Guillaume CONNAN
IREMdeNantes
11 janvier 2010
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SystèmesdeCramer22
2
PivotdeGauss
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SystèmesdeCramer22
2
PivotdeGauss
Soit unsystème 8
<
: a
11 x +a
12 y =b
1
a
21 x +a
22 y =b
2 .
Soit Dledéterminant dusytème:D =a
11 a
22 a
21 a
12 .
S'il est nonnul,ilest assezaisé de montreren Seonde queles solutions
sont:
x = b
1 a
22 b
2 a
12
D
y = a
11 b
2 a
21 b
1
D
Cela peut mettreen évideneles rlesdesinonnues (quin'apparaissent
pas en entrée dansl'algorithme)et desoeients.
Soit unsystème 8
<
: a
11 x +a
12 y =b
1
a
21 x +a
22 y =b
2 .
Soit Dledéterminant dusytème:D =a
11 a
22 a
21 a
12 .
S'il est nonnul,ilest assezaisé de montreren Seonde queles solutions
sont:
x = b
1 a
22 b
2 a
12
D
y = a
11 b
2 a
21 b
1
D
Cela peut mettreen évideneles rlesdesinonnues (quin'apparaissent
pas en entrée dansl'algorithme)et desoeients.
Soit unsystème 8
<
: a
11 x +a
12 y =b
1
a
21 x +a
22 y =b
2 .
Soit Dledéterminant dusytème:D =a
11 a
22 a
21 a
12 .
S'il est nonnul,ilest assezaisé de montreren Seonde queles solutions
sont:
x = b
1 a
22 b
2 a
12
D
y = a
11 b
2 a
21 b
1
D
Cela peut mettreen évideneles rlesdesinonnues (quin'apparaissent
pas en entrée dansl'algorithme)et desoeients.
Soit unsystème 8
<
: a
11 x +a
12 y =b
1
a
21 x +a
22 y =b
2 .
Soit Dledéterminant dusytème:D =a
11 a
22 a
21 a
12 .
S'il est nonnul,ilest assezaisé de montreren Seonde queles solutions
sont:
x = b
1 a
22 b
2 a
12
D
y = a
11 b
2 a
21 b
1
D
Cela peut mettreen évideneles rlesdesinonnues (quin'apparaissent
pas en entrée dansl'algorithme)et desoeients.
Entrées :Les oeients
début
si D=0 alors
pas de solutionunique
sinon
x =
b1a22 b2a12
D
y =
a11b2 a21b1
D
n
cramer(a11,a12,b1,a21,a22,b2):={
si a11*a22-a21*a12==0
alors return("Pas de solution unique")
sinon return ((b1*a22-b2*a12)/(a11*a22-a21*a12), (a11*b2- a21*b1)/(a11*a22-a21*a12))
fsi
}:;
1
SystèmesdeCramer22
2
PivotdeGauss
Nous traiteronsleas d'un système33maisrienn'empèhe de
généraliser.
Commenous sommesentrenous, nous parlerons matrie.
Nous traiteronsleas d'un système33maisrienn'empèhe de
généraliser.
Commenous sommesentrenous, nous parlerons matrie.
Nous disposonsdon d'unematriearrée Ade dimension3 etd'une
matrieolonne Bde longueur3.Nous voulons résoudredansM
1 3 (R) le
système AX =B.
Nous noteronsT letableau :
2
6
6
4 a
11 a
12 a
13 b
1
a
21 a
22 a
23 b
2
a
31 a
32 a
33 b
3 3
7
7
5
Si lamatrieest inversible,alors, en eetuant desopérationsélémentaires
sur leslignes, on peut seramener àlamatrieidentité danslapartie
gauhe dutableau eton obtientXdansla partiedroite.
Pour yarriver,l'idéeest de balayer letableau parolonne.
Étantdonné uneolonne,on herhe unélémentnonnul. S'iln'y en apas,
lamatrien'est pasinversible etle systèmen'admet pas uneunique
solution(on ne s'oupepas tropdu rangaulyée...);sinon, on permute
éventuellement deuxlignes pour plaerl'élémentnon nulde laolonnek
sur lalignek et on divisetousles élémentsde laligne par lenouveau a
kk
pour obtenir1.
Il reste ensuiteàremplaerhaque ligne (autreque L
k
) dontl'élément de
laolonne k estnon nulparL
i a
ik L
k .
