Diophante
H160 À la chaîne et en boucleOn considère la liste (L) des cinquante premiers nombres premiers 2,3,5,….,227,229.
Q1 Prouver qu’on sait trouver dix nombres premiers distincts p1,p2,..,p10 choisis dans (L) et placés sur une même rangée tels que la somme du double de l’un quelconque d’entre eux 2pi et du suivant pi+1 est un carré parfait m2i pour i = 1,2,..,9 (i.e 2pi + pi+1 = m2i) Pour les plus courageux : déterminer la plus longue suite de k nombres premiers distincts choisis dans (L) et placés sur une même rangée tels que 2pi + pi+1 = m2i pour i = 1,2,…,k – 1.
Q2 Prouver qu’on sait trouver huit nombres premiers distincts q1,q2,..,q8 choisis dans (L) et placés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que la somme du double de l’un quelconque d’entre eux 2qi et du suivant qi+1 est un carré parfait ni2 pour i
= 1,2,..,8 (i.e 2pi + pi+1 = n2i et par convention, p9 = p1)
Pour les plus courageux : déterminer le plus grand nombre possible k de nombres premiers distincts choisis dans (L) et placés dans le sens horaire le long de la circonférence d’un cercle tels que 2pi + pi+1 = n2i pour i = 1,2,…,k avec par convention pk+1 = p1.
