Théorie spectrale et Évolution en mécanique quantique

Théorie spectrale

et

Évolution en mécanique quantique

Yann Pequignot

BorisBuffoni François Genoud Section de Mathématiques | Projet de semestre | Automne 2008

is meant a mathematical construct which, with the ad- dition of certain verbal interpretations, describes obser- ved phenomena. The justification of such a mathema- tical construct is solely and precisely that it is expected to work. »

Johann Von Neumann

La théorie spectrale est un domaine des mathématiques dont les premiers résul- tats appartiennent à l’algèbre linéaire. Dans ce cadre, la théorie spectrale établit notamment l’existence d’une base orthonormale de vecteurs propres pour tout endo- morphisme symétrique sur un espace vectoriel complexe de dimension finie.

Lorsque l’on se pose la question d’une généralisation de ce résultat au cas d’un espace de dimension infinie, il devient nécessaire de considérer la topologie induite par le produit scalaire et l’on entre dans le cadre de l’analyse fonctionnelle. Une fois la topologie introduite, une approche naturelle est de s’intéresser, en premier lieu, aux opérateurs linéaires continus. C’est ce que nous faisons au chapitre premier.

Toutefois, la physique, en particulier la mécanique quantique, fait intervenir dans ses modèles du monde des opérateurs qui ne sont pas continus et c’est l’objet de la suite de ce travail.

Résumé

Le chapitre premier passe brièvement en revue les notions d’espace de Hilbert, d’opérateur linéaire borné et de projection.

Dans le chapitre deuxième, nous montrons l’existence et l’unicité d’une racine carrée positive pour tout opérateur positif. En nous appuyant sur ce résultat, nous démontrons le théorème spectral pour les opérateurs bornés et symétriques.

Au chapitre troisième, nous nous affranchissons de la continuité pour aborder les opérateurs linéaires non bornés. Nous exposons les définitions et quelques résultats fondamentaux liés à cette généralisation du concept d’application linéaire.

Le chapitre quatrième commence par l’étude générale de l’intégrale d’une fonction par rapport à une famille spectrale. Nous démontrons ensuite le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints, généralisant le résultat du chapitre deuxième. Dans la dernière section, nous énonçons et prouvons le théorème de Stone qui exprime chaque groupe unitaire fortement continu en fonction d’un opérateur autoadjoint qui lui est associé.

Dans le chapitre cinquième, dans le cadre de la mécanique quantique, nous expli- quons brièvement le sens physique de la notion d’opérateur. Nous esquissons ensuite quelques implications physiques du théorème spectral pour les opérateurs autoad- joints et du théorème de Stone. Nous faisons quelques considérations sur les postulats de base de cette théorie, puis nous discutons le cas d’une particule ponctuelle dans l’espace réel unidimensionnel.

I. Notions préliminaires 1

I.1. Espaces de Hilbert . . . 1

I.2. Opérateurs linéaires . . . 2

I.3. Projections orthogonales . . . 4

II. Opérateurs symétriques et bornés 7 II.1. Opérateurs symétriques . . . 7

II.2. Opérateurs positifs . . . 8

II.3. Théorème spectral pour les opérateurs symétriques . . . 15

III. Opérateurs linéaires non bornés 27 III.1. Étendre la notion d’opérateur linéaire . . . 27

III.2. Opérateur adjoint. . . 29

III.3. Commutativité et réduction . . . 31

III.4. Le graphe d’un opérateur . . . 32

III.5. Opérateurs symétriques et opérateurs autoadjoints . . . 35

IV. Théorie spectrale des opérateurs autoadjoints 39 IV.1. Intégration par rapport à une famille spectrale . . . 39

IV.2. Théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints . . . 45

IV.3. Théorème de Stone . . . 54

V. Évolution en mécanique quantique 63 V.1. Postulats de la mécanique quantique . . . 63

V.2. La particule ponctuelle dansR . . . 66

Appendices A. L’intégrale de Riemann-Stieltjes 69 A.1. Fonctions à variation bornée . . . 69

A.2. Définition et existence . . . 70

A.3. Quelques résultats . . . 72

B. L’intégrale de Lebesgue-Stieltjes 75 B.1. Mesure de Lebesgue-Stieltjes . . . 75

B.2. L’intégrale de Lebesgue-Stieltjes. . . 76

B.3. L’espace L₂(R, µ_F) . . . 79

C. Intégrale de Riemann à valeur dans un espace de Banach 81 C.1. Définition et existence . . . 81 C.2. Quelques résultats . . . 84

Bibliographie 85

Nous définissons brièvement dans ce chapitre les notions de base liées aux espaces de Hilbert. Nous exposons notamment les résultats élémentaires sur les opérateurs linéaires bornés et quelques proprié- tés des projections orthogonales.

I.1. Espaces de Hilbert

Un espace de Hilbert est un espace vectoriel muni d’une distance qui en fait un espace métrique complet dont la distance possède la propriété fondamentale de s’exprimer à l’aide d’une forme bilinéaire, le produit scalaire.

Un espace vectoriel complexeV muni d’une normek·k, c’est-à-dire une fonction k·k:V →Rvérifiant les propriétés

i) pour tout v∈V,kvk ≥0 etkvk= 0 si et seulement siv= 0.

ii) pour tout λ∈Cet pour tout v∈V,kλvk=|λ| kvk.

iii) pour tous v, w∈V,kv+wk ≤ kvk+kwk.

est appelé unespace vectoriel normé. Ladistance engendréepar la norme est définie par la formule

d(x, y) =kx−yk pour tousx, y∈V.

Si, pour cette distance, toute suite de Cauchy est convergente, nous disons que l’es- pace vectoriel normé est complet et nous parlons alors d’espace de Banach.

Unespace préhilbertienest un espace vectoriel complexeXmuni d’une fonction h·,·i:X×X →C appeléeproduit scalairevérifiant :

i) pour tout x∈X,hx, xi ≥0, ethx, xi= 0 si et seulement six= 0; ii) pour tous x, y, z∈X,hx+y, zi=hx, zi+hy, zi;

iii) pour tous x, y∈X et pour tout λ∈C,hλx, yi=λhx, yi; iv) pour tous x, y∈X,hx, yi=hy, xi;

La norme engendrée par le produit scalaire est donnée parkxk=hx, xi¹² pour tout x∈X. Un espace préhilbertien qui est complet pour la distance engendrée par cette norme est appelé unespace de Hilbert.

Dans ce travail, nous faisons systématiquement cette hypothèse de complétude sauf indication du contraire. Dans la suite, la lettreHdésigne toujours un espace de Hilbert sur le corps des nombres complexes.

Exemple I.1.1 (L’espace de HilbertL₂[0,1]). Considérons l’ensemble des fonctions f : [0,1]→Ctelles que

Z

[0,1]

f²(s)ds <∞,

pour la mesure de Lebesgue. Définisissons sur cette ensemble la relation d’équivalence suivante

f ∼g si f =g presque partout,

i.e. s’il existe N ⊆ [0,1] mesurable au sens de Lebesgue avec mesure nulle et tel que f(x) = g(x) pour tout x ∈ [0,1]\N. Notons L2[0,1] l’ensemble des classes d’équivalence. C’est un espace de Hilbert pour les opérations suivantes :

(λf)(x) =λf(x);

(f+g)(x) =f(x) +g(x);

hf, gi= Z

[0,1]

f(s)g(s)ds.

Le produit cartésien H × H admet une structure naturelle d’espace de Hilbert donnée par les opérations :

λ(x1, y1) = (λx1, λy1);

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁+x₂, y₁+y₂);

(x1, y1),(x2, y2)

=hx₁, x2i+hy₁, y2i;

pour tous (x1, y1),(x2, y2) ∈ H × H et pour tout λ ∈ C. La topologie métrique associée au produit scalaire ainsi défini sur H coïncide avec la topologie produit.

Dans la suite, nous désignons parHcet espace de Hilbert.

I.2. Opérateurs linéaires

Les opérateurs linéaires sont les fonctions entre espaces de Hilbert qui respectent la structure vectorielle. Dans ce travail, nous nous intéressons pour commencer aux opérateurs linéaires bornés qui respectent de plus la structure métrique, dans le sens où ils sont continus.

Un opérateur (linéaire)d’un espace de HilbertHvers un espace de HilbertH⁰ est une fonctionA:H → H⁰ telle que :

i) pour tous x, y∈ H,T(x+y) =T(x) +T(y);

ii) pour toutλ∈Cet pour tout x∈ H,T(λx) =λT(x).

Nous notons T xl’imageT(x)d’un élémentx∈ H. L’imagede T est le sous-espace vectoriel de H⁰

Im(T) ={T x|x∈ H}, et lenoyau deT est le sous-espace vectoriel deH

ker(T) ={x∈ H |T x= 0}.

S’il existe une constanteC≥0telle que

kT xk ≤Ckxk pour tout x∈ H,

nous disons queT estborné. L’ensembleL(H,H⁰) des opérateurs bornés deHvers H⁰ est un espace de Banach pour les opérations :

(B+C)x=Bx+Cx pour tousB, C ∈ L(H,H⁰) et pour toutx∈ H,

(λB)x=λBx pour toutB ∈ L(H,H⁰), pour toutλ∈C, et pour tout x∈ H, et la norme :

kBk= sup

kxk≤1

kBxk pour tout B∈ L(H,H⁰).

Le cas particulier qui est principalement l’objet de ce travail est celui où H = H⁰. Nous notons dans ce casL(H)à la place deL(H,H)les opérateurs linéaires et bornés surH. Nous avons la même définition de l’espace de BanachL(B,B⁰) dans le cas où B et B⁰ sont des espaces de Banach. Les opérateurs bornés d’un espace de Banach vers un autre sont exactement les opérateurs linéaires qui sont continus par rapport aux distances engendrées de chacun des espaces.

Le graphe d’un opérateur linéaire T : H → H est défini comme le sous-espace vectoriel deH:

G_T ={(x, T x)|x∈ H}.

Un opérateur linéaire T : H → H est borné si et seulement si son graphe est un sous-ensemble fermé deH.

Nous rappelons sans démonstration le théorème suivant.

Théorème I.2.1(Théorème de la borne uniforme de Banach-Steinhaus). Soit Bun espace de Banach. Soit (B_n)n∈N une suite d’opérateurs bornés sur B. Si pour tout x∈ B

sup

n∈N

kB_nxk<∞,

alors

sup

n∈N

kB_nk<∞.

Soit(Bn)n∈Nune suite d’opérateurs bornés sur un espace de HilbertH. S’il existe un opérateur B ∈ L(H) tel que limn→∞kB_n−Bk = 0, nous disons que la suite (B_n)n∈N converge (en norme) vers B. Si pour tout x ∈ Hla limite limn→∞B_nx existe, nous disons que la suite (Bn)n∈N est fortement convergente. La fonction x7→limn→∞Bnxest une application linéaire. Sur un espace de Hilbert, nous avons de plus le résultat suivant.

Corollaire I.2.2. Soit(Bn)n∈N une suite d’opérateurs bornés sur un espace de Hil- bert H. Si(B_n)n∈N converge fortement, l’opérateur x7→limn→∞B_nx est borné.

Démonstration. Notons Bx = limn→∞B_nx l’application linéaire limite. Pour tout x∈ H, la continuité de la norme implique que la limite

n→∞lim kB_nxk=kBxk existe.

Par conséquent, la suite (kB_nxk)_n∈N est bornée pour tout x ∈ H. Par le théorème de Banach-Steinhaus, la suite (kB_nk)_n∈N est donc bornée par une constante C≥0.

Ainsi, pour toutx∈ H

kBxk= lim

n→∞kB_nxk ≤Ckxk, et donc B est borné.

Unefonctionnelle linéaire (continue)sur un espace de HilbertHest un élément de l’espace dual de H, à savoir H^∗ =L(H,C). Les fonctionnelles linéaires sur un espace de Hilbert sont caractérisées par le théorème suivant dont la démonstration peut notamment être lue dans [Kolmogorov, 1980] à la page 188.

Théorème I.2.3 (Théorème de représentation de Riesz). Soit H un espace de Hil- bert. Pour tout x₀∈ H, la formule :

f(x) =hx, x₀i pour tout x∈ H, (I.1) définit une fonctionnelle linéaire sur H, avec kfk = kx₀k. Réciproquement, pour toute fonctionnelle linéaire f sur H, il existe un unique x₀ satisfaisant (I.1).

I.3. Projections orthogonales

Deux élémentsx, y∈ Hsont ditsorthogonauxsihx, yi= 0. SoitM ⊆ Hun sous- ensemble de H. On dit qu’un élémentx∈ H est orthogonal àM si xest orthogonal à chaque élément de M. Un sous-ensemble N ⊆ H est orthogonal à M si chaque élément de N est orthogonal à M. On appelle le complément orthogonal de M l’ensembleM^⊥ de tous les éléments de Hqui sont orthogonaux à M.

Le théorème suivant permet de définir la notion très importante de projection orthogonale. La démonstration peut être lue dans [Weidmann, 1980] à la page 31.

Théorème I.3.1. Soit M un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert H.

Pour toutx∈ H, il existe un uniquey∈M et un uniquez∈M^⊥ tels quex=y+z.

SiM est un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de HilbertH, laprojection orthogonale ou simplement projection sur M est l’opérateur borné définit par P x = y pour tout x ∈ H où x = y+z est l’unique façon d’écrire x avec y ∈ M et z ∈ M^⊥. Toute projection P vérifie P² = P et si P 6= 0, alors kPk = 1. Nous rappelons également les résultats suivants.

Théorème I.3.2. Soient M etN des sous-espaces fermés d’un espace de HilbertH.

Notons P et Q les projections associées, alors :

a) pour tous x, y∈ H, hP x, yi=hx, P yi; b) M = ImP et M^⊥= kerP;

c) I−P est la projection sur M^⊥;

d) M ⊆N si et seulement si P Q=QP =P;

e) pour tout x∈ H, hP x, xi ≤ hQx, xi si et seulement si M ⊆N.

En suivant [Friedman, 1982], nous démontrons dans ce chapitre le théorème spectral pour les opérateurs bornés et symétriques sur un espace de Hilbert. Les premières sections introduisent les notions ainsi que les résultats nécessaires pour l’énonciation et la démons- tration de ce théorème.

II.1. Opérateurs symétriques

Les opérateurs symétriques sont des opérateurs bornés qui ont un comportement particulier par rapport au produit scalaire.

Définition II.1.1. SoitT un opérateur borné sur un espace de HilbertH. L’adjoint deT est l’opérateur notéT^∗ défini par la relation :

hT x, yi=hx, T^∗yi (II.1) pour tousx, y∈ H. SiT =T^∗, nous disons queT estsymétrique.

Noter que la définition de l’adjoint d’un opérateur borné par l’équation (II.1) est légitimée par le ThéorèmeI.2.3.

Dans ce chapitre, un opérateur symétrique signifie un opérateur borné et symé- trique sur un espace de HilbertH. Observons que, siT est un opérateur symétrique, alorshT x, xi ∈Rpour tout x∈ H. En effet,

hT x, xi=hx, T xi=hT^∗x, xi=hT x, xi.

Le pointa)du ThéorèmeI.3.2nous dit que toute projection est symétrique. Réci- proquement, il est possible de montrer que si un opérateur bornéAest symétrique et vérifieA²=A, alorsAest une projection ([Friedman, 1982], p. 210). Nous rappelons également le théorème suivant au sujet des opérateurs symétriques dont la preuve peut être lue dans ([Friedman, 1982], p. 218). L’hypothèse de complétude surHn’est toutefois pas nécessaire.

Théorème II.1.2.SoitS un opérateur symétrique sur un espace de HilbertH. Alors, kSk= sup

kxk≤1

|hSx, xi|= sup

kxk=1

|hSx, xi|.

Définition II.1.3. SoitS un opérateur symétrique. Laborne inférieure deS est, par définition, le réel :

m= inf

kxk=1hSx, xi. La borne supérieurede S est définie comme le réel :

M = sup

kxk=1

hSx, xi.

Remarquons que par le Théorème II.1.2,kSk= max{|m|,|M|}.

Au sujet des opérateurs symétriques, nous remarquons également les faits suivants.

Remarque II.1.4. Si S est un opérateur symétrique, alors tout polynôme en S à coefficients réels est également symétrique. Cela découle principalement de la linéarité du produit scalaire. En effet, si P =Pn

i=1aiSⁱ avec a1, . . . , an ∈R, alors pour tous x, y∈ H :

hP x, yi= DXⁿ

i=1

aiSⁱx, y E

=

n

X

i=1

ai

Sⁱx, y

=

n

X

i=1

aihx, Sⁱyi= D

x,

n

X

i=1

aiSⁱy E

=hx, P yi.

Remarque II.1.5. SoientS un opérateur symétrique et B un opérateur borné. Si SB =BS, alors SB^∗ =B^∗S. En effet pour tout x∈ H,

kB^∗Sx−SB^∗xk²=hB^∗Sx, B^∗Sxi+hSB^∗, SB^∗xi − hB^∗Sx, SB^∗xi − hSB^∗x, B^∗Sxi

=hSBB^∗Sx, xi+

S²BB^∗x, x

− hSBB^∗Sx, xi −

S²BB^∗x, x

= 0.

II.2. Opérateurs positifs

Les opérateurs positifs sont des opérateurs symétriques avec la particularité que le produit scalaire d’une image avec son antécédent est toujours positif.

Dans cette section, nous suivons [Friedman, 1982]. Un opérateur symétriqueS est ditpositif si

hSx, xi ≥0 pour tout x∈ H.

Nous écrivons dans ce casS≥0. Unopérateur positif est un opérateur symétrique positif. SoientS etU deux opérateurs symétriques. SiS−U ≥0, nous disons queS est plus grand que U ou que U est plus petit que S. Nous écrivons alorsS ≥U ou U ≤S. C’est un ordre partiel sur les opérateurs symétriques. La réflexivité et la transitivité sont des propriétés évidentes de cette relation, tandis que l’antisymétrie découle du fait que si U ≤S etU ≤S, alorsh(U−S)x, xi= 0 pour tout x∈ H et donc par le Théorème II.1.2kU −Sk= 0, c’est-à-direU =S.

Remarquer que le Théorème I.3.2 nous dit que si P et Q sont deux projections, alorsP ≤Qsi et seulement siImP ⊆ImQ si et seulement siP Q=QP =P.

Lemme II.2.1. SoitP un opérateur positif. Il existe une suite(P_n)^∞_n=1 d’opérateurs qui sont polynomiaux en P avec coefficients réels, telle que la suite Pn

k=1P_k²∞ n=1

des sommes partielles est fortement convergente versP, i.e. pour tout x∈ H,

P x=

∞

X

n=1

P_n²x.

Démonstration. SiP = 0, l’énoncé est trivial. Supposons donc queP 6= 0et définis- sons par induction la suite d’opérateurs suivante :

B1 = _kP¹_kP, Bn+1=Bn−B_n² n= 2,3, . . .

ChaqueB_n est un polynôme en P avec coefficients réels et donc la RemarqueII.1.4 nous assure que chaque B_n est symétrique. De plus, pour tous m, n ≥1, B_mB_n = BnBm et en particulierP Bn=BnP pour toutn∈N. Nous montrons à présent par induction que :

0≤B_n≤I pour tout n≥1. (II.2)

Sin= 1, il découle directement de la positivité de P que pour toutx∈ H, hB₁x, xi= 1

kPkhP x, xi ≥0, et doncB₁≥0. De plus, pour tout x∈ H,

h(I−B₁)x, xi=hx, xi − hB₁x, xi=hx, xi − 1

kPkhP x, xi ≥0,

carhP x, xi ≤ kPk · kxk² par le ThéorèmeII.1.2. Supposons alors que (II.2) est vraie pour un certainm≥1 et montrons qu’elle est vraie pour m+ 1. Pour tout x∈ H, commeBm ≥0, nous avons d’une part :

Bm(I−Bm)²x, x

=hB_m(I−Bm)x,(I−Bm)xi ≥0, et d’autre part, commeBm≤I,

B_m²(I−B_m)x, x

=h(I−B_m)B_mx, B_mxi ≥0.

Ainsi,B_m(I−B_m)² ≥0 etB_m²(I −B_m)≥0. Par conséquent, B_m+1=B_m−B_m²

=Bm(I−Bm)²+B_m²(I −Bm)≥0.

De plus, puisqueB_m ≤I, nous avons bien :

I −B_m+1= (I−B_m) +B_m² ≥0.

Ceci termine la preuve par induction de (II.2).

À présent, observons que nous avons l’identité :

n

X

k=1

B_k² =B₁−B_n+1 pour toutn≥1. (II.3) Ainsi, comme B₁−(B₁−B_n+1) =B_n+1≥0, nous avons

n

X

k=1

B_k² ≤B1 pour tout n≥1.

Par conséquent,

n

X

k=1

hB_kx, B_kxi ≤ hB₁x, xi pour tout n≥1.

Il s’ensuit queP∞

n=1kB_nxk² <∞ et donc quelimn→∞kB_nxk= 0. Ainsi par (II.3),

n→∞lim B1x−

n

X

k=1

B_k²x = lim

n→∞kB_n+1xk= 0.

En posant alorsPn=p

kPkB_npour toutn≥1, la suite(Pn)^∞_n=1vérifie l’énoncé.

Corollaire II.2.2. Soient P etQ des opérateurs positifs. Si P Q=QP, alors l’opé- rateur P Qest positif.

Démonstration. Considérons la suite(P_n)^∞_n=1 que nous fournit le LemmeII.2.1pour l’opérateur positif P. Comme chaquePn est un polynôme enP, nous avonsPnQ= QP_npour tout n≥1. Ainsi pour tout x∈ H, par la continuité du produit scalaire,

hP Qx, xi=

∞

X

n=1

P_n²Qx, x

=

∞

X

n=1

hP_nQPnx, xi=

∞

X

n=1

hQP_nx, Pnxi ≥0, du fait de la positivité de Q.

Corollaire II.2.3. Soient (Sn)^∞_n=1 une suite d’opérateurs symétriques et U un opé- rateur symétrique tels que :

i) si 1≤m≤n, alors S_m≤S_n; ii) pour toutm, n≥1,SmSn=SnSm; iii) pour toutn≥1, U S_n=S_nU;

iv) pour tout n≥1, Sn≤U.

Il existe un opérateur symétrique S tel que (Sn)^∞_n=1 converge fortement vers S.

Démonstration. Considérons les opérateurs P_n=U−S_n. ChaqueP_nest positif par la conditioniv) et la suite (Pn)^∞_n=1 est décroissante par i), car si 1≤ m ≤n, alors P_m−P_n=S_n−S_m ≥0. De plus, parii) etiii),P_nP_m =P_mP_n pour tousm, n≥1.

Ainsi, le CorollaireII.2.2nous assure que si 1≤m < n, alors (Pm−Pn)Pm ≥0 et (Pm−Pn)Pn≥0.

Nous en déduisons que : P_m²x, x

≥ hP_mPnx, xi ≥

P_n²x, x

≥0 pour tous 1≤m < n et pour toutx∈ H.

(II.4) Par conséquent,

P_n²x, x∞

n=1 est une suite décroissante de nombres réels positifs.

Elle admet donc une limiteα∈R. Or par (II.4), nous avons pour1≤m < n : 0≤ hP_mPnx, xi −α≤

P_m²x, x

−α pour tout x∈ H.

Ainsi, en laissant m et n tendrent vers l’infini dans ces dernières inégalités, nous obtenons que

n,m→∞lim hP_mP_nx, xi= lim

m→∞

P_m²x, x

pour tout x∈ H.

Ainsi, pourm, n≥1 et pour toutx∈ H : kS_nx−S_mxk²=kP_mx−P_nxk²

=

(Pm−Pn)²x, x

=

P_m²x, x +

P_n²x, x

−2hP_mPnx, xi−−−−−→^m,n→∞ 0.

Il s’ensuit que pour tout x ∈ H la suite (S_nx)^∞_n=1 est de Cauchy dans l’espace de HilbertH. Elle admet donc une limiteSx∈ H. L’opérateurS ainsi défini est borné par le Corollaire I.2.2. En outre, S est symétrique car, par continuité du produit scalaire, nous avons pour tousx, y∈ H :

hSx, yi= D

n→∞lim Snx, y E

= lim

n→∞hS_nx, yi= lim

n→∞hx, S_nyi= D

x, lim

n→∞Sny E

=hx, Syi.

Nous faisons la définition suivante.

Définition II.2.4. Soit P un opérateur positif. Une racine carrée de P est un opérateur symétriqueR satisfaisant R² =P.

Le théorème suivant nous assure l’existence d’une unique racine carrée positive pour tout opérateur positif.

Théorème II.2.5. Soit P un opérateur positif. Il existe une unique racine carrée positive R de l’opérateur P. En outre, R commute avec tout opérateur borné qui commute avecP.

Démonstration.

Existence. Il suffit de montrer que tout opérateur positifP tel queP ≤I possède une racine carrée positive. En effet, si P est un opérateur positif quelconque, consi- dérons l’opérateurPe=ε²P, oùε >0est tel queε²kPk<1. Par le ThéorèmeII.1.2, nous avons pour tout x∈ H:

D

(I−Pe)x, x E

=hx, xi −ε²hP x, xi ≥ hx, xi −ε²kPk kxk ≥0.

Ainsi,Pe≤I. Il s’ensuit que siPeadmet une racine carrée positiveR, alors l’opérateure R= ¹_εRe est une racine carrée positive de P.

Supposons donc que P ≤ I et définissons par induction la suite d’opérateurs suivante :

R0= 0 R_n+1=R_n+1

2(P−R²_n) n= 1,2, . . . (II.5) Chaque Rn est un polynôme en P à coefficients réels. De ce fait, chaque Rn est symétrique et commute avec tout opérateur borné qui commute avecP. De l’identité

I −R_n+1 = 1

2(I−R_n)²+ 1

2(I−P), (II.6)

nous déduisons que Rn ≤I pour tout n≥0. De la relation (II.6) pour n+ 1et n, nous obtenons par soustraction et réarrangement :

R_n+1−R_n= 1

2(I −Rn−1)²−1

2(I−R_n)²

= 1

2(R²_n−1−2Rn−1+ 2Rn−R_n²)

= 1

2[(I−Rn−1) + (I−Rn)](Rn−Rn−1).

Cette dernière identité permet à l’aide du CorollaireII.2.2de montrer par induction que Rn+1 ≥ Rn pour tout n ≥ 0. En particulier puisque R0 = 0, chaque Rn est positif. Nous pouvons alors appliquer le Corollaire II.2.3 à la suite (R_n)^∞_n=0 bornée par l’identité. Il existe donc un opérateur symétrique R tel que limn→∞R_nx =Rx pour toutx∈ H. En outre par le ThéorèmeI.2.1de la borne uniforme, il existe une constante C≥0telle que kR_nk ≤C pour tout n≥1 et ainsi :

R²_nx−R²x =

R²_nx−RnRx+RnRx−R²x

≤CkR_nx−Rxk+kR_n(Rx)−R(Rx)k−−−→^n→∞ 0.

Et donc nous avonslimn→∞R²_nx=R²xpour toutx∈ H. Par conséquent, en laissant ntendre vers l’infini dans (II.5), nous obtenons :

Rx=Rx+1

2(P−R²)x pour tout x∈ H.

C’est-à-dire,R² =P. Comme chaqueR_nest positif, il en va de même deRpar conti- nuité du produit scalaire. De plus, comme chaqueRn commute avec tout opérateur borné qui commute avecP, cela est aussi vrai pour leur limiteR.

Unicité. Supposons queS est également une racine carrée positive deP. Puisque P = S², S commute avec P et par conséquent avec R. Soit x ∈ H quelconque et posonsy= (R−S)x. Alors,

hRy, yi+hSy, yi=h(R+S)(R−S)x, yi=

(R²−S²)x, y

= 0.

PuisquehRy, yi ≥ 0 ethSy, yi ≥ 0, nécessairement hRy, yi =hSy, yi = 0. Considé- rons alors une racine carrée positive T de l’opérateur positif R. Par la symétrie de T, nous avons

kT yk²=

T²y, y

=hRy, yi= 0.

Par conséquent, T y = 0. Nous en concluons que Ry = T(T y) = 0. Par le même argument, nous obtenonsSy= 0. Finalement, nous avons :

kRx−Sxk² =

(R−S)²x, x

=h(R−S)y, xi= 0,

c’est-à-direRx=Sx. Puisquex est arbitraire, nous en concluons queR =S.

Lemme II.2.6. Soient S et T deux opérateurs symétriques tels que ST = T S et S²=T². Nous notons P le projecteur sur le noyau L de l’opérateurS−T.

a) Tout opérateur borné qui commute avec S−T commute avecP; b) Si Sx= 0, alors P x=x;

c) P(S+T) =S+T etP(S−T) = 0.

Démonstration.

a). SoitBun opérateur borné qui commute avecS−T. Remarquons que siy∈L, alorsBy ∈L, puisque (S−T)By=B(S−T)y= 0. Par conséquent,BP x∈Lpour toutx∈ H. Ainsi,P BP x=BP xpour toutx∈ H, en d’autres termesP BP =BP. Par la Remarque II.1.5, l’adjoint B^∗ commute également avec S −T. Nous avons donc aussiB^∗P =P B^∗P. Nous obtenons alors :

P B = (B^∗P)^∗ = (P B^∗P)^∗=P BP =BP.

b). Supposons que Sx= 0 pour x∈ H. Alors, kT xk²=

T²x, x

=

S²x, x

=kSxk²= 0.

Donc T x = 0. Par conséquent, (S −T)x = 0 également et x ∈ L. Il s’ensuit que P x=x.

c). Observer que commeS etT commutent, nous avons pour toutx∈ H : (S−T)(S+T)x= (S²−T²)x= 0.

De ce fait,(S+T)x∈L. Il s’ensuit que P(S+T) =S+T. D’autre part, l’image de S−T est orthogonale à son noyau. En effet, siy= (S−T)xpourx∈ Het siz∈L, alors :

hy, zi=h(S−T)x, zi=hx,(S−T)zi= 0.

Par conséquent,P(S−T) = 0.

Le lemme suivant est d’une importance fondamentale pour la théorie spectrale exposée dans la section suivante. Sa démonstration utilise les résultats développés jusqu’ici dans ce but. Si S est un opérateur symétrique, nous notons |S| l’unique racine carrée positive de S². Nous avons notamment |S|S =S|S|et |S| ≥ 0 pour tout opérateur symétriqueS.

Lemme II.2.7. SoitS un opérateur symétrique. La projection sur le noyau de S−

|S|, notée E₊, a les propriétés suivantes.

a) Tout opérateur borné qui commute avec S commute avec E+; b) SE+ ≥0 et S(I−E+)≤0;

c) Si Sx= 0, alors E+x=x.

Démonstration.

a). Soit C un opérateur qui commute avec S. Puisque CS² = SCS = S²C, C commute également avec S². Par le Théorème II.2.5, C commute donc avec |S|. Il commute donc avecS− |S|et, par le LemmeII.2.6,C commute finalement avecE₊. Ainsi, E+ satisfaita).

b). PuisqueE₊ est la projection orthogonale sur le noyau deS− |S|, nous avons :

SE+=|S|E+. (II.7)

D’autre part, le Lemme II.2.6nous dit aussi queS = (2E+−I)|S|et donc

S(I−E+) =−(I−E+)|S|. (II.8) Or, |S| commute avec E+ par le Lemme II.2.6 et E+ et I −E+ sont positifs en tant que projections (ThéorèmeI.3.2). Ainsi par le Corollaire II.2.2, il découle alors de (II.7) et de (II.8) queSE+≥0 etS(I−E+)≤0.

c). Cette assertion découle directement du pointb) du LemmeII.2.6.

Le lemme précédent peut être visualisé avantageusement à l’aide de la définition suivante.

Définition II.2.8. SoientSun opérateur symétrique etE+la projection surS−|S|.

L’opérateur S₊ = SE₊ est appelé la partie positive de S tandis que l’opérateur S−=S(I−E+) est appelé lapartie négative de S.

Puisque tant S que |S| commutent avec S− |S|, le Lemme II.2.6 a) nous assure qu’ils commutent tous deux avecE₊. Ainsi, il découle de (II.7) que

E₊S=SE₊=|S|E₊=E₊|S|. En utilisant alors (II.8), on trouve que :

S₊= ¹₂(S+|S|) et S− =S−S₊= ¹₂(S− |S|).

II.3. Théorème spectral pour les opérateurs symétriques

Nous introduisons dans cette section la notion de famille spectrale. Nous définis- sons une intégrale qui est une somme continue d’opérateurs. Nous énonçons et démontrons le théorème spectral pour les opérateurs bornés et symétriques.

Définition II.3.1. Une famille spectrale sur Hest une fonction E :R→ L(H), que nous notons{E_λ}_λ∈R vérifiant les propriétés suivantes.

i) Eλ est une projection pour toutλ∈R; ii) Si λ < µ, alors E_λ ≤Eµ;

iii) La famille {E_λ}_λ∈R est fortement continue à gauche, i.e. pour toutµ∈Ret pour tout x∈ H :

λ%µlimE_λx=E_µ;

iv) Il existe m, M ∈R tels queE_λ = 0pour tout λ < met E_λ =I pour toutλ > M.

Si pour une famille spectrale{E_λ}_λ∈R, deux réelsm, M ∈Rsatisfont la propriété iii), nous disons quem etM sont des bornes pour{E_λ}_λ∈R.

Nous considèrons une famille spectrale{E_λ}_λ∈Rassortie de deux bornesm, M ∈R. Soit f une fonction continue à valeurs complexes définie sur le compact [m, M].

Nous pouvons étendre f continûment à l’ensemble [m, M + 1]. Nous notons cette extension égalementf. Fixons0< ε <1et considérons une partitionΠde[m, M+ε]

quelconque, i.e. une suite finie de réels(λ_k)ⁿ_k=0 telle que : m=λ0 < λ1<· · ·< λn−1 < λn=M +ε.

Appelons sataille le nombre|Π|défini par

|Π|= max

k=1,...,nλ_k−λ_k−1. Choisissons alors des réelsµ1, . . . , µk de sorte que :

µ_k∈[λ_k−1, λ_k] pour chaque k= 1,· · · , n, et formons la somme suivante :

S_Π=

n

X

k=1

f(µ_k)(E_λk−E_λk−1).

Le lemme suivant nous assure que lorsque l’on considère des partitions dont la taille tend vers zéro, la sommeS_Π converge dansL(H) vers un opérateur borné.

Lemme II.3.2. Soient(E_λ)λ∈Rune famille spectrale assortie de deux bornesm, M∈ R etf : [m, M]→Cune fonction continue. Soient 0< ε <1 et f : [m, M+ε]→C une extension continue de f. Il existe un opérateur borné S ayant la propriété que pour toutη >0il existeδ >0tel que pour toute partitionΠde[m, M+ε]satisfaisant

|Π|< δ nous avons :

kS_Π−Sk< η.

En outre, l’opérateur S est indépendant : a) de l’extension continue de f choisie ; b) du choix de ε;

c) du choix des µ_k.

Démonstration. Fixons η > 0 arbitraire. Puisque f est continue sur le compact [m, M+ε], elle est uniformément continue. Ainsi il existeδη >0 tel que :

pour toutλ, λ⁰ ∈[m, M+ε], λ−λ⁰

< δ_η implique

f(λ)−f(λ⁰) < 1

2η. (II.9) Partie 1. Montrons, pour commencer, l’assertion suivante.

Pour toutes partitions Π etΠ⁰ de[m, M+ε],

|Π|,|Π⁰|< δ_η implique kS_Π−S_Π⁰k ≤η, (II.10) ceci indépendamment des pointsµ_kchoisis pour former les sommes d’opérateursS_Π etS_Π⁰.

Notons Π = (λ_k)ⁿ_k=0 et fixons arbitrairement µ1, . . . , µn avec µi ∈ [λi−1, λi]pour tout i = 1, . . . , n. Pour Π⁰ = (λ⁰_k)ⁿ_k=0⁰ , nous formons alors la partition Π = (¯λ_j)^¯n_j=0 constituée des points appartenant à la réunion des points de ΠetΠ⁰. Notons égale- ment 0 =k0 < k1 < · · · < kj < kn = ¯n la sous-suite des indices vérifiant λ¯_ki = λi

pouri= 0, . . . , n.

Fixons ensuite arbitrairement des réels :

¯

µ_i∈[¯λi−1,λ¯_i] i= 1,· · · , k_n. La somme associée à Π et auxµ_j est donnée par :

S_Π=

n

X

i=1 ki

X

j=ki−1+1

f(¯µ_j)(Eλ¯j−Eλ¯j−1).

Et puisque pour tout i= 1, . . . , n:

ki

X

j=ki−1+1

E¯λj −Eλ¯j−1 =Eλ¯_ki −E¯λ_ki−1 =Eλi−Eλi−1,

nous pouvons écrireS_Πcomme : SΠ=

n

X

i=1 ki

X

j=ki−1+1

f(µi)(E¯λj −E¯λj−1).

À présent, du fait que |Π| < δη, il découle de (II.9) que, pour tout i = 1, . . . , n et toutj=ki−1+ 1, . . . , k_i, l’inégalité

|µ_i−µ¯_j|< λ_ki −λ_ki−1 < δ_η implique que

|f(µ_i)−f(¯µj)|< 1 2η.

Comme de plusE_m = 0 etE_M+ε=I, nous avons, pour toutx∈ H avec kxk ≤1 :

(S_Π−S_Π)x, x =

n

X

i=1 ki

X

j=ki−1+1

[f(µ_i)−f(¯µ_j)]D

(E¯λj −E¯λj−1)x, xE

≤

n

X

i=1 ki

X

j=ki−1+1

|f(µ_i)−f(¯µ_j)|D

(Eλ¯j−Eλ¯j−1)x, xE

≤ 1 2η

* _n X

i=1 ki

X

j=ki−1+1

(E¯λj−E¯λj−1)x, x +

= 1

2ηh(E_M+ε−E_m)x, xi

= 1

2ηkxk² ≤ 1 2η.

Par le Théorème II.1.2, il s’ensuit que

SΠ−S_Π

≤ ¹₂η. De la même façon, nous obtenons que

S_Π⁰−S_Π

≤ ¹₂η. Comme annoncé, nous avons par l’inégalité trian- gulaire que :

kS_Π−S_Π⁰k ≤

SΠ−S_Π +

S_Π−S_Π⁰ ≤η.

Partie 2. Considérons maintenant une suite(Πn)^∞_n=1 de partitions de [m, M+ε]

telle quelimn→∞|Π_n|= 0. La suite d’opérateurs(S_Πn)^∞_n=1 est alors de Cauchy dans L(H). En effet, il existeN ≥1tel que|Π_n|< δη pour toutn≥N. Ainsi, par (II.10), pour tout n, n⁰ ≥N, nous avons

S_Πn−S_Πn0

≤η. Puisque L(H) est complet, la suite(S_Πn)^∞_n=1 admet une limite S ∈ L(H). Pour cette limite, il existe N_η ≥ 1 de sorte que

SΠ_Nη −S

< ¹₂η. Finalement, par (II.10), pour toute partitionΠde taille inférieur àδ¹

2η nous avons : kS_Π−Sk ≤

SΠ−SΠ_Nη

+

SΠ_Nη −S < η.

La limite S ne dépend pas de l’extension continue de f ni de ε, car E_λ −Eµ = 0 pour tousM < λ < µ.

Le lemme précédent nous permet de faire la définition suivante.

Définition II.3.3. Soient (E_λ)λ∈R une famille spectrale assortie de deux bornes m, M ∈ R et f : [m, M] → C une fonction continue. L’opérateur limite S ∈ L(H) défini dans l’énoncé du Lemme II.3.2est appelé l’intégrale de la fonction f par rapport à la famille spectrale {E_λ}_λ∈R. Elle se note :

S = Z _M+ε

m

f(λ)dE_λ.

Remarquer que pour tout famille spectrale(E_λ)λ∈R, nous avons : Z M+ε

m

dE_λ =EM+ε−Em =I.

Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer le théorème principal de ce chapitre.

Théorème II.3.4 (Théorème spectral pour les opérateurs bornés et symétriques).

SoitSun opérateur borné et symétrique. Il existe une unique famille spectrale(E_λ)λ∈R

vérifiant les propriétés suivantes.

a) La borne inférieure m et la borne supérieureM de S sont des bornes pour (Eλ)λ∈R;

b) Tout opérateur borné qui commute avecS commute avecE_λ pour tout λ∈R;

c) Pour tout x∈ H la limite suivante existe : Eµ+0x= lim

λ&µE_λx;

d) L’opérateur S est donné par :

S= Z M+ε

m

λdEλ.

La famille (E_λ)λ∈R est appelée lafamille spectrale de S.

Démonstration. Pour tout λ ∈ R, notons E+(λ) la projection orthogonale sur le noyau de(S−λI)−|S−λI|étudiée au LemmeII.2.7. Remarquez queE₊(λ)est ainsi univoquement défini. Nous montrons que les projections Eλ = I −E+(λ) forment une famille spectrale vérifiant a),b) etc).

Puisque E₊(λ) commute avec tout opérateur borné qui commute avec S, cela est aussi vrai de Eλ. Ainsi, b) est satisfait. En particulier, EµEλ = EλEµ pour tous µ, λ∈R.

Montrons que siλ < µ, alorsE_λ ≤E_µ. Supposonsλ < µet posonsP =E_λ(I−E_µ).

Nous avons les identités :

E_λP =P, (I−E_µ)P =P. (II.11)

Et par définition deE_λ etE_µ, en vertu du Lemme II.2.7, nous avons :

(S−λI)E_λ≤0, (S−µI)(I−E_µ) = (S−µI)E₊(µ)≥0. (II.12) Prenonsx∈ H quelconque et posonsy=P x. En utilisant (II.11), nous avons :

E_λy =E_λP x=P x=y.

De la même manière, nous avons(I−E_µ)y=y. Ainsi, par (II.12) il s’ensuit que : h(S−λI)y, yi=h(S−λI)E_λy, yi ≤0,

h(S−µI)y, yi=h(S−µI)(I−Eµ)y, yi ≥0.

Nous en déduisons que :

(µ−λ)hy, yi=h(S−λI)y, yi − h(S−µI)y, yi ≤0.

Or, commeµ > λ, nécessairementP x=y= 0. Puisquexest quelconque, nous avons P = 0. Par définition de P, cela signifie que E_λ = E_λEµ. Par le Théorème I.3.2, c’est équivalent à E_λ ≤ E_µ. La famille (E_λ)λ∈R vérifie donc la condition ii) de la DéfinitionII.3.1.

Observons à present que siλ < µ, en notantE_∆=Eµ−E_λ, nous avons alors : EµE∆=E∆ et (I−E_λ)E∆=Eµ−E_λ−E_λEµ+E²_λ=E∆. (II.13) Maintenant, en utilisant (II.12), le fait que la composition d’opérateurs positifs qui commutent est positive (cf. CorollaireII.2.2) et queE_∆≥0, nous obtenons :

(S−µI)E_∆= (S−µI)E_µE_∆≤0, (S−λI)E∆= (S−λI)(I−E_λ)E∆≥0.

Conséquemment, nous avons les inégalités suivantes :

λE∆≤SE∆≤µE∆ siλ < µ. (II.14) Nous montrons à présent que la famille (Eλ)λ∈R vérifie c) et le point iii) de la DéfinitionII.3.1. Soit x∈ Harbitraire. Comme E_λ ≤E_µ si λ < µ,hE_λx, xi est une fonction réelle positive et décroissante deλ. Par conséquent, pour tout µ ∈ R, elle admet une limite à gauche

λ%µlimhE_λx, xi= sup

λ<µ

hE_λx, xi=lµ.

Donc pour toutη >0il existeδ >0tel que0< µ−λ < δimpliquel_µ−hE_λx, xi< ¹₂η.

Il s’ensuit que, pourµ−δ < λ < ν < µ, nous avons : kE_νx−E_λxk²=

(E_ν−E_λ)²x, x

=h(E_ν−E_λ)x, xi ≤ |hE_νx, xi −l_µ|+|l_µ− hE_λx, xi|< η.

Ainsi, par la complétude deH, la limite

λ%µlimE_λx=Eµ−0x existe pour tout x∈ H.

De façon similaire, il existe aussi pour tout x∈ Hla limite

λ&µlimE_λx=E_µ+0x.

Il reste encore à montrer que la famille (E_λ)λ∈Rest fortement continue à gauche. À cette fin, considérons l’opérateurE_∆0 =E_µ−Eµ−0 et notons comme précédemment E∆=Eµ−Eλ pour λ < µ. Remarquons que pour tout x∈ H,

λ%µlimE_∆x=E_∆0x.

Ainsi, en laissant λ%µdans (II.14) nous obtenons : µE_∆0 ≤SE_∆0 ≤µE_∆0.

Par conséquent, h(S−µI)E∆0x, xi = 0pour tout x ∈ H. Le ThéorèmeII.1.2 nous assure alors que k(S−µI)E_∆0k = 0. Fixons x ∈ H arbitrairement et notons y = E_∆0x. Ainsi(S−µI)y= 0 et donc par le point c) du LemmeII.2.7, nous avons :

EµE_∆0x=Eµy= (I−E+(µ))y = 0.

Finalement, il découle de (II.13) que : E∆0x= lim

λ%µE∆x= lim

λ%µEµE∆x=EµE∆0x= 0.

Nous avons donc obtenu Eµ−0 =Eµ comme désiré.

Montrons à présent a) assurant de cette façon que la famille (E_λ)λ∈R vérifie la condition iv) de la Définition II.3.1. Supposons par contradiction que λ < m et E_λ 6= 0. Il existe alorsx∈ H tel queE_λx6= 0. Pour un telx, posons y=E_λx. Nous pouvons supposer que kyk= 1. Alors par (II.12), nous obtenons que

hSy, yi −λ=h(S−λI)y, yi=h(S−λI)Eλy, yi ≤0.

Ainsi par définition de la borne inférieure deS, nous avons la contradiction : m≤ hSy, yi ≤λ.

DoncE_λ = 0pour toutλ < m. À nouveau par contradiction, supposons maintenant queλ > M etE_λ6=I. Il existe alorsx∈ Htel quez= (I−E_λ)x6= 0. Nous pouvons une fois encore supposer que kzk= 1. Ainsi toujours par (II.12),

hSz, zi −λ=h(S−λI)z, zi=h(S−λI)(I−E_λ)z, zi ≥0.

Alors par la définition de la borne supérieure deS, nous avons la contradiction : λ≤ hSz, zi ≤M.

Ainsi,E_λ =I pour tout λ > M.

Nous montrons maintenant le pointd). Pour cela, considérons une suite de parti- tions(Πl)^∞_l=1 donnée par :

Π_l: m=λ^l₀ < λ^l₁<· · ·< λ^l_nl−1 < λ^l_nl =M+ε,

vérifiant liml→∞|Π_l| = 0. Pour tout l ≥ 1 et pour tout k = 1, . . . , n_l, en notant E_∆l

k =E_λl k−E_λl

k−1, nous avons par (II.14) que :

λ^m_k−1E∆^m_k ≤SE∆^m_k ≤λ^m_kE∆^m_k . Ainsi pour l ≥ 1 fixé, puisque Pn_l

k=1E_∆l

k = I, nous obtenons en sommant sur k= 1, . . . , n_l :

S_Πl≤S ≤S_Π⁰

l.

En laissant alorsltendre vers l’infini, nous trouvons par le Lemme II.3.2que : Z M+ε

m

λdE_λ ≤S ≤ Z M+ε

m

λdE_λ.

Il s’ensuit que pour toutx∈ H :

S− Z M+ε

m

λdE_λ

x, x

= 0.

Ainsi par le ThéorèmeII.1.2,

S= Z M+ε

m

λdE_λ.

Il reste à démontrer l’unicité de la famille spectrale, ce que nous ferons après le lemme suivant et son corollaire.

Lemme II.3.5. Soit S un opérateur symétrique. Soit (E_λ)λ∈R une famille spectrale vérifianta) à d) du théorème précédent pourS. Pour tout polynôme p à coefficients réels, nous avons

p(S) = Z M+ε

m

p(λ)dE_λ.

Démonstration. Il suffit de montrer que l’énoncé est vrai pour tout monômep(λ) =λ^l avecl≥0. Or, nous avons déjà remarqué que cela est vrai pourl= 0, et le théorème précédent nous donne ce résultat pour l = 1. Supposons alors comme hypothèse d’induction que le lemme est vrai pourp(λ) =λ^l et montrons qu’il est vrai pour le monôme λ^l+1. Fixons 1 > η > 0 arbitrairement. Par le théorème précédent d’une

part et par l’hypothèse d’induction d’autre part, il existe δ > 0 de sorte que pour toute partitionΠ = (λk)ⁿ_k=0 vérifiant|Π|< δ, nous avons à la fois :

kS−Pn

k=1λ_kE_∆kk< η et

S^l−Pn

k=1λ^l_kE_∆k < η, oùE∆_k =E_λk−E_λk−1. NotonsT =Pn

k=1λ_kE∆_k etT^(l)=Pn

k=1λ^l_kE∆_k. Observons que

S^l−

n

X

k=1

λ^l_kE∆_k

S−

n

X

k=1

λ_kE∆_k

≤

S^l−T^(l)

kS−Tk< η². Ainsi,

S^l+1+

n

X

k=1

λ^l_kE∆_k n

X

k=1

λ_kE∆_k−S^lT−ST^(l) < η². Cependant, pour tout k, nous avons :

E_∆²_k =E_λ²_k−2E_λkE_λk−1+E_λ²_k−1 =E∆_k. Tandis que pour tousi6=j, nous avons :

E∆iE∆j =E_λiE_λj−E_λiE_λj−1 −E_λi−1E_λj+E_λi−1E_λj−1 = 0.

Par conséquent,T^(l)T =Pn

k=1λ^l+1_k E∆_k. En utilisant de plus que

S^lT−S^l+1 ≤

S^l

kT −Sk ≤ kSk^lη, et

ST^(l)−S^l+1

≤ kSk

T^(l)−S^l

≤ kSkη, nous obtenons que :

n

X

k=1

λ^l+1_k E∆k −S^l+1 =

(S^l+1+T^(l)T−S^lT−ST^(l)) + (S^lT−S^l+1) + (ST^(l)−S^l+1)

≤η²+kSk^lη+kSkη

< η(η+kSk^l+kSk).

Où nous avons utilisé, dans la dernière inégalité, le fait que nous avons pris arbitrai- rement 0< η <1. Il découle alors du Lemme II.3.2que :

S^l+1 = Z M+ε

m

λ^l+1dE_λ.

Ceci termine la preuve du lemme.

Corollaire II.3.6. Soit S un opérateur symétrique. Soit (E_λ)λ∈R une famille spec- trale vérifiant a) à d) du théorème précédent pour S. Pour tout x ∈ H et pour tout polynômep à coefficients réels,

hp(S)x, xi= Z M+ε

m

p(λ) dhE_λx, xi. (II.15) Le membre de droite de (II.15) est une intégrale au sens de Riemann-Stieltjes (cf.

Annexe A). Pour tout x ∈ H la fonction λ 7→ hE_λx, xi est croissante et donc a fortiori à variation bornée sur [m, M+ε]. Sa variation totale sur [m, M +ε] égale kxk². De plus, la valeur du membre de droite ne dépend pas de l’extension continue depchoisie ni de la valeur deε. Cela découle du fait déjà observé que siλ > µ > M, alorsE_λ−E_µ= 0.

Démonstration. Soit(Πn)^∞_n=1une suite de partitions de[m, M+ε]telle quelimn→∞|Π_n|= 0. Notons(λⁿ_k)^l_k=0ⁿ la partitionΠ_n. Observer que, d’une part, en vertu du LemmeII.3.5 et par la continuité du produit scalaire :

* _ln X

k=1

p(λⁿ_k)(E_λⁿ

k −E_λⁿ

k−1)x, x +

−−−→ hp(S)x, xin→∞ .

Tandis que, d’autre part, le Théorème A.2.1 nous assure que, par la linéarité du produit scalaire :

* _l

n

X

k=1

p(λⁿ_k)(Eλⁿ_k −Eλⁿ_k−1)x, x +

=

ln

X

k=1

p(λⁿ_k) hE_λⁿ

kx, xi − hE_λⁿ

k−1x, xi

−−−→n→∞

Z M+ε m

p(λ)dhE_λx, xi. Par l’unicité de la limite, nous obtenons (II.15).

Nous sommes maintenant en mesure de montrer l’unicité de la famille spectrale d’un opérateur symétrique, comme annoncé dans le ThéorèmeII.3.4.

Preuve de l’unicité de la famille spectrale d’un opérateur symétrique. SoitSun opé- rateur symétrique. Considérons deux familles spectrales(E_λ)_λ∈Ret(F_λ)_λ∈Rvérifiant les conditions a) à d) du Théorème II.3.4 pour S. Par définition, nous avons déjà E_λ=F_λ pour tousλtels queλ≤m ouλ≥M+ε, oùm etM sont les bornes deS.

De plus, pour tout polynômepà coefficients réels, nous avons par le CorollaireII.3.6: hp(S)x, xi=

Z M+ε m

p(λ) dhE_λx, xi= Z M+ε

m

p(λ) dhF_λx, xi pour tout x∈ H.

Posons φ(λ) = hE_λx, xi − hF_λx, xi pour tout λ ∈ [m, M +ε]. La fonction φ est à variation bornée en tant que combinaison linéaire de fonctions à variation bornée.

En outre,φ(m) = 0etφ est continue à gauche. Ainsi par les PropriétésA.3.1, Z M+ε

m

pdφ= 0 pour tout polynômep.