agagef
e

Reonnaissanede motsdanslesgrammaireshors-ontexte

CatalinDima

◮

Algorithmepermettantde vériersi unmotw

=

^w1w2

. . .

^wn est

aeptéparunegrammaire.

◮

Congurationsde l'algorithme:ensembled'items

[

ⁱ

]

^X

−→ α • β [

^j

]

^,

où

◮

X

−→ αβ

^{estuneprodution,dontlemembredroitestdéoupéen}

deuxmots,

α · β

^.

◮

1

≤

ⁱ

≤

^j

≤

^{nsontdesindies}représentantlesous-motw i

. . .

^wj

de

w quelaprodutionouranteestenséeproduire.

◮

Le

•

^{donnelapositionourantedanslemotw jusqu'oùla}

produtionouranteestapabledegénérer w.

◮

L'algorithmefontionneenonstruisantitérativementdesitems,à

partirdelaongurationontenanttouteslesprodutions

S

−→ • α

^{,jusqu'à equ'uneongurationontenant}

[

⁰

]

^S

−→ α • [

ⁿ

]

^{soitonstruite.}

1. Initialisation: Conguration

C

0

=

[

⁰

]

^S

−→ • α[

⁰

] |

^S

−→ α ∈

^{P .}

2. Leture :Si,dansC

i

onaun item

[

^j

]

^X

−→ α •

^a

β[

ⁱ

]

^avea

=

^wi

+

¹

(

(

ⁱ

+

¹

)

^{-ièmelettredumotd'entrée),alorsonrajoutedans Ci}

+

¹

l'item

[

^j

]

^X

−→ α

^a

•

^a

β [

ⁱ

+

¹

]

^.

3. Prédition:Si,dansC

i

on aunitem

[

^j

]

^X

−→ α •

^Y

β[

ⁱ

]

^alorson

rajoutedansC

i

tous lesitems

[

ⁱ

]

^Y

−→ • γ[

ⁱ

]

^{,pourtouteprodution}

Y

−→ γ ∈

^P.

4. Complétion: Si,dans C

i

onaun item

[

^j

]

^Y

−→ γ • [

ⁱ

]

^alorspour

toutautreitemdelaforme

[

^k

]

^X

−→ α •

^Y

β[

^j

]

^{dans Cj onrajoute}

aussil'item

[

^k

]

^X

−→ α

^Y

• β [

ⁱ

]

^{dans Ci (attentionauxindies!).}

Grammaire:

E

−→

^T

|

^E

+

^T

T

−→

^F

|

^T

∗

^F

F

−→

^a

|

^b

| (

^E

)

Générationdea

+

^b:

C

0

C

1

C

2

C

3

[

⁰

]

^E

→ •

^T

[

⁰

] [

⁰

]

^E

→ •

^E

+

^T

[

⁰

] [

⁰

]

^T

→ •

^F

[

⁰

] [

⁰

]

^T

→ •

^T

∗

^F

[

⁰

] [

⁰

]

^F

→ •

^a

[

⁰

] [

⁰

]

^F

→ •

^b

[

⁰

] [

⁰

]

^F

→ • (

^E

)[

⁰

]

[

⁰

]

^F

→

^a

• [

¹

] [

⁰

]

^T

→

^F

• [

¹

] [

⁰

]

^T

→

^T

• ∗

^F

[

¹

] [

⁰

]

^E

→

^T

• [

¹

] [

⁰

]

^E

→

^E

• +

^T

[

¹

]

[

⁰

]

^E

→

^E

+ •

^T

[

²

] [

²

]

^T

→ •

^F

[

²

] [

²

]

^T

→ •

^T

∗

^F

[

²

] [

²

]

^F

→ •

^a

[

²

] [

²

]

^F

→ •

^b

[

²

] [

²

]

^F

→ • (

^E

)[

²

]

[

²

]

^F

→

^b

• [

³

] [

²

]

^T

→

^F

• [

³

] [

²

]

^T

→

^T

• ∗

^F

[

³

] [

⁰

]

^E

→

^E

+

^T

• [

³

]

◮

Dona

+

^{baepté(ontrouve}

[

³

]

^E

→

^E

+

^T

• [

³

]

^{dansladernièreolonne).}

◮

Essayeraussiavea

+

^b

∗

^a

,

^a

∗ (

^b

∗ (

^b

)),

^b

+

^!

◮

Automateàpile:utiliseunemémoireinnie,organiséeàlamanière

d'unepile.

z a

q

b a a b a a

z

x

z

y

◮

Leslettresdu motsontluesde gauheàdroite.

◮

Àhaquepas,letopde lapileomptedanslamodiationdel'état

de l'automate.

◮

◮ A = (

^Q

, Σ, Γ, δ,

^q0

,

^Z0

,

^Qf

)

^.

◮

Q =ensembled'états.

◮ Σ

^{=alphabetd'entrée(bandedeleture).}

◮ Γ

^{=alphabetdepile.}

◮

q 0

=étatinitial,Q

f

=ensembled'étatsnaux.

◮

Z 0

=symboleinitialdans lapile.

◮ δ

^{=relationdetransition:}

δ ⊆

^Q

× Σ ∪ {ε}

× Γ × Γ ^∗ ×

^Q

◮

Unetransitiondans

δ

^{estun tupleq}

−−−→

^a

^,

^z

^,γ

^r.

◮

Sil'automateestdansl'étatq,lalettresouslatêtedeletureesta

etletopdelapileestz,

◮

...alorsonremplaeletopdelapilezparlemot

γ ∈ Γ ^∗

^,

◮

...etonhanged'étatenr.

◮

Uneongurationde l'automate:

(

^q

,

^w

, γ) ∈

^Q

× Σ ^∗ × Γ ^∗

^.

◮

Tuple(état,partiedumotpasenorelue,ontenudelapile).

◮

De etteongurationonpeutévoluerdansuneautreen appliquant

une transitionq a

,

^z

,β

−−−→

^{r :}

◮

Silapremièrelettredumotd'entréew esta ,

◮

Etlapremièrelettredumotdepile

γ

^estz,

◮

Alorsonhanged'étatenr,onboue aetonremplaez par

β

^.

◮

Onéritalors

(

^q

,

^w

=

^aw

^′ , γ =

^z

γ ^′ ) ⊢ (

^r

,

^w

^′ , βγ ^′ )

^.

◮

Congurationinitiale:

(

^q0

,

^w

,

^Z0

)

^.

◮

Congurationaeptante:

(

^r

, ε, γ)

^aver

∈

^Qf.

◮

Side

(

^q

,

^w

,

^Z0

)

^{on peutfranhirun}

(

^r

, ε, γ)

^pourr

∈

^Qf,alorsw

◮

Listedetransitions(çane sertplusàriende représenterl'automate

ommeungraphe...).

q

0 a

,

^A

,

^AA

−−−−→

^{q q}

−−−−→

^a

^,

^A

^,

^{AA q}

q b

,

^A

,ε

−−−→

^{r r}

−−−→

^b

^,

^A

^,ε

^r

◮

Étatinitialq 0

,nal r, symboleinitialde pileA.

◮

Exemple deongurationinitiale :

(

^q0

,

^w

,

^A

)

^.

◮

Exemple detrajetoire=suitedeongurationsreliéespardes

transitions:

(

^q0

,

^aaabb

,

^A

) ⊢ (

^q

,

^aabb

,

^AA

) ⊢ (

^q

,

^abb

,

^AAA

) ⊢ (

^q

,

^bb

,

^AAAA

)

⊢ (

^r

,

^b

,

^AAA

) ⊢ (

^r

, ε,

^AA

)

◮

Et dononaepteaaabb!

◮

◮

Exemple detrajetoirenon-aeptante:

(

^q0

,

^abab

,

^A

) ⊢ (

^q

,

^bab

,

^AA

) ⊢ (

^r

,

^ab

,

^A

) 6⊢

◮

... ariln'yapasdetransitionquipuisses'appliquerdansette

onguration!

◮

Même plus,auuneautretrajetoirene peutêtreassoiéeàabab!

Langageaeptéparunautomate

A

^:

L

(A) =

w

∈ Σ ^∗ | (

^q0

,

^w

, γ

⁰

) ⊢ (

^r

, ε,

^z

)

^{ongurationaeptante}

Exemple :

q

0 a

,

^A

,

^AA

−−−−→

^{q q}

−−−−→

^a

^,

^A

^,

^{AA q}

q b

,

^A

,ε

−−−→

^{r r}

−−−→

^b

^,

^A

^,ε

^r

◮

AutomateàpilepourL

= {

^anbm

|

ⁿ

>

^m

}

◮

Et sionvoulaitexatementL

anbn

= {

^anbn

|

ⁿ

∈ N }

^?

◮

Ilfautavoirboué,quandonentredansl'étatnal,touslesAdans

lapile!

◮

Automateave

ε

-transitions:

q

0 a

,

^Z0

,

^Z0

−−−−−→

A ^{q q}

−−−−→

^a

^,

^A

^,

^{AA q}

q b

,

^A

,ε

−−−→

^{r r}

−−−→

^b

^,

^A

^,ε

^r

r

ε,

^Z0

,ε

−−−−→

^{s q0}

−−−−→ ^ε,

^Z0

^,ε

^s

◮

Et maintenant'estsqui estl'étatnal!

◮

Pasde transitionens!

◮

Donsionaappliquéladernièretransitiondèsledébut,onest

bloquédansuneonguration

(

^s

,

^w

, ε)

^{quin'estpasnale !}

◮

Onpeutmodierladénitiondel'aeptationparautomateàpile:

◮

Onpermetdes'arrêter dansn'importequeétat.

◮

Maisilfautavoirnideparourirlemotd'entrée.

◮

Etaussilapiledevraitêtrevide!

◮

Modions notreexemplepourL

anbn

pourqu'ilfontionnepar

aeptationpar pilevide:

q

0 a

,

^A

,

^AA

−−−−→

^{q q}

−−−−→

^a

^,

^A

^,

^{AA q}

q b

,

^A

,ε

−−−→

^{r r}

−−−→

^b

^,

^A

^,ε

^r

r

ε,

^A

,ε

−−−→

^{s q0}

−−−→ ^ε,

^A

^,ε

^s

◮

Onvoitquele premierAdanslapilene sertpasàompterlesb,

mais pluttpournaliserlatrajetoire.

◮

Théorème:Siunlangageestaeptéparunautomateàpilepar

aeptationsurétats naux,alorsilseraaeptéaussiparun

◮

Théorème:Toutlangagehorsontexteestaeptéparun

automateàpile.Laréiproqueestvraie aussi:toutlangaged'un

automateàpileesthorsontexte.

◮

Assoiationd'un automateàpileàunegrammairehorsontexte:

◮

Lesnonterminauxetlesterminauxformentl'alphabetdelapile.

◮

Chaqueprodutionestsimuléesurlapile.

◮

Unseulétatsut!

◮

Siletopdelapileestunterminala ,ilfautlebouersurlabande

d'entrée.

◮

Si'estunnonterminalX,ilfautfaireune

ε

-transitionquiplaesur lapilelerésultatd'uneprodutiondeX.

◮

Aeptationparpilevide.

◮

Exemple degrammaire:

S

−→

^ASB

| ε

A

−→

^aAS

|

^a

B

−→

^SbS

|

^bb

◮

Automateassoié:

q

ε,

^S

,

^ASB

−−−−−→

^{q q}

−−−→ ^ε,

^S

^,ε

^q

q

ε,

^A

,

^aAS

−−−−−→

^{q q}

−−−→ ^ε,

^A

^,

^{a q}

q

ε,

^B

,

^SbS

−−−−−→

^{q q}

−−−−→ ^ε,

^B

^,

^{bb q}

q a

,

^a

,ε

−−−→

^{q q}

−−−→

^b

^,

^b

^,ε

^q

◮

Symboleinitialdepile:S!

◮

Aeptationde aaabbb:arbresyntaxique,ettrajetoire dans

◮

Onpeutdénirdesautomatesdéterministes.

◮

Maisilsneserontpaséquivalentsavelesnon-déterministes.

◮

Unautomatedéterministegénèreunlangagenon-ambigu.

◮

Etommeilyadeslangagesàambiguitéinhérente,eslangagesne

peuventpasêtreaeptésparuntelautomatedéterministe.

◮

Leproblèmedu langagevideestdéidable(.à.d.ilyades

algorithmes).

◮

Maisvérierqu'unegrammaireaeptetous lesmotssurun

alphabetn'estpasdéidable!

◮

L'unionetlaonaténationde deuxlangageshorsontexteesthors

ontexte!(leprouver!)

◮

Maisilexistedeslangageshorsontextedont leomplémentn'est

pasunlangagehorsontexte.

◮

Et aussi,l'intersetiondedeuxlangageshorsontextepeutne pas

êtrehorsontexte.

◮

Toutefois,siLesthorsontexteetR estrégulieralorsL

∩

^{R sera}

hors ontexte

◮

SiLesthorsontexte,alorsilexisteun entiern

0

∈ N

telquetout motdeL(z

∈

^{L)ontenantplusden0lettrespeuts'érire}

z

=

^{xyzuv, avelespropriétéssuivantes:}

1. yu

6= ε

^.

2. Lerayonhorsontexte xy n

zu n

v estontenudansL:pourtout

n

∈ N

,xy n

zu n

v

∈

^L.

◮

Généralisationdulemmedel'étoiledeslangagesréguliers.

◮

S'applique delamêmemanière:

◮

Preuve par rédutionàl'absurde:

1. OnsupposequeLest horsontexteetonprouvequelelemmede

gonementnousamèneàuneontradition.

◮

Commenttrouveruneontradition:

◮

Onprendunmotz

∈

^{Letonledéomposedetoutes lesmanières}

possiblesenz

=

^xyzuv.

◮

Pourhaquedéomposition,ondevraitprouverquelerayonxy n

zu n

◮

Idée depreuvedu lemme:

◮

Onprendunegrammairepourlelangage.

◮

Onl'amèneàuneformequineontientplusd'

ε

-produtions,nide renommages, ettouslesnonterminauxsontutiles.

◮

Onprendn0

=

^kard

⁽

^N

⁾⁺

^{1,oukestlenombredelettresdanslaplus}

grandeprodution.

◮

Onprendunmotw ayantplusden0lettres.

◮

Onprendaussiunarbresyntaxiquepourw.

◮

Dufaitduhoixden0,dansl'arbresyntaxiqueildoityavoirun

heminraine

−→

^{feuillequiaplusden0arêtes.}

◮

Alorsundesnoeudsdeeheminserepèteetilorrespondàun

nonterminalX!

◮

Onaidentiéunepartiedel'arbrequipeutêtrerépétéeautantde

foixqu'onveuille!

◮

Lafrontièredeettepartiedel'arbre,àgauhedesafeuilleX,forme

lapartiey denotremot,etellededroiteformeu.

◮

Lerestedelafrontiereformex,z etv.

◮

Répéternfoislapartiedel'arbretrouvée,revientàgénérerxy n

zu n

v.

◮

L

anbnn

= {

^anbnn

|

ⁿ

∈ N }

^.

◮

Prenonstoutedéompositiond'un mota n

b n

n

en xyzuv.

◮

Plusieurs aspossibles :

1. y etu neontiennentquedesa .

2. y ontientdesaetu ontientdesb.

3. y ontientdesaetu ontientdes.

4. y etu neontiennentquedesb.

5. y ontientdesbetuontientdes.

6. ....

7. y ontientdesaetdesbet....

◮

Maisilyadeuxtypesde as:

1. Quandlesdeuxmotsy

,

^{uprennenthaununseultypedelettre.}

2. Quandundesdeuxmotsy

,

^{u prenddeuxtypesdelettres.}

◮

Danshaqueas,ilfautprouverqu'ilexistedesmembresdurayon

xy n

zu n

v quinesontpasdans L.

◮

Danstouslesasiionpeutprouverquexyyzuuv

=

^{xy2zu2v n'est}

◮

L

=

w

∈ {

^a

,

^b

,

} ^∗ | #

^a

(

^w

) = #

^b

(

^w

) = #

(

^w

)

^.

◮

Aulieud'appliquerlelemmedegonement,onpeututiliseruneidée

vue pourleslangagesréguliers:

◮

SiLétaithorsontexte,alorsL

∩

^{R seraitaussihorsontextepour}

toutlangagerégulierR.

◮

IlnousfautR réguliertelqueL

∩

^R

= {

^anbnn

|

ⁿ

∈ N }

^.

◮

Qui pourraitêtreR?