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Transformations stochastiques de la matrice des
productions
Ghislain Roy
To cite this version:
Ghislain Roy. Transformations stochastiques de la matrice des productions. [Rapport de recherche] Laboratoire d’analyse et de techniques économiques(LATEC). 1988, 12 p. �hal-01539089�
EQUIPE DE RECHERCHE ASSOCIEE AU C.N.R.S.
DOCUMENT DE TRAVAIL
INSTITUT DE MATHEMATIQUES ECONOMIQUES
UNIVERSITE DE DIJON
FACULTE DE SCIENCE ECON OMIQUE ET DE GESTION 4, BOULEVARD GABRIEL - 21000 DIJON
TRANSFORMATIONS STOCHASTIQUES DE LA MATRICE DES PRODUCTIONS
Ghislain ROY * Juin 1988
n° 109
C e t r a v a i l a é t é e f f e c t u é a u c o u r s d e l ' a n n é e u n i v e r s i t a i r e 1 9 8 7 - 1 9 8 8 p e n d a n t l a q u e l l e j ' a i b é n é f i c i é d e l ' h o s p i t a l i t é d e 1 ' U n i v e r s i t é d e B o u r g o g n e . J e t i e n s à r e m e r c i e r l e s a u t o r i t é s, l e s p r o f e s s e u r s et l e p e r s o n n e l d e la F a c u l t é d e S c i e n c e é c o n o m i q u e e t d e G e s t i o n d o n t l e d é v o u e m e n t s o u r i a n t et c o n s t a n t a r e n d u m o n s é j o u r à D i j o n a u s s i a g r é a b l e q u e p r o f i t a b l e . L e s q u e l q u e s p a g e s q u e j e p r é s e n t e ici s o n t u n e p a r t i e d e s r é s u l t a t s d e s n o m b r e u x é c h a n g e s q u e j 'ai e u s a v e c l e P r o f e s s e u r H u r i o t . J e n e s a u r a i s t r o p l e r e m e r c i e r .
Résumé O n a p p e l l e s t o c h a s t i q u e s c e r t a i n s r <' gr ou p e m e n t s d e s a g e n t s p r o d u c t e u r s , c e gu i c o n d u i t à d e s t r a n s f o r m a t i o n s d i t e s s t o c h a s t i q u e s d e la m a t r i c e d e l e u r s é c h a n g e s . L e g r o u p e s t o c h a s t i q u e e s t l ’e n s e m b l e d e c e s t r a n s f o r m a t i o n s . D a n s l e c a s l e p l u s s i m p l e , q u a n d l e s a g e n t s p r o d u c t e u r s n e s o n t q u e d e u x o n d é t e r m i n e l e s d e u x i n v a r i a n t s q u e c e g r o u p e l a i s s e c o n s t a n t s . Mots-clés G r o u p e s s t o c h a s t i q u e s , t r a n s f o r m a t i o n s s t o c h a s t i q u e s , i n v a r i a n t s. Introduction
On considère m agents producteurs x^, x^, x^ qui fabriquent
des produits qu'ils échangent entre eux. On note la matrice des échanges
(1) V V11 V12 V21 V22 m2 1m 2m mm
où v. . désigne, en unités monétaires, ce que l'agent x. vend à l'agent x..
i J i j
La partie de la production de l'agent x. qu'il consomme lui-même est notée v . . 11
Pour certaines raisons supposons que l'on soit amené à regrou per les m agents en n sous-ensembles formant ainsi n nouveaux agents.
On sait qu'il y a plusieurs façons de partitionner un ensemble de m éléments en n sous-ensembles. Nous nous interrogeons sur la possi bilité de passer de l'une de ces partitions à une autre.
2
Exemple
Soit trois agents dont la matrice des échanges serait
et supposons que deux économistes étudient cette situation différemment. Le premier économiste garde tel quel le premier agent et amalgame les échanges des deux derniers, tandis que le deuxième économiste amalgame les deux premiers agents et laisse tel quel le dernier.
Pour le premier économiste le premier agent, que l ’on notera
x, consommera une unité de sa propre production. Il vendra au deuxième agent, noté y, 2 + 3 unités et en achètera 4 + 7 unités. Le deuxième agent, y, consommera 5 + 6 + 8 + 9 unités de sa propre production. La
matrice des échanges est donc
(3) V
Pour le deuxième économiste, les agents q u ’il notera x f et y'
auront comme matrice des échanges
Question
On se demande s ’il est possible de transformer V en V ,
Plus précisément, supposons que les n agents x ^ , x^, ..., x^
sont transformés en n nouveaux agents x^j, x£, x^ de la façon suivante
le nouvel agent x! est obtenu en réunissant une fraction de chacun des anciens agents
x! = x p i 1 1i + x0p0 . + ... + x p .2 2i n ni
A t t e n t i o n : L a " s o m m e " d e s x. e s t u n e r é u n i o n d ' e n s e m b l e s .
3
Pcip exemple dans le cas n = 2 rappelons x et. y les anciens agent et x 1, y ’, les nouveaux. Supposons que x f est obtenu en rassemblant 0.3 de x et 0.4 de y. Ce que l'on a noté : x* = 0.3 x + 0.4 y .
Il reste alors pour y 1 le nouveau deuxième agent y ’ = 0.7 x + 0.6 y , c ’est-à-dire :
agents, alors :
La somme des termes de chaque ligne de la matrice P est égale à 1 .__________________________________________________
Définition
Une matrice carrée est dite stochastique si la somme des termes de chacune de ses lignes est 1. On a le théorème :
Le produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochast. ique.
En effet, si P = (p. .) et Q = (q. .) sont stochastiques et
ij i-J si R = (r. .) - PQ, on a : iJ n n n 0.3 0.7 \ 0.4 0.6/ (6) (x’, y 1) = (x, y)P.
Remarquons que pour n quelconque on a :
De plus, comme x^, le dernier des nouveaux agents est obtenu en réunis sant ce que les nouveaux agents qui le précèdent ont laissé des anciens
n n
devient £ r. . = E p.. , mais P est stochastique, ce qui prouve
j=1 1J k=1 1
que R l’est également, terminant ainsi la démonstration du théorème.
Remarques
2
1° Une matrice P = (p. .) stochastique dépend de n - n
para-1J 2
mètres. En effet, elle contient n termes qui sont astreints à n con
ditions puisque la somme de chaque ligne est 1.
On conviendra que la paramètrisation de P se fera à l'aide des 2
n - n termes extérieurs à la diagonale principale. Par exemple si n = 3, on pourra écrire :
2° L'ensemble des matrices non singulières de dimensions n cons titue un groupe, qu'on appelle groupe stochastique de dimensions n. On
le note GS ou G5.
groupe GS il faut abandonner ces deux limitations.
On vérifie que c'est un groupe en voyant qu'il remplit les quatre conditions qui définissent le groupe.
a) Il est fermé pour le produit, c'est-à-dire que P é GS et
Q G GS entraîne PQ G GS. 1 - r - s s P u 1 - t - u q n
5
b) Il inclut un élément unité. C'est la matrice identité 1 = (<S .) qui est bien stochastique.
» J
c) L'inverse d'un élément de G5 est dans GS.
En effet, si la matrice P est dans GS elle est inversible -1
puisqu’elle n ’est pas singulière. Notons P = (q..) son inverse, pour
-1 lv^
laquelle on aura I = P P.
Or les matrices I et P sont stochastiques, donc
n n n n n n
Z 6 . . = 1 = Z ( E q p '. ) = E q ( Z p ) = £ q ..
j=i , j j = i k=i ik k j k=i ik j =i kJ k=i ik
et la preuve est faite que P ë GS.
Fipaiement
d) La dernière condition de définition des groupes est 1'asso
ciativité du produit
P(QR) = (PQ)R
ce qui est une propriété fondamentale du produit des matrices.
Construction de la nouvelle matrice des échanges.
Revenons à la transformation stochastique (5).
(x *, y ') = (x, y) / 0.3 0.7 j
\0.4 0.6 •
(8) Notons V =
{^
^ J
la matrice des échanges des anciens agentsx et y et cherchons la nouvelle matrice des échanges.
1 a” b” \
6
aux nouveaux. Le nouvel aqent x' achètera de chaque ancien agent U. 5 cltî ce qu'achetait x et 0.4 de ce qu'achetait y
a" = 0.3 a + 0.4 b c" = 0.3 c + 0.4 d
semblablement pour les achats de y' b" = 0.7 a + 0.6 b
d" = 0.7 c + 0.6 b donc V" = VP .
Finalement trouvons V' en fonction de V", c'est-à-dire la ma trice des échanges entre les nouveaux agents.
Le nouvel agent x' vendra à chacun des nouveaux agents 0.3 de ce que lui vendait x plus 0.4 de ce que lui vendait y. Donc les ventes de
x' : a' = 0.3 a" + 0.4 c" b' = 0.3 b" + 0.4 d" c'est-à-dire
(a', b' ) = (0.3, 0.4) V".
Et semblablement pour c' et d ' , les ventes de y' (c', d') = (0.7, 0.6) V"
7
l't donc :
(10)
Définition
La transformation de V en V 1 = V V P par la matrice stochas tique P est dite transformation stochastique. C'est une transformation 1inéai re.
LP(aV)P = a(LP V P)
Matrice de la transformation stochastique
Cherchons la matrice de cette transformation dans le cas n = 2. Le résultat sera valable en général.
Posons : En effet : tP(V1 + V2 )P = tPV1P + lPV2P et
lï
1}
avec ( 1 2 ) p = 1 - q e t s = 1 - r On calcule : a ’ = ap + bpr + cpr + dr ^ ^ b' = apq + bps + cqr + drs c' = apq + bqr + cps + drs 2 2 d' = aq + bqs + cqs + ds ce qui peut s'écrire :8 (14) (a1, b 1, c', d') = (a, b, c, d) 2 P pq pq q2 pr ps qr qs pr qr ps qs 2 r rs rs s2 (15) vec V' = vec V P 0 P
où l'on a posé pour vec et " (x) " :
Définition *
Ftant donné la matrice A à k lignes et 1 colonnes
a 11 a i2
8 21 a22
11
21
1 ak1 ak2 kl
On définit l’opérateur vec qui lui associe le vecteur à kl composantes
vec A - (a ^ , ^12* •**’ a1l’ a2 1 * ^22* * * * ’ ^|</| 1 ^k2* ^kl^
obtenu en portant l'une après l'autre dans l ’ordre, les k lignes de la
matrice A.
Définition
Le produit tensoriel, ou de Kronacker, des deux matrices A et B, de dimensions respectives (k, 1) et (m, n) quelconques, est la matrice de dimensions (k m, 1 n) :
* C e t o p é r a t e u r n ' e s t p a s t o u j o u r s d é f i n i ainsi. C e t t e d é f i n i t i o n n o u s p l a î t p o u r d e s r a i s o n s d e m i s e e n p a g e , e n t r e a u t r e s .
9 (16) A @ B a„ R a . _B 11 12 a„ ; B a ^ B 21 22 \ , B P © P = 2 P pr pr 2 pq ps qr rs ak2B Par exemple, si P = |^ pq qr ps rs q qs qs 2 a1lB aa B “kl8 Théorème
Si les matrices A et B sont stochastiques de dimensions respec
tives k et 1 alors A
0
B est stochastique de dimensions kl.La preuve est immédiate.
Invariants du groupe GS^
Si dans le système (13) on remplace les paramètres p et s par leurs valeurs données en (12) les quatre équations ne contiennent plus que les deux paramètres q et r.
Supposons que ces quatre équations ne sont pas fonction les unes des autres. On peut alors éliminer entre elles les deux paramètres q et r réduisant ainsi le système à deux équations en a, b, ..., c f et d'. Notons les :
(17)
cp1 (a , b, c , d, a ’, b ’ , c 1 , d * ) = 0
((>2(a , b, c, d , a', b ' , c f, d 1) =; 0 Il en résulte
10
Théorème
La condition nécessaire est suffisante pour que la matrice / a
V
par une matrice stochastique P = appropriée est que V et V'
satisfassent les deux égalités (17).
(c d] puisse être transformée en la matrice V' = ^ t) = V P
*
M
Définition
Soit G un groupe de transformations d'un espace E. Une appli cation cp : E x E — *îR est appelée un invariant du groupe G si
cp(X, g(X)) = 0 quel que soit le point X de E et quelle que soit la trans formation g du groupe G.
Le plus souvent l'égalité çp(X t g(X)) = 0 se présentera sous la forme :
(18) f (g(X) ) = f(X), V X € E, M g G G.
On dit alors que f est un invariant du groupe G.
Définition
Les fonctions cp^ et cp^ obtenues en (17) sont les deux inva riants du groupe G.
Par un examen attentif de (10) ou des systèmes équivalents (13) ou (15) on pourra les obtenir. La matrice P (x) P est stochastique, on a donc de (13)
(19) a 1 + b 1 + c ' + d ' = a + b + c + d Le premier invariant est alors :
(20) f^(a, b, c, d) = .a + b + c + d On a encore de (13)
b 1 - c f = (b - c )(ps - qr) - (b - c) det P
11
(b ’ - c ' ) 2 _ (b - c)2
det V 1 det V
Dans ces conditions on a le deuxième invariant de GS^ ' (21) f (V) = (b-~~—
det V
Interprétation économique
échanges qui ne doit pas varier suite a un regroupement des agents.
C ’est l'évidence. Je ne peux pas interpréter le deuxième invariant to
talement. Il fait intervenir "b - c" qui est la balance des échanges entre les deux agents. Il est vraisemblable que cette expression inter vienne au carré de façon à ce que disparaisse le signe. Pour ce qui est du déterminant, je ne vois pas sa signification économique.
Réponse à la question initiale
Fxiste-t-ii une matrice P telle que V : ^P V P, où et V ’ On trouve f ( V ) = 1 + 5 + 1 1 + 2 8 = f / v ) 2 et (- 27) 3 = f2 ( v )
12
Effectivement, en portant dans (12) et (13) les termes de V et de V f on trouve
Conclusion
Dans le cas général, les dimensions n des matrices V et V'
peuvent être autre que 2, il existera une matrice stochastique P trans formant V en V' si celles-ci satisfont n identités que l'on a appelées les invariants du groupe stochastique.
Le premier de ces n invariants possède une signification évi
