Théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints

Nous abordons dans cette section le théorème principal de ce chapitre. Il existe plusieurs démonstrations basées sur des considérations en apparence très différentes de ce théorème. Nous exposons ici essentiellement la preuve de Riesz et Lorch comme rapportée dans [Riesz, 1955].

La démonstration que nous présentons donne une grande importance au résultat suivant.

Lemme IV.2.1. Soit

H₁,H₂, . . . ,H_i, . . .

une suite de sous-espaces vectoriels fermés de l’espace de Hilbert H, orthogonaux deux à deux et dont la somme égale l’espace entierH. Désignons par xi la projection d’un élément quelconquex∈ H sur H_i.

Soit

A1, A2, . . . , Ai, . . .

une suite d’opérateurs telle que pour tout i la restriction Ai|_Hi : H_i → H_i est un opérateur borné et symétrique surH_i.

Il existe un unique opérateur autoadjoint A : D_A ⊆ H → H qui pour tout i = converge, et pour ces x :

Ax=

∞

X

i=1

A_ix_i.

Démonstration. Observons tout d’abord que l’opérateur A ainsi défini est linéaire.

Son domaine est dense dans H car pour tout x ∈ H et pour tout ε > 0 il existe linéarité du produit scalaire, et du fait que les H_i sont orthogonaux deux à deux, pour tousx, y∈D_A,

Afin de montrer que l’opérateurAest en fait autoadjoint, montrons queD_A=D_A^∗. Dans ce but, considérons un élément quelconquey ∈D_A^∗ du domaine de A^∗. Pour tout élémentx∈D_A, nous avons

hAx, yi=hx, A^∗yi,

et donc en décomposant par rapport aux H_i

∞

X

i=1

hA_ix_i, y_ii=

∞

X

i=1

hx_i,(A^∗y)_ii.

En particulier, quelque soitj ≥1, nous avons pour toutx∈ H_j que : hA_jx, yji=hx,(A^∗y)ji.

Or,Aj est supposé borné et symétrique sur H_j, et donc nécessairement :

(A^∗y)_j =A_jy_j ∈ H_j. (IV.1) Il découle alors du théorème de Pythagore que

∞

X

i=1

kA_iy_ik²=

∞

X

i=1

k(A^∗y)_ik² =kA^∗yk²,

et ainsiy∈D_A et donc, comme y est arbitraire dansD_A^∗, nous avons D_A=D_A^∗. Montrons finalement l’unicité d’un tel opérateur autoadjoint. SoitA⁰un opérateur autoadjoint qui coïncide sur H_i avec Ai et cela pour tout i = 1,2, . . .. En tant qu’opérateur autoadjoint,A⁰ est fermé et se trouve donc être défini en chaquex∈ H pour lequel la série

∞

X

i=1

A⁰xi (IV.2)

converge. La série égale dans ce cas A⁰x. Or A⁰xi = Aixi et la convergence d’une série d’éléments orthogonaux et équivalente à la convergence de la série des carrés des normes. Ainsi, l’ensemble des x pour lesquels la série (IV.2) converge égale D_A et pour ces x nous avons clairement :

A⁰x=Ax.

Cela signifie queA⊆A⁰, mais puisqueA est autoadjoint et par conséquent maximal symétrique, nécessairement

A⁰ =A.

Le lemme suivant est en quelque sorte la réciproque du lemme qui précède. Ce résultat permet de déduire le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints du théorème spectral des opérateurs symétriques.

Lemme IV.2.2. SoitA un opérateur autoadjoint sur H. Il existe une suite H₁,H₂, . . . ,H_n, . . .

de sous-espaces vectoriels fermés deH, orthogonaux deux à deux, dont la somme égale l’espace entier H, telle que la restriction A|_Hn : H_n → H_n de A est un opérateur borné et symétrique sur H_n. En outre, la restriction à chaque H_n de tout opérateur borné T tel que T_`A est un opérateur borné sur H_n.

Démonstration. Considérons les opérateurs du Théorème III.4.3: B= (I+A²)⁻¹ et C=AB=A(I+A²)⁻¹.

L’opérateur B est borné symétrique est tel que 0 ≤ B ≤ I. Par le théorème spec-tral pour les opérateurs bornés et symétriques (II.3.4),B admet une unique famille spectrale{F_λ}λ∈R ayant pour bornes0 et1 de sorte que :

B= Z 1+ε

0

λdFλ.

Montrons que la famille spectrale deBest en fait continue enλ= 0, c’est-à-dire que pour tout x ∈ H F₀₊₀x = limλ&0F_λx =F₀x = 0. Commençons par rappeler que, par le ThéorèmeII.3.4, la limite forte F₀₊₀ existe. Or, pour toutλ >0, il existe une suite une suite réelle(µn)^∞_n=1 qui converge vers0 et telle que 0< µn < λpour tout n≥ 1. PuisqueF_λF_µn = F_µn pour tout n≥ 1, nous avons par la continuité de F_λ que pour toutx∈ H :

F_λF₀₊₀x= lim

n→∞F_λF_µnx=F₀₊₀x.

Il s’ensuit que pour toute partitionΠ = (λk)^m_k=0 de[0,1 +ε], nous avons : SΠF0+0=

m

X

k=1

λk(Fλ_k−Fλk−1)F0+0

=λ1(F0+0−F0) +

m

X

k=2

λk(F0+0−F0+0)

=λ₁F₀₊₀.

Ainsi en laissant|Π| → 0, nous obtenons BF₀₊₀= 0. CommeBB⁻¹ =I, il s’ensuit que

F0+0=B⁻¹BF0+0= 0. (IV.3)

Nous définissons alors les projections suivantes : P1 =F1+ε−F¹

2 et Pn=F¹

n −F ¹

n+1 pourn≥2.

Notons H_n les sous-espaces vectoriels fermés ImPn associés à ces projections. Ces sous-espaces vectoriels sont orthogonaux deux à deux et leur somme égale H car, par (IV.3), nous avons

∞

X

n=1

P_n=F_1+ε−F₀₊₀=I.

Il nous faut à présent montrer que A restreint à H_n est un opérateur borné et symétrique pour chaquen≥1. Par le Lemme III.3.3, siPn`A, alorsPnAPn=APn. Dans ce cas, si nous montrons que l’opérateurAP_nest partout défini et borné, le fait

que A est autoadjoint implique alors que la restriction deA à H_n est un opérateur symétrique surH_n. Il nous suffit donc de voir queP_n`A et que l’opérateur APnest partout défini et borné.

Pour ce faire, nous nous référons au Corollaire III.5.4 qui nous dit que B_`A et CB =BC. Puisque C commute avec B, il découle alors par le point b) du théorème spectral pour les opérateurs bornés et symétriques (ThéorèmeII.3.4) queCcommute avec chaque F_λ et donc avec chaque P_n. Par le point d) du Théorème IV.1.4, C commute aussi avec toutes les fonctionsF-mesurables de l’opérateurB. Considérons alors les fonctions sn: [0,1]→Rdéfinies pour tout n≥1 par :

sn(λ) = ₁

λ siλ∈ ₁

n+1,_n¹

; 0 sinon.

Ces fonctions sont évidemmentF-mesurables et bornées. Par le ThéorèmeIV.1.4, s_n(B) =

Z 1 0

s_n(λ)dF_λ est donc un élément de L(H) et nous avons

s_n(B)B=Bs_n(B) = Z 1

0

λs_n(λ)dF_λ = Z

χ ₁

n+1,_n¹dF_λ =P_n. Il s’ensuit que

AP_n=ABs_n(B) =Cs_n(B),

ce qui montre que APn est partout défini est borné, car Csn(B) l’est. Par ailleurs, commeB_`A

PnA=sn(B)BA⊆sn(B)AB=sn(B)C.

PuisqueC commute avec s_n(B), nous avons obtenu

PnA⊆sn(B)C=Csn(B) =APn, c’est à direP_n`A.

Considérons finalement un opérateur T ∈ L(H) tel queT_`A. Il découle du point d) du Lemme III.5.4que TB=BT. Par le Théorème IV.1.4,T commute donc avec chaque fonction de B, et donc avec chaque P_n = Bs_n(B). Ainsi, nous avons bien P_nT P_n=T P_n. Ceci termine la preuve du lemme.

Nous sommes à présent en mesure d’énoncer et de démontrer le théorème spectral pour les opérateurs autoadjoints.

Théorème IV.2.3. Soit A un opérateur autoadjoint. Il existe une unique famille spectrale{E_λ}_λ∈R telle que

A= Z

λdE_λ.

En outre, tout opérateur borné T tel que T_`A, commute avec chaque E_λ.

Nous appelons{E_λ}_λ∈R, lafamille spectrale de A.

Démonstration. Nous montrons l’existence. Par le Lemme IV.2.2, il existe des sous-espaces vectoriels fermés

H₁,H₂, . . . ,H_n, . . .

orthogonaux deux à deux dont la somme égale l’espace H tout entier pour chacun desquels la restrictionA_n deAàH_nest un opérateur défini partout, borné et symé-trique surH_n. Par le théorème spectral pour les opérateurs bornés et symétriques, il existe pour chaquen≥1une unique famille spectrale sur H_n que nous désignons par{E_λ,n}_λ∈R, de sorte que

An=

Z Mn+ε mn

λdEλ,n.

Maintenant, pour tout λ∈R, chaque E_λ,n est un opérateur borné et symétrique sur H_n en tant que projection. Il existe donc par le Lemme IV.2.1 un opérateur autoadjointE_λ qui se réduit en chaqueH_n àE_λ,n. Pour toutλ∈R, nous montrons que le domaine deE_λ égale l’espace entierH. En effet, pour tout x∈ H, en notant x_n sa projection sur H_n, il découle du fait que la norme d’une projection égale 1et du théorème de Pythagore que

m

Ainsi en laissantm→ ∞, nous obtenons par la continuité de la norme que

∞

X

n=1

kE_λ,nxnk²≤ kxk²,

et doncx∈D_Eλ. Puisque E_λ est autoadjoint, son graphe est fermé et comme il est défini partout, il est donc borné. C’est donc un opérateur borné et symétrique. Nous montrons ensuite que E_λ² =E_λ et avec ce qui précède, cela nous assure que E_λ est une projection. En effet, pour toutn≥1 et pour toutxn∈ H_n,

E_λ²x_n=E_λ,n² x_n=E_λ,nx_n=E_λx_n.

Les opérateurs autoadjointsE_λ² etE_λ coïncident donc sur tous les H_n. Ainsi, néces-sairementE_λ² =E_λ.

Montrons maintenant que pour tout λ < µ, nous avons E_λ ≤ Eµ. À cette fin, considéronsx∈ H et ses projectionsx_n dans chacun des H_n. Nous avons

D

Nous montrons ensuite que la famille {E_λ}_λ∈R est fortement continue à gauche.

Par le Lemme IV.1.1, pour tout µ∈ R, la limite ponctuelle à gaucheEµ−0 est une projection. Il suffit de voir que Eµ−0 et E_µ coïncide sur chacun des H_n. Ceci est évident, puisque pour tout x_n∈ H_n,

Eµ−0xn= lim

λ%µE_λxn= lim

λ%µE_λ,nxn=Eµ,nxn=Eµxn.

Pour montrer que{E_λ}_λ∈Rest une famille spectrale, il reste à voir que, pour tout x∈ H,

λ→−∞lim E_λx= 0 et lim

λ→∞E_λx=x. (IV.4)

Rappelons tout d’abord que pour chaque n≥1, la famille spectrale{E_λ,n}_λ∈Rest bornée par les bornesm_netM_nde A_n. Fixonsx∈ Het soitε >0. Notons toujours découle alors de (IV.5) que

kE_λxk< ε pour tout λ≤mε, ce qui montre la première assertion de (IV.4).

D’autre part pour tout ε > 0, il existe N_ε ≥ 1 tel que

Ainsi, en posantM_ε= max1≤n≤N_εM_n, nous avons et il découle alors de (IV.6) que

Ceci montre donc la deuxième assertion de (IV.4).

Nous montrons ensuite que la famille spectrale{E_λ}_λ∈R vérifie A=

Z

λdE_λ.

Le Théorème IV.1.3 nous assure que R

λdE_λ est un opérateur autoadjoint puisque u(λ) =λest à valeurs réelles. Il nous suffit donc, par le Lemme IV.2.1, de voir que RλdE_λ etA coïncide sur lesH_n. Pour voir cela, observer que pour toutxn∈ H_n, si (t_l)^∞_l=1 est une suite de fonctions en escalier donnée par

t_l= où nous avons utilisé le fait que si, par exemple,I = [a, b], alors

E(I)xn= (Eb+0−Ea)xn= (Eb+0,n−Ea,n)xn=En(I)xn.

Finalement, considérons un opérateur T ∈ L(H) tel queT_`A et montrons que T commute avec chaque E_λ. Par le Lemme IV.2.2, pour chaque n ≥1, la restriction Tn de T à H_n est un opérateur sur H_n, c’est-à-dire Tn ∈ L(H_n). Sur chaque H_n, l’opérateurT_ncommute alors avecA_ndans le sens oùA_nT_n=T_nA_n. Par le théorème spectral pour les opérateurs bornés et symétriques (cf. ThéorèmeII.3.4), chaque T_n commute alors avec Eλ,n pour tout λ∈R. Il s’ensuit que pour tout λ∈ Ret pour

Reste à montrer l’unicité ! !

Comme nous l’avons fait pour les opérateurs bornés et symétriques, nous définis-sons une fonction d’un opérateur autoadjoint. SoientA un opérateur autoadjoint et {E_λ}_λ∈R sa famille spectrale. Pour toute fonctionE-mesurable u, nous adoptons la notation suivante

u(A) =E(u) = Z

u(λ)dE_λ.

Le résultat suivant établit le lien entre les valeurs propres d’un opérateur autoad-joint et sa famille spectrale.

Théorème IV.2.4. Soient A un opérateur autoadjoint surHet{E_λ}_λ∈R sa famille spectrale. Il existe κ ∈ R et x ∈ H, x 6= 0 tels que Ax = κx si et seulement si {E_λ}_λ∈R n’est pas fortement continue en λ=κ. En outre,

ker(A−κI) = Im(E_κ+0−E_κ).

Démonstration. ⇒. Soient κ ∈ R et x ∈ H,x 6= 0 tels queAx =κx. Nous avons par le point a) du Théorème IV.1.3que

0 =k(A−κI)xk² = Z

|λ−κ|²dµ_kE

λxk².

Par conséquent, la fonction λ7→ |λ−κ|est nulle presque partout par rapport à la mesure µ_kE

λxk². Il s’ensuit que la fonction λ 7→ Eλx est constante sur (−∞, κ) et sur (κ,∞). Nécessairement, nous avons E_λx= 0 pour toutλ≤κ et E_λx=x pour tout λ > κ. Ainsi, {E_λ}_λ∈R n’est pas fortement continue en κ et ker(A−κI) ⊆ Im(E_κ+0−E_κ).

⇐. Réciproquement, si x∈Im(E_κ+0−E_κ), nous avons clairement k(A−κI)xk² =

Z

|λ−κ|²dµ_kE

λxk² = 0,

et donc ker(A−κI) ⊇ Im(Eκ+0 −Eκ). De plus, si {E_λ}_λ∈R n’est pas fortement continue enλ=κ, alorsIm(E_κ+0−E_κ)6={0} et donc il existex∈ H,x6= 0tel que Ax=κx.

Le théorème précédent s’applique, en particulier, au cas où A est en fait borné et symétrique. Dans ce cas aussi, les valeurs propres de l’opérateur sont les points de discontinuités de sa famille spectrale. Les espaces propres associés sont les sauts correspondant de la famille spectrale.

Exemple IV.2.5. Nous continuous l’Exemple II.3.7 et déterminons maintenant la famille spectrale d’un certain opérateur surL₂(R, µ). Nous commençons par définir une famille spectrale avant de montrer à quel opérateur elle est associée.

Nous montrons que la famille d’opérateurs sur L₂(R, µ) définis par E_λf =χ_(−∞,λ)f pour tout λ∈R et pour toutf ∈L₂(R, µ),

est une famille spectrale. Chaque E_λ est clairement une projection et nous voyons aisément que sis < t, alors pour tout f ∈L2(R, µ)

h(E_t−E_s)f, fi= Z

χ_(−∞,t)(x)−χ_(−∞,s)(x)

|f(x)|²dµ(x) = Z t

s

|f(x)|²dµ(x)≥0, et doncEs ≤Et.

Nous montrons maintenant que la famille {E_λ} est fortement continue à gauche.

Soient t ∈ R et (a_n)^∞_n=1 une suite réelle positive telle que limn→∞a_n = 0. Nous avons, pour toutf ∈L2(R, µ),

k(E_t−Et−a_n)fk²= Z

χ(−∞,t)(x)−χ_{(−∞,t−an)}(x)

|f(x)|²dµ(x) pour tout t∈R.

Ainsi, puisque pour toutx∈R, d’une part, 0≤ χ(−∞,t)(x)−χ(−∞,t−a_n)(x)

|f(x)|² ≤ |f(x)|² pour tout n≥1, et d’autre part,

χ_(−∞,t)(x)−χ_{(−∞,t−an)}(x)

|f(x)|² −→0 lorsque n→ ∞, il découle du théorème de convergence dominée (cf. ThéorèmeB.2.5) que

(Et−Et−an)f −→0 lorsque n→ ∞.

Comme la suitean est arbitraire, nous avons, pour toutf ∈L2(R, µ), que lims%tE_sf =E_tf.

De la même façon, puisque pour toutx∈R,

χ_(−∞,t)(x)−→0 lorsque t→ −∞, et χ_(−∞,t)(x)−→1 lorsque t→ ∞,

nous obtenons par le théorème de convergence dominée que, pour toutf ∈L₂(R, µ),

t→−∞lim E_tf = 0 et lim

t→∞E_tf =f.

La famille{E_λ}_λ∈Rest donc bien une famille spectrale. Nous nous proposons donc de calculer l’opérateur autoadjoint :

X= Z

λdE_λ.

Pour toute fonction en escaliert=Pn

Par conséquent, en notant id_Rl’identité sur R, nous avons D_X ={f ∈L2(R, µ)|id_Rf ∈L2(R, µ)}

et l’on sait que cette limite existe dansL₂(R, µ) par définition de Xf et qu’elle est indépendante de{t_n}_n. Or cette limite est précisément xf(x) :

Nous abordons dans cette section les groupes unitaires à un paramètre et le théo-rème de Stone. Ce résultat mathématique possède une très belle interprétation en mécanique quantique que nous discutons au chapitre suivant.

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