HAL Id: jpa-00233187
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Sur la stabilité du courant dans un supraconducteur
Léon Brillouin
To cite this version:
I.E
JOURNAL
DE
PHYSIQUE
ET
LE RADIUM
SUR LA
STABILITÉ
DU COURANT DANS UN SUPRACONDUCTEURPar LÉON BRILLOUIN.
Sommaire. 2014 Discussion de quelques difficultés relatives à l’interprétation de la supra-conductibilité. Une objection de F. Bloch, signalée dans un précédent article, est
exa-miné de près. L’étude détaillée du rôle joué par les perturbations montre qu’il peut arriver que les perturbations ne soient pas capables de réaliser la transformation de
Bloch, ce qui permettrait, assez exceptionnellement, d’obtenir la supraconductibilité. Critique d’un article de Frenkel
[Phys.
Rev., 43 (1933)917]
et indication du rôle que peu-vent jouer les forces d’induction, pour les électrons dans les métaux. Discussion descon-ditions de passage de l’état résistant à l’état supraconducteur.
SÉRIE VII.
-TOME
IV.
---DÉCEMBRE
1933.
N° 12.1. Les conditions d’existence
d’un
courantpermanent. -
Dans un travail récent(1),
j’avançais
une théoriequi
me semblaitcapable d’expliquer
lasupraconducti-bilité ;
F. Bloch a alors attiré mon attention sur une difficulté grave,qui s’opposerait
à lastabilité de toute
répartition
d’électronscomportant
un courantpermanent.
J’avais,
dansune
note,
indiqué rapidement
cetteobjection,
sans aboutir à une conclusion nette.A la
réflexion,
la difficultésignalée
par F. Bloch ne me semble pas absolumentinsur-montable et
je
voudrais enquelques
motsexpliquer
àquoi
elle se réduit. Considérons unmorceau de métal
supraconducteur,
traversé degauche
à droite par un courantperma-nent
lx. Quelles
conditions devront être satisfaites pour que ce courantpersiste
indéfini-menti Il faudra que les variations de la
répartition
desélectrons,
telles quepeuvent
enprovoquer les
irrégularités
du réseaumétallique
ou sonagitation thermique,
conduisent toutes vers des étatsd’énergie supérieure.
Autrementdit,
l’énergie
totale devra êtreminima,
parrapport
à toutes ces modifications de larépartition
des électrons. Maisl’énergie
ne
peut
et ne doit pas êt7ie niinima parrapport
à l’action d’uncharnp
extérieur. Il est de toute évidence que sij’applique
unchamp électrique
Fx,
j’obtiens
une variation del’énergie
totale ’
qui
serapositive
,ounégative
suivant lesigne
deFX.
Cette remarque presque triviale
peut
se traduire sous une forme un peudifférente,
sans que son contenu
physique
en soit le moins du monde modifié.Appliquer
unchamp
extérieur
Fx,
c’est provoquer uneaugmentation
uniforme de laquantité
de mouvement de+
tous les
électrons ;
l’électron kpossède
en t = 0 unequantité
de mouvement p ; à l’ins-tantdt,
cettequantité
de mouvement est devenue(I) J. Phys. t 4 ( 1933), p. 333; cité par la suite comme loc. cit.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. - SÉRIE
1’II. -
T. IV. - NO 12. - DÉCE-NIBRE 1933. 45.
Appliquer
unchamp
extérieurFx,
ou bien direqu’on
augmente
d’une mêmequantité
les
quantités
de mouvement de tous lesélectrons,
c’est exactementéquivalent;
iln’y
aqu’une
manièrephysique
de réaliserl’augmentation
uniforme desquantités
de mouvement desélectrons,
c’est par l’action d’unchamp
extérieur F.Fig. 1.
Nous allons maintenant modifier un peu notre
énoncé ; augmentons
uniformément de lagrandeur
Il a lesquantités
de mouvement de tous lesélectrons,
et cherchons de combien variel’énergie
totale. Si oc est trèspetit (égal à
dax),
iljouera
le rôle dee
F dt dans leséquations
(1)
et(2)
et nous aurons la relationÀ
Cette relation
(3)
nesignifie
rien deplus
que la relation(1)
d’où nous sommespartis :
un courant ouvert ne
peut pas
être enéquilibre
stable,
si l’onenvisage
l’action d’unchamp
électrique
extérieur !-
-Fig. 2.
En
pratique,
il est d’ailleursimpossible
de réaliser un courantouvert;
c’est unefiction
mathématique.
On nepeut
réaliserphysiquement
que des courantsfermés,
et lastabilité est alors obtenue par
équilibrage
des actions exercées sur les deuxbranches,
parle
champ
extérieur.2. La relation de F. Bloch et ses limites
d’application.
- Félix Bloch a trouvéque la relation
(3) s’applique
sans aucune modification enmécanique ondulatoire;
maisle sens
physique
réel de cetterelation,
tel queje
viens de leprésenter,
n’apparaissait
pas nettement dans le mode de calculemployé;
il semblait alors que cette relation conduise àune instabilité essentielle de tout courant
permanent,
et doives’opposer
à tout essaid’in-terprétation
de lasupraconductibilité.
Précisons,
pour éviter toutmalentendu,
la traduction enlangage
ondulatoire desformules
classiques
duparagraphe précédent. Chaque
onde~,
relative à un électron(k),
comporte
troisparamètres ah bk
eh, que l’onpeut
considérer comme lescomposantes
d’un+
vecteur a, dans un espace à trois dimensions. Ce
vecteur ak joue,
par lasuite,
exacte-ment le même rôle que laquantité
de mouvementclassique
(à
un facteur hprès),
de sorteSous l’action d’un
champ électrique
extérieurFx
les ait, c,1 se modifient[loc. cit.,
p.355, éq. 51,
fig. 11
J
ce
qui
se résume ainsirelation
identique
à(2).
Le raisonnement quej’ai indiqué
(loc.
cit.,
p. 355 et356]
ou celui que fait Blochfloc,
cit.,
p.361, éq.
61 et62]
montrent alors que, si l’onaugmente
unifor
-mément de cix tous les vecteurs on obtient une variation dE de
l’énergie
totalece
qui
redonne bien exactement la relation(3).
Il y a donccomplète équivalence
entre la formule(6)
de Bloch et les relations(3)
ou(1).
F. Bloch, observant la formule
(3),
en conclut que s’il existe un courant totalIx,
l’énergie
nepeut
être un minimum.En
effet,
par une translationd’ensemble,
de toute larépartition,
dans l’extension enmoments
(espace
a,b,
c),
on pourra diminuerl’énergie
totaleE,
jusqu’à
atteindre uncertain minimum
relatif,
où le courant se trouvera nul.Il y a, à ce
sujet,
une remarque essentielle à faire : est-il réellementpossible
que lescauses de
perturbations
produisent
cedéplacement
d’ensemble dans l’extension enmoments ? Il
s’agit
là d’une modification de larépartition, qui
seproduirait
d’une manière trèsexceptionnelle.
Unchamp
électrique
extérieurpeut
produire
ceglissement
d’en-semble,
mais il n’est pas certain que desperturbations
désordonnées(telles
que celles causées par lesirrégularités
du réseau oul’agitation thermique)
puissent
aboutir à unemodification si ordonnée de la
répartition.
Si lesperturbations
peuvent
produire
leglis-sement
d’ensemble,
il estimpossible
d’obtenir lasupraconductibilité.
Si aucontraire,
dans certains cas, lesperturbations
nepeuvent
provoquer ceglissement,
nous pourrons avoir un courantpermanent stable,
c’est-à-dire un métalsupraconducteur.
3. Comment les
champs
extérieurs déforment-ils unerépartition
donnée? Considérons la «première
zone o d’extension enmoments,
et supposons unerépartition
dans
laquelle
les électronsoccuperaient
(avec
les deux directions despins)
toutes les ondes dont lespoints représentatifs
a,b,
c, sont à l’intérieur d’une certaine surface Sarbi-traire. La
figure
3représente
une tellerépartition (réseau cubique) ;
j’y
ai tracé aussi(en
traitslégers),
les surfaces de niveau pourl’énergie partielle
Ei
(ai)
correspondant
àchaque
onde(surfaces d’égale
énergie
E;).
La surface limite 6" ne sera pasnécessai-rement une de ces surfaces de
niveau,
même si larépartition
correspond
à un minimum del’énergie
totaleEtoj.
L’énergie
totalen’est,
eneffet,
pas donnée par lasomme Y- E
desénergies partielles,
mais par uneexpression plus complexe (loc.
cil.,
éq. 5).
Pour toutes les modifications de larépartition
que nous aurons àenvisager,
cette formulepeut
semettre sous la forme
les termes soustractifs sont dus aux
phénomènes d’échanges,
entre électrons despins
parallèles. L’expression (7)
résulte de la discussion donnée(toc.
cil. S
9, éq.
42 Les termesd’échange
sont affectés d’unsigne
--- ; nous pouvons donc dire que les électrons seélectrons de
spins
parallèles
s’attiraient les uns les autres suivant une loi donnée par lestermes
d’échange.
Pour des électronslibres,
parexemple,
on a(~)
ce
qui correspond,
dans l’extension enmoments,
à uneénergie
d’attraction mutuellevariant comme l’inverse carré de la distance entre les
points
représentatifs ;
l~, forceFig. 3.
d’attraction varierait comme l’inverse cube de cette distance. Pour des électrons presque
liés,
l’expression
des termesd’échange
estplus
complexe,
maisdépend toujours
uni-a +
quement
de ai
- ak, c’est-à-dire du vecteur,
+ +
joignant
les deuxpoints représentatifs
ai et ak relatifs à deux électrons despins parallèles.
Comment la
répartition
de lafigure
3 est-elle modifiée par des causes extérieures~ Unchalnp électrique F,,,
egissant
pendant
untemps
dt. provoque unglissement
général
dela
surface S, parallèlement
à l’axe a, d’unelongueur e
Fxdt;
c’est le résultatrappelé
loc.î
cit., §
10,
éq.
Si,
etauquel je
faisais allusionun peu
plus
haut,
auxpremiers paragraphes..
Un
champ
magnétique
H, perpendiculaire
au
plan
de lafigure
3,
provoque des forcesde
Lorentz, proportionnelles
auproduit
[H X
vil
duchamp
par la vitesse desélectrons,
etperpendiculaires
auplan
fl,
vi. Lavitesse
des électrons(loc. cit., §
10, éq. 50)
est donnée par la relationla vitesse est
perpendiculaire
à la surface de niveauE,,
et d’autantplus grande
que les surfaces de niveau sontplus rapprochées.
La force de Lorentzf est
proportionnelle
à v et tournée de90%
cequi
l’amène suivant latangente
à la surface de niveau. C’est ce quej’ai
représenté
(fig. 3)
pour l’électron situé en P. Sous l’effet duchamp magnétique 11,
toute larépartition
tourne autour de 0. Les sections des surfaces deniveau Ei
par desplans
perpendiculaires
à H deviennent leslignes
d’écoulement. Larépartition
des électronsglisse,
lelong
de ceslignes,
comme un fluideincompressible,
dans l’extension en moments- +
La
force f
communique
aux électrons unevariation f dt de
leurmoment,
c’est-à-dire donne+
au
point
représentatif
p unevitesse -
f dans
l’extension en moments. Cette vitesse est hd’autant
plus grande
que les surfaces de niveau(devenues
deslignes d’écoulement)
sontplus rapprochées.
Lesystème
despoints
représentatifs
coule comme un fluideincom-pressible,
cequi
est bien d’accord avec leprincipe
de Pauli : la densité despoints
repré-sentatifs est initialement de 1 par cellule
(à
l’intérieur deS) ;
elle resteratoujours
de 1 par cellule d’extension en moments. J’aireprésenté (fig. 3)
par des flèches cette rotation(1)
J.Phys.,
t. 3 (1932), p. 510, éq 12 bis.Lorsque les intégrales d’échange ont la forme simple (8), l’attraction entre les points représentatifs a
d’ensemble de la
répartition,
lelong
des courbes deniveau E~ ; lorsqu’une
des courbes atteint la limite de lazône,
comme en lll parexemple,
il fautcomprendre
que toutélectron arrivant en AI sautera au
point homologue
.’1T,
sur le bordopposé
de la zône(~).
Cette
description
n’estrigoureuse
que si la rotationmagnétique,
que nous venons dedécrire,
conserveinchangée
la forme de la surface limite S. Eneffet, chaque
électron décritune
trajectoire
sur une surface oùl’énergie partielle
E;
est constante.L’énergie
totale(7)
> restera doncconstante,
à condition que les ter’mesd’échanges
ne soient pasmoclifiés ;
ceci n’est assuré que si la surface S
garde
mêmeforme ;
une telle condilion sera souventréalisée,
par des raisons desymétrie.
Mais si elle ne l’était pas, il faudrait recherchercomment se modifie l’action du
champ magnétique ;
de deux choses l’une : ou bien ladescription
ci-dessus reste exacte, et alorsl’énergie
totale dusystème
d’électrons seramodifiée par l’action d’un
champ magnétique,
cequi
semble bieninvraisemblable;
oubien la définition de la vitesse v est à
retoucher,
cequi
modifiera leslignes
d’écoulementdans l’extension en
moments,
mais alors il faudra étudier deprès
lephénomène,
pourvérifier que l’écoulement se fait bien comme pour un fluide
incompressible
etqu’en
outre lechamp magnétique
nechange
pasl’énergie
totale(7).
Je ne crois pas que l’onait,
jusqu’à
présent,
examiné cettequestion
du rôle desénergies d’échange
dans l’action duchamp magnétique
sur les électrons d’un métal.4. Rôle des
perturbations. -
Etudions maintenant l’effet desperturbations
duesaux
inégalités
de structure duréseau,
et à sonagitation thermique.
Cesperturbations
agissent
séparément
sur chacun desélectrons,
et ne
produisent
pas, comme deschamps
extérieurs ~’ ouH,
undépla-,cement d’ensemble de la
répartition.
Dans cesconditions,
lesénergies
d’échange
jouent
un rôle depremier
plan
(loc.
cit. §
9). Supposons,
eneffet,
que l’un des électrons saute deP en
0
(fig.
4),
sonénergie
partielle
Ei
augmente
d’unequantité à E,
quenous pouvons lire sur la
figure,
d’après
les courbes de niveauEi;
mais les
énergies d’échange
sont aussi fortementmodifiées ;
nous avons vuplus
haut que les termesd’échange
donnent une sorte d’attraction des
points représentatifs,
dansl’exten-sion en moments. Nous aurons
donc,
pour le saut t de l’électron i de P
~en
Q,
une variationd’énergie
totalesupérieure
à6. Ei
Fjg. 4.
à Etot,
- A F-1
-~-
variation des termesd’échange.
(10)
Nous pourrons tracer des surfaces
(-.-.-
fige
4) correspondant
à des sautsqui
donnentun
àEtot
donné;
ces surfaces ne se confondront pas avec les surfaces de niveauEi (~).
(1) Le mécanisme de ce saut est dû au champ self consistent. L. BRILLOUIN, rapport IX au Congrès de chimie-physique, oct. 1933, ~ 2, Hermann, Paris.
(2) La discussion donnée loc. cit., ~ 9 se bornait au cas où la surface limite S serait confondue avec
l’une des surfaces de dans ce cas, les surfaces A Etot = Cte avaient même forme que les surfaces Ei, mais avec un numérotage fort différent. Ce résultat n’est pas général.
Les du réseau
provoquent
des déviations «élastiques »
desélectrons,
c’est-à-dire des sauts où
l’énergie
totale resteinchangée
Chacun de ces sauts fera
glisser
un électron lelong
d’une des surfaces -.-. de lafigure
4. Si la surface Squi
limite larépartition
des électronscorrespond
à uneénergie
totale
minima,
elle se confondra avec une des surfaces constant Lessauts
(11)
pourront
alors faireglisser
les électrons lelong
de la surface S[ex.
saut/~i
1 ~QI,
fig.
4].
L’agitation
thermique
s"analyse
Pn ondesélastiques planes. Chaque
onde est
--définie par les
composantes
a,b,
c de son vecteur depropagation
a, dont lalongueur 1 a
1
1
est
égale
à .
Soit W la vitesse depropagation.
L’étude de l’interaction entre ces ondesélastiques
et lesondes 1,1’
relatives aux électrons montre que les transitionspeuvent
sepro-duire dans les conditions suivantes
e) :
L’électron absorbe un
quantum
h’’)pris
à l’ondeélastique,
ou bien au contraireperd
un
quantum h’J
que l’ondeélastique
absorbe ;
en mêmetemps,
l’électron subit une variation
-de
quantité
de mouvement h a. Dansquelles
conditions les transitions(12)
sont-elles pos-sibles~ Partons d’unpoint
P2
de l’extension en moments(fig.
4) ;
nous devons chercher unpoint
d’aboutissementQ2,
à unedistance
cc
1
deP2
etqui corresponde
à uneénergie
supé-rieure
(ou inférieure)
de h1
àl’énergie
deP2 ;
ceci n’estpossible
que si l’on a, enP ~
2La
figure 4 représente
une coupe de l’extension en moments, dans leplan
a,b ;
consi-dérons la comme une carte
géographique
oùEtot
seraitl’altitude;
les courbes -.-.-- sontles courbes de niveau.
Les conditions
(12)
indiquent
que la transition nepeut
seproduire
que lelong
d’unchemin de
pente
h W ;
un tel chemin existe si laligne
deplus grande
pente
a une inclinaisonsupérieure
àh W ;
on trouvera alors deuxchemins, représentés
enpointillé figure 4 .
Si lapente
maxima est inférieure àhW,
aucun cheminn’existe,
et aucune transition(12)
n’estpossible.
J’avais
déjà indiqué
cerésultat,
dans les livres citésplus
haut,
mais ennégligeant
lerôle des termes
d’échange.
J’écrivaisdonc,
dans la condition(13)
au lieu de rela-tion(13)
sesimplifiait
alors ainsi :où vi
était la vitesse des électrons.L’agitation thermique
du réseau est donc sans action surles électrons de faibles
vitesses,
c’est-à-dire sur ceuxqui
sont situés dans desrégions
de l’extension en moments oul’énergie
varie lentement(éq.13). L’agitation
thermique
nepeut
agir
que sur des électrons de vitessesupérieure
à celle du son(ondes élastiques)
dans lesolide.
5. Action des
perturbations
sur unerépartition dissymétrique
aveccourant. -- ÁBùmettons
qu’on
aitcréé,
dans lemétal,
unerépartition dissymétrique
desélectrons,
de sorte que la surface limiteSi
aitl’aspect
représenté
figure
5(à
gauche);
c"estce
qui
arrivera si l’on a faitagir
unchamp électrique
extérieur,
defaçon
à créer uncourant;
(1) Voir, par exemple, L. BIULLOUlN,
Statistiques quantiques,
Presse univ., Paris (1930), vol. 2, ch. VIII, s4,supposons maintenant
qu’on
supprime
lechamp
extérieur,
et cherchons comment les diversesperturbations
vontagir
pour éteindre cecourant,
en modifiant larépartition.
Fig.5.
Considérons d’abord le cas où les
irrégular’ités
duagiraient
seules ;
ellespro-voquent
des transitionsconservatives;
un électron sautera dePi
enQ1’
sanschangement
de 1
énergie
totale ;
après
un certaintemps
nous obtiendrons larépartition
représentée
figure
5,
àdroite;
cetterépartition
serasymétrique,
sansquantité
de mouvementglobale
ni courantrésultant ;
à l’intérieur d’une surface S’ nous aurons un entassementcompact
depoints représentatifs,
et toutautour,
un nuage depoints,
de densité décroissantlorsqu’on
s’écarte
de S’ ; l’énergie
totale esttoujours
la mêmequ’initialement,
mais nous avonsdissipé
la
quantité
de mouvement. Larépartition
finalecorrespond
à un gazélectronique
àtempé-rature élevée
lé,
tandis que le réseaumétallique
est resté à satempérature
initialeT,.
L’agitation thermique
du réseauproduit
un résultat tout différent. Les transitionsqu’elle
provoque ne sont pasconservatives,
etpeuvent dissiper
à la fois de laquantité
de mouvement et del’énergie.
Un électronpartant
deP2
(fig.
6,
àgauche)
arrivera, après
uneFig. 6.
série de transitions en un
point
P3
de moindreénergie;
l’électronpeut
ainsiglisser
lelong
de la surfaceSi ;
l’énergie qu’il perd
est,
autotal,
transférée sur les ondesélastiques
duréseau,
c’est-à-dire provoque un véritable échauffement de tout le métal.La
répartition
finale(fig.
5,
àdroite),
sera caractérisée par une surface limiteS2
symé-trique ;
les électrons dont lespoints
représentatifs
sont communs àSi
etS2
n’ont pas ététouchés. Ceux de la calotte de droite ont
glissé
dans la calotte degauche.
En outre lestem-pératures
se sontégalisées.
- Il
Le
glissement
des électrons lelong
de la surfaceSi
de droite àgauche
(avec
dissipation
d’énergie ! ~
réalise ainsi unchangement
derépartition
qui équivaut
exactement à celui que donnerait une translation d’ensemble de toute larépartition,
amenant S de61
enS2.
Doncl’agitation
thermique, agissant
librement sur larépartition
des électronspeut
réaliserl’équivalent
duglissement d’ensemble,
que nousenvisagions
au § §
1 et ~.Les
explications
queje
viens de donnerici,
avecfigures
etschémas,
représentent la
tra-ductionlittérale,
enlangage
courant,
de la théoriegénérale
de F. Bloch sur la conducti-bilité des métaux : si l’on faitagir
unchamp électrique
extérieur il seproduira
unglissement général
de toute larépartition
vers ladroite;
mais les mécanismes ci-dessuss’opposent
à cedéplacement
et en limitentl’amplitude.
On obtient alors undéplacement
fini,
proportionnel
à~x,
qui
donne un courantfini,
proportionnel
à Fx
et l’on calcule ainsi la conductibilité.En
conclusion,
nous voyons donc que lesirrégularités
etimpuretés
du réseaudissipent
laquantité
de mouvement(et
lecourant)
sanschanger l’énergie; l’agitation
thermique
dissipe
ces deuxgrandeurs
etpeut
réaliser unglissement général
de larépartition.
Sil’agi-tation
thermique
agit,
il est doncimpossible
d’avoir un courantpermanent,
et la supra-conductibilité nepeut
s’expliquer.
Toutes les
figures
3 à 6 sera,pportent
au cas d’un réseaucubique
simple.
6. Les
particularités
du réseaucubique
à facescentrées,
et leur relationpossible
avec lasupraconductibilité. -
L’essentiel, dans mon étudeantérieure,
c’étaitFig.7.
l’extension de la théorie aux
réseaux réels du
type
Bravais,
c’est-à-dire aucubique
centré etau
cubique
à faces centrées. Dansce dernier cas, en admettant des
électrons presque
liés,
j’ai
montréqu’on pouvait
trouver des circons-tances assezcurieuses,
etj’ai
re-cherché si ces
particularités
neseraient pas en relation avec la
supraconductibilité.
La
figure
7 résume cesrésul-tats. La «
première
zone >?, dansl’extension en moments est limitée par un
polyèdre
assezcompliqué
(loc.
cit.,
fig.
8)
dont la sectionaibi,
a la formereprésentée
fi-gure 7.Dans cette
section,
lescour-bes de niveau
7~.
pourpartielle
d’un électronpeuvent
prendre l’aspect
trèsparticulier
représenté,
avec 4 colsCi C2 C3 C4
et4 minima secondaires
~,
A2 A3 A 4 ;
lafigure
8représente
la variation del’énergie partielle Ei
dans une direction à 45°A3 C3 0 Cl A1 passant
par deux cols etdeux minima. La vitesse d’un électron est
toujours
définie par(9);
j’ai
représenté
dans lesenvirons de les vitesses des différents
électrons,
par des flèches.Comment vont se
répartir
les électrons # Si les minima secondaires sont peumarqués,
et si le nombre des électrons n’est pas très
grand,
ceux-ci serépartiront uniquement
dans la
partie
centrale de lapremière
zone, et tout se passera comme dans le casnormal,
décrit
au §
5. Le cas intéressant àétudier,
c’est celui où les électrons vont serépartir,
lesrépar-tition
d’énergie
minima serasymétrique,
avec autant d’électrons enAi
qu’en .A~, A3
ouAl¡.,
et un courant résultantnul;
tantqu’on
s’écartera peu de cetterépartition,
onobtiendra une conductibilité
normale,
pourvu que leséchanges
d’électrons entre le centre et lesrégions
~,
A2 ~3
A,
puissent
seproduire.
Pour la
partie centrale,
limitée par une courbe il y a peu de choses àsignaler;
irrégularités
du réseau etagitation thermique agissent
commeau § 5 ;
la limiteSo peut
donc se déformer et se
déplacer
librement. Mais que sepasse-t-il
pour desélectrons,
enfermés dans une
petite
zoneSi
auprès
d’un minimum?Auprès
de ce minimuml’énergie
Ei
varielentement;
sur lafigure
7 considérée comme une cartegéographique,
lesrégions
A sont trèsaplaties ;
il y a de très fortes chances pourqu’en
cetterégion
on aitles électrons ont de faibles
vitesses,
et deviennent insensibles àl’agitation thermique,
suivant nos remarquesdu § 4 (éq.
~.3). L’agitation
thermique
ne pourra pas provoquer depetits
sauts d’électronsauprès
de la surfaceSi,
suivant le mécanisme de lafigure
6. A hautetempérature, l’agitation thermique
pouira tout de mêmeintervenir,
etprovo-quer des sauts de
~~4
à~1,
parexemple (Cf. fig. 8) ;
ces sautscomportent
unegrande
varia-tion àa de la
quantité
de mouvement del’électron,
donc ungrand
quantum
h,~ de l’ondeélastique
(Cf.
éq.
12) ;
de telles transitions deviendrontimpossibles
à bassetempérature
car les seules ondes
élastiques
excitées à bassetempérature
sont celles de très faiblesfréquences.
Fig. 8.
Donc : à haute
température,
deséchanges
d’électrons entre larégion
So
et lesrégions
Ai ~2 A3 A4
sontpossibles ;
on trouvera une conductibilité normale. A bassetempérature,
ces
échanges
s’arrêtentcomplètement; l’agitation thermique
n’agit
plus
sur les électronssitués en
A, A2 A3 ou A,~.
Reste l’effet desimpuretés
etirrégularités
duréseau ;
cesirrégu-larités ne causent que des transitions conservant
l’énergie
totale ;
si ces transitionspeuvent
faire sauter les électrons deAi
enA~, A~,
~9~
ou6~
cela doitsuffire,
avec l’action del’agitation thermique
surSo,
pour redonner une conductibilité normale.Mais admettons à titre
d’ hypothèse
que lesirrégularités
du réseau nepuissent
pasprovoquer de sauts
de A1
enSo
ou deA
1 en A2,A3,
A*.
Il me semblequ’alors
nous obte-nons lasupraconductibilité.
Supposons
réalisée une distribution d’électrons dutype
représenté figure
7,
avec leplus grand
nombre d’électrons à l’intérieur d’une limiteSo,
et unpetit
paquet
d’électronsdans une
poche Si, auprès
deAi ;
aucun électron en~2, A3
niA-,,.
Comment une tellerépar-tition,
abandonnée àelle-même,
va-t-elle. évoluer? Les électronsde 8i
ne sont soumisni se déformer comme elle le ferait si les électrons étaient sensibles à
l’agitation thermique.
En gros, le groupe d’électrons81
reste immobile dans son minimumAi,
Les électrons du groupe
So
sont soumis àl’agitation thermique;
la surfaceS°o peut
sesdéformer et se
déplacer.
Or les termesd’échange
donnent,
nous l’avons vu(§
3, éq. 7,
8),
une sorte d’attraction dans l’extension en
moments ;
cette attraction entreS1
et80
vadéformer S,,
et lui donner une forme enpoire,
dissymétrique,
avec courant résultant versla droite....LBu contraire
S1
reste à peuprès symétrique,
avec courantnul;
autotal,
il y aura donc un courant résultantpermanent.
Si
l’agitation
thermique
agissait
sur les électrons du groupeS1,
cette surfaceSi
pour-rait se déformer elle
aussi,
et subirait l’attraction deSo ;
elle sedéplacerait
vers8o
et donnerait un courant résultant vers lagauche.
Dans l’étatstable,
le courant deSo
et celuide 81
secompenseraient
exactement. Il ne serait pas nécessaire d’avoir des sautsd’élec-trons entre
A1
et~S~
ou A2A~
.A.4.;
larépartition
finale décrite ci-dessus donnerait un étatmétastable,
sanscourant;
c’est cequ’on
voit facilement enappliquant
séparément à 80
et81
les relations de F. Blochrappelées
aux§§ 1
et 2.Mais si
l’agitation thermique n’agit
pas, dans larégion
+l i ,
et que l’effet desimpuretés
soit limité suivant monhypothèse,
il me semble que le raisonnementprécédent
est correct et montre que larépartition
finale,
métastable. aura un courant résultant.Le
problème
du rôle exactjoué
par lesimpuretés
serait à étudier deprès.
Je dois auprofesseur
,Simon
la remarquesuivante,
qui
meparait importante :
lessupraconducteurs
seraient des corpsqui,
encristallisant,
éliminent leursimpuretés,
de sortequ’ils
sepré-sentent comme des cristaux purs, avec de
temps
entemps
despaquets
d’impuretés,
ras-semblés. On
pourrait
alorscomprendre
que le courantpuisse
trouver des cheminssupra-conducteurs,
libresd’impuretés,
au travers du métal ainsi cristallisé.7. Le passage de l’état résistant à l’état
supraconducteur. -
Dans le cadre de ce schémagénéral, j’ai essayé
d’évaluer comment se fait le passage de l’étatrésistant,
Fig. 9.
ordinaire,
à l’étitsupraconducteur.
Sans entrerdans le détail de ces
calculs,
d’ailleurs fortgros-siers,
je
dirai seulement que la théorie conduitnécessairement à
prévoir
une transitioncontinue,
du genre
représenté
sur lafigure
9;
la transition seferait entre deux
températures
7B
et1’2,
et l’inter-valleTi T2
pourrait
être de l’ordre degrandeur
de l’intervalle0 Ti,
Ceci semble en contradiction avecles faits
expérimentaux,
qui
indiquent
un passagebrusque.
Mais ces passages
brusques
s’observent surdes monocristaux. Je relève les courbes ci-contre
(fig. 10)
durapport
de De Haas etVoogt
auCongrès
d’électricité de
juillet
1~3~~. La courbe 1 serapporte
à un fil
polycristallin,
la courbe2,
à un filcomposé
dequelques
groscristaux,
et la courbe 3est relative à un
monocristal;
le métal est de l’étain. Il est trèsremarquable
de voirque le
ynonocrÍstalest plus
qu’un
fil polycristallin.
J’incline donc à penserqu’il
y a dans le monocristal une causeparticulière d’empêchement, qui
retarde l’établissement durégime
supraconducteur
et rend le passage d’unrégime
à l’autre anormalementbrusque.
Je consi-dérerais alors la courbecontinue
(11)
commecorrespondant
à l’état actuel de la théorie quej’ai esquissée (1).
Pouvons-nous
imaginer
cequi
seproduit
dans le monocristal? Les courants desupra-(1) De Haas explique ce fait en remarquant que des cristaux déformés ont une température
critique-plus haute, au moins pour le cas de l’étain ; dans le fil polycristallin, les cristaux seraient assez
déformés,-ce qui interpréterait la courbe 4. Cette remarque peut parfaitement s’accorder avec le point de vue que
conductibilité,
dans mathéorie,
nepeuvent prendre
que des directions bien définies parrapport
au réseaucristallim;
les courants élémentairessont,
dans ce cas, trèsrigoureuse-ment
parallèles
entre eux; cecipeut
gêner
la formation de courantpermanent
dans un filmonocristallin mal orienté par
rapport
aux axes ducristal;
il sepeut
aussi que leparallé-lisme exact des courants donne une valeur anormalement
grande
auxénergies
d’inductionmutuelle dont
je parlerai plus
loin.,
Fig. 10.
Daus un fil
polycristallin,
le courant trouveratoujours
un chemin enzig-zag,
lelong
duquel
il pourra circuler. Je crois que pour éclaircir cesproblèmes,
il seraitindispensable
de rechercher
expérimentalement
si les chemins de passage du courantsupraconducteur
possèdent
réellement des orientations bien définies dans lecristal,
et si celles-cicorres-pondent
auxprévisions ;
il me semble que c’est surtout pour les cristauxcubiques
à facescentrées que l’étude serait
instructive,
puisque
lesprévisions théoriques
sont très nettes dans ce cas; enoutre,
je
pense que pour voirapparaître l’asymétrie
deconductibilité,
ilfaudrait
opérer
à unetempérature
pastrop basse,
juste
avant l’établissement durégime
supraconducteur complet,
c’est-à-dire dans larégion
où seséparent
les courbes de lafig.10.
8. Les forces d’induction entre les électrons dans les métaux. - Je veuxmaintenant dire
quelques
mots d’un article de Frenkel(1) auquel je
faisais allusion à la fin demon
travail ;
cet auteur y cherchait uneinterprétation
de lasupraconductibilité,
mais sescalculs étaient très
grossiers
et nepouvaient
donner,
s’ils avaient été suivisjusqu’au
bout,
que la self-induction. Il y a
pourtant,
dans ce travail deFrenkel,
une remarquequi
n’estpas sans valeur.
On a omis de tenir
compte,
dans la théorieélectronique
desmétaux,
de forcescapables
de
jouer
un rôle trèsimportant,
ce sont les forcesd’induction ;
deux éléments de courant
-i dl et i’ dl’ à distance r l’un de l’autre ont une
énergie
potentielle
Mesurons les courants en unités
électrostatiques,
etsoient j et j’
les densités decou-rant,
l’énergie
d’induction s’écrira :pour deux éléments de volume d ~ et distants de r.
La somme de ces
énergies,
pour un conducteurmétallique
parcouru par uncourant,
peut
être fortimportante ;
mais iln’y
a rien de bien nouveau : c’estl’énergie
deself-induc-tion du
circuit,
- et Frenkel semble avoir tout à fait omis cepoint.
L’énergie
de self-induction d’un circuit secalcule, classiquement,
en admettant que leconducteur est parcouru par un courant constant et uniforme. La théorie des
métaux,
d’autrepart,
nous donne desondes fi
au travers du réseauionique,
et ces ondes n’ontpas une
amplitude
constante;
lorsqu’on
calcule le courantcorrespondant
à l’une de cesondes,
ce courant a une certaine valeur moyenne etprésente d’importantes
fluctuationslocales,
autour de cette valeur moyenne, ce quej’écrirai
en
appelant}
(x,
y.z)
lapartie périodique
dansl’espace,
et de moyenne nulle. Lapart
dueaux
termes j j’
dansl’énergie
(16)
estdéjà
calculée commeénergie
deself-induction ;
iln’y
apas lieu
d’y
revenir. Lestermes j° Ù’
donneront une moyennenulle ;
reste à tenircompte
desN «,
termes j j et
voir si leur contributionpeut jouer
un rôle. Comme nous avons mis àpart
les termes moyens constants, nous n’avons
plus
à nous occuper de la forme ducircuit,
etnous pouvons calculer les
termes j
pour un métalinfini ;
les conditions aux limites du métal n’interviennentplus.
9. Les courants fournis par les ondes dans un métal. - Considérons un
métal,
constitué par un réseau d’ions et des électronslibres;
ces électrons sontreprésentés
par des
ondes ~
dutype
suivantles
grandeurs ha,
hb, hc,
jouent
le rôle de laquantité
de mouvement del’électron;
l’ampli-tude A
(x,
y,z)
estpériodique
etprésente
lapériodicité
duréseau,
tantqu’on
ne considèreque des réseaux
simples
de Bravais.Si le réseau est
cubique,
demaille d,
1-’amplitude A
présente
lapériode
d par
rapport
à x, y, z
etpeut
sedévelopper
en série de Fourier , , , ,Dans ces
expressions
les coefficientsA~
sontdes fonctionsde a, b,
c. La densité decourantj
est unematrice,
nondiagonale,
qui
sereprésente
parl’expression
connueSi a
# a’,
le terme n’est pasdiagonal,
et devra êtrecompté
commeappartenant
à la, ,
partie
périodique j
du courant.Si le terme est
diagonal,
il sesimplifie
ainsi :avec
dans ce terme
diagonal,
nousvoyous
comment onsépare
le courantmoyen jx
constantet le
courant j
périodique
en fonction de x, y, z, et de moyennenulle;
la somme1’«,,
estprise
pour toutes les valeurs entières de a"p" -(" excepté
0,
0,
0. On vérifie facilement que lesexpressions (21, ~~~)
sonttoujours
réelles,
tandisque A
(x
y,~)
ne l’est pas.D’après
la formule(16), l’énergie
d’induction faitapparaître
leproduit
de deuxcourants j (x) et j (x’)
pris
en deuxpoints
différents. Il faut ici faire attention etdistinguer
soigneusement
deux cas biendistincts,
qui correspondent
à l’induction d’un électron surlui-même
(self-induction
del’électron)
ou à l’induction mutuelle de deux électronsdiffé-rents.
10. Self-induction d’un électron
unique ;
induction mutuelle de deuxélec-trons. - Considérons tout d’abord un électron
unique,
caractérisé par une série de nombresquantiques
a,a’, a",
etc. ;
dans la formule(1b),
nous avons unproduit
de deuxmatrices j (x) et j (,~’) ;
l’énergie
d’induction sera elle-même unematrice, dépendant
dedeux nombres
quantiques
a,a’,
et nous devrons écrire la formule(16)
de la marnièresuivante :
la sommation sur
afl, bl!,
c"répond
auxrègles
usuelles demultiplication
desmatrices ;
l’intégration
sur d t et dr’ donneral’énergie
totale. Je n’entrerai pas dans le détail descalculs
qui
s’effectuent enremplaçant
l’intégration
en parl’usage
de la relation deLaplace; je
dirai seulement que, ntême en éliminant le rôle des courants moyensj,
et en negardant
dansl’intégrale
que lesparties périodiques
j,
onobtient
toujours
uneexpres-sion
divergente.
Ils’agit
là d’un casparticulier,
et trèssimplifié,
desdivergences
que l’on trouve dans la théoriequantique
deschamps,
deHeisenberg
et Pauli. Ces termes infinis de self-induction dechaque
électron sur lui même devront être laissés decôté,
au moinsprovisoirement.
Passons maintenant à l’étude de l’induction mutuelle de deux
électrons,
l’électron 1 a- -une
onde
x,);
le courantn° 1
est une matricedépendant
de deux indices ai,a’, ;
2013
2013>-le courant n° 2 est une matrice avec deux indices a2,
a’ ;
l’énergie
d’induction mutuelle(i6)
se
présente
alors comme une matricedépendant
des 4 indicesquantiques.
L’énergie
d’inductiontotale,
pour tous les électrons d’un métal s’obtiendra en faisant lasomme des
expressions (24)
pour tous lescouples
d’électronspris
deux à deux.se-690
rendre
compte
del’importance
qu’ils possèdent,
et du rôlequ’ils
peuvent
jouer
dans la théorieélectronique
des métaux. Je me contenterai d’une remarquequi
meparait
presqueévidente,
et mériterait une démonstrationprécise.
Considérons l’extension en moments(ou
l’espace
des a, b,
c);
dans cet espace, les électrons de conductibilitéremplissent
unepartie
de la «première
zône ».Supposons qu’ils
occupent
toute larégion
située àl’inté-rieur d’une certaine surface S
(fig.
Fig. 11.
Si la surface S est
symétrique
autour del’origine,
nous sommes sûrs que larépartition
+ 2013
-ne
possède
aucun courantpermanent;
àchaque
onde a, donnant un courantmoyen j
(a)
2013"
correspond
une onde - aqui
donne un courantopposé;
mais il faut remarquer que lacom-pensation
porte
non seulement sur les courantsmoyens j
mais aussi sur les termesoscilla-, oscilla-, , ,
toires j
qui s’équilibrent complètement.
Il me semble certain que, dans cesconditions,
les termes(24)
d’induction mutuelle vont aussi se compenser et que l’on aura(pour
les termesdiagonaux).
Si l’on s’écarte d’une manière
quelconque
de cetterépartition symétrique (par exemple
en déformant ou
déplaçant
la surface limite S) on aura un courant moyen total J et uneénergie
inductive dutype
le coefficient ll
dépendant
de la nature de la déformationappliquée
à la surface S.Il
