ISAE Application de l’analyse à la géométrie TD6 J.SAAB
1. Evaluer l’intégrale curviligne
I Z
AB
(x2 2xy)dx+ (2xy+y2)dy
où(AB)est l’arc paraboliquey=x2 liantA(1;1)à B(2;4):
Cette intégrale dépend - t - elle du chemin?
2. Evaluer les intégrale
I= Z
OA
2xydx x2dy et J = Z
OA
2xydx+x2dy
où(OA)est le chemin deO(0;0)à A(2;1)dé…ni par:
(a) Le segment [O; A]
(b) L’arc parabolique d’axeOx (c) L’arc parabolique d’axeOy (d) La ligne brisée OBAavecB(2;0)
(e) La ligne briséeOCAavecC(0;1)
3. Evaluer les intégrales suivantes:
(a) I=R
Cx2dy+y2dx (C)étant la courbe: x2+ 4y2 4x= 4; y >0 (b) I=R
Cydx+ (x+y)dy (C)étant la courbe :y=x2+ 2xdeO(0;0)àB(2;8) (c) I=R
Cxzdx+ (y+z)dy+zdz (C)étant la courbe: x=et; y=e t; z=e2t 0 t 1 (d) I=R
C(x+y+z)dx+ (x 2y+ 3z)dy+ (2x+y z)dz (C)étant la ligne brisée d’origineO(0;0;0)et d’extremitéA(1;2;3) formée de3 segments parallèls respectivement aux axesOx; Oy etOz
4. Itiliser, si possible, le théorème de Green pour calculer les intégrales suivantes:
(a) I=R
C+ x+y
x2+y2dx xx y2+y2dy (C)est une courbe fermée entourant l’origine (b) I=R
C+(x2+y)dx+xy2dy (C)est la courbe fermée donnée par :y2=xet y= x (c) I=R
C+
dx dy
x+y (C)est le carré de sommetsA(1;0); B(0;1); E( 1;0); F(0; 1) (d) I=R
C+exsinydx+excosydy (C)est l’ellipse3x2+ 8y2= 24 (e) I=R
C+(x4+ 4)dx+xydy (C)est donnée par: r= 1 + cos (f) I=R
C+(1 x2y)dx+ sinydy (C)est le bord de la region deR2située entre les carrés[ 2;2] [ 2;2]
et[ 1;1] [ 1;1]
5. Trouver l’équation de:
(a) paraboloïde de sommeto(0;0;0), d’axeoy et passant par les points A(1;1;1)et B(3;7;1) (b) cône de centreI(0;0;1)d’axe 0z et passant par les pointsA(0;2;3) etB(2; 1; 3)
1
6. Trouver l’équation de la sphère de centreI(2;4; 6) et tangente au planyoz
7. Calculer par deux méthodes les intégrales:
(a) I=R
C+2(x2 y2)dx+ (x+y)2dy (C)est le triangle de sommets A(1;1); B(2;2)etD(1;3) (b) I = R
C+ydx+ 2xdy (C) est le bord de la region D située entre les cercles: x2+y2 2x = 0 et x2+y2 2y= 0
(c) I=R
C+
!H dM! (C)est le bord de la regionD limitée par: x2+y2= 4et x= 0; y= 0; y=p 2:On donne
!H = (y2 x2y)!i +xy2!j
8. SoitDla region de R2limitée par
x = a(t sint)
y = a(1 cost) 0 t 2
et l’axex0x:
(a) Trouver l’aire deD
(b) Calculer par deux méthodesR R
Dydxdy
(c) Trouver le moment d’inértie deD par rapport àOx
9. Trouver, en utilisant l’intégrale curviligne, l’aire du domaineD limité par la courbe: x2+ 2x+ 2y2+ 4y+ 2 = 0
10. Evaluer les intégrales curvilignes I=R
CU dl:
(a) U(x; y) =x3+y le long de(C): x= 3t; y=t2; 0 t 1 (b) U(x; y) =xp5
y2le long de(C) : x=t=2; y=p
t5; 0 t 1 (c) U(x; y; z) =xyz le long de(C) : [O; A]avecO(0;0;0)et A(1;2;3)
11. On considère le cycloïde homogène:
(C) : x = a(t sint)
y = a(1 cost) 0 t (a) Trouver la longueur de(C)
(b) Déterminer les coordonnées de son centre de gravité (c) Trouver le moment d’inértie de(C)par rapport àOx
12. Evaluer le travail de la force !
F le long du chemin(C) : (a) !
F = 3xy!i 5z!j + 10x!
k (C) :x=t2+ 1; y= 2t2; z=t3 entre les positionst= 1ett= 2
2
(b) !F = (2x y+z)!i + (x+y z2)!j + (3x 2y+ 4z)!k (C) : x2+y2 = 9
z = 1
13. Véri…er que les intégrales suivantes sont indépendantes du chemin et évaluer ces intégrales:
(a) I=R
AB(y2+ 2xy)dx+ (x2+ 2xy)dy A(3;1) etB( 1;2) (b) I=R
AB(yz+ 1)dx+ (xz+ 1)dy+ (xy+ 1)dz A(4;0;3)et B( 1;1;2)
3
