E 583. Les extrêmes se rapprochent. **
Soit E un ensemble de 13 entiers positifs distincts. Pris deux à deux ils sont relativement premiers entre eux.
La différence entre le plus grand terme et le plus petit terme prend la plus petite valeur possible d.
Déterminer d et donner un exemple de l’ensemble E.
Solution proposée par Michel Lafond.
d = 32.
L’ensemble E = {17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49} a 13 éléments premiers deux à deux, avec un écart de 49 – 17 = 32.
C’est l’écart minimal, car si on avait un écart de 31 ou moins, E serait inclus dans un ensemble tel
Mais le sous-ensemble de F : contient tous les résidus modulo 30 = 2 x 3 x 5.
Dans G, si on veut des éléments premiers deux à deux, on ne peut garder que ceux dont le résidu modulo 30 est 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 plus éventuellement un multiple de 2, un multiple de 3 et un multiple de 5.
Soit 8 + 3 = 11 éléments.
Il reste dans F les éléments n + 30 et n + 31. L’un des deux est pair.
On ne peut en garder qu’un, car si on prend les deux, on ne peut plus prendre le multiple de 2 dans G.
F (a fortiori E) contiendra donc au plus 11 + 1 = 12 éléments premiers deux à deux. Or 12 < 13.
