HAL Id: jpa-00248922
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Submitted on 1 Jan 1993
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Réduction par amalgame modal d’un modèle thermique
A. Oulefki, A. Neveu
To cite this version:
A. Oulefki, A. Neveu. Réduction par amalgame modal d’un modèle thermique. Journal de Physique III, EDP Sciences, 1993, 3 (2), pp.303-320. �10.1051/jp3:1993133�. �jpa-00248922�
J. Phys. III France 3 (1993) 303-320 FEBRUARY 1993, PAGE 303
Classification Physics Abstracts
02.60 44.90
R4duction par amalgame modal d'un modkle thermique
A. Oulefki et A. Neveu
Groupe informatique et Syst~mes Energ£tiques, Ecole des Mines de Paris, Ecole Nationale des Ponts-et-Chaussdes, La Courtine, 93167 Noisy-le-Grand Cedex, France
(Reru le 9 avril1992, rdvisd le 8 octobre J992, acceptd le 9 novembre J992)
Rksum4. Nous esquissons dans cet article une mdthode compl~te pour la r£duction des modkles d'dtat de syst~mes thermiques lin£aires saris transfert de masse. L'idde mise en teuvre repose sur une partition de l'espace d'£tat modal en quelques sous-espaces orthogonaux. On montre ensuite
comment la minimisation d'une erreur de sortie correspondant h la tempdrature spatio-temporelle
peut s'effectuer inddpendamment dans chacun des sous-espaces. L'utilisation de l'intdgrale de
Lyapunov permet alors d'obtenir de chaque sous-espace un pseudo-mode suffisamment repr£senta-
tif de la dynamique du systkme. Une mesure significative de l'erreur de r£duction est introduite pour quantifier la pertinence d'un mod~le rdduit. L'optimalitd du modme r£duit obtenu par
amalgame modal est explicitement ddmontrde au sens de cette mesure. L'article comprend une
application des r£sultats sur un mod~le de paroi composite en conduction monodimensionnelle.
Les modkles multidimensionnels peuvent dgalement subir une rdduction par amalgame modal. Un
algorithme de r£duction automatique est donna. La g£n£ralisation de la m£thode pour les modkles comprenant du transfert de masse n'est pas exclue.
Abstract. A complete method for reducing state models of linear thermal systems without mass
transfer is presented here. The idea set to work is based on partitioning of the model state space into
some orthogonal subspaces. We prove how minimization of an output error corresponding to non
uniform, time varying temperature, can independently be performed in each subspace. The use of the Lyapunov integral allows to obtain from each subspace one pseudo-eigen function which is
sufficiently representative of the dynamic of the system. A significant measure of reduction error is introduced in order to quantify the validity of reduced models. The optimality of the reduced model obtained with the presented method is demonstrated with respect to the error measure. This article contains an application of the obtained results to the one-dimensional composite wall model. But the reduction method can apply to multidimensional models as well. An algorithm for automatic
reduction is given. Generalizing the method for reducing models of thermal systems including
mass transfer can be envisioned.
Nomenclature.
ALPHABET LATIN
B Matrice de commande du mod~le modal d6tail16.
h Matrice de commande du modme R6duit par amalgame.
C (M) Capacitd calorifique volumique au point M.
C Matrice des capacit6s calorifiques (N x N ).
D Domaine spatial du syst~me thermique.
D~ Un domaine temporel dons [0, oa [.
e(M, t) Erreur de rdduction au point M et h l'instant t.
E, Energie du I-i~me mode propre.
e* Erreur de modme.
e$ Contribution h la mesure de l'erreur de rdduction du mode V~ du sous-espace H~.
I e I~ Mesure de l'erreur de r£duction.
H, k-ikme sous-espace d'amalgame.
J, Contribution h la mesure de l'erreur de rdduction des modes propres du sous-espace H~.
L Matrice de Lyapunov.
M Variable spatiale du domaine 5~.
n Ordre du Modme r6duit recherch6 ou le nombre de sous-espaces d'amalgames.
n~ Dimension du sous-espace H~ ou le nombre de ses modes propres.
N Ordre du Mod~le ddtail16 h r6duire.
p Nombre de sollicitations appliqu6es au systkme thermique.
P Matrice des modes du mod~le d6tail16 (N x N).
P~ Matrice des modes du sous-espace d'arnalgame Hk(N x n~).
P~ Matrice des modes propres dominants (N x n).
Pf Matrice des modes propres faibles (N x (N n)).
fi Matrice des pseudo-modes du modme rdduit par amalgame (N x n).
S Matrice statique du modme d£taill£ (N x p).
( Matrice statique du modme r6duit
par amalgame (N x p ).
t Variable temporelle du domaine 5~~.
T(M, t) Temp6rature donn6e par le modkle d6tail16e.
I Tempdrature donnde par le modme r£duit par amalgame.
U(t) Vecteur des sollicitations (dim p).
u~(I) Fonction de projection donnant l'indice dans P du I-i~me mode propre de P~.
u(I) Fonction de projection donnant l'indice dans P du I-i~me mode propre de
P~.
V~(M) I-i~me Fonction propre (ou mode propre).
I;(M) Mode amalgarnd du
sous-espace H~.
x Vecteur d'dtat du modme d6tailld (dim N ).
I Vecteur d'6tat du modme r6duit par amalgame (dim n).
.~LPHABET GREC
&~~ Symbole de Cronecker.
A Matrice diagonale des valeurs propres du modme ddtailld (N x N ).
N° 2 R#DUCTION PAR AMALGAME MODAL D'UN MODtLE THERMIQUE 305
1 Matrice diagonale des valeurs
propres du modkle r6duit par amalgame (n x n).
Wk Vecteur des coefficients de ddcomposition de i~(M)
sur la base P~ de H~ (dim n~).
w~ Matrice de projection de P~(N x n~).
i~ Vecteur de projection du mode principal de P~(dim N ).
r, Constante de temps associde au I-i~me mode propre.
1. Introduction.
Le besoin de prendre en compte de mani~re prdcise le fonctionnement dynarnique des systbmes thermiques va grandissant. Ainsi a-t-on recours h des modbles numdriques croissants en nombre de variables et d'dquations. Outre la repr6sentation peu physique qu'offre ces modkles, ils ndcessitent souvent des temps de calcul prolongds ; la rdduction des modkles thermiques est
alors une altemative efficace. Par ailleurs, la diversitd des approches concemant la r6duction des modkles thermiques atteste de la difficultd d'accdder h un formalisme unique applicable h
tous les problkmes. A ce sujet, Michailesco [19], et r6cemment Petit [24], rdsument les
principales mdthodes de ce domaine.
Des mdthodes sophistiqudes ont dtd ddveloppdes pour la r6duction des modkles thermiques.
Elles ont cependant l'inconvdnient d'exiger un temps de calcul unitial important. Citons par exemple la m6thode de sym6trisation inteme [21] oh l'on rdsout une Equation de Lyapunov
non-diagonale, et la mdthode double 6chelle de temps [23, 20, 9, 14, 8] dans laquelle le modkle ddtailld est d'abord mis sous forme « bloc diagonal » avant d'dtre rdsolu. Eitelberg I1, 5] a utilisd le principe introduit par Bierman [7] pour ddvelopper une mdthode basde sur une
minimisation d'un crit~re quadratique portant sur une erreur d'dquation. Cependant, avant d'utiliser la mdthode, il est ndcessaire de sdlectionner un faible nombre d'6tats parmi les plus importants. La mdthode d'Eitelberg opdrant dans l'espace physique, les stats importants
correspondent aux tempdratures ou flux en quelques noauds privildgids pour l'observation. La
pertinence du modkle rdduit obtenu est alors life au choix et au nombre des noauds observds.
Il existe cependant une classe de mdthodes dites « modales » qui ont la spdcificitd de projeter
la reprdsentation d'un systkme thermique dans son espace d'dtat modal. La forme canonique de
ces modkles offre des possibilitds d'analyse riches et pertinentes du comportement thermique
d'un syst~me, conduisant ainsi h une ddmarche de rdduction mieux justif16e. Dans ces mdthodes, on effectue d'abord une troncature de la base modale en s61ectionnant un faible nombre d'61dments propres qualif16s de « dominants », et dventuellement dans une seconde phase, on amdliore le mod~le modal tronqu6. Malheureusement, parmi le peu de critbres formulas pour la sdlection des dldments propres, aucun ne tient compte de leur aspect spatio- temporel. Or cet aspect est important si l'on veut obtenir un modble r6duit satisfaisant pour
l'intdgralitd du syst~me. Aucun auteur n'a donn6 un moyen d'dvaluation de la prdcision du modble rdduit. Marshall [18] obtient le modme rdduit par troncature de la base modale, la dominance dtant simplement life h la valeur du temps caractdristique du mode. La mdthode de Litz [17] utilis6e dgalement dans [28, 16, 27, 4], et la mdthode d'agr6gation proposde par Aoki [Ii et ddvelopp6e par Michkflesco [19] et Duc [10], utilisent deux critbres locaux applicables
seulement h un couple entrde-sortie : alors que la premi~re m6thode combine les notions de durde, commandabilit6 et observabilitd, la seconde se sent d'un critkre qui repose sur l'6nergie
de contribution des dldments propres h une sortie observ6e.
Dans cet article, on propose une m6thode complkte et originale de rdduction de modmes
thermiques des syst~mes lin6aires r6ciproques. Le critkre de s61ection des d16ments propres dominants est h la fois spatial et temporel. Il ne d6pend que du systbme 6tudid et du type des conditions aux limites qui lui sont impos6es. La correction apport£e au mod~le tronqu£
s'effectue de mani~re ind6pendante sur des sous-espaces orthogonaux issus d'une partition judicieuse de la base modale en quelques sous-bases. La correction n'augmente pas l'ordre du
modme rdduit par troncature. Un algorithme automatique pour la rdduction des modmes
thermiques est donn6. Il permet, pour un « seuil de pr6cision » et une « taille du modkle recherch£ » fix£s prdalablement, de trouver le meilleur mod~le r6duit au sens d'une mesure de l'erreur de r6duction introduite. Les d6veloppements effectu6s permettent de quantifier l'apport en pr6cision de la m6thode propos6e par rapport aux m6thodes de type Marshall [18].
2. Position du probl~me de rkduction.
2,I LE FORMALISME D'fTAT MODAL. On consid~re ici un syst~me thermique lin6aire et
invariant soumis ~ un ensemble de p sollicitations. Les ph6nom~nes de transport de masse ne sont pas pris en compte. Un tel syst~me peut dtre mod61is6 en utilisant le formalisme d'6tat modal [28, 4]. Dans ce formalisme, le champ de temp6rature s'exprime sous forme d'une s6rie, les fonctions de base 6tant les modes propres (fonctions de la variable d'espace). La
forme g6ndrale du modme d'dtat modal est donnde par
IiT(t = Ax (t + BU(t (Equation d'dtat) j
=
Px (t + SU(t (Equation des sorties)
Le contenu exact des diff6rents paramktres du modme d6pend de la mani~re dont celui-ci est
obtenu. On distinguera essentiellement l'dlaboration du modkle d'6tat modal par la voie
analytique (I) ou par discr6tisation spatiale.
. Cas d'un moddle analytique : dans ce cas, l'dquation des sorties conceme la tempdrature
T(M, t VM e 5~.et Vt m 0. P
=
[Vi (M ), V~(M).. VN (M)] est un tableau uniligne composd
des N premi~res fonctions propres, solutions de l'dquation homogkne de diffusion de la chaleur. A chaque fonction firopre V~ (M) est assoc16e une valeur propre A~. Elles vdrifient une
condition d'orthonormalitd telle que
(V~ (M ), C (M V~(M))
= lV~(M) C (M )V~(M dM
=
8
~~
(2)
~
oil C (M) est la capacit6 calorifique au point M. S
= [Sj(M), S~(M)...S~(M)] est le tableau
uniligne des rdgimes glissants [3] au point M de 5~. Les tableaux A et'B sont respectivement la matrice des valeurs propres et la matrice de commande d6finies par
A(I, j ) = A~ b,~ (A diagonale)
(3) B (I, j )
= S~(M ) C (M V~(M ) dM
~
les valeurs propres sont n6gatives et vdrifient la relation Aj > A~ > > AN.
. Cas d'un moddle discret dans ce cas, le modme d'6tat modal est obtenu ~ partir d'un modme thermique discrdtis6 dans l'espace (diff£rences finies, volumes et £laments finis, mdthode nodale...). T est ici un vecteur de dimension N, constitu£ des tempdratures aux points
de discrdtisation. Les matrices A et B ont les mdmes dimensions que dans le cas analytique. La
(') Pour certaines structures thermiques, il est possible d'£laborer un modble modal par la seule voie
analytique. C'est par exemple le cas des parois planes composites en conduction unidimensionnelle. Le moddle modal exploitable est alors obtenu par £chantillonnage de la solution analytique sur un ensemble de points du domairie spatial 5~ ddfinissant le systbme.
N° 2 R#DUCTION PAR AMALGAME MODAL D'UN MOD#LE THERMIQUE 307 matrice S est de dimension [N x pi- La matrice P est constitude des N vecteurs propres en
colonnes associds aux valeurs propres de la matrice A. Ils forment la base modale. La relation d'orthonormalitd s'dcrit dans ce cas
P~ CP
= IN (4)
Oil C est la matrice des capacitds calorifiques (aux points de discrdtisation), et IN
[N x N est la matrice identitd.
Dans les deux cas, on peut noter que l'dquation des sorties exprime la ddcomposition de la variable tempdrature en deux tenures : le tenure dynamique (T~
=
Px (t)) ddcomposd sur la base des fonctions propres, et le tenure glissant (T~
= SU(t)).
Dans ce qui suit, nous utiliserons la version analytique du syst~me (I). La r6dcriture des r6sultats pour le cas discret ne pose aucun probmme. Par ailleurs on utilisera le plus souvent
l'appellation de mode propre pour d6signer les fonctions propres V~ (M) ou leurs 6quivalents discrets, les vecteurs propres.
2.2 FORMULATION Du PROBL~ME DE RfDucTioN. On suppose dtre en possession d'un
modme math6matique lindaire de grande dimension, ddcrivant finement les transferts
thermiques au sein du systbme. Sa forme est donnde par celle du mod~le d'6tat analytique (syst~me I).
Le problbme de rdduction consiste ~ rechercher, par une procddure d'approximation, un autre modble lin6aire de dimension n tr6s infdrieure h N, qui simule correctement l'6volution
thermique du syst~me (2). On le note
I(t)
=
~ii(t) + hU(t) (Equation d'6tat r6duite)
~~~
T(M, t = Pi (t) + ((M) U(t (Equation r6duite des sorties)
oh : ji[n
x n], h [n
x pi sont deux tableaux de scalaires et fi[I
x n], ( [I
x pi deux tableaux de fonctions. Pour garantir la conservation des r6gimes statiques au niveau du modme r6duit,
on choisit (
=
S. Dans la pratique, le problkme de rdduction se r6sume donc h la recherche des trois tableaux I, h et it. A cell,
nous ajoutons une contrainte : les 616ments I (M constituant
fi doivent v6rifier la relation d'orthogonalit6
(i~ (M ), C (M ) i~ (M)) = i~(M C (M ) i~(M dM
=
0 si I # j (6)
5~
Cette condition est en effet ndcessaire pour la sous-structuration dynamique des systkmes thermiques complexes par la synth~se modale [12] oil les techniques de r6duction trouvent une
application dldgante.
. Remarque pour donner une id6e sur le degr6 de rdduction, le rapport entre N et
n peut facilement atteindre IO. Dans certains cas, ce rapport peut mdme dtre sup6rieur h loo.
On peut deviner alors le gain en temps de calcul qui en d6coule.
(2) On ddsigne par dimension du modkle modal le nombre de colonnes de sa matrice d'observation qui
est aussi celui des modes propres du systkme.
3. La m£thode d'amalgame d'un modkle thermique.
3,I PRtLIMINAIRE. L'analyse modale des syst~mes thermiques [3] utilise le fait que les modes propres n'ont pas tous la mdme importance dans la reprdsentation du comportement thermique d'un systbme. Beaucoup de travaux [28, 27, 4, 3] ont montrd que la reprdsentation dynamique d'un systkme thermique, peut dtre d6crite, moyennant une perte de prdcision
relativement faible, avec seulement quelques 616ments propres bien choisis.
Malheureusement ce rdsultat se heurte h des difficultds pratiques. Les crit~res de sdlection des modes dominants ddvelopp6s sont locaux. Actuellement, ces crit~res sont surtout utilisds
lorsqu'on s'intdresse seulement h un petit nombre de couples entrdes/sorties [19]. En revanche
nous n'avons pas rencontrd de m6thode globale permettant de fixer le nombre minimal
n6cessaire de ces modes dominants. L'approche donn6e dans [25] h cet effet est non-lin6aire et fait appel h des calculs longs.
L'information thermique contenue dans les modes propres faibles (non-dominants),
conceme gdndralement le ddbut de l'dvolution thermique du syst~me. Cette remarque a dtd
exploitde par Lefebvre [15] qui, par une technique d'agr6gation, remplace l'ensemble des modes propres faibles par des pseudo-modes dont le nombre est dgal h celui des sollicitations
importantes appliqudes au systkme. D'autres auteurs [6] apportent une correction sur l'ensemble des modes dominants. Ces procdd6s am61iorent le modkle rdduit, mais ndcessitent des opdrations mathdmatiques co0teuses et aboutissent toujours h des pseudo-modes non
orthogonaux entre eux.
Dans sa conception, la mdthode de rdduction par amalgame modal, reprend la probldmatique
ci-dessus. La mdthode comporte deux 6tapes. Dans la premi~re (Sect. 3.3), on dtablira un modkle modal (dit « principal d'amalgame ») par troncature de la base modale du systbme (I ).
Par rapport h la ddmarche de Marshall [18], la diff6rence rdside dans la construction du critkre d6finissant la dominance. Le critkre proposd ici induit une relation d'ordre dans l'espace des modes qui n'est pas basde sur les constantes de temps. Seuls sont retenus les n premiers. La deuxikme dtape (Sect. 3.4), consiste h corriger le modme principal d'amalgame. L'idde est d'associer h chaque mode dominant du modme principal, un certain nombre de modes faibles
pour conserver une partie de l'information dynamique qu'ils vdhiculent. On obtient ainsi
(n) sous-espaces orthogonaux d'amalgame not£s H~ (k = I.. n). Chaque sous-espace sera
reprdsentd par un pseudo-mode.
Mais avant d'aborder ces dtapes dans leur d6tail, nous allons d'abord fixer le choix d'une
mesure de l'erreur de rdduction. Elle servira de base h l'6valuation de la pr6cision des modkles.
3.2 DfFINITION D'UNE MESURE DE L'ERREUR DE RfDucTioN. MichXilesco [19], dans une
approche entr6es/sorties, consid~re un crit~re quadratique pour d6finir une mesure de l'erreur de r6duction. La minimisation de ce crit~re n'est possible que si la taille du modme d6tail16 h
rdduire est ddjh faible. La proc6dure est de plus non lindaire.
Nous retenons l'id6e d'un crit~re quadratique pour quantifier l'erreur de rdduction. En effet,
le choix de ce type de crit~re, de prdf6rence h un crit~re de type minimax, se justifie
essentiellement par les possibilit6s de calcul lifes aux formes quadratiques [2].
Soit 5~ le domaine d'extension spatial du syst~me 6tud16, et 5~~ une plage temporelle dans [0, oa [. On d6finit naturellement l'erreur de rdduction par :
VM e 5~ et Vt e 5~~ e(M, t)
=
I(M, t T(M, t) (7)
oil I(M, t et T(M, t sont les tempdratures au point M et h l'instant t, donndes respectivement
par les modbles rdduit et ddtailld. D'aprks les dquations (I) et (5), cette erreur peut dgalerfient
