E120 – A la manière d’Aronson
On considère les suites d’entiers S(k) avec k = 1,2,3,.... dont le premier terme u1(k)est égal à k + 1 et le terme général un(k) est le plus petit entier strictement supérieur à un-1(k), qui est un multiple de 2k+1 si et seulement si n est un membre de la suite.
Q1 : déterminer un(k)en fonction de k.
Q2 : pour quelles valeurs de k, l’entier 2011 fait-il partie de la suite S(k) ?
Nota :Les suites S(k) sont analogues à la séquence d’Aronson : 1, 4, 11, 16, 24, 29, 33, 35, 39, ...(Sloane's A005224) dont la définition en anglais est la suivante :"t is the first, fourth,
eleventh, ... letter of this sentence."
Solution proposée par François Bulot
Q1 : déterminer un(k)en fonction de k.
Les nombres de la suite S(k) sont tels que leur écriture en base 2k+1 est : - le dernier chiffre est un 0
OU (inclusif)
- le premier chiffre est supérieur ou égal à k+1 (et bien évidemment inférieur ou égal à 2k)
Il en résulte que les termes un(k) sont respectivement :
- k nombres consécutifs non multiples de 2k+1 (entre k+1 et 2k) - le nombre 2k+1
- k-1 nombres multiples de 2k+1 - le nombre (k+1)*(2k+1)
- k*(2k+1)-1 nombres consécutifs - le nombre (2k+1)²
- k*(2k+1)-1 multiples de (2k+1) consécutifs - le nombre (k+1)*(2k+1)^2
etc.
- le nombre (2k+1)^(n+1)
- k*(2k+1)^(n) -1 nombres multiples de 2k+1 - le nombre (k+1)*(2k+1)^(n)
- k*(2k+1)^(n) -1 nombres consécutifs (y compris les multiples de 2k+1) - le nombre (2k+1)^(n+2)
Q2 : pour quelles valeurs de k, l’entier 2011 fait-il partie de la suite S(k) ? 1, 2, 3, 6, 7, 22 à 30, 1005 à 2010.
