I159. Réseau interstellaire
Problème proposé par Michel Lafond.
Raccorder les 8 étoiles situées aux sommets d’un cube d’un parsec de côté par un réseau de segments de longueur totale minimale sachant que des nœuds en-dehors des sommets sont autorisés.
Solution proposée par Paul Voyer :
Essai avec 1 nœud : ce ne peut être que le centre du cube, la somme des distances serait 8* 4
3 =4 3 6.928 parsecs.
Avec 2 nœuds : Chaque nœud voit 4 étoiles plus l'autre nœud.
Les 4 étoiles associées sont un sommet et les 3 sommets adjacents.
Les nœuds ont pour coordonnées x, x, x et 1-x, 1-x, 1-x (sur diagonale).
La distance totale est 2x 3+6( (1x)²2x²+ 3(1-2x)
= 3+6 12x3x²), fonction ayant un minimum pour x=1/3.
(La diagonale et deux groupes de 3 points ayant chacun un nœud dans leur plan).
Ce minimum est 3(1+2 2) 6.331parsecs.
Avec 6 nœuds :
Une autre idée consiste à relier les points d'un rectangle 1x 2 entre eux, puis de même avec l'autre, et de relier ces deux sous-ensembles.
Dans chaque rectangle 1x 2 , un optimum est connu :
Il est décrit par la figure suivante, dans laquelle tous les angles aux nœuds font 120°.
C'est le piège d'un ancien problème de haies de Diophante.
Cela étant réalisé pour les rectangles ABHG et CDEF du cube, les segments IJ et KL reliant les nœuds dans ces rectangles peuvent être remplacés par une structure similaire dans le carré IJKL (en vert).
La distance est D = 8xCK + 4xKN + NQ.
CK=
3 1
0.577…
IJ=
3
2 1 0.837…
IK=1- 6
1
0.592…
KN=IK/rac(3) = 2 3
1
6 0.342…
NQ=KI-KN=
3 2
1 3 1
6 0.250…
D6.234 parsecs.
On peut chercher à améliorer encore en déformant le carré IJKL dans son plan pour en faire un rectangle.
On "sent" qu'il y a intérêt à allonger un peu NQ, qui n'est compté qu'une fois, et à réduire NK (donc IK), qui est compté 4 fois, sans trop changer CK.
Le calcul complet recherche le point I (0.5, y, z), au voisinage du point initial, qui minimise D(y, z), les points J, K, L étant déduits de I par symétrie.
On trouve y=3/4, z=1- 3 4
1 0.85566, IK=0.5 et NQ=1- 3
1 = 0.423.
La distance D est alors environ 6.196… parsecs.
Il ne reste plus qu'à démontrer que c'est la solution optimale…
