D349. L'axe de symétrie
D3. Cubes, parallélépipèdes, spheres
Problème proposé par Michel Lafond d'après André Deledicq
On part d'un cube et on le tronque (figure 1) par un coup de scie le long du rectangle ABCD (où AB est une médiane). On obtient la figure 2:
On tronque ce qui reste (figure 3) par un coup de scie le long du trapèze EFGH (où GH est une autre médiane du cube).
On obtient l'horrible chose de la figure 4.
Cette chose a un axe de symétrie! Trouvez le Solution proposée par Jean Nicot
Les coupes successives laissent une seule arête PP’ du cube initial inchangée ainsi que les trièdres droits de ses extrémités. L’axe de symétrie doit donc se situer dans le plan médian perpendiculaire à cette arête en son milieu S. Il rencontre aussi le milieu S’ de FG, ce qui fait correspondre F et G.
L’axe est SS’.
Il n’est pas évident que SS’ est perpendiculaire à FG. On s’en assure en calculant FS²=CS²=3 PE² /2.
Les sommets E et C correspondent. Les projections (en bleu) de EC et SS’ sur les plans CGH et PEH le montrent.
Les sommets H et B correspondent. On trouve les symétries des arêtes PE et P’C, et des demi-arêtes PB et P’H.
On peut voir qu’un demi-tour autour de cet axe SS’ laisse la chose globalement inchangée.
