Suites et séries de fonctions (corrigé niveau 2).

(1)

Suites et séries de fonctions (corrigé niveau 2).

Convergence simple et uniforme de suites de fonctions.

24. a. Pour

x

fixé dans [0,1] :

• si :

x

∈ [0,1[, la suite (u_n(x))converge vers −1^,

• si : x=1, la suite (u_n(1))est constante égale à 0 et converge donc vers 0.

Il y a donc convergence simple de (u_n) vers

u

, définie par : ∀

x

∈ [0,1[, u(x)=−1, et : u(1)=0. Puisque toutes les fonctions u_n sont continues sur [0,1] et que

u

ne l’est pas, il ne peut pas y avoir convergence uniforme de (u_n) sur [0,1].

On peut d’ailleurs remarquer que : ∀

n

_∈ *, sup sup 1 lim ( ) ( )

[ 1 1 , 0 [ ]

1 , 0 [

x u x u u

u u

u _n

n x

n − = − = = −

<→ .

Il n’y a donc convergence uniforme de (u_n), ni sur [0,1], ni sur [0,1[.

Pour : 0<a<1, en revanche : ∀

n

_∈ *, ∀

x

_∈ [0,a], _n ⁿ

n n

n

a

x x x

x x u x

u 2 .

1 . 1 2 1 ) 1

( )

(

≤

= + + +

= −

− .

On en déduit que : _n ⁿ

a

a u

u 2.

sup

] , 0 [

≤

− ^{, et (}un) converge uniformément sur [0,a] vers

u

. b. Pour

x

fixé dans [0,1], on a :

• si : x=0, ou : x=1, la suite (u_n(x))est constante égale à 0 et converge donc vers 0,

• si :

x

∈ ]0,1[, la suite (u_n(x)) converge vers 0, du fait du théorème des croissances comparées.

Donc la suite (u_n) converge simplement sur [0,1] vers la fonction nulle (notée

u

).

On peut ensuite, pour

n

fixé non nul, étudier les variations de u_n et constater qu’elle reste négative et atteint un minimum en : x e ⁿ

−1

= , où elle vaut e

−1^.

Donc : ∀

n

_∈ *,

u e

u_n 1

sup

] 1 , 0 [

=

− , et la suite ne converge pas uniformément sur [0,1].

En revanche, sur [0,a], avec : 0<a<1, ∃ n₀ ∈ *, ∀ n≥n₀^,a e ⁿ

−1

≤ , car la suite (e ⁿ

−1

) tend vers 1.

Donc : ∀ n≥n0^,sup ( )

] , 0 [

a u u

u_n _n

a

=

− , et la suite des sup tend vers 0.

Il y a donc convergence uniforme de (u_n) sur [0,a].

c. Pour

x

fixé :

• si : x=0, la suite (u_n(x)) est constante égale à 0 et converge donc vers 0, • si : x>0, la suite (

n. x

) tend vers +∞ et la suite (u_n(x)) tend vers

2 π _,

• si : x<0, par imparité, la suite (u_n(x)) tend vers 2

−π ^.

La suit (u_n) converge donc simplement sur vers la fonction

u

, nulle en 0 et valant

).2

( π

x

signe sinon.

Toutes les fonctions u_n étant continues sur alors que la fonction limite ne l’est pas, il n’y a pas convergence uniforme de (u_n) vers

u

sur .

Soit ensuite : a>0.

Alors : ∀

n

∈ , ∀

x

∈ [a,+∞), 



 



≤ 



 



= 

−

=

−u x nx nx na

x u_n

. arctan 1 .

arctan 1 )

. arctan(

) 2 ( )

( π _.

Donc : 



 



≤ 

+∞ u_n −u na

a .

arctan 1 sup

) , [

, et (u_n) converge uniformément sur [a,+∞) vers

u

. Par imparité, on a le même résultat sur (−∞,−a].

(2)

25. Soit tout d’abord

x

fixé dans [0,1].

• si : x=0, la suite (u_n(0)), est constante égale à 0 donc converge (vers 0), • si :

x

∈ ]0,1], ∃ nx ∈ , ∀ n≥nx^, x

n ≤

+1

1 ,

et la suite (u_n(x)) est constante nulle à partir du rang n_x, et converge donc vers 0.

La suite (u_n) converge donc simplement sur [0,1] vers la fonction nulle (notée

u

).

On peut ensuite remarquer que : ∀

n

_∈ , _n

n n

n u u u

u

] 1 , 1 0 ] [

1 , 0 [ ]

1 , 0 [

sup sup

sup

+

=

− .

Puis sur l’intervalle restant, la fonction u_n est positive et atteint son maximum en

) 1 .(

2 1

+

n , où elle vaut 4

) 1 (n+ ^α⁻²

, d’où : ∀

n

∈ ,

4 ) 1 sup (

2

] 1 , 0 [

+ −

=

−

n

^α

u

_n .

La suite converge donc uniformément sur [0,1] si et seulement si : α <2^.

Remarque : quelque soit la valeur de α, la suite converge uniformément sur [a,1], avec : 0<a<1.

26. a. Pour

x

un réel fixé : ∃ nx _∈ , ∀ n≥nx,

x

<

n

^{, et :} 



 



 



 



 −

=



 



 −

=

n

n x n

x x f

n

( ) 1 exp . ln 1

,

et un développement limité montre que cette suite tend vers e⁻^x. Donc la suite ( f_n) converge simplement sur vers f : xae⁻^x_. b. Soit maintenant un entier

n

fixé : n≥2.

On peut tout d’abord remarquer que : ∀

x

_∈ [0,n[,

n x n

x≤−



 



1−

ln , donc : f_n(x)≤e⁻^x. Puis : ∀

x

_∈ [0,n[, ( ) ( ) 1 u (x)

n e x

x f x

f _n

n x

n  =



 



 −

−

=

− ⁻ ^{, et :}

1

1 )

( '

−

− 



 



 − +

−

=

n x

n n

e x x

u .

Sur [0,n[, on a : (u_n'(x)=0) ⇔ ( 



 



 −

−

=

− n

n x

x ( 1).ln 1 ).

Posons alors : ∀

x

∈ [0,n[, 



 



 −

− +

= n

n x x x

v_n( ) ( 1).ln 1 , ce qui donne :

x n x x v_n

−

= 1− ) (

' .

On constate que v_n' est positive sur [0,1], nulle en 1 et négative sur [1,n[.

Donc v_n s’annule en 0, est croissante sur [0,1] puis décroît strictement sur [1,n[ et tend vers −∞^en

n

. Donc v_n s’annule une seule fois sur ]0,n[ en une valeur

α

_n^{, et}un^' s’annule une seule fois sur ]0,n[ en

α

_n, qui vérifie :

1

−

− 



 



 −

=

n n

e αⁿ

α

n . u_n est alors :

• croissante sur [⁰^,

α

_n] puisque : f(0)− f_n(0)=0, et : ∀

x

_∈ [0,n[, f(x)− f_n(x)≥0, et : • décroissante sur [

α

_n,n^[.

Finalement : ∀

x

∈ [0,n[,

n e e n

e n u

x f x f

n n

n n n

n n

α α

α

α α α

α

⁻ ⁻ = ⁻







 



 



 −

−

=



 



 −

−

=

−

≤ .

1 1 . 1

) ( ) ( ) (

0 .

Et comme la fonction : xax.e⁻^x, est continue sur ⁺, nulle en 0 et de limite nulle en +∞, elle est bornée sur ⁺ par une valeur K, d’où on déduit que : ∀

x

_∈ [0,n[,

n x K f x

f( )− _n( ) ≤ . Par ailleurs : ∀

x

∈ [n,+∞),

f ( x )

−

f

_n

( x )

=

e

⁻^x ≤

e

⁻ⁿ, et on déduit que :

∀ n≥2, _n ⁿ e ⁿ

n e K n f K

f ⁻ ⁻

+∞ − ≤max( , )≤ +

sup

) , 0 [

.

(3)

En conclusion, la suite ( f_n) converge uniformément sur ⁺ vers P_n. 27. a. Notons : ∀ n≥1, ∀

x

∈ [0,1],

n x x x

x

g_n .(1 )

)

( = + − ^.

Alors g_n est de classe C¹ sur [0,1] pour tout entier : n≥1, et : ∀ n≥1, ∀

x

_∈ [0,1],

n x n

n x x

g_n 1 2. ( 1) 2. 1

) (

' = + − = + − .

Donc : ∀ n≥1, ∀

x

∈ [0,1], ( 1) 2 1 0 )

(

' ≥ + − = − ≥

n n n

x n

g_n , et g_n est croissante sur [0,1].

On en déduit que : gn([0,1])=[gn(0),gn(1)]=[0,1].

Donc : ∀ n≥1, ∀

x

∈ [0,1], g_n(x) ∈ [0,1], et f_n(x) existe.

b. Pour :

x

∈ [0,1], fixé, la suite 



 



 + −

n x x x.(1 )

tend vers

x

, et par continuité de f en

x

, la suite ( f_n(x)) tend vers f(x).

Donc la suite ( f_n) converge simplement sur [0,1] vers f . Enfin le théorème des accroissements finis garantit que :

∀ n≥1, ∀

x

_∈ [0,1], ∃ cn_,x _∈ [0,1], .(1 ). '( ) )

( )

( _n_,x

n f c

n x x x

f x

f − = − .

Notons alors M un majorant de

f '

sur [0,1] (qui existe puisque f est de classe C¹ sur [0,1]) et : ∀ n≥1, ∀

x

∈ [0,1],

n M n

x M x

x f x

f_n − ≤ .(1− ) ≤ .

) ( )

( ,

d’où on déduit que : ∀ n≥1,

n x M f x f_n

x

≤

∈ ( )− ( )

sup

] 1 , 0 [

, et la suite ( f_n) converge uniformément sur [0,1] vers f .

28. a. Puisque la suite (P_n) converge uniformément sur vers P_n, on peut affirmer que, pour : 0 2 1 >

ε

= ^{, il} existe un entier naturel N tel que : ∀ n≥N,

2 sup^Pn − ^f ≤

ε

= 1

R

.

_∈ , P_n =P_N +a_n, où : a_n _∈ .

La suite (P_n(0)) converge puisque (P_n) convergeant uniformément, elle converge simplement sur . Donc de l’égalité : ∀

n

_∈ , a_n =P_n(0)−P_N(0), on en déduit que la suite (a_n) converge vers une limite qu’on peut noter α.

On en déduit que : ∀

x

_∈ , ∀

n

_∈ , P_n(x)= P_N(x)+a_n, et en passant à la limite, on en déduit que : f(x)=P_N(x)+

α

,

autrement dit, P_n est une fonction polynomiale.

29. Il suffit d’écrire :

∀

x

∈ I, u x u x u y u y u_n u

J n

J y

n − ≤ − = −

∈ ( ) ( ) sup

sup )) ( ( )) (

(

ϕ ϕ

^{, d’où :} û ô ûo ûn û

J n

I

−

≤

− sup

sup ϕ ϕ ^.

Le théorème des gendarmes garantit alors que (ûnôϕ) converge bien uniformément sur I vers ûoϕ^. 30. Notons M_f et M_g des majorants de

f

et de

g

( x )

−

g ( x )

^. Puisque (g_n) converge uniformément sur I vers g, on sait que ( g_n g

I

−

sup ) tend vers 0 donc est une suite bornée : notons M un majorant de cette suite.

Alors : ∀

n

_∈ , ∀

x

_∈ I, _n _g

I n

n x g x g x g x g g g x M M

g ( ) ≤ ( )− ( ) + ( ) ≤sup − + ( ) ≤ + .

D’où : ∀

n

∈ , ∀

x

∈ I, f x g x f x g x M M f f M g_n g

I f n

I g n

n( ). ( )− ( ). ( ) ≤( + ).sup − + .sup − ,

et donc : ∀

n

_∈ , f g f g M M f f M g_n g

I f n

I g n

n I

− +

≤

− . ( ).sup .sup

.

sup .

Le théorème des gendarmes permet de conclure à la convergence uniforme de ( f ._n g_n) sur I vers f .g. Convergence simple, uniforme ou normale de séries de fonctions.

31. a. Pour

x

fixé, la série



≥1

) (

n n x

u vérifie le critère spécial des séries alternées et donc converge.

Puisque : ∀

x

∈ ⁺*,

n x x x

n x x

u_n 1

). 1

~ ( ) 1 1 .(

ln )

(  +



 



 + +

= +∞ , la série n’est pas absolument convergente

et il n’y a convergence normale de la série de fonctions sur aucun intervalle dans ⁺ (autre que {0}).

Enfin, le fait que le critère spécial s’applique pour tout

x

garantit que : ∀ n≥1, ∀

x

∈ ⁺,

1 1 ) 1 ).(

1 ( ) 1 ).(

1 1 (

ln ) ( )

( ₁

≤ + +

≤ +



 





+ + +

=

≤ ₊

n x n

x x

n x x

u x

R_n _n , et :

1 sup 1

≤ +

+ R_n n

R

.

Il y a donc convergence uniforme sur ⁺. b. Pour

x

fixé dans ⁺*,

• si : x=1, la série diverge grossièrement, puisque : ∀ n≥1,

2 ) 1 1 ( = un , • si : x<1, alors : _n _n _n _n xⁿ

x x x x

u =

= + ₋

∞

− +

~ 1 ) 1

( , et la série converge,

• si : x>1, alors :

n n

n n n

x x x x x

u 



 



=

= +

∞

− +

1

~ 1 ) 1

( , et la série converge.

Donc il y a convergence simple sur ]0,1[ et sur ]1,+∞).

Puisque les fonctions sont positives, on a : ∀

n

_∈ *, 0≤S(x)−S_n(x)= R_n(x)^{, et :}u_n₊₁(x)≤R_n(x)^. Puisque :

2 ) 1 ( lim ₁

1 ₊ =

→ u_n x

x , et : ₊ =+∞

→ ( )

lim ₁

0u_n x

x , il ne peut pas y avoir convergence uniforme sur des intervalles ayant pour borne une de ces valeurs.

Sur : [a,b] ⊂ ]0,1[, on a : ∀

n

∈ *, ∀

x

∈ [a,b], _n _n _n _n xⁿ bⁿ x

x x x

u ≤ = ≤

= +1 ₋ 1₋ )

( ,

et sur : [a,+∞) ⊂ ]1,+∞), on a : ∀

n

_∈ *, ∀

x

_∈ [a,+∞),

n n

n n n

a x x x x

u 



 



≤ + ≤

= 1 ₋ 1 1

)

( .

On en déduit la convergence normale et uniforme de la série sur les intervalles proposés.

c. Il est clairement nécessaire d’avoir : 1 1

1 <

+

− x

x , pour que la série



≥1

) (

n n x

u puisse converger.

Donc on doit se restreindre à : x>0. Pour

x

fixé, x>0, alors :

n

n x

n x x u

n +

= − 1 .1 ) (

. ⁴

2 , tend vers 0 (théorème des croissances comparées).

Donc la série



≥1

) (

n n x

u converge et la série de fonctions converge simplement sur ]0,+∞).

On remarque ensuite que la fonction :

x x x

+

− 1

a1 , est strictement décroissante sur ]0,+∞).

(5)

Sur [a,b] ⊂ ]0,+∞), on pose : 



 





+

− +

= −

b b a a

1 ,1 1 max 1

α ^{, et :}∀

n

∈ , ∀

x

∈ [a,b],

u

_n

⁽ x ⁾

≤

n

²

^. α

ⁿ^.

On en déduit que la série de fonctions converge normalement (donc uniformément) sur [a,b].

Puis, sur ]0,a] ou [a,+∞), il ne peut y avoir convergence normale car :

∀

n

∈ , ²

0

( ) lim ( )

lim u x u

_n

x n

n x

x = =

+∞

→

→ , donc : ²

] , 0 ]

supu_n n

a

≥ ^{, et :} ²

) , [

sup u_n n

a +∞ ≥

. Enfin, pour :

x

_∈ ] 0,a], (avec : 0<a<1),

•



≥1

) (

n n x

u est à termes positifs et : •∀

n

_∈ , u_n₊₁(x)≤S(x)−S_n(x)^. Or : ∀

n

∈ , ²

0

( )

lim u

_n

x n

x =

→ , et si S−S_n est bornée sur ]0,a], alors : ∀

n

∈ , _n

a

S S

n+ ≤ −

] , 0 ]

2 sup

) 1

( .

Il ne peut y avoir convergence uniforme sur ]0,a].

Soit : 1≤a, et supposons qu’il y ait convergence uniforme de (u_n) sur [a,+∞).

Alors : ∀

n

_∈ ,

S

−

S

_n est bornée sur [a,+∞), et ( _n

a

S S−

+∞) , [

sup ) tend vers 0.

Mais : ∀

n

∈ , ₁

) , [ )

, [ 1

1

32. a. Soit

x

fixé dans .

• si : x=0, la série est la série nulle et elle converge.

• si : x≠0, la série



≥1

) (

n n x

u est alternée et vérifie le critère spécial des séries alternées, car :

∀

n

∈ *, 



 



 +

=



 



 + +

= n

C x

n x x

u_n ln 1

²) 1 .(

1 ² ln )

( ,

et la suite tend vers 0 et est bien décroissante puisque ln est croissant sur ⁺. Donc la suite de fonctions converge finalement simplement sur .

La convergence normale n’est obtenue sur aucun intervalle, car elle entraînerait la convergence absolue de



≥1

) (

n n x

u pour des valeurs de

x

non nulles.

Or : ∀

x

_∈ *,

n C n C x

n x x

u_n

∞

+



 



 +

=



 



 + +

= ln 1 ~

²) 1 .(

1 ² ln )

( , ce qui interdit la convergence de



≥1

) (

n n x u . Enfin pour

n

fixé non nul, on a vu que pour tout réel

x

la série



≥1

) (

n n x

u vérifie le critère spécial donc :

1 1

²) 1 ).(

1 (

²

²) 1 ).(

1 ( 1 ² ln ) ( )

( ) ( )

( ₁

≤ + +

≤ +



 





+ + +

=

≤

−

= ₊

n x n

x x

n x x

u x S x S x

R_n _n _n .

On en déduit que : ∀

n

∈ *,

1 sup 1

≤ + R_n n

R

, et il y a convergence uniforme de la série sur .

b. On sait que la série de fonctions converge uniformément sur .

De plus, chaque fonction u_n a une limite finie en +∞ qui vaut : 



 



 +

−

+∞ =

→ u_n x ⁿ n

n

1 1 ln . ) 1 ( ) (

lim .

Enfin, la série des limites est convergente (toujours avec le critère spécial des séries alternées).

Donc par le théorème de la double limite, on peut écrire :

(6)

 

^+∞

= +∞

= →+∞

+∞

→ 



 



 +

−

=

1 1

1 1 ln . ) 1 ( ) ( lim )

( lim

n

n n

x n

x S x u x n .

Si on revient à des sommes partielles, on peut écrire :

∀ N ≥1,

   

=



 





− −



 



 +

=



 



 +

−

=



 



 +

−

= ^N

k N

n n N

n

N k

k k

k n

n S n

1 1

. 2

1 .

2

1 .

2 2. 1

. ln 2 .

2 1 . ln 2 ln 1

. ) 1 1 (

1 ln . ) 1

( ,

soit : . ln(2) (1)

! . 2

)!

. 2 ln ( . 2 ) 1 . 2 . ln(

2 1 . ln 2 .

2 ₂_. ₂

1 .

2 +∞

=

+ +



 



=  + +



 



 −

=



^N ^o

N N N

k

S k _N

N

k

N .

En reprenant les intégrales de Wallis, on avait :

N N dt N

t

I

_N ^N _N

.

~ 4 . 2

! . 2

)!

. 2 ). (

(

sin

₂_. ₂

2 0

. 2 .

2

π

∞

= +

=



^.

On en déduit que :

π

~ 1

! . . 2

)!

. 2 (

2 .

2 N +∞

N N

N , puis que (S₂_._N) tend vers 



 



 π ln 2 ,

soit finalement : 



 



= 

=



 



 +

−

= →+∞

+∞

+∞ =

→ ⁽ ⁾



⁽ ¹⁾ ^.^ln ¹ ¹ ^lim ^ln _π²

lim ₂_.

1

N N n

n

x S

x n

S .

33. a. On commence par poser : ∀

n

∈ , ∀ x>0,

∏

= +

= ⁿ

k

n x x k

u

0

) 1

( .

On peut ici essayer de démontrer la convergence normale de

 u

n sur tout [a,+∞), avec : a>0. En effet : ∀

n

∈ *, ∀

x

∈ [a,+∞),

! .1 1 . 1

1 1 ) 1

( 0

1 0

0 x k a k a a k a n

x u

n

k n

k

n ≤

≤ +

= +

≤

∏ ∏ ∏

=

. On en déduit bien la convergence normale de la série sur tout intervalle [a,+∞).

Donc S est définie sur ⁺*.

De plus, toutes les fonctions u_n sont continues sur ⁺*, donc la convergence normale sur tous les intervalles précédents garantit que S est continue sur ]0,+∞[.

b. Pour : x > 0, on a : ∀

n

_∈ , 1 . ( )

1 . 1

) 1 1

( ₁

1

0 1

1 0

x u k x x x

k x k

x x

u _n

n

k n

k

n +

+

= +

=

+ = + =

+ =

= +

+

∏ ∏ ∏

^.

Donc, les séries étant toutes convergentes, on en déduit que :

∀ x>0, 1) . ( ) 1

) ( .(

) ( . ) 1 (

1

−

=

−

=

= +



^+∞

=

x S x x x S x x u x x

S

n

n .

c. Pour un équivalent en 0, on commence par écrire : ∀ x>0,

x x x S

S ( 1) 1

)

( = + + ^.

Comme S est continue sur ⁺, S(x+1) tend vers S(1) quand

x

tend vers 0.

Or : 1 1

! 1 )!

1 (

1 1

) 1 1

( ¹

1 0

0 0

−

=

−

= + =

=



 





=

 ∏

+

 

^+∞

= +∞

= =

e n e

n S k

n n

k

, donc :

x x e S( )~0 .

En +∞, on commence par écrire : 1 1 1. ( )

1. ) 1

( ₁

1 1

x x S x k x x

x x S

n n

k

+

=



 



 + +

=



^+∞

∏

= =

.

Il suffit alors de démontrer que la nouvelle fonction

S

₁ qui apparaît tend vers 0 en +∞.

Or cette nouvelle série converge normalement sur [1,+∞) (comme S), chaque fonction qui la constitue a une limite finie (nulle) en +∞, et la série de ces limites converge.

Donc : lim ₁( )=0

+∞

→ S x

x , d’où : 1 1. (1)

)

( = + o₊_∞ x x x

S , et finalement :

x x

S 1

~ ) ( +∞ .

34. a. On pose : ∀ n≥2, ∀

x

∈ , 1 1 ₂2. ₂ )

( n x

x x

n x x n

u_n

= −

− +

= − ^.

Pour :

x

∈ ]-2,+2[, tous les termes u_n(x) sont définis, pour : n≥2. Pour l’étude de la convergence simple de la série, on distingue deux cas : • si : x=0, la série



≥2

) 0 (

n

un est la série nulle et converge,

(7)

• si : x≠0, alors : ₂ ₂ 2.₂ . ~

) 2

( n

x x

n x x u_n

∞

− +

= , et la série



≥2

) (

n n x

u est absolument convergente.

La série de fonctions



≥2 n

un converge simplement sur ]-2,+2[ et ϕ est définie sur cet intervalle.

Pour : n≥2, ∀

x

∈ [0,1], on a de plus : ₂ ₂ ₂ 2₂ 1 ~

. 2 ) 2

( n x n n

x x

u_n _n

∞

= +

≤ −

= − α ^.

On en déduit que la série de fonctions



≥2 n

un converge normalement sur [0,1].

Comme de plus, toutes les fonctions u_n sont continues sur [0,1], ϕ est également continue sur [0,1].

b. La convergence normale établie précédemment sur [0,1] permet d’écrire :

   

^+∞

= +∞

=



 





− +

= −



 





− +

= −

2 1 0 1

0 2

1

0 1 1 .

1 . ). 1

(

n n

x dx n x dx n

x n x dx n

ϕ x ^.

Puis : ∀ n≥2, 



 



 −

−



 





= + +

−

=



 





− +



₀¹ _n−¹_x _n¹_x ^.^dx ^[ ^ln(ⁿ ^x⁾ ^ln(ⁿ ^x^)]¹⁰ ^ln _nⁿ₁ ^ln ⁿ_n¹ ^. Et la convergence de cette série télescopique donne finalement :

ln(2)

2 ln 1 0 ).

1 (

0 =



 



− 



^ϕ ^x ^dx= ^.

35. a. Pour tout

x

réel (ou complexe), on a :



^+∞

=

0

!

n n x

n

e x

.

b. On peut donc écrire :

∀

x

_∈ ,

 

^+∞

= +∞

=

0 0

) cos(

.

2

( )

! )) cos(

. 2 (

n n n

n

x

u x

n

e x

, avec : ∀

n

_∈ , ∀

x

_∈ ,

! )) cos(

. 2 ) (

( n

x x u

n

n = .

c. La série de fonctions



≥0 n

un converge simplement sur [0,2.π].

Puis : ∀

n

_∈ , ∀

x

_∈ [0,2.π], _n

n

n x n

u ≤ =α

! ) 2

( ,

et la série



≥0 n

αn converge car elle correspond au développement en série de e². Donc la série de fonctions



≥0 n

un converge normalement sur [0,2.π].

On peut donc écrire :

  

^+∞



= +∞

=

0 . 2 0 0

. 2 0 .

2 0

) cos(

.

2

. cos( ) .

! . 2

! )) cos(

. 2 . (

n

n n

n

x

x dx

dx n n

dx x

^cos( ^x ⁾

ⁿ

^. ^dx

^.

• Si

n

est impair, l’intégrale est nulle.

• Si

n

est pair, posons : n=2.p^, p _∈ .

On peut alors écrire :



₀²^.^π^cos(^x⁾ⁿ^.^dx⁼²^.



₀^π^cos(^x⁾²^.^p^.^dx⁼⁴^.



₀^π²^cos(^x⁾²^.^p^.^dx^.

On reconnaît une intégrale de Wallis, et :

.2 )

! ( 2

)!

. 2 . ( 4 . )

cos( ₂_. ₂

. 2 0

π

p dx p

x ⁿ = _p



^{, d’où :} 2. 2 2

. . 2

2

0 ( !)

. . 2 2 ) .

! ( 2

)!

. 2 . ( )!

. 2 ( . 2 ) cos(

!. 2

p p

p dx p

n x ^p

p n

n



^π = π = π ^.

Finalement :

   

^+∞

= +∞

=

0 2 0

. 2 0 .

2 0

) cos(

. 2

)

! ( . 1 . 2 . ) cos(

! . . 2

p pair

n n

x

dx p n x

dx

e

^π

π

π .

(8)

36. On commence par poser : ∀

n

∈ *, ∀ x>0, _x

n

n x n

u ( 1) )

( = − ^.

• Pour

x

réel strictement positif fixé la série



≥1

) (

n n x

u vérifie le critère spécial des séries alternées et donc converge (le terme général est alterné et décroît en valeur absolue vers 0).

De plus : ∀ a>0, ∀

n

_∈ *, ∀

x

_∈ [a,+∞), _x _a

n k

x k

n

x n n n

R ( 1 )

1 )

1 (

1 )

1 ) (

(

1 ≤ +

≤ +

=



^+∞ −

+

=

,

d’où : _n _a

a R n

) 1 ( sup 1

) ,

[ ≤ +

+∞

.

Donc la série converge uniformément



≥1 n

un sur [a,+∞) et les fonctions u_n étant continues sur ]0,+∞), on en déduit la continuité de ζ2 sur ]0,+∞).

• Toutes les fonctions u_n sont de plus de classe C¹ sur ]0,+∞), et : ∀

n

_∈ *, ∀ x>0, _x

n

n n

x n

u ( 1) .ln( ) )

( '

+1

= − ^.

Considérons alors, pour

x

fixé, la fonction ψ_x définie par : ∀ t > 0, _x t t ln(t)

a , de classe C¹ sur ⁺*.

Sa dérivée vaut : ∀ t > 0, 1 .ln(₁ ) )

(

' = − _x₊

x t

t t x

ψ ^{, et}ψx est croissante sur ]0,e^x

1

[, décroissante sur ]e^x

1

,+∞).

Donc la suite (

u

_n

' x ( )

) est décroissante dès que : n e^x

1

≥ ^. Soit maintenant : a>0, et : 1

1

+



 



=

≥na e^a

n .

Alors : ∀

x

_∈ [a,+∞), on a : e^x e^a

1 1

≤ , et donc : ∀

x

_∈ [a,+∞), ∀ 1

1

+



 



=

≥n_a e^a

n , la suite (

u

_n

' x ( )

)

na

n≥ est décroissante et la série



≥na

n

x

u ' ( )

vérifie le critère spécial des séries alternées.

Donc : ∀ n≥na, ∀

x

_∈ [a,+∞), _n _a

n k

n

n n

x n u x u x

r ( 1)

) ) ln(

( ' )

( ₁

1 ≤ ≤ +

= ^+∞ ₊

+



= ^,

où on a noté r_n le reste d’ordre

n

de cette série alternée.

Enfin : ∀ n≥na^, _n _a

a n

r n

) 1 (

) sup ln(

) ,

[ =≤ +

+∞

, et il y a convergence uniforme de la série des dérivées sur [a,+∞).

On en déduit que ζ2 est de classe C¹ sur ]0,+∞), et : ∀ x>0,



^+∞

=

− +

=

1

1 2

) ln(

. ) 1 ) (

( '

n

x n

n x n

ζ

^.

37. a. Raisonnons par analyse-synthèse.

Si f existe, alors pour : x>0, fixé, on a :

∀

n

_∈ , ( 1) ( )

) (

1

2 f x n f x n

n

x = + + + +

+ ^{, d’où :}

∀ N ∈ ,

   

=

+

− + + +

−

= + + + +

− + =

− ^N

n

n N

n

n N

n

n N

n

n x f n

x f n

x n f

x 0 0 0

0

2 ( 1) .( ( 1) ( )) ( 1) . ( 1) ( 1) . ( )

) (

) 1

( ,

donc : ∀ N ∈ , ( 1) . ( ) ( 1) . ( ) ( 1) . ( ) ( )

) (

) 1 (

0 1

1

1 0

2 f x n f x n f x N f x

n x

N N

n

n N

n

n N

n

+ +

−

= +

− + +

− + =

−

 



= +

=

−

=

.

On en déduit que : ∀ N ∈ , ( 1) . ( )

) (

) 1 ) (

(

0

2 f x N

n x x

f ^N

N

n

+

− + −

=



−

=

.