Φ(x, y) = 0 etla ovarian e est donnée par

Σ

=

∂Φ

∂y

(-1)

∂Φ

∂x ^Σ

∂Φ

∂x

∂Φ

∂y

(-T) (2.12)

Les ja obiensde

Φ

sont estimési ien

(x, y) = (x, y)

. 2.2.4.5 Minimisation d'un ritère

Soit

C

un ritère, 'est-à-direune fon tion de lasse

C²

R^m× R^p

dans

R⁺

.Regardons tout d'abord le asdéterministe:on dénileve teur

p

-dimensionnel

y

ommel'argument pour lequel le ritère estminimumpourun ve teur donné

x

y =

ArgMin

z(C(x, z))

Une ondition né essaireetsusantepour obtenir un minimum lo alest

Φ(x, y)

= ^∂C

∂z^{(x, y) = 0}

H = ^∂

2C

∂z2(x, y)

déniepositive (2.13) La matri e

H

des dérivées se ondes est symétrique etest appelée matri e hessienne du ritère. Si l'on rempla e maintenant

x

par un ve teur aléatoire

x

, l'argument minimisant notre ritère est à sontourun ve teur aléatoire:

y=

ArgMin

z(C(x, z))

dénide manièreimpli itepar leséquations (2.13).Onpeutdon utiliserlesrésultatsde lase tion

pré édentepour al ulerlapropagation desmoments(toujoursau premier ordre):

y =

ArgMin

z(C(x, z))

Σ

= H

(-1)

.J_Φ_x.Σ

.J

Φx.H

(-1)

(2.14)

où

H

est al uléeen

(x, y) = (x, y)

J_Φ_x

est leja obien:

J_Φ_x = ^{∂Φ(x, y)}

∂x ^{(x, y) =}

∂²C(x, z)

∂x ∂z ^{(x, y)}

Cetteformule sera utilisée par exemple dansla se tion (8.1.3.1) pour al uler l'in ertitudesur

latransformation rigideminimisant les moindres arrésentrepointsappariés.

2.2.5 Modèle de bruit

Nousavonsvu au débutdu hapitre que toute mesureétait inévitablement bruitée. Si

x

est le ve teur exa t que l'on her he à mesurer, on ara térise samesurepar un ve teur aléatoire

x

dont nousne retiendrons quelamoyenne etla ovarian e

(x, Σ

x x

)

pourdesraisons d'e a ité informa-tiqueetpar eque 'estleplussouventsusant pour ara tériser lamajeurpartie del'information

exploitable.

Nousavonsdéveloppé jusqu'i iun ertainnombre d'outils pour propager l'in ertitudedansnos

al uls, maisilnousfautmaintenant regarderdeplusleshypothèsesraisonnablesquenouspouvons

faire surles mesures.En eet,nousavonsave notreapproximation

n

paramètrespourlamoyenne (

n

étantladimension denotreespa e),et

n.(n + 1)/2

paramètres pourlamatri ede ovarian e( ar elle estsymétrique).Quelle sont leshypothèsesraisonnablesquel'on peutfaire sur es

n.(n + 3)/2

2.2.5.1 Bruit additif

Le v.a.

x

ara térise la mesure du ve teur exa t

x

.On appelle bruit l'é art entre la mesure et lavaleur exa te.Dans le asde ve teurs, on ara térise eté art par ladiéren e desvaleurs:

e

= x− x

Observonsque ette formulationpermetde disso ierlavaleurexa tedu pro essusaléatoire qui

la perturbe. On peut alors envisager de omparer les bruits

e

x et

e

de mesure en deux points

diérents

x

y

:onditqueles bruitsde mesurede

x

y

sont identiquessi lesdistributions de

e

x et

e

sontidentiques.

Plusgénéralement,onappellebruit additifunpro essusdemesuredontlebruitestidentique

entoutpointdel'espa e

Rⁿ

.Lamesureden'importequelve teur

x

estdon ara tériséeenutilisant nosnotations par unve teur aléatoire

x= x + e_x

ave

e_x∼ (e, Σ

)

On onservei i l'indexation sur

x

dubruit additif pour bienmontrer queles v.a.sontdiérentsen haquepoint,même si leurdistribution estidentique. Notonsque silesmoyennesdubruit etde la

mesuresontdiérentes, leurs matri esde ovarian e sont identiques.

2.2.5.2 Distributionsidentiques et indépendantes

Sil'on répèteune expérien eetque l'on mesureplusieurs ve teurs

x_i

(un é hantillonsuivant laterminologie statistique),ondoit normalement ranger esmesures dansun seulgrand ve teur et

étudierlaloi onjointe.Siles onditionsdemesuresontlesmêmes,ilestsouventjustiédesupposer

quelesmesures suiventlamême loietqu'ellesnesont pas orrélées (n'ontpasd'inuen el'unesur

l'autre). Ce ise ara térisepar

x_i ∼ (µ, Σ)

E[ (x_i− µ).(xj− µ)

] = 0

i6= j

Lorsque l'on mesure des objets géométriques, on répète souvent une expérien e (par exemple

la mesure d'un point), mais en des empla ements diérents. On in lus don dans la notion de

distribution identique indépendante une hypothèse de bruit additif qui a pour eet de laisser libre

lamoyenne de haque mesure(lalo alisation), maisqui ontraint les ovarian es:

E[ x_i] = x_i+ e

E[ (x_i− xi).(x_j− xj)

] = δ_ij.Σ

2.2.5.3 Bruit entré

Ondistingue deux types d'erreur de mesure: les erreur systématiques etles erreursdites

aléa-toires. L'erreur systématique semodélise par une déviation de lamoyenne

x

de notre mesure par rapportàlavaleurexa te

x

.Puisque 'estenfaitlavaleurexa tequel'onveutmesurer,on onsidère généralement que etype d'erreur doitêtre orrigé, aubesoin par une alibration desinstruments,

de manière à n'observer que des mesures entrées autour de la valeur exa te. On dit don que le

bruit est entré si

x= E [ x ] = x

Dansle asd'un bruitadditif, elarevientà supposer unemoyenne nulle surlebruit:

2.2.5.4 Bruit gaussien

Comme nous l'avons déjà remarqué, il peut être parfois utile de onnaître la densité de

probabilité et non plus simplement ses moments, et l'hypothèse qui minimise l'information

I[ x| x = µ, Σ

= Σ ]

est ladistributiongaussienne

N (µ, Σ)

p(x) = p ¹

(2 π)n. det(Σ)^{. exp}

−^(x^{− µ)}

.Σ

(-1)

.(x− µ)

2

(2.15)

Par ailleurs, laloi normaleapparaît omme très pro he de ladistribution empiriques observées

sur de nombreusesmesures (enparti ulier d'erreur) etelle est de plus lalimitede nombreuses lois

dans ertaines onditions.Ona enparti ulier lethéorème de la limite entralequi assureque,

sous des onditions très générales, la somme de

n

v.a.r. indépendantes tend vers la loi normale lorsque

n

tend vers l'inni. On explique ainsi que la somme de petites erreurs indépendantes sur nosmesures produiseune erreur nale presquegaussienne.

2.2.5.5 Mesures aberrantes: gaussienne ontaminée

Enfait,ilpeutarriverquelesystèmedemesureutilisé produise detempsentemps desmesures

aberrantes, que l'on appelle d'habitude par angli isme outliers par opposition à inliers. Dans le

asd'une haînededemesureentraitementd'image,diversinexa titudespeuventse ombinerpour

induire un module en erreur, produisant ainsi une erreur grossière sur une estimation au module

suivant. Il est ainsi ourant (quoique l'on essaie d'en diminuer au maximum l'o urren e) qu'une

erreurd'appariement(unfauxpositif)fournisseunemesureaberrantepourl'algorithmedere alage.

Onmodélisehabituellement eserreursen

((

ontaminant

))

lebruitdemesureparunedensitéde trèsfortevarian e:si

p

estladensitéduve teurdemesurenormalementbruitéet

p_out

estunedensité de forte varian e modélisant les erreurs grossières, on é rira notre densité:

p

= (1− ε).p + ε.pout

où

ε

règle la probabilité que notre mesure soit aberrante. Dans le adre gaussien habituel, on a

p = N (x, Σ)

et il semble naturel de modéliser également la ontamination par une gaussienne:

p = N (µ, Σ_out)

.Onobtient ainsilemodèlestandard de lagaussienne ontaminée.

Enfait,lesmesuresaberrante n'ontau uneraisond'êtregaussiennesetilestplusraisonnablede

lesmodéliserave unedistribution uniformesurl'image (oulazonede mesure).Onobtientalors la

densité:

p

= (1−ε).N(x, Σ)+_V_Im^ε .1_Im

,où

VIm

estlevolumedel'image.Sil'onauneestimationde ladistributionthéorique dubruitdemesure

N (x, Σ)

,on peutalorséliminerlaplupartdesmesures aberrantesgrâ eàuntestdu

χ²

α

%.Unbon ompromispour lasserlesmesures omme orre tes ou aberrantesest

α = _V^ε

Im

Cette modélisation desmesures aberrantes sera utilisée à la se tion (8.5.1) pour éliminer dans

le re alage leserreurs provenant de lamise en orrespondan eet au hapitre (10) pour al uler la

probabilitéde fauxpositifetde fauxnégatif.

2.3 Quelques problèmes pour généraliser

La géométriea beau être, selonPas al, la s ien e la plus parfaite pournous

autres hommes, ellen'enprend pas moins,du point de vue même de

démonstration, des aspe ts forts variés,jusque dans les travaux mathématiques de

et auteur: on ne démontre pas, même lorsqu'on est entré dans le style

Nousavonsdéveloppéjusqu'i iquasimenttouslesoutilspourgérerl'in ertitudesurdesmesures

de ve teurs. Ces outils seront utilisés dans la se onde partie de e manus rit pour introduire les

statistiques dansles algorithmesde re onnaissan e etdere alage.

Leproblème quenousnousposons maintenant estleur généralisation àlamesurede primitives

géométriques telles que desdroites, desrepères,desrotations... Nousprésentonsdans ette se tion

quelques paradoxes potentiels qui illustrent les di ultés que nousavons ren ontrées et montrent

quel'on ne peutpas onsidérer impunément e typede primitives ommede simplesve teurs.

2.3.1 Utilité des primitives dans les algorithmes géométriques haut niveau

S'il est évident que les transformations ont leur rle dans e type d'algorithme, l'emploi de

primitivesgéométriquesplus omplexesquelespointsestsansdouted'unené essitémoinsre onnue,

ertainement à ausedesdi ultésque posent leur gestion.Nouspouvonsévoquer i itroisraisons

prin ipales pour l'utilisation de telles primitives.

Tout d'abord, e type de primitive émergenaturellement dansla modélisationde ertains

pro-blèmes. Enre onnaissan edesous-stru turesdansles protéines,la ongurationdansl'espa e d'un

a ide aminé est ara térisée (en première appro he) par la position de 3 atomes du squelette de

la protéine. Ces trois atomes ont toujours la même géométrie (voir gure (2.1) à droite), et les

ontraintes surlaposition de esatomes ne sont don pasdis riminantes. Le seul des ripteur

géo-métriqued'una ideaminéestdon sapose, 'est-à-diresapositionetsonorientationdansl'espa e,

soit en ore:unrepère.

1 t2

t

Dans le document L'incertitude dans les problèmes de reconnaissance et de recalage -- Applications en imagerie médicale et biologie moléculaire (Page 48-51)

Φ(x, y) = 0 etla ovarian e est donnée par

Σ

=



∂Φ

∂y



∂Φ

∂x Σ

∂Φ

∂x



∂Φ

∂y



Φ

(x, y) = (x, y)

C

C2

Rm× Rp

R+

p

y

x

y =

z(C(x, z))

Φ(x, y)

= ∂C

∂z(x, y) = 0

H = ∂

2C

∂z2(x, y)

H

x

x

y=

z(C(x, z))

y =

z(C(x, z))

Σ

= H

.JΦx.Σ

.J

Φx.H

H

(x, y) = (x, y)

JΦx

JΦx = ∂Φ(x, y)

∂x (x, y) =

∂2C(x, z)

∂x ∂z (x, y)

x

x

(x, Σ

)

n

n

n.(n + 1)/2

n.(n + 3)/2

x

x

e

= x− x

e

e

x

y

x

y

e

e

Rn

x

x= x + ex

ex∼ (e, Σ

)

x

xi

xi ∼ (µ, Σ)

E[ (xi− µ).(xj− µ)

∂x ^Σ

C²

R^m× R^p

R⁺

= ^∂C

∂z^{(x, y) = 0}

H = ^∂

.J_Φ_x.Σ

J_Φ_x

J_Φ_x = ^{∂Φ(x, y)}

∂x ^{(x, y) =}

∂²C(x, z)

∂x ∂z ^{(x, y)}

Rⁿ

x= x + e_x

e_x∼ (e, Σ

x_i

x_i ∼ (µ, Σ)

E[ (x_i− µ).(xj− µ)

E[ x_i] = x_i+ e

E[ (x_i− xi).(x_j− xj)

] = δ_ij.Σ

p(x) = p ¹

(2 π)n. det(Σ)^{. exp}

−^(x^{− µ)}

p_out

p = N (µ, Σ_out)

= (1−ε).N(x, Σ)+_V_Im^ε .1_Im

χ²

α = _V^ε