Quelques résultats

Les propriétés élémentaires suivantes s’obtiennent directement à l’aide de la défi-nition et du Théorème A.2.1.

Propriétés A.3.1. Soient f, g: [a, b]→R des fonctions continues,φ, ψ∈VB[a, b],

Le théorème de la moyenne dans le cas de l’intégrale de Riemann-Stieltjes s’énonce comme suit.

Nous obtenons le résultat du lemme en prenant une suite de partition dont la taille tend vers zéro.

Voici l’analogue du théorème de convergence uniforme pour l’intégrale de Riemann.

Théorème A.3.3. Soit φ: [a, b]→Rune fonction à variation bornée. Soit(f_n)^∞_n=1 une suite de fonctions continues définies sur [a, b] à valeurs réelles convergeant uni-formément vers une fonction f. Nous avons

n→∞lim

Démonstration. Remarquons tout d’abord que, comme f est continue en tant que limite uniforme d’une suite de fonctions continues, l’intégrale de Riemann-Stieltjes de f par rapport à φexiste.

Fixons à présent ε > 0 arbitrairement. Puisque (f_n)^∞_n=1 converge uniformément vers f, il existe N ≥1 tel que pour toutn≥N, nous avons :

sup

x∈[a,b]

|f_n(x)−f(x)| ≤ ε V_a^b(φ).

Considérons une suite(Π_m)^∞_m=1 de partitions de [a, b] telle que limm→∞|Π_m|= 0.

Pourn≥N fixé, nous pouvons laisserm→ ∞ pour obtenir, par le ThéorèmeA.2.1,

Le théorème suivant est utilisé au ChapitreII.

Théorème A.3.4. Soit φ : [a, b]→ R à variation bornée et continue à gauche. Si

Par le Théorème A.1.1, nous pouvons écrire la variation totale de φ sur [t− _n¹, t]

comme :

V_t−^t 1 n

(φ) =V_a^t(φ)−V^t−

1

a n(φ).

Ainsi puisque φest continue à gauche, le ThéorèmeA.1.2nous assure que :

n→∞lim V_t−^t 1 n

(φ) =V_a^t(φ)− lim

n→∞V^t−

1

a n(φ) = 0.

Nous avons donc obtenu que :

n→∞lim Z t

t−_n¹

(−nx+nt)dφ(x) = 0.

Il s’ensuit qu’en laissantn→ ∞dans (A.2), nous obtenons par la continuité à gauche de φque

0 = lim

n→∞φ(t− 1

n)−φ(a) =φ(t)−φ(a).

Comme t ∈ (a, b) est quelconque, nous avons obtenu que φ(t) = φ(a) pour tout t∈[a, b) et donc nous avons aussi :

φ(b) = lim

x%bφ(x) =φ(a).

B.1. Mesure de Lebesgue-Stieltjes

La mesure de Lebesgue-Stieltjes est la mesure de Lebesgue associée à une fonction croissante et continue à gauche.

Soit F : R → R croissante et continue à gauche. Nous notons F(λ+ 0) = limµ&λF(µ) pour toutλ∈R. Le théorème suivant nous assure l’existence et l’uni-cité d’une mesureµ_F au sens de Lebesgue définie sur les boréliensB deRqui prend les valeurs suivantes sur les intervalles bornés :

µ_F[a, b) =F(b)−F(a)

µF(a, b] =F(b+ 0)−F(a+ 0) µF(a, b) =F(b)−F(a+ 0)

pour tousa, b∈R aveca < b, et

µF[a, b] =F(b+ 0)−F(a), poura, b∈Ravec a≤b.

Nous nous contentons d’énoncer ce théorème dont la démonstration peut être lue dans [Stein, 2005] à la page 282.

Théorème B.1.1. Soit F :R→Rune fonction croissante et continue à gauche. Il existe une unique mesureµ_F définie sur Btelle queµ_F[a, b) =F(b)−F(a) sia < b.

Nous appelonsmesure de Lebesgue-Stieltjes associée à la fonction croissante et continue à gauche F, la mesure µF que nous procure le précédent théorème.

La mesure µF peut en fait être étendue sur une σ-algèbre plus grande que celle des Boréliens. Nous considérons cependant qu’elle est définie sur les boréliens. En particulier, un borélienB ∈ B est aussi dit µF-mesurable puisqu’il appartient au domaine de la mesure µF. Observer que si F est l’identité sur R, alors µF est la mesure de Lebesgue surR.

Dans la suite de cette appendice, µF se réfère toujours à la mesure de Lebesgue-Stieltjes associée à une fonction croissante et continue à gaucheF.

Remarque B.1.2. Les mesures de Lebesgue-Stieltjes surRne forment pas un type particulier de mesure. Cette notion réfère plutôt à une façon particulière de construire

des mesures surR. En effet, on peut montrer¹ que siµest une mesure sur Bqui est finie sur les intervalles bornés, alors la fonction définie par :

F(x) =







−µ[−x,0), si x <0;

0, si x= 0;

µ[0, x), si x >0, est croissante et continue à gauche.

B.2. L’intégrale de Lebesgue-Stieltjes

L’intégrale de Lebesgue-Stieltjes est définie comme l’intégrale de Lebesgue par rapport à la mesure de Lebesgue-Stieltjes.

Soit F une fonction croissante et continue à gauche. L’intégrale de Lebesgue-Stieltjes par rapport à F est simplement l’intégrale de Lebesgue par rapport à la mesure de Lebesgue-Stieltjes µ_F engendrée par F. Nous rappelons très brièvement les étapes importantes de l’une de ses constructions possibles dans le cas particulier qui nous intéresse. Nous adoptons essentiellement l’approche de [Kolmogorov, 1980]

et nous invitons le lecteur à se référer à cette ouvrage pour les détails omis dans cette section.

PourA⊆Run ensemble borélien, une fonctionf :A→Rest diteµ_F-mesurable ou aussi dans notre casBorel-mesurable, si :

f⁻¹(B)∈ B pour tout B ∈ B.

La première étape consiste à définir l’intégrale pour les fonctions simples. Un fonc-tion simple sur un ensemble borélien A est une fonction µ_F-mesurable f :A→ R qui ne prend qu’un nombre dénombrable de valeurs distinctes. Il est aisé de voir qu’une fonction simple s sur A peut toujours s’écrire de manière unique sous la forme :

s=

∞

X

k=1

y_kχ_Ak, (B.1)

où χ_B dénote la fonction indicatrice (sur A) de l’ensemble B, les A_k sont µ_F -mesurables, inclus dans A et disjoints deux à deux, et les y_k ∈ R pour tout k ≥1 sont distincts.

Soit alorsA⊆Rµ_F-mesurable ets=P∞

k=1y_kχ_Akune fonction simple surA(écrite sous la forme de (B.1)). Nous disons quesestLebesgue-Stieltjes intégrable par rapport à Fou µ_F-intégrable surA si la série

∞

X

k=1

y_kµ_F(A_k) converge absolument.

1. voir [Stein, 2005] p.282.

Dans ce cas, nous définissons l’intégrale de Lebesgue-Stieltjes par rapport à F de la fonction simplessurA comme :

Z

A

sdµ_F =

∞

X

k=1

y_kµ_F(A_k).

L’intérêt des fonctions simples provient notamment de leur relation avec les fonc-tions mesurables. C’est ce que montre le théorème suivant que nous donnons sans démonstration. La preuve peut être lue dans [Kolmogorov, 1980] à la page 286.

Théorème B.2.1. Une fonction f est µF-mesurable si et seulement s’il existe une suite (s_n)^∞_n=1 de fonctions simples qui converge uniformément vers f.

Cela motive la définition suivante qui étend la notion d’intégrale de Lebesgue-Stieltjes au-delà des fonctions simples.

Définition B.2.2. Soit A un ensemble µ_F-mesurable. Une fonction µ_F-mesurable f est dite Lebesgue-Stieltjes intégrable par rapport à F ou µF-intégrable sur A, s’il existe une suite de fonctions simples µ_F-intégrable sur A qui converge uniformément versf. Nous appelons, dans ce cas,intégrale de Lebesgue-Stieltjes par rapport à F de la fonction f surA, la limite :

Z

A

f dµ_F = lim

n→∞

Z

A

s_ndµ_F.

On montre en particulier que la précédente limite existe, est finie et ne dépend pas de la suite de fonctions simplesµ_F-intégrables choisie. Nous n’exposons pas ces détails qui légitime cette définition. Ils peuvent être lus dans [Kolmogorov, 1980] à la page 296.

Dans le cas d’une fonction complexe f :R→C, considérons sa partie réelle et sa partie imaginaire de sorte quef =g+ih. Nous disons quef estLebesgue-Stieltjes intégrable par rapport àF ouµ_F-intégrablesurAsigethle sont. L’intégrale de Lebesgue-Stieltjes par rapport à F de f surA est alors comprise comme :

Z

A

f dµ_F = Z

A

gdµ_F +i Z

A

hdµ_F.

Le théorème suivant nous assure que l’intégrale de Riemann-Stieltjes et l’intégrale de Lebesgue-Stieltjes coïncident pour les fonctions continues.

Théorème B.2.3. Soitf : [a, b]→Rune fonction continue etF :R→Rcroissante et continue à gauche. L’intégrale de Riemann-Stieltjes et celle de Lebesgue-Stieltjes coïncident dans le sens où :

Z b a

f dF = Z

[a,b)

f dµ_F.

Démonstration. Considérons une suite(Π_n)^∞_n=1 de partitions de[a, b]donnée par : Π_n: a=λⁿ₀ < λⁿ₁ <· · ·< λⁿ_mn−1 < λⁿ_mn =b,

et telle que limn→∞|Π_n|= 0. Définissons alors pour tout n≥1une fonction simple ψn: [a, b)→Rpar :

ψ_n(x) =f(λⁿ_k) six∈[λⁿ_k, λⁿ_k−1) pourk= 0, . . . , m_n−1.

Chaqueψ_n estµ_F-intégrable sur[a, b) et il est aisé de voir en utilisant la continuité uniforme def que la suite(ψ_n)^∞_n=1 converge uniformément versf. Par ailleurs, nous avons clairement l’égalité :

SΠn = Z

[a,b)

ψndµF,

et par conséquent, en laissant n → ∞ nous obtenons par le Théorème A.2.1 et par la définition de l’intégrale de Lebesgue-Stieltjes :

Z b a

f dF = Z

[a,b)

f dµ_F.

Si (f_n)^∞_n=1 est une suite de fonctions telle qu’il existe un ensemble µ_F-mesurable N avec µ_F(N) = 0 pour lequel

n→∞lim fn(x) =f(x) pour tout x∈R\N,

nous disons que la suite (fn)^∞_n=1 converge µF presque partout vers la fonctionf et nous écrivons fn→f presque partout.

Nous avons alors les théorèmes de convergence suivants.

Théorème B.2.4 (Lemme de Fatou). Soit (fn)^∞_n=1 une suite de fonctions µF -mesurables telle que fn≥0 pour tout n≥1. Sifn→f presque partout, alors

Z

f dµF ≤lim inf

n→∞

Z

fndµF.

La preuve de cette formulation du Lemme de Fatou se trouve dans [Stein, 2005] à la page 61.

Théorème B.2.5 (Convergence dominée). Soit (fn)^∞_n=1 une suite de fonctions me-surables telle que f_n → f presque partout. S’il existe une fonction g µ_f-intégrable telle que |f_n| ≤g pour tout n≥1, alors

n→∞lim Z

|f_n−f|dµ_F = 0 et ainsi,

n→∞lim Z

f_ndµ_F = Z

f dµ_F.

La preuve de ce théorème peut par exemple se lire dans [Stein, 2005] à la page 67.

Une formulation équivalente se trouve dans [Kolmogorov, 1980] à la page 303.

B.3. L’espace L

₂

( R , µ

_F

)

L’espace L2(R, µF) se définit de façon analogue au cas où µF est la mesure de Lebesgue. Il est constitué des classes d’équivalence de fonctionsµ_F-mesurablesf dont le module au carré estµF-intégrable sur Rpour la relation d’équivalencef ∼_µF g si et seulement sif(x) =g(x) µF presque partout. Ces fonctions satisfont :

Z

|f|²dµ_F <∞,

où nous adoptons la convention qu’une intégrale dont le domaine n’est pas indiqué est comprise comme une intégrale sur tout R. Comme dans le cas où µF est la mesure de Lebesgue, nous ne distinguons pas deux fonctions f, g ∈ L₂(R, µ_F) qui coïncident presque partout dans le sens où il existe un ensemble N µ_F-mesurable tel queµF(N) = 0 etf(x) =g(x) pour tout x∈R\N. Cet ensemble est un espace vectoriel complexe et muni du produit scalaire :

hf, gi_L

2(R,µF)= Z

fgdµ¯ _F pour tousf, g∈L₂(R, µ_F), c’est un espace de Hilbert.

Nous appelonsfonction en escalier une fonction t:R→Cdu type : t=

n

X

k=0

c_kχ_Ik

où lesI_k sont des intervalles de la forme :

(a_k, b_k), [a_k, b_k), (a_k, b_k], [a_k, b_k], aveca_k, b_k∈Rtels quea_k≤b_k et avec c_k∈C.

Le résultat suivant est à la base de la définition de l’intégrale d’une fonction par rapport à une famille spectrale. Sa démonstration est faite dans [Weidmann, 1980, p. 25]. Elle peut également se déduire de la preuve du théorème assurant la sépara-bilité deL₂(R) dans [Stein, 2005, p. 160].

Théorème B.3.1. Les fonctions en escalier sont denses dans L2(R, µF).

un espace de Banach

Dans toute cette appendice, nous considérons un espace de BanachBet une fonc-tion continueF : [a, b]→ B oùa, b∈Ravec a < b.

C.1. Définition et existence

La fonctionF étant continue entre les espaces métriques[a, b]etBet puisque[a, b]

est compact, elle est uniformément continue. Ainsi, pour toutε >0, il existe δ >0 tel que pour touxt, s∈[a, b]

si |t−s|< δalors kF(t)−F(s)k< ε.

Par ailleurs, une fonction continue F : [a, b]→ Best bornée dans le sens où sup

t∈[a,b]

kF(t)k<∞.

Pour voir cela, notonsM = sup_t∈[a,b]kF(t)k où possiblement M =∞ et observons qu’il existe une suite (t_n)^∞_n=1 d’éléments de [a, b] avec limn→∞kF(t_n)k = M. Par la compacité de [a, b], il existe alors une sous-suite (t_nk)^∞_k=1 de la suite (t_n)^∞_n=1 qui converge vers un élémentt∈[a, b]. Par conséquent, par la continuité de la norme et de la fonctionF,

M = lim

k→∞kF(t_nk)k=kF(t)k<∞.

En analogie complète avec le cas de l’intégrale de Riemann à valeur dansR, pour toute partitionΠ de[a, b]donnée par

Π : a=λ₀ < λ₁ <· · ·< λm−1< λ_m =b, et pour toute suite de points

µ_k∈[λk−1, λ_k] pour toutk= 1, . . . , m, nous formons alors la somme

S_Π=

m

X

k=1

(λ_k−λk−1)F(µ_k).

Nous montrons dans le prochain théorème que lorsque l’on prend des partitions de taille arbitrairement petite, on s’approche arbitrairement près d’un élément deB.

Théorème C.1.1. SoitF : [a, b]→ B continue. Il existe un unique élémentY ∈ B avec la propriété que pour tout ε >0, il existe δ >0 tel que pour toute partition Π de [a, b] avec|Π|< δ, alors

kS_Π−Yk< ε.

Nous appelons l’élémentY ∈ B, décrit dans ce théorème, l’intégrale de Riemann de F sur[a, b]et nous le notons

Y = Z _b

a

F(t)dt.

La démonstration de ce résultat est,mutatis mutandis, la réplique de celle du Théo-rèmeA.2.1et du LemmeII.3.2. Ces trois démonstrations sont en fait des adaptations du résultat similaire pour l’intégrale de Riemann à valeurs dans R. Par conséquent, il serait possible de démontrer le résultat dans un cadre commun à ces quatre situa-tions.

Preuve. Soitε >0arbitraire. Comme déjà observé,F est uniformément continue. Il existe donc δ_ε tel que pour tous t, s∈[a, b]avec |t−s|< δ_ε, alors

kF(x)−F(y)k< ε

2(b−a). (C.1)

À présent, montrons que pour deux partitionsΠ etΠ⁰ de [a, b], nous avons : si |Π|,|Π⁰|< δ_ε, alors |S_Π−S_Π⁰| ≤ε. (C.2) Cela indépendamment du choix des pointsµ_kconsidérés pour former les sommesS_Π etSΠ⁰.

Notons (λ_k)ⁿ_k=0 la partition Π et considérons la partition Π qui est l’union des points de Πet de Π⁰ indexée de la façon suivante :

λ¯₀ =λ₀ <λ¯₁ <· · ·<λ¯_k1 =λ₁<¯λ_k0+1 <· · ·<¯λ_k2 =λ₂ < · · · <¯λ_kn =λ_n. Fixons arbitrairement des réels µ_i ∈ [λ_i, λi−1] pour k = 1, . . . , n et des réels µ¯_j ∈ [¯λj,λ¯j−1]pour j= 1, . . . , kn. Nous avons alors,

S_Π=

n

X

i=1 ki

X

j=ki−1+1

(¯λ_j−λ¯j−1)F(¯µ_j).

Et puisque, pour touti= 1, . . . , n :

ki

X

j=ki−1+1

(¯λj−¯λj−1) = ¯λki −λ¯ki−1 =λi−λi−1,

nous pouvons écrireS_Πcomme :

De la même façon, nous avons aussi

S_Π⁰−S_Π taille inférieure àδ1

2ε :

|S_Π−I| ≤ |S_Π−S_ΠN|+|S_ΠN −I|< ε.

Notre intégrale ainsi définie est évidemment linéaire. C’est-à-dire, siF, G: [a, b]→ Bsont des fonctions continues et siα, β ∈R, alors

De plus, il est facile de voir que

C.2. Quelques résultats

Preuve. La continuité de la composition deF avecT découle simplement du fait que kT F(t)−T F(s)k=kT(F(t)−F(s)k ≤ kTk kF(t)−F(s)k.

Considérons maintenant une suite(Π_n)^∞_n=1 de partitions de[a, b]que nous écrivons Πn: a=λⁿ₀ < λⁿ₁ <· · ·< λⁿ_mn−1 < λⁿ_mn =b,

et donc par la continuité deT et le ThéorèmeC.1.1, nous obtenons le résultat annoncé en laissantn→ ∞.

Preuve. La continuité de φT découle simplement du fait que

kφ(t)T(t)−φ(s)T(s)k ≤ kφ(t)T(t)−φ(s)T(t)k+kφ(s)T(t)−φ(s)T(s)k

≤ |φ(t)−φ(s)| kT(t)k+|φ(s)| kT(t)−T(s)k.

Considérons maintenant une suite(Πn)^∞_n=1 de partitions de[a, b]que nous écrivons Π_n: a=λⁿ₀ < λⁿ₁ <· · ·< λⁿ_mn−1 < λⁿ_mn =b,

et donc, en laissantn→ ∞, le résultat annoncé découle de la continuité de la norme, du ThéorèmeC.1.1et du fait que

n→∞lim

mn

X

k=1

(λⁿ_k −λⁿ_k−1)|φ(λⁿ_k)|= Z b

a

|φ(t)|dt.

Nous avons alors un théorème de convergence uniforme.

Théorème C.2.3. Soient (F_n)^∞_n=1 une suite de fonctions continues F_n : [a, b]→ B et une fonction continue F : [a, b]→ B. Si (Fn)^∞_n=1 converge uniformément vers F, i.e. si pour toutε >0, il existe N ≥1 tel que pour tout n≥N

sup

s∈[a,b]

kF_n(s)−F(s)k< ε, alors

n→∞lim Z b

a

Fn(t)dt= Z b

a

F(t)dt.

Preuve. Par le ThéorèmeC.2.2 appliqué àφ(s)≡1, nous avons pour tout n≥1

Z b a

Fn(t)dt− Z b

a

F(t)dt

≤(b−a) sup

t∈[a,b]

kF_n(s)−F(s)k.

Le résultat annoncé découle alors simplement de la convergence uniforme de la suite (Fn)^∞_n=1 vers F.

[Friedman, 1982] Friedman, A. (1982). The Foundations of Modern Analysis. Dover Publications, Inc. NEW YORK.

[Kolmogorov, 1980] Kolmogorov, A.N. et Fomin, S. (1980). Introductory Real Ana-lysis. Dover Publications, Inc. NEW YORK.

[Riesz, 1955] Riesz, Frédéric et Sz-Nagy, B. (1955). Leçons d’analyse fonctionnelle.

Gauthier-Villars, Paris et Akadémiai Kiadó, Budapest.

[Stein, 2005] Stein, Elias M. et Shakarchi, R. (2005). REAL ANALYSIS, Volume III, Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press.

[Weidmann, 1980] Weidmann, J. (1980). Linear Operators in Hilbert Spaces. Sprin-ger Verlag.

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