L'incertitude dans les problèmes de reconnaissance et de recalage -- Applications en imagerie médicale et biologie moléculaire

HAL Id: tel-00633175

https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-00633175

Submitted on 17 Oct 2011

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

moléculaire

Xavier Pennec

To cite this version:

Xavier Pennec. L’incertitude dans les problèmes de reconnaissance et de recalage – Applications en

imagerie médicale et biologie moléculaire. Informatique [cs]. Ecole Polytechnique X, 1996. Français.

�tel-00633175�

préparée à

L'INRIA Sophia-Antipolis

etprésentéeà

L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE

pour obtenir legradede

DOCTEUR de L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE

Spé ialité

Informatique

par

Xavier PENNEC

Sujetdelathèse:

L'INCERTITUDE DANS LES PROBLÈMES

DE RECONNAISSANCE ET DE RECALAGE

APPLICATION EN IMAGERIE MÉDICALE

ET BIOLOGIE MOLÉCULAIRE

Soutenue le 5dé embre 1996 devant un jury omposé de:

MM. Stéphane MALLAT Président

Mi hael BRADY Rapporteurs

Jean-Marie MORVAN

Ni holas AYACHE Dire teur

Philippe CINQUIN Examinateurs

Je tiens toutd'abord àadresser maplusvive gratitude auxmembres de monjury:

 à Ni holas Aya he, mon dire teur de thèse, qui m'a a ueilli dans son laboratoire dans des

onditions plusque favorables à une re her he fru tueuse et qui a su, pendant estrois ans,

onseiller etorienter habilement mestravauxvers leuraboutissement,

 à Jean-Marie Morvan et Mike Brady, qui ont eu la gentillesse d'a epter la lourde tâ he de

rapporteursauprès dujury; je lesremer ie tout parti ulièrement pour l'attention etle temps

qu'ilsy ont onsa rés, ainsique pour leurs en ouragements haleureux etla lu idité de leurs

onseils,

 àOlivierFaugeras,quim'ainitiéilyaquelquesannéesauxmystèresdelavisionparordinateur

et de la géométrie; je le remer ie également pour les dis ussions fru tueuses que nous avons

pu avoir etpour ses onseils judi ieux,

 àStéphaneMallat,quiagrâ ieusementa epterdeprésider ejury,etàPhilippeCinquinqui,

en mefaisant l'honneurde siégerà ejury,ontfait preuve de leurintérêt pour montravail.

Je ne peux pas passer sous silen e l'immense re onnaissan e que j'ai envers mes deux rele teurs

anonymes, qui ont ertainement plus inuen él'é riture de e manus ritque equ'ilspensent:

 Vi enteCerveraasu,malgrél'obsta ledelalangue,porterleregarda éréd'unmathémati ien

sur toute la partie théorique. Je le remer ie également pour les nombreuses dis ussions que

nousavonseuesetlapatien e ave laquelle ila supportémes élu ubrationsmathématiques.

 JérmeDe ler k, véritabledéte teurdezonesd'ombres, aeulapatien einniede orrigerles

fautes d'orthographe, de français, destyle etde m'é outer parler. Il a aussiimpitoyablement

souligné lespassages di ilesà omprendreetm'a grandement aidéà les larier.

J'exprime également toute ma sympathie et ma gratitude à mes ollègues et néanmoins amis qui

ont du supporter ette thèse,et en parti ulier à mes hefs de bureau su essifs: Hervé Delingette

etJean-Philippe Thirion,dont lebonsensetles onseils ont étéproverbiaux. Je voudrais joindreà

eux Grégoire Malandain etGérard Subsolpour laqualité du supportmatériel etintelle tuel qu'ils

m'ont prodigué pendant es années. Je remer ie également Olivier Dourthe pour ses idées et son

expérien ede méde in,ainsique tous eux quianiment régulièrement lavie duprojetEpidaure.

Je voudrais remer ier tous mes amis qui ont supporté mes divagations et su m'en ourager et me

soutenirdansmeségarementsmétaphysiques:SylvainLazard,MireilleBossy,BrunoVasselle,Lu ien

No era,GuyPerrin,JeanMar etSandrinePhelippeauetJohanMontagnat.Que euxquej'aioublié

me pardonnent.

Enn, je voudrais remer ier ma famille et en parti ulier mes parents qui m'ont donné l'édu ation

1 Introdu tion 3

1.1 Cadre général . . . 3

1.2 Motivations . . . 6

1.2.1 Au delàdespoints:pourquoiutiliser desprimitives géométriques? . . . 7

1.2.2 Gestion ne del'in ertitude . . . 7

1.2.3 Des méthodes génériques. . . 8

1.3 Organisation dumanus rit . . . 9

1.3.1 Théorie . . . 9

1.3.2 Appli ations. . . 10

1.4 Contributions . . . 11

I Primitives géométriques et in ertitude 15 2 Le problème de l'in ertitude 17 2.1 Erreursde mesure . . . 17 2.1.1 Provenan e etinuen e . . . 17 2.1.2 Erreur bornée . . . 18 2.1.3 Erreur probabiliste . . . 19 2.2 Probabilités dans

R

n

. . . 19 2.2.1 Espa es probabilisés . . . 20

2.2.2 Variablealéatoire (observable) . . . 22

2.2.3 Ve teur aléatoire . . . 26

2.2.4 Propagation del'in ertitude . . . 30

2.2.5 Modèlede bruit. . . 33

2.3 Quelquesproblèmes pour généraliser . . . 35

2.3.1 Utilitédesprimitivesdans lesalgorithmes géométriqueshaut niveau . . . 36

2.3.2 Le paradoxe deBertrand. . . 37

2.3.3 Espéran e d'unedroite 2D. . . 38

2.3.4 Le paradoxe deladroite lapluspro he . . . 39

2.3.5 Le paradoxe dubruit additif. . . 40

3 Outilsde base sur les primitives géométriques 43

3.1 Introdu tion . . . 43

3.1.1 Un peu d'histoire . . . 43

3.1.2 Organisation du hapitre . . . 44

3.2 Variétés diérentiellesetgroupesde Lie . . . 44

3.2.1 Primitivesgéométriques:variétés diérentielles . . . 45

3.2.2 Transformations etgroupes deLie . . . 47

3.2.3 Variétés homogènesetinvariants unaires . . . 49

3.2.4 Cartes etatlas . . . 51

3.3 Mesure invariante ou uniforme. . . 53

3.3.1 Probabilités géométriques lassiques . . . 53

3.3.2 Mesure invariantesur ungroupe de Lie(mesurede Haar) . . . 53

3.3.3 Exemple surles rotations etles transformation rigides . . . 55

3.3.4 Mesure invariantesur unevariétéhomogène . . . 55

3.4 Distan e invariante . . . 56

3.4.1 Utilitéd'une distan einvariante. . . 57

3.4.2 Distan e invariantesur unevariété . . . 58

3.4.3 Distan e invariantesur ungroupe de Lie . . . 58

3.4.4 Distan e induitesurlavariétépar elledu groupe . . . 58

3.4.5 Distan e invariantesur lestransformation rigides 3D . . . 59

3.4.6 Dis ussion surles distan esinvariantes . . . 60

3.5 Métrique riemannienne . . . 60

3.5.1 Espa e ve toriel tangent . . . 60

3.5.2 Métrique riemannienne. . . 61

3.5.3 Métrique riemannienneinvariante surungroupe de Lie onnexe . . . 67

3.5.4 Métrique riemannienneinvariante surune variété homogène onnexe . . . 71

3.6 Résumé . . . 75

4 Probabilités sur les primitives géométriques 77 4.1 Densité de probabilité d'uneprimitive aléatoire . . . 78

4.1.1 Primitive aléatoire . . . 78

4.1.2 Dénition de ladensitéde probabilité . . . 78

4.1.3 Densité dansune représentation. . . 79

4.1.4 Propagation d'unedensité . . . 79

4.1.5 Algèbredes densitésdesprimitivesettransformations aléatoires. . . 80

4.1.6 Espéran e d'unefon tion réelle (observable) . . . 82

4.1.7 Dis ussion . . . 83

4.2 Primitive ettransformation moyenne . . . 83

4.2.1 Espéran e ou moyenne de Fré het. . . 84

4.2.2 Existen eetuni ité:espéran e deKar her . . . 85

4.2.3 Autresdénitions possiblesdel'espéran e . . . 86

4.2.4 Propagation de lamoyenne . . . 87

4.3 Propriétés etobtention desprimitivesmoyennes . . . 89

4.3.1 Cara térisation d'une valeur moyenne . . . 89

4.3.2 Un algorithmepour obtenir lamoyenne . . . 92

4.4.2 Algèbredesprimitivesettransformations déterministeset aléatoires . . . 97

4.5 Plusieurs primitivesaléatoires . . . 99

4.6 Dis ussion surlesaspe tsprobabilistes . . . 100

5 Aspe ts statistiques 101 5.1 Modèles debruit . . . 101

5.1.1 Pro essushomogènes . . . 102

5.1.2 Modèles debruit isotropesou invariants . . . 103

5.1.3 Choix dumodèle debruit . . . 105

5.1.4 Relation ave lebruit additif . . . 105

5.2 Distribution

((

gaussienne

))

. . . 105

5.2.1 Information etloiuniforme . . . 106

5.2.2 Loigaussienne . . . 107

5.2.3 Exemple 1:le asve toriel . . . 110

5.2.4 Exemple 2:le er le . . . 110

5.2.5 Approximation pour

Σ

faible . . . 111

5.2.6 Dis ussion . . . 112

5.3 Distan e de Mahalanobis. . . 113

5.3.1 Dénition de ladistan esimple . . . 113

5.3.2 Propriétés . . . 114

5.3.3 Autre dénition. . . 114

5.3.4 Test du

χ

2

. . . 115

5.3.5 Distan e de Mahalanobisentreprimitivesaléatoires. . . 115

5.3.6 Dénition théorique . . . 115

5.3.7 Dénition pratique . . . 116

5.3.8 Équivalen e desdénitions dansle asve toriel . . . 116

5.3.9 Dis ussion surladistan ede Mahalanobis . . . 117

5.4 Con lusion. . . 118

6 Synthèse: implémentation pratique 119 6.1 Phase mathématique:géodésiqueset arteprin ipale . . . 119

6.1.1 Le groupe detransformation

G

. . . 119

6.1.2 La variété

M

. . . 121

6.2 Implémentation desopérations atomiques . . . 123

6.2.1 Opérations atomiquessurle groupe. . . 123

6.2.2 Opérations atomiquessurlavariété. . . 123

6.3 Opérations debase surles primitives probabilistes . . . 124

6.3.1 Primitivesprobabilistes . . . 124

6.3.2 Opérations géométriquessurles primitivesprobabilistes . . . 125

6.3.3 Opérations géométriquessurles transformationsprobabilistes . . . 126

6.3.4 Opérations statistiques surlesprimitives . . . 126

6.3.5 Opérations statistiques surlestransformations . . . 127

6.4 Quelquesalgorithmes moyen niveau. . . 127

6.4.1 Primitive moyenne et ovarian e . . . 127

II Re onnaissan e, Re alage et Appli ations 131 7 Primitives rigides en 3D 133 7.1 Ve torial rotations of

R

3

. . . 133 7.1.1 Denition . . . 134

7.1.2 Geometri parameters: axisandangle . . . 134

7.1.3 Dierential properties . . . 135

7.1.4 Exponential map . . . 137

7.1.5 Metri properties . . . 138

7.2 Quaternions . . . 139

7.2.1 Denitions . . . 139

7.2.2 Quaternions androtations . . . 142

7.2.3 Dierential properties ofrotationquaternions . . . 143

7.2.4 Exponential map . . . 145

7.2.5 Geodesi sfor rotationquaternions . . . 145

7.2.6 Uniformdensityfor rotations . . . 146

7.3 Ve teur rotation . . . 147

7.3.1 La arte prin ipale . . . 147

7.3.2 Relation entre leve teur rotationetles autres représentations . . . 148

7.3.3 Opérations atomiquessur leve teur rotation . . . 148

7.3.4 Composition dedeux ve teursrotation . . . 150

7.3.5 Ja obien de latranslationà gau he de l'identité . . . 152

7.3.6 Ja obien de latranslationà droite de l'identité . . . 153

7.3.7 Mesure invariante . . . 154

7.3.8 Véri ation des identitésremarquables . . . 154

7.4 Transformations rigidesen 3Detrepères . . . 154

7.4.1 Carteprin ipale . . . 155

7.4.2 Opérations atomiquessur lesmouvements . . . 157

7.4.3 Véri ation desidentitésremarquables . . . 158

7.4.4 Opérations atomiquessur lesrepères . . . 158

7.5 Repères semi-orientés etnon-orientés . . . 158

7.5.1 Trièdressemi-orientés . . . 159

7.5.2 Trièdresnon-orientés . . . 160

7.5.3 Repères semietnon-orientés . . . 162

7.6 Points . . . 162

7.6.1 Pointsde

R

3

. . . 163

7.7 Con lusion. . . 163

8 Re alage et fusion de primitives: estimation et pré ision 165 8.1 Re alage à partir d'appariementsde points. . . 166

8.1.1 Cal ul de latransformationrigide auxmoindres arrés . . . 166

8.1.2 Similitude ettransformation aneauxmoindres arrés. . . 169

8.1.3 Estimation del'in ertitude surlatransformation . . . 171

8.2 Re alage à partird'appariementsde primitives . . . 173

8.2.1 Moindres arréssimples . . . 173

8.3 Fusion de primitives oude transformations. . . 180

8.3.1 Moyenne:moindres arréssimples . . . 180

8.3.2 Fusion:minimisation de ladistan ede Mahalanobis . . . 181

8.3.3 Comparaison desalgorithmes . . . 182

8.4 Estimationdu modèle debruit surles primitives . . . 184

8.4.1 Estimation dubruit aprèsfusion . . . 184

8.4.2 Estimation dubruit aprèsre alage . . . 184

8.4.3 Dis ussion surl'estimation dubruit. . . 186

8.5 Un algorithmepratique etgénérique pour lere alage . . . 187

8.5.1 Rejetdesmesures aberrantes . . . 187

8.5.2 Un pro essusitératif d'estimation globale . . . 188

8.5.3 Variations sur etalgorithme etrobustesse. . . 190

8.6 Con lusions surlere alage etsapré ision . . . 190

9 Validation du re alage d'images médi ales 193 9.1 Validation desméthodesdere alage . . . 193

9.1.1 Prédi tion de l'in ertitude . . . 193

9.1.2 Validation del'in ertitude . . . 195

9.1.3 Une mesuresimpliée de l'in ertitude surlere alage . . . 196

9.2 Expérien es surdesdonnées synthétiques . . . 197

9.2.1 Validation de l'in ertitudesurlere alage . . . 198

9.2.2 Re alage ave une ovarian e exa te surlesprimitives . . . 198

9.2.3 Modèlede bruit anisotrope ousimplié . . . 200

9.2.4 Comparaison dela pré ision dure alagebasé surles pointset les repères. . . 202

9.3 Re alage mono-patient d'images IRM3Ddu erveau . . . 203

9.3.1 Pointsetrepères dansles imagesmédi ales3D . . . 203

9.3.2 Résultats . . . 207

9.3.3 Analyse dumodèle de bruitestimé surles repères. . . 207

9.3.4 Analyse del'in ertitude prédite surlatransformation . . . 208

9.3.5 Dis ussion . . . 209

9.4 Analyse dumouvement relatifdesosdu bassin . . . 209

9.4.1 Segmentation manuelle . . . 209

9.4.2 Re alages . . . 210

9.4.3 Dis ussion . . . 212

9.5 Con lusion. . . 212

10 Mise en orrespondan e, re onnaissan e et robustesse 215 10.1 Algorithmes de miseen orrespondan e . . . 216

10.1.1 Arbresd'interprétation. . . 217

10.1.2 Plus pro he voisinitéré(ICP) . . . 218

10.1.3 Transformée deHough . . . 218

10.1.4 Alignement ou prédi tion-véri ation . . . 219

10.1.5 Ha hage géométrique . . . 220

10.1.6 Indexation d'invariants géométrique . . . 220

10.1.7 Isomorphisme de graphes . . . 221

10.2.2 Inuen esurles algorithmes . . . 224

10.2.3 Faux positifs . . . 225

10.3 Étude de larobustesse:fauxpositifs . . . 226

10.3.1 Modélisationduproblème . . . 226

10.3.2 Séle tivité: probabilité d'unfauxappariement . . . 227

10.3.3 Nombre moyen d'hypothèses(Houghetalignement) . . . 228

10.3.4 Probabilité d'a eptation d'unevéri ation . . . 230

10.3.5 Dis ussion . . . 233

10.4 Quelquesproblèmes lés . . . 234

10.4.1 PPV dansune variété . . . 234

10.4.2 Clustering de primitives géométriquesprobabilistes . . . 235

10.4.3 Invariantsn-aires:espa e desformes . . . 236

10.4.4 Indexation in ertaine . . . 237

10.5 Dis ussion . . . 239

11 Problèmesde re onnaissan e en biologie molé ulaire 241 11.1 Introdu tion . . . 241

11.1.1 Ba kground . . . 241

11.1.2 An O(

n

2

) 3Dsubstru ture mat hing algorithm . . . 242

11.2 Protein stru ture modeling . . . 243

11.3 Mat hingproteins . . . 244

11.3.1 The geometri hashingalgorithm . . . 244

11.3.2 Clustering and extension . . . 246

11.3.3 Algorithmanalysis . . . 248

11.4 Experimentalresults . . . 248

11.4.1 Dete tion of astru tural motif: the Helix-Turn-Helix motif . . . 249

11.4.2 Dete tion of abinding site:the heme po ket . . . 250

11.4.3 A ura yof frames . . . 252

11.5 Con lusion. . . 253

12 Modélisation et re alage multiple 257 12.1 Introdu tion . . . 257

12.2 Rigid shapesin

R

m

. . . 259

12.2.1 Distan eson points,

k

-tuples and rigidshapes . . . 259

12.2.2 Mean shapes . . . 260

12.2.3 Chara terization of the optimalpositions . . . 261

12.2.4 A losed formsolution for thesimpleregistration problem . . . 262

12.2.5 An iterative s heme for themultipleregistration problem . . . 262

12.2.6 Extension to in omplete

k

-tuples . . . 263

12.3 Experiments . . . 264

12.3.1 Mean shape oftheheme bindingmotif . . . 264

III Con lusion 269 13 Con lusionet perspe tives 271 13.1 Con lusion. . . 271 13.1.1 Le téthéorique . . . 271 13.1.2 Le téappli atif . . . 272 13.1.3 Au entre:l'informatique . . . 273 13.2 Perspe tives . . . 274 13.2.1 Théorie . . . 274 13.2.2 Algorithmes . . . 275 13.2.3 Appli ations. . . 277 IV Appendi es 279 A Ja obiens des fon tions s alaires et ve torielles 281 A.1 Composition etmultipli ation de fon tions . . . 281

A.2 Fon tion de deuxvariables . . . 282

A.3 Ja obiens defon tions standard . . . 282

A.4 Formules etopérations parti ulièresà

R

3

. . . 283

B Dérivation d'uns alaire par une matri e 285 B.1 Dérivation par unematri e générique . . . 285

B.2 Dérivation par unematri e symétrique . . . 286

B.3 Quelquesdérivations de matri es . . . 287

B.3.1 Inversion . . . 287 B.3.2 Distan e de Mahalanobis . . . 288 B.3.3 Déterminant . . . 288 C Filtrage de Kalman 289 D Notations utilisées 291 Bibliographie 293 Index 302

Ilest souventutile entraitement d'imagedene onserverqu'un ensemblerestreint de ara téristiques lo aliséesquenousappelonsprimitivesgéométriques, ensées ara tériserlaplusgrandepartiede l'informa-tion.Cesprimitivessonthabituellementdes ontours,despointsde oinouleuréquivalentenimagerie3D: dessurfa es,deslignesde rêteoudespointsextrémaux,et .

Cependant, esprimitivessontsouventplus omplexesquedesimplespoints:onpeutainsiasso ierun ve teurnormalàunpointd'unesurfa e, e qui enfait unpoint orienté,ou onsidéreruntrièdre omposé de lanormale et des deux dire tions prin ipalesen plusd'un pointextrémal, e qui forme un repère. Ces primitivesgéométriquesformentune variétéqui n'estgénéralementpasunespa eve toriel,surlequelagit un groupedetransformation quimodéliselesdiérentes

((

prises devue possibles

))

de l'image.De plus,il est impératif de gérer l'in ertitude sur es primitivesle plus nement possible pour obtenir des résultats robustes en ontrler lapré ision.Le problème quel'on se pose i i est don de pouvoirtravaillerave es primitives ommeontravailled'habitudesurlespoints,enparti ulierpourpouvoirfairedelare onnaissan e, dure alageet desstatistiquespermettantd'inférerlapré isiondenosrésultats.

Lapremière partie de lathèse est onsa réeau développementd'outils mathématiques génériques sur lesprimitivesqui permettentderésoudre es problèmes.Nousprésentonstout d'abordquelquesparadoxes qui montrentque l'onne peut pas onsidérerimpunément es primitives ommede simplesve teurs,puis, sur desbases de géométrieriemannienne et en serestreignantauxvariétéshomogènesayantunemétrique invariante pour le groupe onsidéré, nous développonsune notionde moyenne ohérente,puis de matri e de ovarian e.D'autres opérationsstatistiques peuvent ensuite êtregénéralisées auxvariétés, telles que la distan edeMahalanobisetletestdu

χ

2

.Nousmontronsensuite omment ettethéoriepeutêtreappliquéeet implémentéeenma hinedansunestru tureorientéeobjetnedépendantpasdutypedeprimitive onsidéré. Danslase ondepartie delathèse, nousdévelopponsles al uls relatifsà eformalisme mathématique pour les rotations et les transformations rigides agissant sur des repères orientés, semi-orientés et non-orientés.Aprèsanalysedesalgorithmes lassiquessurlespoints,nousdévelopponsdesalgorithmesdere alage génériquesbaséssurlesprimitives,etnousproposonsenparti ulierdesméthodespourestimerl'in ertitude sur lere alageobtenu. Nous exposons parallèlementune méthode devalidation statistique pour onrmer la pré isionde etteanalyse, qui montre qu'unre alaged'une pré isionbien inférieureà lataille duvoxel peutêtreobtenuedansle asdesimagesmédi ales 3D.Undeuxièmevoletdel'analysestatistique on erne larobustessedesalgorithmesdere onnaissan e.

Le hamp appli atif que nous onsidérons va du re alage d'images médi ales tridimensionnelles à la re onnaissan e de sous-stru tures (3D) dans les protéines et souligne la validité de l'appro he générique

Introdu tion

 La s ien e naîtdu jour où des erreurs, des é he s, des surprises

désagréables, nous poussent à regarder le réel deplus près. 

René Thom,Modèlesmathématiques de lamorphogénèse

1.1 Cadre général

Lavisionhumaineest ertainement eluides inqsenssurlequell'esprithumainsereposeleplus

pouranalyser, omprendreetinterpréterl'espa equinousentoure.C'estparailleursleseulsensqui

puisse nous fournir une information globalesur la géométrie de notre environnement, e qui nous

permetdeprévoiretdon d'interagirave lemondeextérieur.Lavisionarti ielleestunebran hede

las ien einformatiquequis'estdonnépourbutdesimuler,si en'estde omprendre,lephénomène

delavision,pourpouvoirendoterlesordinateurs.Larobotique,quantàelle,utiliselamodélisation

fournie parlavision, ombinéeave desinformationsprovenant d'autres apteurs, pour sedépla er

et interagir ave lemonde réel.Au entre de es dis iplines, ily a lamodélisation géométrique du

monde, for ément simpli atri e maisqui permet d'extrairerapidement l'information pertinente.

Depuisplusieurs années déjà, de nouvelles te hniques d'a quisitions de données sont apparues,

produisant nonplusdesimagesen deuxdimensions ommela améra ou l'appareilphoto,mais

di-re tementen troisdimensions, ommeles annerX oul'imageriepar résonan emagnétique(IRM).

Ces images nemesurent pluslarée tan e de lasurfa e desobjets,maisl'atténuation d'un

rayon-nement en un point intérieur d'un objet ( 'est le as du s anner X), ou la densité de matière en

un point (IRM densité de proton). Permettant de voir

((

au travers

))

des objets quasiment sans interagir ave eux, es nouvelles te hniques ont trouvé une appli ation naturelle dans le domaine

médi al et sont devenuesdes extensions dusystème de per eptiondes méde ins etdes hirurgiens

pourlediagnosti etlathérapeutique.Cependant,lesimagestridimensionnelles ainsiobtenuessont

porteusesd'unequantité d'informationénormequ'ilesttrèsdi iled'appréhenderdanssatotalité.

Il faut don traiter es images, erner etsoulignerl'information pertinentepour leméde in(la

sur-fa ed'unorgane, le positionnement d'unetumeur), ou bienquantier les hangements (l'évolution

d'une tumeur, le mouvement relatif de deux os) pour omparer ave la

((

normalité

))

. Toutes es opérationssont rarementpossiblesdire tement surl'image et 'estlamodélisationgéométriquequi

vanouspermettrede on entrerl'informationintéressante,noyéedanslamassedevoxelsdel'image,

en unpetit nombre de ara téristiquessigni atives.

Lemêmetypedete hniques,résonan emagnétiquenu léaireourayonsX,peutêtreutiliséeàune

toute autreé helle, ellede l'atome,pour étudierettenterde visualiser lesstru turesmolé ulaires

d'un ristal, permettant, entre autres, de déterminer la position dans l'espa e des atomes d'une

protéine: 'est le domaine de la rystallographie et de la biologie molé ulaire stru turale. Pour

interpréter et omprendre la stru ture d'une protéine, il faut non seulement regarder le type des

atomes (s'agit-il d'un oxygène, d'un arbone ou d'un azote?) mais aussi leurs positions relatives

dansl'espa e:un grouped'atomes sera ainsi apabled'interagirave une autrestru ture dansune

ongurationdonnée,maisilenseraitbienin apablesil'unoul'autrede esatomesétaitdépla éde

quelquesangströms:unefoisen ore,lagéométrie estau ÷urduproblème,mêmesilesintera tions

sont d'uneautre nature.

Ces pro essusd'imagerie s'organisent en deuxgrandes étapes su essivesdans l'analyse

hiérar- hique as endante proposée par (Marr, 1982) (voir gure 1.1): on ee tue tout d'abord des

trai-tements de bas niveau sur les données (les images) pour obtenir une information sémantiquement

ri he maisnon stru turée, formée

((

d'atomes

))

que nousappellerons primitives géométriques . Ce i orrespond,danslepro essusdevisionhumaine,àla onstru tion deper epts. L'ensemble des

primitivesgéométriquesproduitesparlestraitementsbasniveauàpartird'unjeudedonnéesforme

une s ène .

L'important, pour pouvoir ensuiteorganiser esprimitives, est de noter qu'un objet n'est par

ara térisé parunensemblede primitivesdans des positionsxées,maispluttpar unensemblede

primitivesdansune ongurationxée 1

.Lapositiondenosprimitivesdépendeneetdelaposition

del'objetoriginaletdelapositiondusystèmed'a quisitiondansl'espa eambiant et,pourpouvoir

ompareroure onnaître desobjetsdansdespositionsou lorsd'a quisitionsdiérentes,ilnousfaut

modéliser lesdiérentes

((

prisesdevues

))

possibles, equisetraduitdansle adregéométriquepar le hoix d'ungroupe de transformation.

 En vision arti ielle, les primitives géométriques sont ainsi des ontours, des points de

jon tion, et ., symbolisant la proje tion dans l'image 2D des arêtes et des oins des objets

3D. Si l'on s'intéresse aux objets rigides plans vus par un système o ulaire assimilable à

un modèle sténopé, on pourra onsidérer es primitives omme des points du plan proje tif

soumis à l'a tion des homographies. On pourra se reporter à (Faugeras,1993) pour d'autres

exemplesde primitivesetd'autres typesdetransformations.

 En imagerie médi ale, les primitives peuvent être des points sur une surfa e, des lignes de

rête, des points extrémaux, généralisant en un ertain sens les points de oin, et . Les

systèmesd'a quisitionétant alibrés,onpourra onsidérerquelestransformationssontrigides

entre deux images du même patient, même si les images proviennent de deux modalités

diérentes. Par ontre, ilfaut passerà desgroupesde transformationplus généraux, telsque

les similitudes, les transformations anes ou des déformations en ore plus générales, si l'on

veut omparer le râne, le erveau oule foiededeux patients.

 Enbiologie molé ulaire,lesprimitivesgéométriquessontdéjà d'unniveau plusélevépuisqu'il

s'agitnonseulementdes oordonnéesdesatomesformantuneprotéine(ouuneautrestru ture

molé ulaire telle l'ARN), maisaussi desrelations entres es atomes (les liaisons). On pourra

OBJETS: modèles géométriques stru turés Re onnaissan e Mise en orrespondan e Re alage Modélisation Classi ation Interprétation Segmentation Cristallographie Extra tion de ontours Réé hantillonage Re onstru tion Filtrage

SCÈNE: Primitives géométriques non stru turées

haut niveau Traitements

Traitements

bas niveau

DONNÉES: Images 2D, 3D, spe tres ...

Imagerie Biologie stru turale Données de profondeur (2D1/2) Vision 2D Imagerie 3D

Fig. 1.1 Modèle de stru turation de l'information entraitement d'images (appro he hiérar hique

as endante ou

((

bottom-up

))

): on extrait dela masse de données brutes unensemble de primitives géométriques ensées ara tériser la majeure partie del'information présente. On traite ensuite et

ensemble de primitives par des algorithmes dits de haut niveau pour l'organiser, le omparer ave

onsidérer en première appro he que les protéines sont animées de mouvements rigides par

blo .

L'étape qui nous intéresse et dansle adre de laquelle sepla e le travail présenté dans e

ma-nus rit est le traitement haut niveau qui va permettre de stru turer l'information ontenue dans

l'ensemble desprimitivesgéométriquesextraites desdonnées (unes ène).Nousutilisonsi i le

qua-li atif géométriquepoursouligner queles traitementsbasniveaunousfournissent destypes

parti- uliersde primitive (pointsorientés, droites,repères,pointsproje tifs...)impli itement soumisàun

groupe de transformation. La détermination de e groupe est sans doute l'une des étapes les plus

importantes danslamodélisationd'unproblème géométrique.

Onpeutdistinguerplusieurs grandes lassesdetraitementsdehaut niveau:lare onnaissan e

d'objets (la dénomination anglaise

((

feature-based re ognition

))

est plus pré ise), se propose de re onnaître,àpartird'unebibliothèqued'objets, euxquisontprésentsdansunes ène.Cepro essus

se dé ompose souvent en deux étapes ouplées:la mise en orrespondan e (

((

mat hing

))

)vise à apparier les primitives d'un modèle ave elles de la s ène (en supposant éventuellement une

transformation),etlere alage(

((

registration

))

) al ulelameilleuretransformationentrelemodèle etlas ène àpartir de es appariements.

Onpeut biensûr omparerdeux s ènessans avoirde modèlea priori, ou omparer unnombre

quel onque de s ènespour enextraireles parties ommunes:on parlealors de re alage multiple

et demiseen orrespondan e multiple.C'estuneétape essentielledanslepro essusde

modé-lisationdesobjets,puisqu'ilnouspermetdene onserverquelesprimitivesquisontreprésentatives

d'unobjet,maisausside ara tériseretderéduirel'in ertitudesurlamesurede esprimitivesgrâ e

à lafusiondeplusieurs mesures (après re alage).

Notons que les dénominations re alage et mise en orrespondan e sont souvent onsidérées

ommesynonymes, omprenanttouteslesdeuxdesphasesd'appariement desprimitivesetde al ul

delatransformation.Toutefois, re alageinsiste pluttsurle al uldelatransformation,tandisque

la mise en orrespondan e met en avant la re her he des appariements. Dans e manus rit, nous

utiliserons en général estermes dansleursens restreint.

1.2 Motivations

Un grand nombre d'algorithmesont été développés pour omparer deux s ènesou re onnaître

desobjets,le plussouvent rigides ou anes,dont onpossède unmodèle géométriquea prioribasé

sur desdesprimitives géométriquessimples:les points. On peut iter par exemple les algorithmes

de ha hage géométrique (Lamdan et Wolfson, 1988; Rigoutsos et Hummel, 1993), du plus pro he

voisinitératif(BesletM Kay,1992;Zhang,1994)oudeprédi tion-véri ation(Aya heetFaugeras,

1986; Huttenlo heretUllman, 1987).

Ons'aperçoit ependant quesi esalgorithmesfon tionnent viteetbiendansle asdedonnées

bien individualisées et peu bruitées, il n'en va pasde même quand il s'agit de retrouver de petits

objets dans une s ène omplexe très bruitée. La omplexité maximale des algorithmes est alors

atteinteetle problèmede lagestionde l'in ertitudeseposede manière ru iale.

Parailleurs,lesmodèlesgéométriquesdumonderéelamènentsouventà onsidérerdesprimitives

plus omplexes, parexemple desdroites(Grimson, 1990),desplans(Faugeras,1993),despointsou

des plans orientés (Feldmar etal., 1997), desrepères (Penne etAya he, 1998; Penne et Thirion,

Nous pensons que es problèmes en vision par ordinateur et plus généralement en traitement

d'image ou dedonnéegéométrique, peuvent trouverune solutiona eptable en prenant en ompte

demanièreintrinsèqueàlafoislanaturedevariétédiérentielledel'ensembledesprimitivesd'un

type donnéetlefaitquelesmesuresde esprimitivessoient in ertaines.Ce typed'appro he

per-mettraitdeplusde on evoirdesalgorithmes génériques,évitantainsilaprofusiondeméthodes

ad ho spé iques à haque typede primitive.

1.2.1 Au delà des points: pourquoi utiliser des primitives géométriques?

Lamodélisationbasniveau nousamène souvent à onsidérer desprimitivesplus omplexesque

les points: nousverrons ainsià la se tion(2.3.1) qu'un a ide aminé dansune protéine semodélise

en première appro he par un repère tridimensionnel (un point et un trièdre orthonormé dire t),

etque les points extrémauxetplus généralement les points surune surfa e sont munis de deux

dire tionsprin ipalesetd'unenormalepourformer desrepèressemi-orientés(un ve teurnormalet

deux dire tions orthogonales).

L'utilisation des primitives les plus informatives possibles nous permet de réduire

onsidéra-blement la omplexité des algorithmes de re onnaissan e et de re alage: on passe par exemple

d'unalgorithmed'une omplexité de

O(n

3

₎

à

O(n

2

₎

dansle hapitre (11)pourlare onnaissan ede

sous-stru tures dans les protéines en utilisant des repères au lieu de points. Dans (Feldmar et al.,

1997), l'introdu tion des normales en plusdespointsautorise lare her he d'appariementsinitiaux

ave les bitangentes, equi réduit onsidérablement la omplexité del'étaped'appariement.

Ledeuxième eet estuneaugmentation delarobustesse desalgorithmesgrâ e àlaséle tivité

a ruedesprimitives:onpeutainsiéliminer80%desappariementsaberrantsenutilisantdestrièdres

très in ertains en plus des points ( hapitre 10). Un autre eet qui nous a motivé, mais qui n'est

nalement pasleplus onvain ant,estl'augmentationdelapré isiondelatransformationdansun

re alage:onobtient par exempleungainde 10à20%dansle asdesimages médi alesau hapitre

9.

Enn, les transformations mises en jeu dans es problèmes géométriques ont une nature

in-trinsèque de groupe de Lie et sont don des variétés diérentielles. Sil'on veut pouvoir estimer

l'in ertitude sur le résultat d'un re alage, il faut don en parti ulier pouvoir travailler ave es

primitivesgéométriques.

1.2.2 Gestion ne de l'in ertitude

La modélisation de bas niveau en terme de primitives est intrinsèquement simpli atri e et

est sujette à de multiples erreurs: in ertitude sur la nature et la position des primitives, défaut

d'observation(o lusion)ou extra tiondeprimitivesparasites sontles prin ipalessour esd'erreur.

La présen e de es in ertitudes a des eet très importants sur des algorithmes de haut

ni-veau omme lamise en orrespondan e: onsidérer que desprimitives (ou des invariants) ne sont

identiquesquesiellessontégales(àladis rétisationprès)peutameneràrejeterbeau oup

d'apparie-ments orre ts,rendant parlàmême hasardeusevoire improbable ladéte tiond'unobjetpourtant

présent dansl'image.On appelle ela unfaux négatif.

D'unautre té,dèsquel'onautoriseune ertaineerreursurlesmesures(neserait- equeparla

dis rétisationdesimagesou elledesnombresréels), desprimitivesquin'ontrienàvoirave l'objet

re her hé peuvent être appariées etainsi

((

onspirer

))

pour amener à lare onnaissan ed'un objet qui n'existepas: 'estunfaux positif .Ces re onnaissan es fantmessonten général identiables

oûteuses en temps de al ul et peuvent induire une explosion de la omplexité de l'algorithme

(Lamdan etWolfson, 1989;GrimsonetHuttenlo her, 1990a; Lamdanet Wolfson,1991).

Il est don important de gérer l'erreur pour éviter les faux négatifs, mais de le faire au plus

juste pour limiter la probabilité ou le nombre de faux positifs. De même, dans un problème de

re alage, il est faux(etéventuellement dangereuxdansle asde l'imagerie médi al) de dire que la

transformation estimée est exa te, maisil est en général visuellement évident quel'in ertitude est

inférieure (enterme d'é art-type)à lataille de l'image.

1.2.3 Des méthodes génériques

Il existe souvent une solution qui semble simple pour traiter un problème parti ulier ave un

typeparti ulierdeprimitive.Malheureusement, ettesolutionestrarementappli ablepourunautre

typedeprimitiveouunautreproblème.Nousvoudrionsobtenirunensembledemodulesgénériques

permettant de traiter la plupart des problèmes (re alage, mise en orrespondan e, fusion, et .) et

reposant surun minimumde modulesparti uliers à haquetype de primitive.

Pour ela,nousavonsobservéquelaplupartdesalgorithmeshautniveausurlespointspouvaient

s'exprimerà partirdesquelquesopérations suivantes:

 omposition etinversiondes transformations,

 a tion d'unetransformation surune primitive,

 omparaison de primitives:distan e,

 estimation d'uneprimitive àpartirde plusieurs observation: moyenne,

 estimation d'unetransformation àpartir d'appariements de primitives:re alage,

 test de ompatibilité (peut-on apparier deux primitives en supposant une ertaine

transfor-mation):zonede ompatibilité,

 al ul et omparaison des invariants binaires, ternaires, et . (invariants obtenus pour deux,

troisprimitives, et .).

Pourpouvoirgérerl'in ertitude,ilfautdepluspouvoirpropagerl'informationd'in ertitudeasso iée

auxmesures dansles opérations i-dessus, etéventuellement rajouter lesnotions de:

 modèle debruits(en rempla ement du bruitadditif):dénitionetestimation,

 omparaison statistique desprimitives:équivalent de ladistan ede Mahalanobis,

 test de vraisemblan e: équivalent dutest du

χ

2

.

L'idéeestdon d'exprimeraumaximum esopérations ommedesmodulesgénériquesbaséssur

lenombreminimumd'opérations spé iques.La on eptiond'unnouvelalgorithmede hautniveau

pour unnouveau problème ne né essiteraitalors qu'une étapede modélisationoù l'on dénirait le

type de primitives en ayant un nombre minimal d'opérations à implémenter, et une organisation

1.3 Organisation du manus rit

 Pourexpliquer un brin de paille, il faut démonter toutun univers. 

RémydeGourmont

Le manus ritest divisé endeux grandes parties: lapremière partie s'atta he au té théorique

de l'in ertitude sur les variétés diérentielles et les groupes de Lie et la se onde est axée sur les

appli ations de ette théorie dansles problèmes de re alageetde re onnaissan e.

Lethèmemajeurdelapartiethéoriqueest: ommentfairedesprobabilitésetdesstatistiquessur

une variété diérentielle omme on le fait dans

R

n

? L'obje tif est double:il s'agit non seulement

d'étudier ette question d'un point de vue mathématique, mais aussi de développer les résultats

né essaires à l'appli ation de ette théorie pour onstruire des algorithmes de haut niveau dans la

se onde partie.Selonlepoint devue, théoriqueou appli atif,onpourraainsi onsidérer le hapitre

6 ommeune synthèsede la partie théorique,ou au ontraire ommele plande travail guidant les

développements de ettepartie.

Ce hapitreesttoutàfait entraldanslemanus ritpuisqu'il onstituela harnièreentrela

théo-riemathématiqueetlesappli ationsinformatiques.Ilrépondégalementàlamotivation

((

méthodes génériques

))

de lase tionpré édente arnousyprésentonslesrésultatsdansunestru ture orientée objet générique, ne dépendant, pour haque type de primitive, que d'une phase mathématique et

de l'implémentation de quelquesopérationsatomiques.

Le hapitre 7, ommençant la se onde partie, s'atta he d'ailleurs à dériver et implémenter es

opérationsatomiquespourlesprimitivestridimensionnellesquenousutilisonsdanslesappli ations.

Les hapitres on ernant les algorithmes haut niveau (re onnaissan e et re alage) sont toutefois

onçus de manière générique et simplement appliqués à l'imagerie médi ale età la biologie

molé- ulaire. Les questions de pré ision étant parti ulièrement importantes (voire vitales) en imagerie

médi ale,nousavonsplusinsistésurlere alagequesurlamiseen orrespondan e,endéveloppant,

entre autres, des méthodes de validation de nos estimations d'in ertitude ( hap. 9). Cette partie

appli ativemontrequelathéoriequenousavonsdéveloppéeestnonseulementimplémentable ave

destemps de al uls a eptables,maisproduitaussidesrésultatsprenanten ompte leserreursau

plus juste,répondant ainsià l'obje tif de

((

gestionne del'in ertitude

))

de lase tionpré édente. 1.3.1 Théorie

Nous her hons don dansla première partie à développer les outils mathématiquespour

pou-voir gérer l'in ertitude sur les primitives géométriques. Pour ela, Nous analysons rapidement au

hapitre 2 l'origine des erreurs de mesures et les façons lassiques de les quantier dans

R

n

: il

apparaît quelemeilleur ompromisestde onsidérer lamesured'unve teur(oud'unpoint) omme

laréalisationd'unve teuraléatoiredontonne onservequelamoyenneetlamatri ede ovarian e.

Nous rappelons don les bases de la théorie des probabilités et en parti ulier omment on peut

généraliserlanotion devariable aléatoireà elledeve teur aléatoire, ainsiquelapropagation

l'in ertitude sur es ve teurs aléatoires. Le but de et exposé est bien sûr de pouvoir généraliser

toutes es opérations à desprimitives aléatoires. Malheureusement, nousmontrons que e n'est

pas si simple et que nombre de paradoxes peuvent apparaître: le paradoxe de Bertrand est sans

doute le plus onnu et montre l'an ienneté du problème puisqu'il date de 1907. Nous en avons

développé d'autres pour mettre en éviden e les problèmes posés par le al ul de la moyenne et la

points, 'estpar equel'onpeutasso ierauxpointsunestru tured'espa eve toriel, hosequel'on

ne peutpas faire de manière évidente pour desprimitives géométriquesplus générales. Nous nous

fo alisonsdon au hapitre 3surlastru tureintrinsèquedel'ensembledesprimitives: ellede

va-riété diérentielle.L'ensembledestransformationsimpli itement asso iéesauxprimitivesrentre

également dans e adrepour onstituer ungroupe de Lie. Nous nous on entrons plus

parti u-lièrementdanslasuitesurlapartiedesprimitivesae téeparl'a tiondugroupe: 'estlanotionde

variétéhomogène. En suivant l'exemple duparadoxe de Bertrand, nousnous her hons alors à

dé-terminerlamesureinvariante qui onstituelabasedelathéoriedesprobabilitésgéométriques.

Cettethéorieesttoutefoisinsusante puisqu'ellene on ernequedesdistributions uniformes.Pour

pouvoir aller plus loin, nous avons besoin d'une distan e invariante sur notre variété, e qui est

l'objet de la se tion (3.4). Toutefois, les résultats ainsi obtenus sont toujours insusants et nous

devonsfaire intervenir des notions de géométrie diérentielle etde géométrie riemannienne

pour pouvoir ara tériser les onditions d'existen e d'une distan e invariante. Cela nous permet

également de onstruirelareprésentationexponentielledelavariété,qui onstituelareprésentation

((

lapluslinéaire possible

))

de lavariétéetqui s'avère posséderdes propriétésremarquables.

Nous pouvons alors développer au hapitre 4 une théorie des probabilités sur les primitives

géométriques, en dénissant tout d'abord ladensité de probabilité d'uneprimitive aléatoire,

puisave Fré hetetKar herlamanière dedénirlamoyenne d'unetelleprimitive.Cettemoyenne

étant dénie au moyen d'une minimisation, il nous faut développer un algorithme pour pouvoir

la al uler ee tivement. A partir de la primitive moyenne, il n'est pas très dur de dénir une

matri e de ovarian e grâ eau développement delavariétédansleplantangent (la arte

expo-nentielle).Ave es

((

momentsdupremieretse ondordre

))

,nouspouvonstraiterl'essentielde nos problèmes de probabilitésurles primitivesgéométriques.

Dans le hapitre 5, les problèmes statistiques sont plus ouverts: si nous pouvons dénir

pro-prement les modèles de bruit isotropes et homogènes, il est lair que la dénition de la

distribution gaussiennesurune variétéquenousproposonsn'est paslaseule possible,maiselle

a l'avantagedepouvoirêtre appro hée parune gaussienne lassiquepour une ovarian e faible. De

même, le hoixde ladénition dela distan e de Mahalanobisest plusguidé par des

onsidéra-tions appli atives quethéoriques.

Nousrésumonsdansle hapitre 6 lesprin ipaux résultatsobtenus dans ette partie,maisvus

ette fois- i du téappli atif:la phase mathématiquede lase tion permet de savoirs'il existe

une distan e invariante pour un type de primitives soumis à l'a tion d'un groupe de

transforma-tion donné, puis de déterminer les géodésiques et don la arte prin ipale. Il ne reste alors qu'à

implémenterlesopérationsatomiquespourque etypede primitivesformeunobjetdela lasse

((

primitives probabilistes

))

.Lesopérations debase sont alors génériquesetpermettent déjà de onstruire quelquesbriques d'algorithmeshaut niveau.

1.3.2 Appli ations

Pour pouvoir appliquer la théorie de la première partie, nous ommençons par étudier au

hapitre 7 les rotation 3D sous la forme matri ielle, puis en utilisant les quaternions. Cette

étude dépasse la adrede laméthodologie présentée dansla synthèse de la partie théorique, mais

autorise ainsi une appro he plus appliquée des te hniques générales sur la variétés diérentielles

pour-auxrepères.Nousenvisageronsalors le asdesrepères semi et non-orientés.

Dansle hapitre 8,nousnousintéressonsàdeuxproblèmesd'estimation:lere alageetlafusion

de primitives. Nous analysons tout d'abord les te hniques de re alage lassiques aux moindres

arrésàpartird'appariementsdepoints,puisnousdévelopponstroiste hniquesdere alageàpartir

d'appariementsdeprimitivesquel onques,te hniquesquis'adaptentégalementtrèsbienàlafusion

deprimitives.Ladi ultédanstoutes esméthodesestd'évaluerl'in ertitudesurlatransformation

oulaprimitiveestimée.Enn, nousabordons leproblèmede l'estimationdumodèlede bruitsur

les primitives, e qui permet de onstruire un algorithme de re alage robuste estimant tous les

paramètres.

Lesquestions de pré isionsont parti ulièrement importantes, voire vitales, en imagerie

médi- ale:nousnousposonsdanslapremièrepartiedu hapitre 9laquestiondelavalidationdenotre

estimation del'in ertitude surlere alage. Nousdévelopponspour elauneméthodestatistiquequi

fon tionne surdesdonnées synthétiques, maisaussisurdesdonnées réelles.Lesexpérien es surles

donnés synthétiques montrent une validation parfaite dans le as d'un bruit onnu sur les

primi-tivesetpermettent d'aner lesdomaines devalidité dansle asde l'estimationde e bruitlors du

re alage. Nousprésentons uneexpérien edere alage mono-patient surdesdonnéesIRMquivalide

pleinement notre estimation de l'erreur sur lere alage etprédit un é art-type de 0.1 mm, soit un

dixièmedevoxel.L'in ertitudesurlere alagepeutaussiserviràdé ider statistiquement s'ilyaun

mouvement relatifentredeuxstru tures:nousprésentons une telleexpérien e surlebassin.

Nousabordonsdansle hapitre 10lesprin ipauxalgorithmesdere onnaissan edemiseen

orrespondan e habituellement utilisés surles points, etnousles formalisons en termede

primi-tivesgéométriques.Nousnousatta honsensuiteauxmodi ations né essairesdans esalgorithmes

pour que l'erreur soit prise en ompte et que l'on soit sur de re onnaître un objet s'ilest présent.

La ontrepartie de ette orre tion desalgorithmes estl'apparition de faux positifs, 'est-à-dire

de re onnaissan es fantmes, et nousen analysons laprobabilité d'apparition. Cetteanalyse nous

permet en parti ulier de mesurer la séle tivité des primitives utilisées et de valider la mise en

orrespondan e des images médi ales pré édemment utilisées. Enn, pour nir, nous identions

quatrepoint léspourl'utilisation pratiquedesalgorithmespré itésave desprimitivesgénériques:

ils'agitdu al uldesinvariants, du lusteringetdetrouver dessolutionse a eset orre tespour

l'indexation etle pluspro he voisin.

Le hapitre 11 met en oeuvre l'une de es te hniques en biologie molé ulaire pour omparer

desstru tures tridimensionnelles de protéines eten extrairela partie ommune. Étant basé surles

repèresaulieudespoints, etalgorithmeréduit onsidérablement la omplexitéparrapportàl'état

de l'art: de

O(n

3

₎

à

O(n

2

₎

. Les résultatsexpérimentaux onrment lavalidité de l'appro he et le

gainen robustessegrâ e àl'utilisation desrepères.

Enn, nousnous intéressons dans le hapitre12 aux problèmes de modélisation et en

par-ti ulier au re alage multiple, qui viseà mettre dansle même repère plusieurs observations d'un

même objet. Nous analysons plusieurs algorithmes sur les points et nous présentons desexemples

d'appli ation en modélisationà lafoispourla biologiemolé ulaire etpour l'imagerie médi ale.

1.4 Contributions

Misesàpartlessynthèsessurlesprobabilitésdans

R

n

( hap.2)etsurlagéométrieriemannienne

analy-quel onques. Dans ledétail, les ontributions majeuressontles suivantes:

•

Chapitre 3: lathéorie mathématique des mesures invariantes est bien établie dans(Santalo, 1976). Nous en présentons à la se tion (3.3) une formalisation plus a essible en terme de

représentation. Si la métrique invariante sur un groupe de Lie est une notion onnue en

géométrie riemannienne,laformalisationde ladistan einvarianteparune

((

norme

))

(se tion 3.4) est nouvelle, et nous n'avons trouvé au un travail sur les onditions d'existen e d'une

métrique invariante sur une variété(se tion 3.5). L'utilisation du lieu de oupure pour réer

la arte prin ipale semble également originale. Une partie des travaux de e hapitre a fait

l'objetde publi ationsdans(Penne et Aya he, 1996a;Penne etAya he,1996b).

•

Chapitre 4: la densité de probabilité d'une primitive aléatoire est évoquée dans plusieurs travauxmathématiques,maisnousavonsentièrementdéveloppélespropriétésdepropagation

présentées dans la se tion (4.1). L'espéran e au sens de Fré het est très peu onnue, nous

n'avons trouvé sa ara térisation omme un bary entre exponentiel que dans (Emery et

Mokobodzki, 1991). L'algorithme que nous présentons pour son obtention à la se tion (4.3)

est original, ainsi que la dénition de la matri e de ovarian e et les résultats asso iés de la

se tion(4.4).

•

Chapitre 5: les aspe t statistiques sont des ontributions inédites qui posent d'ailleurs plus de questions qu'elle n'en résolvent, en parti ulier pour les dénitions d'une distribution

gaussienne etdela distan ede Mahalanobis.

•

Chapitre 6: l'idée d'unestru ture

((

orientéeobjet

))

générique pour gérer les primitives géo-métriques n'est pasneuve,mais ellen'était pasvraiment réalisablejusqu'àprésent.

•

Chapitre 7: si les deux premières se tion, on ernant les matri es de rotation et les qua-ternions, ne réalisent qu'une synthèse, la se tion (7.3) sur le ve teur rotation omporte des

résultats nouveaux, et en parti ulier la dérivation de la omposition. Nous nous sommes de

plus atta hés àrésoudree a ement toutes les instabilitésnumériques. Lesrésultats

présen-tésàlase tion(7.5)surlesrepèressemietnon-orientéssontégalemententièrementnouveaux.

•

Chapitre 8: les algorithmes de re alage à partir d'appariements de primitives (se tion 8.2) sontoriginaux,ainsiquelesalgorithmesdefusiondeprimitives(8.3).Laméthodedere alage

robuste estimant de plusl'in ertitude surles données etlatransformation estégalement une

ontribution.

•

Chapitre 9: la méthode statistique pour valider l'estimation de l'in ertitude sur le re alage est, à notre onnaissan e, nouvelle et unique. Ce hapitre, ave quelques éléments des

pré édents a été publié dans (Penne et Thirion, 1997; Penne et Thirion, 1995). La se tion

on ernantlesmouvementsrelatifsdesdubassindanslesimagesIRMestégalementnovatri e.

•

Chapitre 10: les résultats de statistiques pré édemment développés nous permettent de formaliser orre tement la gestion de l'erreur dans les algorithmes de re onnaissan e et

la notion de séle tivité des primitives. L'analyse du nombre moyen de faux positifs par

intégration surles transformationsadmissiblesest nouvelle.

•

Chapitre 11: l'utilisation d'algorithmes de vision pour la biologie molé ulaire est déjà présente dans (Fis her et al., 1992a; Fis her et al., 1992b), mais l'utilisation des repères au

lieu despointspermetderéduire la omplexitéde

O(n

3

₎

à

O(n

2

₎

, equi estune ontribution

•

Chapitre 12: nous proposons une nouvelle te hnique pour re aler simultanément plusieurs objetsformés depointsendimension quel onque et al uler l'objetmoyen sansfavoriserl'un

des objets eten présen ede multiples o lusions. L'in lusion de la probabilité d'observation

d'un point dans le modèle ainsi obtenu est également originale. Publi ation dans (Penne ,

Le problème de l'in ertitude

 Il n'est pas ertain que toutsoit ertain. 

B.Pas al, Pensées, 1670

Le but de e hapitre estde faire lepoint surles les te hniques usuelles utilisées pour gérer les

erreursdemesures(i.e.l'in ertitude)surlespointsetlesve teurs,etdedonnerlesbasesné essaires

en probabilité pour pouvoir généraliser es méthodes à d'autres types d'objets géométriques haut

niveau, omme des droites, des points ave un ve teur unitaire, et ., objets que nous appellerons

primitivesgéométriques.

Un rapide état de l'art feraapparaître l'importan e etla prédominan e de la gestion

probabi-liste de l'erreur, etnous examinerons don e qu'est unespa e probabilisé, e qu'est une variables

aléatoire, et omment on peut la manipuler. La généralisation de la notion de variable aléatoire

(dans

R

) à elle de ve teur aléatoire (dans

R

n

) est intéressante et nous donne un exemple de la

mar he à suivre pour étendre es notions et les méthodes asso iéesà nos primitives géométriques.

Cependant, nousmontrerons dansladernièrese tionquelagénéralisation hâtive de este hniques

fournit nombre de paradoxes, et qu'il faut être parti ulièrement pré autionneux dans ette tâ he:

nousnousyemploierons dansles hapitres suivants.

2.1 Erreurs de mesure

L'imprévisible est dans la nature des hoses 

Men ius,Philosophe Confu éen,IV e

-III e

siè le av.J.C.

2.1.1 Provenan e et inuen e

Les mesures que l'on peut ee tuer en vision par ordinateur sur une image ne sont jamais

parfaites et, de l'objet réel aux primitives que l'on mesure, on peut distinguer plusieurs sour es

d'erreur dansla haînede traitement:

•

Lesdéformationsintroduitesparlesystèmedevision(que esoitune améra ommeenvision lassique,ou uns anner, ouen ore une IRM),quine sont en général paslinéaires.

•

La dis rétisation del'image, àlafois en positionnement (pixels)eten niveaux degris.

•

Les pré-traitements ee tués sur l'image avant la re onnaissan e: ltrages, extra tion de

ontours... et l'extra tion des primitives proprement dite. En parti ulier, il existe souvent

une

((

é helle

))

privilégiéepourobserveretmesurerlesprimitives,etletraitementdelamême image à deux é helles diérentes fournira un positionnement diérent des primitives

obser-vables à es deux é helles, mais aussi des primitives observables à l'une des deux é helles

seulement.

•

La variabilité du modèle et l'approximation de la transformation: 'est par exemple le as en re onnaissan e 2D d'objets 3D si l'on utilise une similitude pour appro her une

proje -tionorthogonale, oulorsqu'on onsidèredestransformationseu lidiennespour desobjetstrès

légèrement déformables (imageriemédi ale).

Ceserreursvontinduiredes hangementsimportantsdanslesalgorithmesdevisionhautniveau.

En eet, diérentes mesures d'unemême primitive positionnée exa tement au même endroit dans

plusieurs images seront diérentes. Dans un problème de re onnaissan e, onsidérer que deux

pri-mitivesou deuxinvariantssont identiques (à ladis rétisationprès) peutdon amener àdis réditer

beau oupd'appariements,rendantparlàmêmehasardeusevoireimprobableladéte tiond'unobjet

pourtant présent dansl'image.Onappelle elaun faux négatif.

D'un autre té, dès que l'on autorise une ertaine erreur sur les mesures (ne serait- e que la

dis rétisation destablesde ha hage ou elledesnombres réels),desprimitivesqui n'ontrien àvoir

ave l'objetre her hépeuventêtreappariées etainsi

((

onspirer

))

pour ameneràlare onnaissan e d'un objet qui n'existe pas: 'est un faux positif. On notera que eux- i sont identiables grâ e

à une véri ation plus approfondie utilisant des informations supplémentaires (non utilisées dans

la modélisation de l'image par primitives). Ces véri ations sont toutefois oûteuses en temps de

al uletpeuvent induire une explosiondela omplexité de l'algorithme.

Ilestdon importantdegérerl'erreurpouréviterlesfauxnégatifs,maisdelafaireauplusjuste

pour limiterlaprobabilitéou lenombre de fauxpositifs.

2.1.2 Erreur bornée

Uneappro hesimplepourmodéliserl'in ertitude onsisteàsupposerquel'on onnaîtlaposition

exa te 1

x

d'un point (ou qu'on a pu l'approximer) et une borne

ε

sur la norme de l'erreur: nos mesures suivent alorsle modèle

ˆ

x = x + δx

ave

kδxk ≤ ε

Onnoteraqu'engénéraliln'estpassupposéqueladistributiondel'erreursoituniformesurlaboule

B(0, ε)

, mais 'est la distribution qui minimise l'information quand on ne onnaît que la borne

ε

(voirse tions(2.2.2.7)et(2.2.3.6)).Cetteappro he estutiliséeintensivement dans(Grimson,1990)

pour lare onnaissan eave late hnique desarbres d'interprétationetles al ulsde probabilitéde

faux positif basés sur e modèle pour l'algorithme de

((

geometri hashing

))

sont développés pour diérents environnements dans(Grimson etal.,1994)et(Penne , 1993a).

Toutefois, d'importants problèmes sont ren ontrés dès que l'on veut manipuler nos primitives

pour en extraire des informations plus synthétiques ou les re aler: omment propager ette borne

surl'in ertitude danslesopérations utilisées?

An d'éviter omplètement les fauxnégatifs, il est tentant de al uler une borne onservative,

'est-à-direstri te:si

y = f (x)

,alors

kˆx − xk ≤ ε

x

impliqueque

kˆy − yk ≤ ε

y

.Lesquelquesétudes 1.Nouslaissons de téleproblème philosophiquedesavoirs'ilexisteréellementunepositionexa te,dontnous

susnommées ont ependant montré quel'obtention d'unetelle borneest un problème omplexe et

mènesouventàunesurestimationimportantedel'erreur,augmentantdangereusementlaprobabilité

defaux-positifs.Par ailleurs,l'utilisation d'unebornesurlanormede l'erreursupposeune ertaine

isotropie de la zone d'erreur, e qui est souvent abusif. Pour relâ her ette hypothèse, on peut

ae ter à haque omposanted'unve teur une marge d'erreurindépendante:

|ˆx

i

− x

i

| ≤ ε

x

i

et on travaillealorsave deszonesd'erreurquisontdespavésde

R

n

.C'estl'idéedebasedel'arithmétique

desintervalles (Moore, 1966).Les al ulsrestent ependantlourds et omplexesdèsquel'on utilise

desfon tionsnonlinéaires.Deplus,sileserreursdemesuresurles omposantessontindépendantes

dansunrepèreparti ulieretinduisentunezoned'erreurparti ulièrementagréable (allongéesuivant

uneaxeetplatesuivantunautre,parexemple), en'estgénéralementpasle asdansunautrerepère

ou aprèsunetransformation.Une étudeexpérimentale surl'estimationdesrotations de(Orr etal.,

1991) montred'ailleurs quelaméthode probabiliste donne desrésultatsmeilleurs,plusrapidement

et ave une meilleureestimation de l'in ertitude quelaméthode baséesurles intervalles.

2.1.3 Erreur probabiliste

Ensupposantquel'onpuissea quérirautant d'imagesquel'onveutd'unobjet,ilserait

(théori-quement)possiblede ara térisertoutes lesvaleurspossiblesde lapositiond'uneprimitive,ouplus

spé ialement, omme on est dans le adre ontinu, la distribution des mesures. Sila primitive est

unpoint ouunve teur

x

,unoutil parfaitementadaptépour elaestde onsidérer quelamesure

x

ˆ

de

x

estlaréalisationd'unve teur aléatoire

x

etde ara tériser ladistributiondel'erreur par la densitéde probabilité de e ve teur aléatoire (abrégé par lasuite endensité).

Cependant, d'un point de vue al ulatoire ou informatique, il est peu aisé de manipuler des

fon tions sur

R

n

:on estdon amené à approximer ettedensité par sespremiers moments (valeur

moyenne et matri e de ovarian e par exemple) onsidérés habituellement omme susamment

représentatifs. On peut alors dériver un ertain nombre de règles de al ul relativement simples

pour al uler la propagation de es moments de manière exa te dans ertaines opérations et de

manière appro hée dansle asgénéral. D'unpoint de vuestatistique, on peutégalement exprimer

les prin ipales hypothèses sur les modèles de bruits en terme de moyenne et de ovarian e. On

peut don obtenir un ensemble ohérent d'outils probabilistes et statistiques pour travailler ave

l'approximation ause ond ordredes ve teursaléatoires.

2.2 Probabilités dans

R

n

 Le hasard n'est que la mesure denotre ignoran e. Les

phénomènes fortuits sont,par dénition, eux dontnous

ignorons les lois. 

H.Poin aré, Cal uldes probabilités, 1912

Cettese tionrappelledansunpremiertempsun ertainnombredenotionsdebasedeprobabilité

ainsi que quelquesproblèmes de statistiques. Con ernant les probabilités, on pourra onsulter par

exemple (Neveu, 1990; Papoulis, 1991; Pelat, 1992) pour de plus amples développements. Pour la

2.2.1 Espa es probabilisés

Unespa eprobabiliséestunespa e

Ω

d'événementsélémentaires auquelon adjointune tribu

B

qui ontient les partiesde

Ω

etune mesurede probabilité

Pr

surles élémentsde ette tribu.

2.2.1.1 Évènements élémentaires

Lesévénementsélémentaires

ω

∈ Ω

sont lesrésultats possiblesd'uneexpérien ealéatoire. L'es-pa e

Ω

regroupe l'ensemble des résultats possibles de l'expérien e. Dans le as d'un jet de dé, le résultatserapar exempleun hireentre 1et6:

Ω =

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

. Sil'expérien e onsisteàjeter plusieurs dés(diérentiables), lerésultat seraun n-uplet detels hires.

Dans notre as, l'expérien e aléatoire sera plutt la mesure d'une primitive géométrique, et

l'ensembledesrésultatspossiblesseradon l'ensemblede esprimitivesgéométriques. Ainsi,sil'on

mesureun point de

R

n

,on a

Ω = R

n

. 2.2.1.2 Évènements et parties

Pluttquedetravailler sur ha undesrésultatspossibles,on ara tériseunévénementparun

ensemble de résultats possibles(un sous-ensemble ou une partie de

Ω

):la somme de deux jets de dés estsupérieure à 10,lepremier jet dedé est supérieurau se ond, oudans notre as:lamesure

de

x

est égale à

y

àune distan e

ε

près... sont desévénements ara térises par dessous ensembles

A, B . . .

_{⊂ Ω}

.Dans ette optique,les événementsélémentairessont évidemment les singletons

{ω}

. Lesopérationslogiquesquinousintéressent surlesévénementssonttrèspro hesdesopérateurs

ensemblistes:àtoutévénement

A

,onpeutasso ierson ontraire

A = Ω

¯

− A

,laréalisationde

A

ou ellede

B

estl'événement

A

∪ B

tandis quelaréalisation simultanée de

A

etde

B

est l'événement

A

∩ B

. L'événement impossible est l'ensemble vide

∅

et un événement ertain est représenté par l'ensemble

Ω

au omplet.

Deux relations importantes entre les événements sont en ore à noter:

A

⊂ B

exprime que

A

implique

B

(silerésultatdel'expérien eestdans

A

,alors ilestaussidans

B

),et

A

∩ B = ∅

signie queles événements

A

et

B

sont in ompatibles ets'ex luent mutuellement.

Un système exhaustif d'événements est une partition de

Ω

, 'est-à-direune suite dénombrable

A

i

d'événementsdeuxàdeuxin ompatibles (

A

i

∩ A

j

= ∅

si

i

6= j

) ouvranttouteslespossibilités:

∪

i

A

i

= Ω

.

2.2.1.3 Tribu d'événements

Apriori,ilpourraitsemblernaturelde onsidérerquetoutepartiede

Ω

représenteunévénement, mais elan'estpossible quesi

Ω

estdénombrable.Pourdesespa esplusgrands, ilestimpossiblede dénir des probabilité intéressantes sur toutes les parties de

Ω

. Onest don réduit à se antonner à unefamille de parties, etl'on imposera de plusque ettefamille soit stablepar les opérations de

base: on appelle tribu ou

σ

-algèbre

A

sur

Ω

une famille de parties de

Ω

ontenant l'événement impossible

∅

,stablepar omplémentation, stablepar réunionet interse tion dénombrable.

La onstru tion expli ite des tribus sur un espa e quel onque n'est pas une hose fa ile, mais

onsidérantunefamille

C

de parties,onpeutmonterqu'ilexisteune pluspetitetribuqui ontienne ette famille, que l'on l'appelle tribu engendrée par la famille

C

. Ce pro édé de onstru tion peu expli itepermettoutefoisdedénirsurtoutespa etopologique,etenparti uliermétrique,latribu

2.2.1.4 Mesure de probabilité

Pour ompléter lades riptiondenotreexpérien ealéatoire,ilnousresteàquantierla

probabi-litéd'o urren eoud'observationd'uneévénement.Onappellemesuresurnotreespa e

Ω

munide latribu

A

unefon tion

Pr σ

-additivede

A

dans

R

+

:si

A

i

estunesuite dénombrable d'événements deux àdeuxdisjoint, on doitavoir

Pr

[

i

A

i

!

=

X

i

Pr(A

i

)

Pour que ette mesure soit appelée probabilité, il faut de plus qu'elle soit normalisée:

Pr(Ω) = 1

.Le triplet

(Ω,

A, Pr)

estalors un espa eprobabilisé.

On dit qu'un ensemble (ou un événement)

A

est de mesure nulle si sa probabilité est nulle

Pr(A) = 0

.A l'opposé, etévénement estpresque ertainsi

Pr(Ω

− A) = 0

.Une propriétéestvraie presque partoutsi l'ensembledespointsoù ellen'est pasréalisée estde mesurenulle.

Une relationimportante lie les probabilitésde deuxévénements quel onques:

Pr(A

_{∪ B) = Pr(A) + Pr(B) − Pr(A ∩ B)}

Cette relationest à l'originede lasous additivitédes probabilitésetelle meten valeur le ouplage

des événements

A

et

B

,qui peutêtre mesuré par l'événement

A

∩ B

(réalisation simultanée de

A

et de

B

). Silesévénements sont disjoints(

Pr(A

∩ B) = 0

), alors onretrouvel'additivité.

2.2.1.5 Probabilités onditionnelles et règle de Bayes

Dans l'examen des expérien es aléatoires, il est souvent intéressant de prendre en ompte une

onnaissan epartiellesurlerésultat.On her heparexempleàétudierlaprobabilitéd'unévénement

A

sa hant quel'événement

B

estréalisé(parhypothèseouparobservation).Onnote

Pr(A

|B)

ette probabilité onditionnelle, et en supposant que l'événement onditionnant

B

ne soit pas de mesurenulle,on ala relation:

Pr(A

_{|B) =}

Pr(A

∩ B)

Pr(B)

qui exprime en quelque sorte la normalisation due à la rédu tion de l'espa e des résultats de

Ω

à

B

.La probabilitéde l'interse tion s'é ritalors:

Pr(A

_{∩ B) = Pr(A|B). Pr(B) = Pr(B|A). Pr(A)}

d'oùl'on obtient larègle deBayes:

Pr(A

_{|B) =}

Pr(B

|A). Pr(A)

Pr(B)

Onditquedeuxévénements

A

et

B

sontindépendantssila onnaissan edel'unn'apporteau une information sur l'autre:

Pr(A

|B) = Pr(A)

et

Pr(B

|A) = Pr(B)

d'où

Pr(A

∩ B) = Pr(A). Pr(B)

C'est une sorte de notion d'orthogonalité sur les événements: par exemple, savoir qu'un point