Etude d’un triangle. Géoplan.
Situation : On considère un triangle isocèle PQR tel que PQ = PR = 10, la base QR étant une longueur variable.
L’objectif est de répondre aux deux questions suivantes :
1. Parmi tous les triangles possibles, y−en−a−t−il un d’aire maximale ? 2. Pour un triangle possible donné, y−en−a−t−il d’autres de même aire ? Expérimentation avec géoplan :
1. Construire un triangle PQR satisfaisant les conditions données.
2. Faire varier la longueur QR, quelle semble être la nature du triangle PQR d’aire maximale ? Faire afficher les valeurs des grandeurs permettant de répondre.
3. Par observation de la figure, pensez−vous qu’il existe plusieurs triangles ayant la même aire ? Démonstration : On note x la longueur QR et S(x) l’aire du triangle.
1. déterminer dans quel intervalle I, x peut prendre ses valeurs.
2. Exprimer S(x) en fonction de x et vérifier que S²(x) = 400x²- x4 16 . 3. Etudier les variations de S² et en déduire celles de S.
4. Parmi tous les triangles PQR possibles, y−en−a−t−il un d’aire maximale ?
5. Soit x0 une valeur particulière de x. On note P0Q0R0 le triangle correspondant et S0 son aire. Déterminer en fonction de x0, le nombre et les valeurs de x pour lesquelles on a S(x) = S0.
Production : rendre
1. La description de la méthode utilisée pour construire la figure.
2. Une copie d’écran (ou plusieurs, mais sans excès !) avec les valeurs des grandeurs intéressantes pour formuler des conjectures.
3. Les démonstrations soigneusement rédigées.
4. La représentation graphique de S sur l’intervalle I, obtenue avec géoplan ou excel ou sinéquanon.
Expérimentation avec géoplan :
1. Construire un triangle PQR satisfaisant les conditions données.
Créer : point libre P
puis : cercle c de centre P et rayon 10 puis : point libre Q sur le cercle c
puis : droite d parallèle à ox et passant par Q puis : 2ième point, R, d’intersection de d et c
2. Faire varier la longueur QR, quelle semble être la nature du triangle PQR d’aire maximale ? Faire afficher les valeurs des grandeurs permettant de répondre.
Créer : calcul géométrique de l’aire a du triangle PQR puis : affichage de a
Faire varier le point Q et observer les valeurs de a …
Il semblerait que l’aire a soit maximale (et égale à 50) quand PQR est rectangle en P.
3. Par observation de la figure, pensez−vous qu’il existe plusieurs triangles ayant la même aire ?
Pour une aire donnée (entre 0 et 50) il apparaît deux triangles ayant cette aire.
figure 1 avec : le triangle PQR d’aire maximale et le tracé de la courbe représentative de S.
o 20
10 20 30 40 50
P
Q R
Démonstration : On note x la longueur QR et S(x) l’aire du triangle.
H est le pied de la hauteur issue de P.
(PH) est aussi une médiane puisque PQR est isocèle et donc H est le milieu de QR d’où HR = x/2
Dans le triangle PHR, rectangle en H : PH² = 100 – (x/2)² = 100 – x²/4 = 400 - x² 4 et donc PH = 400 - x²
4
1. Déterminer dans quel intervalle I, x peut prendre ses valeurs.
x > 0 puisque c’est une distance …(si x = 0, Q et R sont confondus et il n’y a plus de triangle …) x < 20 : Q et R sont « au maximum » diamétralement opposés il n’y a alors plus de triangle … 2. Exprimer S(x) en fonction de x et vérifier que S²(x) = 400x²- x4
16 . S(x) = PH × QR
2 = 400 - x²
4 ×x
2 d’après les calculs faits plus haut … donc S²(x) = 400 - x²
4 ×x²
4 = 400x²- x4 16
3. Etudier les variations de S² et en déduire celles de S.
Dans ]0 ; 20[, calculons la dérivée de S² pour obtenir ses variations : (S²)’(x) = 800x - 4x3
16 = 200x - x3
4 = x(10 2 - x)(10 2 + x)
4
dans ]0 ; 20[, x > 0 et 10 2 + x > 0 donc (S²)’(x) a le signe de 10 2 − x c'est à dire f'(x)x | | 0 + 10 20 - 20 on en déduit que : sur ]0 ; 10 2 ], S² croît de 0 à 2500
sur [10 2 ; 20[, S² décroît de 2500 à 0
S est la composée de S² (positive sur ]0 ; 20[) et de la fonction racine croissante sur IR+ donc S varie comme S².
4. Parmi tous les triangles PQR possibles, y−en−a−t−il un d’aire maximale ? D’après 3. S est maximale et vaut 50 quand x = 10 2 .
On a alors QR² = 200 = PQ² + PR² qui confirme que le triangle d’aire maximale est rectangle en P.
5. Soit x0 une valeur particulière de x. On note P0Q0R0 le triangle correspondant et S0 son aire. Déterminer en fonction de x0, le nombre et les valeurs de x pour lesquelles on a S(x) = S0.
On cherche x tel que S(x) = S(x0). La courbe représentative de S (voir graphique 1) nous indique que pour toute valeur de S entre 0 et 50 il y a 2 valeurs de x pour lesquelles le triangle PQR a cette aire.
S(x) = S(x0) ⇔ S²(x) = S²(x0) ⇔400x²- x4
16 = 400x0²- x0 4
16
⇔ 400x² − x4 = 400x0² − x04
⇔ 400(x² − x0²) – (x4 – x0 4) = 0
⇔ (x² − x0²)[400 – (x² + x0²)] = 0
⇔ (x – x0)(x + x0) [(400 – x0²) – x²] = 0
⇔ (x – x0)(x + x0)( 400 - x0² − x)( 400 - x0² + x) = 0
⇔ x = x0 ou x = 400 - x0² car x > 0.
On a donc S(x) = S(x0) pour deux valeurs de x : x = x0 (évidemment!) et x = 400 - x0² .
sous réserve de fautes de frappe et/ou de calcul !
PR=10
x/2
Q H R
P
