage num´ erique s’est intensifi´ ee, cher- chant ` a concilier densit´ e, stabilit´ e et rapidit´ e d’acc` es aux informations. Une piste de bons candidats pour augmenter cette densit´ e, sans sacrifier la stabilit´ e, semble ˆ etre les nanopar- ticules monodomaines ` a forte anisotropie magn´ etique. En effet, depuis 2006, la majorit´ e des disques durs commerciaux sont bas´ es sur une technologie d’enregistrement perpendiculaire

[1]. Dans ce cas, les m´

edias discrets ` a anisotropie ´ elev´ ee, ferromagn´ etiquement bloqu´ es ` a la temp´ erature ambiante, montrent un grand potentiel pour l’avenir de l’enregistrement magn´ etique ` a ultra-haute densit´ e. Malheureusement, le renversement de leurs aimanta- tions requiert des champs tr` es intenses par rapport aux capacit´ es des tˆ etes d’´ ecriture actuelles. En 2003, Thirion et al.

[2]

ont mis en ´ evidence que la pr´ ecession assist´ ee de l’aimantation par un champ micro-onde peut entrainer le retournement pour une nanopar- ticule individuelle pour des champs statiques inf´ erieurs ` a la limite de Stoner-Wohlfarth.

Le retournement assist´ e par micro-onde (Microwave Assisted Switching – MAS ) pourrait devenir technologiquement pertinent au mˆ eme titre que l’enregistrement magn´ etique as- sist´ e thermiquement

[3], d´

ej` a explor´ e pour les tˆ etes de disque dur. Depuis, de nombreux travaux th´ eoriques

[4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18]

ou exp´ erimentaux

[19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26]

sont venus compl´ eter la compr´ ehension ou proposer de nouveaux sc´ enarii de MAS.

L’´ etude du MAS fait r´ ef´ erence ` a l’´ etude de la dynamique de l’aimantation dans les

´

el´ ements magn´ etiques monodomaines. Ce champ de recherche tr` es actif depuis de nom- breuses ann´ ees a notamment permis de mettre en ´ evidence le r´ egime de r´ esonance ferro- magn´ etique en r´ eponse lin´ eaire ou non-lin´ eaire

[27]

ou encore la cr´ eation d’ondes de spin

[28]. Notamment, un des principaux param`

etres de contrˆ ole de la dynamique est la puis- sance du signal excitateur qui permet de passer d’un r´ egime ` a l’autre. Le MAS est accessible lorsque l’amplitude du champ excitateur permet d’injecter suffisamment d’´ energie dans le syst` eme pour d´ epasser la barri` ere d’´ energie s´ eparant les ´ etats stables. On se trouve donc en pr´ esence d’un nouveau r´ egime dynamique, qui suit par amplitude d’excitation croissante les travaux pr´ ec´ edement cit´ es.

Le but de ce travail de th` ese est d’enrichir notre connaissance sur ce nouveau r´ egime de la dynamique de l’aimantation en continuant l’´ etude du retournement assist´ e sur des nanoparticules individuelles. Nous verrons notamment que l’´ etat final de l’aimantation est d´ etermin´ ee par la pr´ esence d’attracteurs dans le paysage ´ energ´ etiques. L’objectif exact et le d´ eroulement de ce manuscrit de th` ese sont discut´ es ` a la fin du chapitre 1, une fois les

7

notions ´ el´ ementaires de la dynamique de l’aimantation introduites.

Nous sommes convaincus que notre approche, tout ` a fait originale, permet d’offrir

de nouvelles solutions face aux difficult´ es rencontr´ ees par l’industrie de l’enregistrement

magn´ etique. On peut ´ egalement souligner l’int´ erˆ et scientifique, ` a savoir la possibilit´ e de

d´ ecrire correctement le processus de retournement de l’aimantation dans des nanoparti-

cules.

Introduction

Dans ce premier chapitre, nous allons mettre en place des outils et concepts qui vont nous ˆ etre utiles pour la suite de ce manuscrit. En commen¸cant par la pr´ esentation des syst` emes consid´ er´ es nous aborderons le retournement quasi-statique, ph´ enom` ene connu et largement utilis´ e depuis quelques ann´ ees, puis nous pr´ esenterons les ´ el´ ements de base de la dynamique de l’aimantation. Nous passerons de l’´ equation du mouvement d’un spin unique aux modes de pr´ ecession que l’on peut rencontrer dans la r´ esonance ferromagn´ etique. En- suite nous pr´ esenterons les diff´ erents travaux th´ eoriques et exp´ erimentaux d´ ej` a effectu´ es sur le retournement assist´ e. Enfin, nous d´ egagerons une probl´ ematique, nous placerons le sujet de cette th` ese dans son contexte. Nous ajouterons quelques mots sur les implications que ce travail peut avoir dans diff´ erents domaines de la physique du magn´ etisme ou non.

1.1 Syst` eme magn´ etique

1.1.1 Aimant uniforme

Les syst` emes magn´ etiques essayent de minimiser leurs ´ energies internes et cherchent la configuration magn´ etique la moins coˆ uteuse. L’´ energie interne r´ esulte de la comp´ etition entre plusieurs contributions qui sont

– l’´ energie d’´ echange qui tient compte du d´ esalignement des spins ; – l’´ energie d´ emagn´ etisante qui tient compte du rayonnement dipolaire ; – l’´ energie d’anisotropie.

Pour un syst` eme suffisamment grand, la configuration stable est compos´ ee de plusieurs domaines. Si l’on paie le prix d’une paroi de domaine, on gagne en rayonnement dipolaire (

Fig. 1.1a). En revanche, pour un syst`

eme ayant une taille inf´ erieure ` a une taille critique, la configuration stable est monodomaine mais avec les spins mal align´ es (

Fig. 1.1b). On

ne paie plus de paroi de domaine car la taille du syst` eme ne permet plus d’en porter mais le rayonnement dipolaire est encore minimis´ e grˆ ace au d´ esalignement des spins. Enfin si le syst` eme est tr` es petit, la configuration stable est monodomaine avec tous les spins parfai-

9

(a) (b) (c)

Figure 1.1 – Configuration magn´etique d’un petit syst`eme magn´etique.(a)La taille du syst`eme est grande, l’´energie est minimis´ee par cr´eation de parois de domaines.(b)La taille ne permet plus de porter une paroi de domaine mais le d´esalignement des spins minimise le rayonnement dipolaire.(c)Le syst`eme est tr`es petit, il n’y a qu’un domaine de spins parfaitement align´es. C’est la configuration macrospin.

tement align´ es

¹

, configuration aussi appel´ ee macrospin ou particule de Stoner (

Fig. 1.1c).

Ici, l’´ energie d’´ echange l’emporte sur le rayonnement dipolaire.

Une des propri´ et´ es remarquables des syst` emes macrospins est que leurs normes ne d´ ependent pas de leurs orientations et sont toujours ´ egales ` a

M_s

, l’aimantation spontan´ ee

²

. Par la suite, nous ne consid` ererons que le mod` ele macrospin. De plus, toutes les ´ energies dans ce chapitre sont donn´ ees par unit´ e de volume.

1.1.2 Anisotropie magn´ etique

La d´ ependance angulaire de l’´ energie du syst` eme est d´ ecrite par l’anisotropie magn´ etique (

Fig. 1.2b). Cette d´

ependance impose des axes pr´ ef´ erentiels encore appel´ es axes de facile aimantation qui correspondent aux minima locaux. ` A l’inverse les axes de difficile aimanta- tion correspondent aux maxima. L’´ energie d’anisotropie,

E_ani

(M), regroupe les diff´ erentes contributions provenant de

– la structure cristalline ; – la forme ;

– l’´ etat de surface de l’aimant.

Dˆ u ` a toutes ces contributions, le calcul exact de l’´ energie d’anisotropie est difficile ` a faire, il requiert une parfaite connaissance du syst` eme et mˆ eme num´ eriquement, pour des aimants compos´ es de 10

³

` a 10

⁶

atomes, le calcul est tr` es lourd.

Heureusement, les contributions sont souvent d’importance variable et une approxima- tion ` a un ordre faible nous permet de d´ eterminer l’´ energie d’anisotropie effective. L’aniso-

1. En r´ealit´e, les petits syst`emes compos´es de plusieurs moments magn´etiques ne peuvent jamais ˆetre compl`etements satur´es[29]

2. Dans ce cas, l’aimantation spontan´ee Ms est (presque) ´egale `a la densit´e volumique des moments magn´etiquesµB dans le mat´eriaux,Ms=N µB.

(a)

X(θ, φ)

Y(θ, φ)

Puits Puits

Col min max

(b)

X(θ, φ)

Y(θ, φ)

max min

(c)

a

M

H

c

(d)

θ π

K

0 Eani(θ)

Figure 1.2 – Anisotropie magn´etique. (a) Paysage ´energ´etique en projection Mercator Transverse (Voir annexes) d’un syst`eme `a anisotropie biaxiale. Comme sur un planisph`ere, l’axe X correspond `a la latitude et l’axe Y correspond `a la longitude. Il n’y a que deux puits qui correspondent aux ´etats stables.(b)Paysage ´energ´etique d’un syst`eme `a anisotropie cubique. Il y a huit ´etats stables.(c)Syst`eme magn´etique anisotrope `a sym´etrie de r´evolution, l’anisotropie d´epend uniquement de θ. (d)D´ependance angulaire de l’´energie d’anisotropie pour un syst`eme uniaxial. Les deux positions d’´equilibre, θ = 0 et θ=π, sont s´epar´ees par une barri`ere de hauteurK.

tropie effective doit respecter la sym´ etrie par inversion

E_ani

(M) =

E_ani

(−M) (1.1)

Le d´ eveloppement sur une base propre (u

_x,u_y,u_z

) nous donne

³ E_ani

(M) =

X

2j=a+b+c

κ_iu^a_xu^b_yu^c_z

(1.2) o` u

κi

est la pond´ eration du d´ eveloppement. Afin d’illustrer cette anisotropie effective, prenons deux exemples, celui d’une anisotropie biaxiale et celui d’une anisotropie cubique.

Anisotropie biaxiale : Consid´ erons un ellipso¨ıde aplati sur un de ses petits axes (l

x < ly < lz

) dont l’anisotropie est principalement dict´ ee par la forme, nous obtenons le d´ eveloppement suivant

Eani

(M) =

κ1u²_x

+

κ2u²_y

+

κ3u²_z

(1.3) qui apr` es simplification

⁴

nous donne

E_ani

(M) = (κ

₂−κ₁

)u

²_y

+ (κ

₃−κ₁

)u

²_z

(1.4) Posons les constantes d’anisotropie

K_y

=

−(κ₂−κ₁

) et

K_z

=

−(κ₃−κ₁

) ainsi nous obtenons l’´ energie d’anisotropie pour un syst` eme ` a anisotropie biaxiale (

Fig. 1.2c)

E_ani

(M) =

−K_yu²_y−K_zu²_z

(1.5) Supposons par exemple que

K_z > K_y >

0, alors l’axe

z

est facile et l’axe

x

est difficile.

Anisotropie cubique : Consid´ erons une sph` ere dont l’anisotropie est principalement dict´ ee par la structure cristalline. L’anisotropie est ` a sym´ etrie cubique et nous obtenons le permier terme non nul

E_ani

(M) =

κ₁u²_xu²_y

+

κ₂u²_yu²_z

+

κ₃u²_zu²_x

(1.6) Dans le cas o` u

κ₁

=

κ₂

=

κ₃

=

−K

Eani

(M) =

−K(u²_xu²_y

+

u²_yu²_z

+

u²_zu²_x

) (1.7) nous obtenons l’anisotropie d’un syst` eme cubique (

Fig.1.2d) avec huit orientations stables.

1.1.3 Energie totale ´

L’´ energie de couplage d’un champ magn´ etique

H_DC

avec un moment magn´ etique

M

est d´ ecrite par l’effet Zeeman

E_Z

(M,

H_DC

) =

−µ₀MH_DC

(1.8)

ce qui nous permet de d´ efinir l’´ energie statique totale du macrospin

Est

(M,

HDC

) =

Eani

(M)

−µ0MHDC

(1.9) Selon la grandeur de notre champ DC, on peut d´ efavoriser ou tout simplement d´ etruire un minima dans le paysage ´ energ´ etique (

Fig. 1.3). Il se trouve que c’est le point de d´

epart de notre prochaine discussion, le retournement (quasi-)statique.

3. Les vecteurs propres sont donn´es parux=^M.x_M

s = sinθcosφ, uy = ^M.y_M

s = sinθcosφet uz= ^M.z_M

s = cosθ

4. u²_x+u²_y+u²_z= 1

(a)

X(θ, φ)

Y(θ, φ)

E_min E_max

(b)

X(θ, φ)

Y(θ, φ)

E_min E_max

(c)

X(θ, φ)

Y(θ, φ)

E_min E_max

Figure 1.3 – Effet du champ magn´etique sur le paysage ´energ´etique.Paysage ´energ´etique d’un syst`eme `a anisotropie uniaxiale avec l’axe facile selonzet le plan difficile selonxOy.(a)Champ magn´etique DC selon l’axez;(b)selon l’axey; et(c)selon l’axex.

1.2 Retournement statique

On appelle retournement, le passage de l’aimantation d’un ´ etat stable ` a un autre. Par exemple, pour un macrospin ayant une anisotropie uniaxiale, dont l’axe facile est l’axe

z,

le retournement fait passer l’aimantation de +z ` a

−z

ou le contraire.

Lorsque un macrospin est orient´ e selon une direction stable et que la temp´ erature est nulle, il n’a ` a priori aucune raison de changer d’´ etat. Ainsi, le retournement n’exprime que la r´ eponse du syst` eme ` a un champ magn´ etique ext´ erieur

[31]. Ce processus peut suivre

deux tendances

– le retournement uniforme o` u tous les spins, de concert, se renversent au mˆ eme mo-

ment, suivant la mˆ eme rotation ;

(a)

A

Est

B

θ H_DC = 0

H_DC = H_K

(b)

A

B

M

H_DC

(c)

A

B

AB

H_DC H_z

H_y

(d)

H_z

H_y

Figure 1.4 – Retournement statique d’apr`es le mod`ele de Stoner-Wohlfarth.(a)D´eformation du paysage ´energ´etique sous l’influence d’un champ magn´etique l´eg`erement inclin´e par rapport `a l’axe facile. Pour un champ HDC < Hc(θH), l’aimantation est stable au fond du puits m´etastableA. Pour un champHDC>Hc(θH), l’aimantation est instable et se retourne au fond du puitsB.(b)Cycle d’hyst´er´esys mettant en ´evidence la rotation de l’aimantation de l’´etatA`aBlorsque le champ DC atteintHc(θH).(c) Valeurs du champ de retournementHc(θH) dans le plan du champHDCd´ecrivant une astro¨ıde. L’axe facile est selon Oz et le plan difficile selon Oxy. (d) Astro¨ıde de Stoner-Wohlfarth mesur´ee sur une particule de ferrite de baryum d’environ 20 nm de diam`etre [30]. L’anisotropie r´eelle de cette particule n’est pas uniaxiale, pourtant la courbe de champ critique correspond bien, en premi`ere approximation, au mod`ele de Stoner-Wohlfarth.

– la nucl´ eation d’une paroi de domaine qui se propage ensuite dans tous le syst` eme

[32].

On distingue d’ailleurs deux m´ ecanismes

– le retournement classique o` u le changement de direction s’op` ere par rotation ;

– le retournement quantique o` u le changement de direction s’op` ere par effet tunnel

entre ´ etats r´ esonants.

Dans notre cas, nous ne nous int´ eresserons qu’au retournement d’un moment uniforme et classique. Le syst` eme est suffisamment petit pour n’autoriser qu’une rotation uniforme et le nombre de spin est suffisamment ´ elev´ e pour gommer les comportements quantiques. Mˆ eme si ces deux hypoth` eses de d´ epart peuvent paraˆıtre fortes, elles s’appliquent en g´ en´ erale assez bien en premi` ere approximation pour un syst` eme macrospin. C’est d’ailleurs une des briques de d´ epart du mod` ele de retournement d´ evelopp´ e par Stoner et Wohlfarth (SW)[33]

et parall` element par N´ eel

[31]. Ce mod`

ele donne la d´ efinition du champ critique pour lequel un syst` eme magn´ etique uniaxial se retourne.

Consid´ erons un macrospin ayant une anisotropie uniaxiale. L’aimantation

M

, le champ magn´ etique

H_DC

et l’axe facile

Oz

sont dans le mˆ eme plan. L’´ energie totale est donn´ ee par (1.9) et exprim´ ee de mani` ere explicite par

E_st

(M,

H_DC

) =

K₁

sin

²θ−µ₀M_sH_DC

cos(θ

−θ_H

) (1.10) avec

θ, l’angle entre l’aimantation et l’axe facile et θ_H

l’angle entre le champ magn´ etique DC et l’axe facile. Dans le plan, les ´ etats stables sont simplement donn´ es par

(dEst

dθ

= 0

d²Est

dθ² >

0 (1.11)

o` u la d´ eriv´ ee seconde, ´ equivalente ` a la courbure locale de l’´ energie totale, donne des indi- cations sur la stabilit´ e des ´ etats consid´ er´ es. Une courbure positive indique un ´ etat stable, l’aimantation restera dans cette position ind´ efiniment. En revanche, une courbure nulle ou n´ egative indique un ´ etat instable dont l’aimantation va s’´ eloigner, c’est le retournement.

La courbure nulle correspond ` a la limite critique entre stabilit´ e et retournement d

²E_st

dθ

²

= 2K

₁

cos(2θ) +

µ₀M_sH_DC

cos(θ

−θ_H

) = 0 (1.12) Afin de simplifier le calcul, prenons comme exemple le cas o` u

M

est align´ e selon une des deux directions de l’axe facile, par exemple

θ

= 0, et appliquons le champ magn´ etique

H_DC

dans la direction oppos´ ee,

θ_H

=

π, ainsi nous obtenons

H_DC

= 2K

1

µ₀M_s

=

H_c

(θ

_H

=

π)

(1.13)

o` u la quantit´ e

H_c

(θ

_H

=

π) repr´

esente le champ critique, la valeur pour laquelle l’aimanta- tion devient instable et peut se retourner.

Ici nous nous sommes content´ es d’´ evaluer la valeur du champ critique selon une seule direction du champ. Stoner et Wohlfarth ont d´ etermin´ e la d´ ependance angulaire du champ critique

H_c

(θ

_H

) pour une anisotropie uniaxiale et ont obtenu

H_c

(θ

_H

) =

H_K

(sin

^2/3θ_H

+ cos

^2/3θ_H

)

^3/2

(1.14)

avec

HK

= 2K

1

µ₀M_s

(1.15)

le champ d’anisotropie. Remarquons que

H_c

(θ

_H

) d´ ecrit dans l’espace de champ (Oxyz) une astro¨ıde de r´ evolution, l’axe

Oz

correspond ` a l’axe facile et le plan perpendiculaire

Oxy

correspond au plan difficile. Il faut comprendre cette astro¨ıde comme une d´ elimitation de l’espace, s´ eparant l’int´ erieur, o` u le syst` eme est bistable, de l’ext´ erieur, o` u le syst` eme est monostable, le retournement s’op´ erant lorsque l’on franchit la courbe de champ critique.

Ici le calcul est simple et peut se faire de fa¸con analytique mais en dehors du cas uniaxial, la d´ etermination de la d´ ependance angulaire n’est pas simple. D’une part, les contributions ` a l’´ energie peuvent ˆ etre multiples et d’ordre ´ elev´ e, d’autre part, les diff´ erents axes remarquables peuvent avoir des orientations diff´ erentes. N´ eanmoins, une g´ en´ eralisation du mod` ele de Stoner-Wohlfarth ` a ´ et´ e propos´ ee par A. Thiaville

[34], il propose une ap-

proche g´ eom´ etrique qui permet de d´ efinir une courbe critique mˆ eme pour une anisotropie arbitraire.

Par la suite, nous nous restreindrons aux anisotropies simples, c’est ` a dire uniaxiales ou faiblement biaxiales.

1.3 Retournement dynamique

Dans le d´ ebut de ce chapitre, nous avons discut´ e du retournement quasi-statique ou mod` ele de Stoner-Wohlfarth. Par l’action d’un champ magn´ etique sur le paysage ´ energ´ etique du macrospin, il est possible de faire passer l’aimantation d’une position d’´ equilibre vers une autre. Dans cette section nous allons aborder une autre possiblit´ e de retournement, le retournement assist´ e.

Nous allons tout d’abord pr´ esenter l’´ equation du mouvement d’un macrospin libre ou amorti. Nous discuterons ensuite de la pr´ ecession forc´ ee d’un syst` eme magn´ etique en pr´ esentant la r´ esonance ferromagn´ etique lin´ eaire et non-lin´ eaire. A ce stade nous devrions ˆ

etre capables de d´ ecrire les diff´ erentes notions qui r´ egissent la dynamique de l’aimantation.

Enfin nous aborderons le retournement assist´ e (Assisted Switching – AS ) par un champ AC (Microwave Assisted Switching – MAS ), le but ´ etant d’assister la pr´ ecession du macrospin en fournissant suffisamment d’´ energie pour franchir la barri` ere de potentiel s´ eparant deux minima c’est ` a dire deux directions d’´ equilibre. Nous d´ etaillerons les diff´ erents travaux th´ eoriques et exp´ erimentaux afin de placer le contexte de ce travail de th` ese et d´ efinirons ensuite les diff´ erents axes que nous aborderons dans ce manuscrit.

1.3.1 Pr´ ecession de l’aimantation

Laundau et Lifshitz proposent en 1935 que le mouvement d’un macrospin

M, isotrope,

sans dissipation, sans for¸cage et plong´ e dans un champ

H_DC

soit d´ ecrit par une ´ equation du premier ordre

dM

dt =

−γ0M×HDC

(1.16)

(a)

Axe facile

Axe difficile

H_DC

M M

(b)

M

M

stable stable Axe facile

Axe difficile

H_DC

Figure 1.5 – Mouvement d’un moment magn´etique an/isotrope plong´e dans un champ H_DC. (a)Illustration de deux trajectoires possibles pour un moment isotrope. Le moment d´ecrit un mouvement circulaire, ax´e sur le champH_DC. De plus, sans dissipation, il garde l’angle θentre Met H_DC constant.

(b)Illustration des trajectoires possibles pour un moment anisotrope dans un champ inclin´e par rapport `a l’axe facile. Les orientations d’´equilibre sont d´efinies par le champ statiqueHst. Les moments magn´etiques d´ecrivent une orbite non-circulaire autour des axes d’´equilibre.

avec

γ₀

, le facteur gyromagn´ etique. Il s’agit l` a d’un mouvement de pr´ ecession continue, dans le sens direct, ` a angle constant, ax´ e sur le champ

H_DC

(

Fig. 1.5). Afin de rendre

compte de l’anisotropie magn´ etique, nous pouvons substituer

H_DC

par le champ statique

H_st

, somme des contributions dues ` a l’anisotropie et au champ DC, d´ efini comme

H_st

=

−

1

µ₀M_s

dE

ani

dM +

H_DC

(1.17)

Dans ce cas, l’´ equation du mouvement (1.16) devient dM

dt =

−γ0M×Hst

(1.18)

La pr´ ecession ne s’effectue plus autour du champ DC mais autour d’une orientation d’´ equilibre qui correspond ` a un minimum locale de l’´ energie.

La fr´ equence de pr´ ecession d’un macrospin isotrope est ´ egale ` a la fr´ equence de Larmor

f_L

=

γ₀H_DC

2π (1.19)

La fr´ equence d’un macrospin anisotrope tient compte des contributions ´ energ´ etiques dues

`

a l’anisotropie. Une solution propos´ ee

[35, 36]

consiste ` a se placer dans le rep` ere sph´ erique

pour d´ ecomposer l’´ equation (1.30) selon

θ

et

φ. En consid´

erant que la pr´ ecession de l’ai-

mantation reste aux petits angles, nous pouvons lin´ eariser autour des positions d’´ equilibre

θ

=

θ₀

et

φ

=

φ₀

et ainsi obtenir la formule de Smit-Suhl qui d´ efinit la fr´ equence propre en fonction de la courbure locale de l’´ energie statique

f₀

=

γ

2πM

_s

sin

θ₀

s

∂²Est

∂θ²

∂²Est

∂φ² −

∂²Est

∂θ∂φ 2

(1.20)

Afin de parler de fa¸con claire de la pr´ ecession, il devient pratique d’introduire la notion de cˆ one de pr´ ecession (

Fig. 1.5). Il s’agit de l’angle solide appuy´

e sur la trajectoire de l’aimantation.

1.3.2 Pr´ ecession amortie – Mod` ele de Gilbert

Pour l’instant, nous avons pris en compte la dynamique de l’aimantation en consid´ erant une dissipation nulle, le syst` eme ne relaxe jamais et son ´ energie interne ne varie pas,

dE

dt

= 0. Or le macrospin est port´ e par une nano-structure qui est coupl´ ee ` a l’environne- ment ext´ erieur. Il s’op` ere alors une dissipation

⁵

dont nous devons tenir compte. Pour cela, d´ eterminons tout d’abord la variation de l’´ energie interne

dE

_st

dt = dE

_st

dM

·

dM

dt =

−µ₀H_st·

dM

dt (1.21)

o` u l’´ equation (1.18) nous permet d’´ ecrire dE

_st

dt =

µ₀γ₀H_st

(M

×H_st

) (1.22) Nous remarquons que ce terme repr´ esente le volume orient´ e

⁶

du parall´ el´ epip` ede d´ efinit par (M,

Hst,Hst

). Dans ce cas, il est clair que ce terme, de volume orient´ e nul, n’a aucun effet sur la variation d’´ energie du syst` eme

µ₀γ₀H_st

(M

×H_st

) = 0 (1.23)

Il ne participe ni ` a l’amortissement, ni ` a l’acc´ el´ eration de la pr´ ecession. Afin de rendre tout de mˆ eme compte de la dissipation, Gilbert proposa en 1955 l’id´ ee d’ajouter une dissipation de type Rayleigh, comparable ` a un frottement visqueux, fonction de la vitesse au carr´ e, dans l’´ equation (1.21)

dE

_st

dt =

−C

dM

dt

2

(1.24) o` u

C

est le coefficient dissipatif. Afin de remonter ` a l’´ equation du mouvement, nous d´ eveloppons l’´ equation (1.24)

dE

_st

dt =

µ₀γ₀H_st

(M

×H_st

) +

γ₀C(M×H_st

) dM

dt (1.25)

5. La dissipation regoupe plusieurs m´ecanismes diff´erents qui peuvent ˆetre par exemple le couplage au bain thermique, le bruit, les propri´et´es du mat´eriau consid´er´e, etc...

6. Le produit mixte (u×v).wrepr´esente le volume orient´e du parall´el´epip`ede (u,v,w)

(a)

Y(θ, φ)

X(θ, φ)

(b)

Y(θ, φ)

X(θ, φ) (c)

M z

y x

(d)

M

z

y

x

Figure 1.6 – Mouvement d’un moment magn´etique libre ou amorti.(a)Trajectoire de l’aiman- tation sans dissipation dans le paysage ´energ´etique (projection Mercator). L’aimantation suit les lignes d’iso-´energie. (b) Trajectoire de l’aimantation avec dissipation dans le paysage ´energ´etique. La dissipa- tion pr´ecipite l’aimantation dans le fond du puits. Plus la dissipation est ´elev´ee, plus la trajectoire pour rejoindre le fond du puits est courte.(c) Un moment magn´etique isotrope, sans dissipation, a un angleθ entre le moment et le champ constant. Le mouvement d´ecrit alors une orbite circulaire. (d)Un moment magn´etique soumi `a des dissipations voit son angle θdiminuer au cours du temps. Le mouvement d´ecrit une spirale qui, au fur et `a mesure de la pr´ecession, s’aligne avec le champ.

en utilisant la permutation circulaire du produit mixte dE

st

dt =

µ0γ0Hst

(M

×Hst

)

−γ0C

M×

dM dt

Hst

(1.26)

on peut regrouper dE

_st

dt =

−µ₀H_st

−γ₀M×H_st

+

γ₀C µ₀

M×

dM dt

(1.27)

et dans l’approximation d’un amortissement faible (α << 1), on peut identifier le second membre ` a un vecteur vitesse

^dM_dt

dM

dt =

−γ₀M×H_st

+

γ₀C µ0

M×

dM dt

(1.28) on pose la constante d’amortissement de Gilbert comme

α

=

γ₀CM_s

µ₀

(1.29)

et nous obtenons l’´ equation de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG) qui r´ egit le mouvement d’un macrospin amorti

dM

dt =

−γ₀M×H_st

+

α M_s

M×

dM dt

(1.30) Dans le reste du manuscrit on pourra utiliser la forme implicite (1.30) ou la forme explicite

⁷

suivante

(1 +

α²

) dM

dt =

−γ₀M×H_st−αγ₀

M_sM×

(M

×H_st

) (1.31) Au regard de cette ´ equation, on peut se poser la question de l’effet de l’amortisse- ment sur le mouvement de l’aimantation. Pour cela, consid´ erons une aimantation isotrope, plong´ ee dans un champ magn´ etique

H_DC

. Une des premi` eres remarques que l’on peut faire est que la dissipation de Gilbert garde la norme de l’aimantation constante ainsi elle d´ ecrit une trajectoire inscrite sur sph` ere. Le terme

−M×

(M

×H_DC

) de l’´ equation (1.31) d´ efinit un champ de vecteurs sur la sph` ere qui pointe en direction de l’orientation d’´ equilibre (en direction de

H_DC

). Dans ce cas, on remarque que la dissipation de Gilbert ne modifie pas la fr´ equence de pr´ ecession mais tend ` a fermer le cˆ one de pr´ ecession (

Fig.1.6b). Le r´

esultat est qu’au fur et ` a mesure de la pr´ ecession, l’aimantation s’aligne avec le champ DC

H_DC

1.3.3 Pr´ ecession forc´ ee

Maintenant que nous avons compris le mouvement libre ou amorti de l’aimantation, nous pouvons aborder une notion un peu plus complexe qui est l’excitation de la pr´ ecession.

Ainsi nous allons tenter de r´ epondre aux quelques questions qui sont – comment peut-on exciter la pr´ ecession de l’aimantation ?

– que se passe-t-il lorsque l’aimantation et l’excitation sont en r´ esonance ? – que peut-on tirer de cette r´ esonance ?

– jusqu’o` u peut-on aller dans l’excitation de la pr´ ecession ? Tout d’abord, essayons de r´ epondre ` a la premi` ere question.

Quel m´ ecanisme permet d’entraˆıner la pr´ ecession de l’aimantation ? A priori il y en a plusieurs ! En effet, on peut citer comme exemple, un courant d’´ electrons polaris´ es

[37], un

7. Les deux formes sont math´ematiquement ´equivalentes. Le passage de la forme implicite `a explicite est d´etaill´e en annexe.

champ magn´ etique puls´ e

[38]

ou un champ magn´ etique micro-onde

[2]. Mais int´

eressons nous plus particuli` erement ` a ce dernier cas. En effet, sous certaines conditions, un champ AC

H_AC

peut entraˆıner la pr´ ecession d’un moment magn´ etique unique, d’un film mince ou d’un mat´ eriaux massif. Cette technique est, par ailleurs, tr` es utilis´ ee dans le domaine de la r´ esonance ferromagn´ etique.

Afin de comprendre plus en d´ etail ce m´ ecanisme, consid´ erons un champ magn´ etique AC

H_AC

de la forme suivante

HAC

(t) =

A

Ω

∆G(2πf t

+

ϕ)

(1.32)

avec

A

l’amplitude maximum, Ω l’enveloppe qui s’´ etale de fa¸con continue sur une dur´ ee ∆,

f

la fr´ equence de l’oscillation,

ϕ

la phase ` a l’origine et

G

la fonction oscillante, tenant compte de la polarisation. Ce champ est ` a ajouter au champ statique ressenti par l’aimantation, d’o` u le champ total

H_tot

=

H_st

+

H_AC

(1.33)

ainsi l’´ equation LLG (1.30) devient dM

dt =

−γ₀M×

(H

_st

+

H_AC

) +

α

M_sM×

dM

dt (1.34)

Maintenant posons-nous la question de l’effet du champ AC

H_AC

sur la pr´ ecession de l’aimantation. Pour cela, consid´ erons un moment magn´ etique sans dissipation. Dans ce cas, la variation d’´ energie donn´ ee par l’´ equation (1.21) doit prendre en compte l’excitation de la pr´ ecession donn´ ee par l’´ equation (1.34). Ainsi

dE

dt =

µ₀γ₀

(M

×H_st

)H

_st

+

µ₀γ₀

(M

×H_AC

)H

_st

(1.35) On rappelle que le premier terme, de volume orient´ e nul, ne transf` ere pas d’´ energie au syst` eme, il reste

dE

dt =

µ₀γ₀

(M

×H_AC

)H

_st

(1.36)

Cette ´ equation peut avoir un volume orient´ e diff´ erent de z´ ero et donc un ´ echange d’´ energie peut s’op´ erer entre le moment magn´ etique et le champ AC, c’est ce que l’on appelle le pompage d’´ energie. Analysons deux cas de figures. Si

H_AC

est contenu dans le plan (M,

H_st

), la variation d’´ energie est nulle. Le seul effet observable est la l´ eg` ere acc´ el´ eration ou d´ ec´ el´ eration de la pr´ ecession. Deuxi` eme cas, si

H_AC

n’est pas contenu dans le plan (M,

H_st

), la variation d’´ energie est non nulle mais d´ epend du signe du volume orient´ e.

L’effet observable devient dans ce cas, l’ouverture ou la fermeture du cˆ one de pr´ ecession.

Au passage, ce que nous venons de pr´ esenter ne perd pas sa validit´ e lorsque nous prenons en compte les dissipations. Il suffit juste d’additionner simplement les deux contributions afin d’obtenir une ´ equation qui d´ efinie la comp´ etition entre le pompage (1.36) et la dissipation

dE

dt =

µ₀γ₀

(M

×H_AC

)H

_st− αµ₀ γ₀M_s

dM dt

2

(1.37)

Δf

0

θ

²

θ

²

θ

_a

θ

_a²

θ

_b

θ

_b²

θ

2

θ

2

θ

2

H

_AC

> H

_cr

H

_AC

= H

_cr

H

_AC

< H

_cr

f - f

₀

f

_a

f

_b

(a)

(b)

(c)

Figure 1.7 – Principe de FMR en r´eponse lin´eaire et non-lin´eaire[39].D´ependance de l’ouverture du cˆone de pr´ecession (caract´eris´ee par θ²) en fonction de la fr´equence de pompage f. (a) Pour une amplitude de pompage H_AC = 0.001H_cr, l’ouverture du cˆone de pr´ecession admet un maximum centr´e surf₀et la demi largeur `a mi-hauteur ∆f<sub>0</sub> nous renseigne sur l’´energie dissip´ee dans le syst`eme pendant le pompage. (b)Pour une amplitude de H_AC =H_cr, le pic admet une pente infinie sur un de ses flancs et la fr´equence r´esonante a diminu´ee. (c) Pour HAC = 2Hcr, la r´esonance est fortement non-lin´eaire. Le syst`eme a deux orbites stationnaires repr´esent´ees par deux cˆonesθ_a²etθ_b²d´efinissant une plage de r´esonance hyst´er´etique.

1.3.4 R´ esonance ferromagn´ etique

Comme nous l’avons vu dans le paragraphe pr´ ec´ edent, la variation d’´ energie est d´ efinie par l’angle relatif entre

M

et

H_AC

. ` A la r´ esonance, le champ AC et l’aimantation oscillent

`

a la mˆ eme fr´ equence et gardent un angle relatif constant. Ceci nous am` ene ` a dire qu’` a la r´ esonance, d’apr` es l’´ equation de variation d’´ energie (1.21), le transfert d’´ energie, ou pompage, est constant, seul le sens du pompage est d´ efini par cet angle.

La premi` ere mise en oeuvre d’un champ AC r´ esonant appliqu´ ee ` a un syst` eme magn´ etique concerne la r´ esonance ferromagn´ etique (FerroMagnetic Resonance – FMR). La FMR consiste en l’application d’un champ micro-onde de faible amplitude, afin d’entraˆıner une pr´ ecession de l’aimantation de faible amplitude autour de sa direction d’´ equilibre.

De mani` ere plus pr´ ecise nous allons d´ etailler deux cas de figure. Lorsque le champ AC est ` a la r´ esonance et lorsqu’il en est tr` es loin. Commen¸cons par le cas o` u le champ AC est hors r´ esonance, l’angle relatif entre l’aimantation et le champ AC varie au cours du temps.

Ainsi, la variation d’´ energie (1.21) se moyenne et tend vers une valeur faible. Le pompage

est minimum et l’aimantation n’est que sujette ` a la dissipation. Bilan, le cˆ one de pr´ ecession

s’ouvre peu ou pas. En revanche, dans le cas o` u le champ est ` a la r´ esonance, l’angle relatif

est constant

⁸

, le pompage est constant et le cˆ one de pr´ ecession s’ouvre largement.

Exp´ erimentalement, un banc de FMR peut se composer d’un guide d’ondes micro-onde plac´ e entre deux entrefers. On ins` ere l’´ echantillon magn´ etique dans le di´ electrique du guide d’ondes. On mesure la r´ eflexion ainsi que la transmission du champ micro-onde en fonction de la fr´ equence.

L’´ etude d´ etaill´ ee de la courbe d’absorption en fonction de la fr´ equence du champ AC donne une courbe de r´ esonance de Lorentz, caract´ eristique des syst` emes r´ esonants (

Fig. 1.7). Aux bornes du domaine fr´

equentiel (0,

∞) la courbe tend vers une valeur tr`

es faible, le syst` eme est hors-r´ esonance. En revanche, elle comporte un pic centr´ e sur

f0

, la fr´ equence propre du syst` eme. Ces courbes de r´ esonance nous permettent de d´ eterminer la fr´ equence propre

f₀

mais aussi la constante d’amortissement

α

grˆ ace ` a la position et ` a la largeur ` a mi-hauteur du pic de r´ esonance

f₀

=

γ₀H_DC,0

2π (1.38)

α

= ∆f

₀

f₀

(1.39)

1.3.5 R´ esonance non-lin´ eaire

La FMR est th´ eoriquement applicable dans le cas o` u l’ouverture du cˆ one de pr´ ecession est faible (quelques degr´ es). Or, dans le cas o` u le champ AC est suffisamment fort pour entraˆıner une pr´ ecession ` a grand angle, l’´ equation du mouvement (1.30) ne permet plus l’approximation de r´ eponse lin´ eaire utilis´ ee auparavant. Au fur et ` a mesure que l’amplitude du champ AC augmente, la fr´ equence propre se d´ ecale vers les basses fr´ equences. A ce stade, le r´ egime n’est d´ ej` a plus celui de la r´ eponse lin´ eaire mais reste dans un r´ egime sympathique, la courbe de r´ esonance ne montre pas de discontinuit´ es (

Fig. 1.7).

Il existe cependant une amplitude AC critique

A_cr

` a partir de laquelle la courbe de r´ esonance montre un repliement vers les basses fr´ equences, caract´ eristique des syst` emes dynamiques non-lin´ eaires

⁹

(

Fig. 1.7, Fig. 1.8a). Ce repliement sur une petite plage de

fr´ equences indique qu’il existe deux valeurs possibles d’absorption distinctes correspon- dant ` a deux cˆ ones de pr´ ecession stationnaires. Toutefois, lorsque la fr´ equence d’excitation sort de la plage de repliement, il n’y a plus qu’un seul cˆ one de pr´ ecession o` u le syst` eme vient se stabiliser. Selon que la fr´ equence est balay´ ee crescendo ou decrescendo, le cˆ one de pr´ ecession vient se stabiliser dans un des deux ´ etats stationnaires cr´ eant un comportement hyst´ er´ etique sur la largeur du repliement.

Ce comportement non-lin´ eaire a ´ et´ e observ´ e en premier par Weiss et al.

[40]

en 1957 mais pr´ edit par Suhl et al. quelques ann´ ees plus tˆ ot

[41]. Ils donn`

erent d’ailleurs la premi` ere

8. On admettra pour l’instant, qu’`a la r´esonance, l’angle relatif est toujours optimal au regard du pompage.

9. Suivant les syst`emes, ¸ca peut aussi aller vers les hautes fr´equences.

(a)

f (GHz) 0

5 10 15

30.68 30.74 30.80 30.85 30.91 30.96

P

25 dBm

0 dBm

(b)

3 4 5 6 7

P^1/3 (mW^1/3)

f (GHz)

30.71 30.74 30.72 30.80

(c)

f (GHz)

30.68 30.74 30.80 30.85 30.91

P

Figure 1.8 – Mesures de FMR en r´egime lin´eaire et non-lin´eaire [39]. Mesure du repliement dans la courbe d’absorption sur des ´echantillons microm´etriques de permalloy.(a)Mesure de l’absorption en fonction du champ DC. En vert, l’absorption en r´egime lin´eaire, le pic est sym´etrique. En bleu et rouge, l’absorption en r´egime non-lin´eaire, les discontinuit´es indiquent la largeur du repliement.(b)Plus l’amplitude de pompage augmente et plus le comportement non-lin´eaire est fort, le repliement s’´elargit.

(c)Exemple de mesure hyst´er´etique du repliement en fonction de la puissance de pompage. Le cycle ferm´e correspond `a la puissance critiquePcr= 17 dBm.

valeur analytique de champ critique

H_cr

pour laquelle le pic de r´ esonance se replie

¹⁰

. Le calcul effectu´ e pour un disque aplati, perpendiculaire au champ DC donne

H_cr²

= 16

√

3 9M

₀

2π

γ₀

3

∆f

₀³

(1.40)

10. En fait, ils donnent la valeur `a laquelle le syst`eme devient bistable, lorsque la pente du pic de Lorentz est infinie, juste avant le repliement.

(a)

P

z

P

y x

M H_DC

H_AC

(b)

Q

P

z

y x

M

H_DC

H_AC

Figure 1.9 – Repr´esentation des modes de pr´ecession non-lin´eaire[7].Macropin ayant une aniso- tropie uniaxiale et un champ DC selon son axe facile.(a)Repr´esentation de deux modesP, l’aimantation d´ecrit une orbite circulaire synchrone avec le champ. Les cˆones de pr´ecession orient´es dans le sens du champ sont faiblement ouverts. Ceux orient´es dans le sens oppos´e au champ sont largement ouverts. (b) Repr´esentation du modeQ. Dans le sens du champ, l’aimantation est stable et la precession suit un mode P. Dans le sens oppos´e au champ, l’ouverture du cˆone est large et l’aimantation se d´esynchronise. Cette nutation repr´esente le modeQ.

Beaucoup plus r´ ecemment, Bertotti et al.

[42]

se sont int´ eress´ es aux types d’orbites accessibles en FMR lin´ eaire et non-lin´ eaire, quelque soit l’ouverture du cˆ one de pr´ ecession.

Avant de d´ etailler leurs travaux, il est important de se placer dans les mˆ emes approxima- tions qu’eux afin de comprendre les implications.

Dans de nombreux cas, l’´ equation du mouvement (1.30) peut ˆ etre simplifi´ ee en utili- sant des crit` eres de sym´ etrie. Nous pouvons par exemple nous placer dans un r´ ef´ erentiel tournant, synchrone avec le champ AC

¹¹

. Pour utiliser le r´ ef´ erentiel tournant, nous devons utiliser plusieurs hypoth` eses qui sont

– l’aimantation poss` ede une anisotropie uniaxiale ;

– le champ DC est appliqu´ e dans la direction de l’axe facile ;

– le champ AC est polaris´ e circulairement et contenu dans le plan perpendiculaire ` a l’axe facile ;

– sa fr´ equence d’oscillation est fixe.

En prenant ces hypoth` eses en consid´ eration, nous pouvons prendre comme nouveau r´ ef´ erentiel le plan contenant l’axe facile et le vecteur de champ AC. Dans ce r´ ef´ erentiel, tous les champs (mˆ eme AC) sont fixes et les seuls degr´ es de libert´ e sont les angles

θ

et

ϕ.θ

est l’angle que l’aimantation fait avec l’axe facile et

ϕ

est l’angle que l’aimantation fait avec le plan tour- nant correspondant ` a la phase entre l’aimantation et le champ AC.

D´ ecomposons l’´ equation (1.30) selon les deux degr´ es de libert´ e

θ

et

ϕ, nous obtenons

11. La n´ecessit´e d’un r´ef´erentiel tournant se justifie dans le cas d’´etudes analytiques lorsque l’´equation du mouvement (1.30) devient complexe `a r´esoudre.

(en utilisant les notations de Bertotti et al.

[42]) (dθ

dt

=

κ_st

[b

⊥

sin

ϕ−

sin

θ] +α

sin

θ^dϕ_dt

α^dθ_dt

=

κ_st

[b

⊥

cos

θ

cos

ϕ−

(b

_z

+ cos

θ) sinθ]−

sin

θ^dϕ_dt

(1.41) avec

κ_st

=

^2K/γ0µ0M_s³

,

b_z

=

^{(HAC,z/Ms−ω/γ0)}/κst

,

b⊥

=

^HAC,⊥/Msκst

et =

^αω/κst

avec

α

la constante d’amortissement de Gilbert. En remarquant le fait que le syst` eme est ind´ ependant (explicitement) du temps, nous pouvons en tirer quelques conclusions.

Il existe au moins un mode de pr´ ecession stable, p´ eriodique aussi appel´ e mode propre et not´ e

P

(

Fig. 1.9a). L’existence d’un point fixe dans le r´

ef´ erentiel tournant implique un mode o` u l’aimantation pr´ ecesse de fa¸con rigide avec le champ AC. Le r´ esultat dans le r´ ef´ erentiel du laboratoire est une trajectoire p´ eriodique circulaire (orbite stationnaire).

Les auteurs soulignent le fait que le nombre de mode

P

est toujours pair et ´ egal ` a 2, 4, . . . d´ ependant des param` etres

b⊥

,

b_z

et

¹²

. Nous avions d´ ej` a remarqu´ e dans le cas d’une pr´ ecession forc´ ee (FMR lin´ eaire et non-lin´ eaire) l’existence d’orbites de pr´ ecession. Pour de faibles champs AC, nous n’avions qu’une seule orbite stationnaire alors que lorsque le champ d´ epasse la valeur critique, nous obtenons deux orbites stationnaires.

Dans le cas o` u l’angle

θ

est grand, il existe un mode de pr´ ecession quasi-p´ eriodique not´ e

Q

(

Fig. 1.9b). La fr´

equence propre de l’aimantation n’est plus exactement ´ egale ` a la fr´ equence du champ AC et l’aimantation doit compenser le retard qu’elle prend sur le r´ ef´ erentiel tournant par une oscillation selon

θ

et

ϕ. Il en r´

esulte une nutation dans le r´ ef´ erentiel du laboratoire, somme d’une trajectoire elliptique et d’une trajectoire circulaire.

Ce mode

Q

est un point tr` es important dont nous aurons l’occasion de reparler par la suite.

1.3.6 Retournement assist´ e

Nous avons vu dans la section sur le mod` ele de Stoner-Wohlfarth que le retournement est possible lorsque le champ DC est suffisamment fort pour faire passer le syst` eme de bistable ` a monostable c’est ` a dire lorsqu’un des puits disparaˆıt. Lorsque l’anisotropie

K

du mat´ eriau en question est extrˆ emement ´ elev´ ee, le champ DC ` a appliquer devient cons´ equent.

Ainsi est n´ ee l’id´ ee d’assister le retournement en transf´ erant de l’´ energie grˆ ace au champ AC.

Le sc´ enario typique du MAS est le suivant

– le champ AC accroche la fr´ equence naturelle de l’aimantation et entraˆıne la pr´ ecession de celle-ci ;

– au fur et ` a mesure de la pr´ ecession, l’aimantation gagne en ´ energie ;

– lorsque l’´ energie de l’aimantation atteint l’´ energie du col s´ eparant les deux puits stables, l’aimantation se retourne ;

– lorsque l’aimantation s’est retourn´ ee, le champ AC est coup´ e et l’aimantation relaxe vers sa nouvelle orientation d’´ equilibre.

12. Pour des raisons de sym´etrie nous obtenons 1,2,3, . . . modesP dans chaques puits de potentiel.

Le premier travail sur le MAS a ´ et´ e effectu´ e par Thirion et al.

[2]. Moyennant un champ

AC de quelques gigahertz, ils ont pu mettre en ´ evidence le principe du MAS sur une nano- particule de cobalt de quelques nanom` etres de diam` etre. Les auteurs ont ainsi pu dresser la cartographie exp´ erimentale des ´ etats finaux en fonction du champ DC, mettant en

´

evidence la forme et la position des r´ egions r´ esonantes dans l’astro¨ıde de Stoner-Wohlfarth pour diff´ erents param` etres que sont la fr´ equence et la dur´ ee du champ AC.

D` es lors, plusieurs travaux ont tent´ e de construire le portrait de phase des ´ etats finaux de l’aimantation en fonction des diff´ erents param` etres du MAS. De plus, ayant compris le potentiel technologique d’un nouveau m´ ecanisme de retournement, quelques-uns se sont pos´ es la question de l’efficacit´ e et de l’optimisation du MAS. Nous d´ etaillerons ici les principaux r´ esultats th´ eoriques et exp´ erimentaux.

Le MAS th´eorique

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

0.4 0.6 0.8

2 1

3

4 1

P → Q P → P Q → P théorie

H_AC

f

Figure 1.10 – Stabilit´e des modes de pr´ecession P et Q [7]. Diagramme d’´etat des modes de pr´ecession pour un syst`eme uniaxial sous champ polaris´e circulairement sans champ DC. (1) R´egion associ´ee `a un unique mode P pour M_z >0.(2) R´egion associ´ee `a deux modes P pour M_z >0 (cas du repliement vue en FMR non-lin´eaire).(3)ModeQpourM_z>0.(4)ModeP pourM_z<0.

Stabilit´e des modes de pr´ecession

Tout d’abord, plusieurs travaux analytiques se

sont int´ eress´ es ` a la nature des trajectoires qui emm` enent l’aimantation jusqu’au retour-

nement. En reprenant les travaux sur l’existence des modes de pr´ ecession

P

et

Q [42],

Lyutyy et al. se sont int´ eress´ es ` a la stabilit´ e de ces modes de pr´ ecession (

Fig. 1.10). En

donnant le diagramme de stabilit´ e des modes, ils mettent en avant la possibilit´ e de passer

d’un mode ` a l’autre en imposant la fr´ equence et l’amplitude du champ AC. Si le couple

(H

AC, f

) est mal choisi, l’aimantation doit se retrouver bloqu´ ee dans une orbite

P

ou

Q

de l’h´ emisph` ere sup´ erieur sans entraˆıner de retournement. Dans le cas o` u (H

_AC, f

) est bien

choisi, l’aimantation doit se retourner.