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PanaMaths Mars 2002

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

PanaMaths Mars 2002

Résoudre :

ln 3 0

x

⎛ ⎞

⎜ ⎟

− >

(E)

Analyse

On considère la fonction f définie par : f x

( )

ln 3

x

⎛− ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠. C’est la composée de deux fonctions

« classiques ». Pour déterminer le signe de f , on utilise le fait que le logarithme népérien est une fonction strictement croissante sur \+* et s’annule lorsque son argument vaut 1.

Résolution

Afin de préciser la discussion, il est intéressant de déterminer l’ensemble de définition, Df, de la fonction f.

On a : 3 1 *

0 0 0

f f

x D x D

x x

∈ ⇔ > ⇔ < ⇔ < ⇔ =\ .

On recherche donc les solutions de (E) dans l’intervalle :

]

−∞, 0

[

.

D’après le préambule, la fonction f prendra des valeurs strictement positives si, et seulement si, l’argument du logarithme népérien, 3

x

− , est strictement supérieur à 1. C’est à dire :

( )

0 0

] [

solution de (E) 3 3 0 3, 0

3 1

0

f

x D x x

x x x

x

f x x

⎧ <

⎧ ∈ ⎧ <

⎪ ⎪

⇔⎨⎪⎩ > ⇔⎨⎪⎩− > ⇔⎨− <⎩ ⇔ − < < ⇔ ∈ −

Résultat final

L’ensemble des solutions de l’équation (E) est l’intervalle :

]

3, 0

[

.

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