Théorème spectral pour les opérateurs symétriques

Nous introduisons dans cette section la notion de famille spectrale. Nous définis-sons une intégrale qui est une somme continue d’opérateurs. Nous énonçons et démontrons le théorème spectral pour les opérateurs bornés et symétriques.

Définition II.3.1. Une famille spectrale sur Hest une fonction E :R→ L(H), que nous notons{E_λ}_λ∈R vérifiant les propriétés suivantes.

i) Eλ est une projection pour toutλ∈R; ii) Si λ < µ, alors E_λ ≤Eµ;

iii) La famille {E_λ}_λ∈R est fortement continue à gauche, i.e. pour toutµ∈Ret pour tout x∈ H :

λ%µlimE_λx=E_µ;

iv) Il existe m, M ∈R tels queE_λ = 0pour tout λ < met E_λ =I pour toutλ > M.

Si pour une famille spectrale{E_λ}_λ∈R, deux réelsm, M ∈Rsatisfont la propriété iii), nous disons quem etM sont des bornes pour{E_λ}_λ∈R.

Nous considèrons une famille spectrale{E_λ}_λ∈Rassortie de deux bornesm, M ∈R. Soit f une fonction continue à valeurs complexes définie sur le compact [m, M].

Nous pouvons étendre f continûment à l’ensemble [m, M + 1]. Nous notons cette extension égalementf. Fixons0< ε <1et considérons une partitionΠde[m, M+ε]

quelconque, i.e. une suite finie de réels(λ_k)ⁿ_k=0 telle que : m=λ0 < λ1<· · ·< λn−1 < λn=M +ε.

Appelons sataille le nombre|Π|défini par

|Π|= max

k=1,...,nλ_k−λ_k−1. Choisissons alors des réelsµ1, . . . , µk de sorte que :

µ_k∈[λ_k−1, λ_k] pour chaque k= 1,· · · , n, et formons la somme suivante :

S_Π=

n

X

k=1

f(µ_k)(E_λk−E_λk−1).

Le lemme suivant nous assure que lorsque l’on considère des partitions dont la taille tend vers zéro, la sommeS_Π converge dansL(H) vers un opérateur borné.

Lemme II.3.2. Soient(E_λ)λ∈Rune famille spectrale assortie de deux bornesm, M∈ R etf : [m, M]→Cune fonction continue. Soient 0< ε <1 et f : [m, M+ε]→C une extension continue de f. Il existe un opérateur borné S ayant la propriété que pour toutη >0il existeδ >0tel que pour toute partitionΠde[m, M+ε]satisfaisant

|Π|< δ nous avons :

kS_Π−Sk< η.

En outre, l’opérateur S est indépendant : a) de l’extension continue de f choisie ; b) du choix de ε;

c) du choix des µ_k.

Démonstration. Fixons η > 0 arbitraire. Puisque f est continue sur le compact [m, M+ε], elle est uniformément continue. Ainsi il existeδη >0 tel que :

pour toutλ, λ⁰ ∈[m, M+ε], λ−λ⁰

< δ_η implique

f(λ)−f(λ⁰) < 1

2η. (II.9) Partie 1. Montrons, pour commencer, l’assertion suivante.

Pour toutes partitions Π etΠ⁰ de[m, M+ε],

|Π|,|Π⁰|< δ_η implique kS_Π−S_Π⁰k ≤η, (II.10) ceci indépendamment des pointsµ_kchoisis pour former les sommes d’opérateursS_Π etS_Π⁰.

Notons Π = (λ_k)ⁿ_k=0 et fixons arbitrairement µ1, . . . , µn avec µi ∈ [λi−1, λi]pour tout i = 1, . . . , n. Pour Π⁰ = (λ⁰_k)ⁿ_k=0⁰ , nous formons alors la partition Π = (¯λ_j)^¯n_j=0 constituée des points appartenant à la réunion des points de ΠetΠ⁰. Notons égale-ment 0 =k0 < k1 < · · · < kj < kn = ¯n la sous-suite des indices vérifiant λ¯_ki = λi

pouri= 0, . . . , n.

Fixons ensuite arbitrairement des réels :

¯

µ_i∈[¯λi−1,λ¯_i] i= 1,· · · , k_n. La somme associée à Π et auxµ_j est donnée par :

S_Π=

n

X

i=1 ki

X

j=ki−1+1

f(¯µ_j)(Eλ¯j−Eλ¯j−1).

Et puisque pour tout i= 1, . . . , n:

ki

X

j=ki−1+1

E¯λj −Eλ¯j−1 =Eλ¯_ki −E¯λ_ki−1 =Eλi−Eλi−1,

nous pouvons écrireS_Πcomme :

Par le Théorème II.1.2, il s’ensuit que

SΠ−S_Π

≤ ¹₂η. De la même façon, nous obtenons que

S_Π⁰−S_Π

≤ ¹₂η. Comme annoncé, nous avons par l’inégalité trian-gulaire que :

Partie 2. Considérons maintenant une suite(Πn)^∞_n=1 de partitions de [m, M+ε]

telle quelimn→∞|Π_n|= 0. La suite d’opérateurs(S_Πn)^∞_n=1 est alors de Cauchy dans

< ¹₂η. Finalement, par (II.10), pour toute partitionΠde taille inférieur àδ¹

Le lemme précédent nous permet de faire la définition suivante.

Définition II.3.3. Soient (E_λ)λ∈R une famille spectrale assortie de deux bornes m, M ∈ R et f : [m, M] → C une fonction continue. L’opérateur limite S ∈ L(H) défini dans l’énoncé du Lemme II.3.2est appelé l’intégrale de la fonction f par rapport à la famille spectrale {E_λ}_λ∈R. Elle se note :

S = Z _M+ε

m

f(λ)dE_λ.

Remarquer que pour tout famille spectrale(E_λ)λ∈R, nous avons : Z M+ε

m

dE_λ =EM+ε−Em =I.

Nous sommes maintenant en mesure d’énoncer le théorème principal de ce chapitre.

Théorème II.3.4 (Théorème spectral pour les opérateurs bornés et symétriques).

SoitSun opérateur borné et symétrique. Il existe une unique famille spectrale(E_λ)λ∈R

vérifiant les propriétés suivantes.

a) La borne inférieure m et la borne supérieureM de S sont des bornes pour (Eλ)λ∈R;

b) Tout opérateur borné qui commute avecS commute avecE_λ pour tout λ∈R;

c) Pour tout x∈ H la limite suivante existe : Eµ+0x= lim

λ&µE_λx;

d) L’opérateur S est donné par :

S= Z M+ε

m

λdEλ.

La famille (E_λ)λ∈R est appelée lafamille spectrale de S.

Démonstration. Pour tout λ ∈ R, notons E+(λ) la projection orthogonale sur le noyau de(S−λI)−|S−λI|étudiée au LemmeII.2.7. Remarquez queE₊(λ)est ainsi univoquement défini. Nous montrons que les projections Eλ = I −E+(λ) forment une famille spectrale vérifiant a),b) etc).

Puisque E₊(λ) commute avec tout opérateur borné qui commute avec S, cela est aussi vrai de Eλ. Ainsi, b) est satisfait. En particulier, EµEλ = EλEµ pour tous µ, λ∈R.

Montrons que siλ < µ, alorsE_λ ≤E_µ. Supposonsλ < µet posonsP =E_λ(I−E_µ).

Nous avons les identités :

E_λP =P, (I−E_µ)P =P. (II.11)

Et par définition deE_λ etE_µ, en vertu du Lemme II.2.7, nous avons :

(S−λI)E_λ≤0, (S−µI)(I−E_µ) = (S−µI)E₊(µ)≥0. (II.12) Prenonsx∈ H quelconque et posonsy=P x. En utilisant (II.11), nous avons :

E_λy =E_λP x=P x=y.

De la même manière, nous avons(I−E_µ)y=y. Ainsi, par (II.12) il s’ensuit que : h(S−λI)y, yi=h(S−λI)E_λy, yi ≤0,

h(S−µI)y, yi=h(S−µI)(I−Eµ)y, yi ≥0.

Nous en déduisons que :

(µ−λ)hy, yi=h(S−λI)y, yi − h(S−µI)y, yi ≤0.

Or, commeµ > λ, nécessairementP x=y= 0. Puisquexest quelconque, nous avons P = 0. Par définition de P, cela signifie que E_λ = E_λEµ. Par le Théorème I.3.2, c’est équivalent à E_λ ≤ E_µ. La famille (E_λ)λ∈R vérifie donc la condition ii) de la DéfinitionII.3.1.

Observons à present que siλ < µ, en notantE_∆=Eµ−E_λ, nous avons alors : EµE∆=E∆ et (I−E_λ)E∆=Eµ−E_λ−E_λEµ+E²_λ=E∆. (II.13) Maintenant, en utilisant (II.12), le fait que la composition d’opérateurs positifs qui commutent est positive (cf. CorollaireII.2.2) et queE_∆≥0, nous obtenons :

(S−µI)E_∆= (S−µI)E_µE_∆≤0, (S−λI)E∆= (S−λI)(I−E_λ)E∆≥0.

Conséquemment, nous avons les inégalités suivantes :

λE∆≤SE∆≤µE∆ siλ < µ. (II.14) Nous montrons à présent que la famille (Eλ)λ∈R vérifie c) et le point iii) de la DéfinitionII.3.1. Soit x∈ Harbitraire. Comme E_λ ≤E_µ si λ < µ,hE_λx, xi est une fonction réelle positive et décroissante deλ. Par conséquent, pour tout µ ∈ R, elle admet une limite à gauche

λ%µlimhE_λx, xi= sup

λ<µ

hE_λx, xi=lµ.

Donc pour toutη >0il existeδ >0tel que0< µ−λ < δimpliquel_µ−hE_λx, xi< ¹₂η.

Il s’ensuit que, pourµ−δ < λ < ν < µ, nous avons : kE_νx−E_λxk²=

(E_ν−E_λ)²x, x

=h(E_ν−E_λ)x, xi ≤ |hE_νx, xi −l_µ|+|l_µ− hE_λx, xi|< η.

Ainsi, par la complétude deH, la limite

λ%µlimE_λx=Eµ−0x existe pour tout x∈ H.

De façon similaire, il existe aussi pour tout x∈ Hla limite

λ&µlimE_λx=E_µ+0x.

Il reste encore à montrer que la famille (E_λ)λ∈Rest fortement continue à gauche. À cette fin, considérons l’opérateurE_∆0 =E_µ−Eµ−0 et notons comme précédemment E∆=Eµ−Eλ pour λ < µ. Remarquons que pour tout x∈ H,

λ%µlimE_∆x=E_∆0x.

Ainsi, en laissant λ%µdans (II.14) nous obtenons : µE_∆0 ≤SE_∆0 ≤µE_∆0.

Par conséquent, h(S−µI)E∆0x, xi = 0pour tout x ∈ H. Le ThéorèmeII.1.2 nous assure alors que k(S−µI)E_∆0k = 0. Fixons x ∈ H arbitrairement et notons y = E_∆0x. Ainsi(S−µI)y= 0 et donc par le point c) du LemmeII.2.7, nous avons :

EµE_∆0x=Eµy= (I−E+(µ))y = 0.

Finalement, il découle de (II.13) que : E∆0x= lim

λ%µE∆x= lim

λ%µEµE∆x=EµE∆0x= 0.

Nous avons donc obtenu Eµ−0 =Eµ comme désiré.

Montrons à présent a) assurant de cette façon que la famille (E_λ)λ∈R vérifie la condition iv) de la Définition II.3.1. Supposons par contradiction que λ < m et E_λ 6= 0. Il existe alorsx∈ H tel queE_λx6= 0. Pour un telx, posons y=E_λx. Nous pouvons supposer que kyk= 1. Alors par (II.12), nous obtenons que

hSy, yi −λ=h(S−λI)y, yi=h(S−λI)Eλy, yi ≤0.

Ainsi par définition de la borne inférieure deS, nous avons la contradiction : m≤ hSy, yi ≤λ.

DoncE_λ = 0pour toutλ < m. À nouveau par contradiction, supposons maintenant queλ > M etE_λ6=I. Il existe alorsx∈ Htel quez= (I−E_λ)x6= 0. Nous pouvons une fois encore supposer que kzk= 1. Ainsi toujours par (II.12),

hSz, zi −λ=h(S−λI)z, zi=h(S−λI)(I−E_λ)z, zi ≥0.

Alors par la définition de la borne supérieure deS, nous avons la contradiction : λ≤ hSz, zi ≤M.

Ainsi,E_λ =I pour tout λ > M.

Nous montrons maintenant le pointd). Pour cela, considérons une suite de parti-tions(Πl)^∞_l=1 donnée par :

Π_l: m=λ^l₀ < λ^l₁<· · ·< λ^l_nl−1 < λ^l_nl =M+ε,

vérifiant liml→∞|Π_l| = 0. Pour tout l ≥ 1 et pour tout k = 1, . . . , n_l, en notant E_∆l

k =E_λl k−E_λl

k−1, nous avons par (II.14) que :

λ^m_k−1E∆^m_k ≤SE∆^m_k ≤λ^m_kE∆^m_k . Ainsi pour l ≥ 1 fixé, puisque Pn_l

k=1E_∆l

k = I, nous obtenons en sommant sur k= 1, . . . , n_l :

S_Πl≤S ≤S_Π⁰

l.

En laissant alorsltendre vers l’infini, nous trouvons par le Lemme II.3.2que : Z M+ε

m

λdE_λ ≤S ≤ Z M+ε

m

λdE_λ.

Il s’ensuit que pour toutx∈ H :

S− Z M+ε

m

λdE_λ

x, x

= 0.

Ainsi par le ThéorèmeII.1.2,

S= Z M+ε

m

λdE_λ.

Il reste à démontrer l’unicité de la famille spectrale, ce que nous ferons après le lemme suivant et son corollaire.

Lemme II.3.5. Soit S un opérateur symétrique. Soit (E_λ)λ∈R une famille spectrale vérifianta) à d) du théorème précédent pourS. Pour tout polynôme p à coefficients réels, nous avons

p(S) = Z M+ε

m

p(λ)dE_λ.

Démonstration. Il suffit de montrer que l’énoncé est vrai pour tout monômep(λ) =λ^l avecl≥0. Or, nous avons déjà remarqué que cela est vrai pourl= 0, et le théorème précédent nous donne ce résultat pour l = 1. Supposons alors comme hypothèse d’induction que le lemme est vrai pourp(λ) =λ^l et montrons qu’il est vrai pour le monôme λ^l+1. Fixons 1 > η > 0 arbitrairement. Par le théorème précédent d’une

part et par l’hypothèse d’induction d’autre part, il existe δ > 0 de sorte que pour Cependant, pour tout k, nous avons :

E_∆²_k =E_λ²_k−2E_λkE_λk−1+E_λ²_k−1 =E∆_k.

Où nous avons utilisé, dans la dernière inégalité, le fait que nous avons pris arbitrai-rement 0< η <1. Il découle alors du Lemme II.3.2que :

S^l+1 = Z M+ε

m

λ^l+1dE_λ.

Ceci termine la preuve du lemme.

Corollaire II.3.6. Soit S un opérateur symétrique. Soit (E_λ)λ∈R une famille spec-trale vérifiant a) à d) du théorème précédent pour S. Pour tout x ∈ H et pour tout polynômep à coefficients réels,

hp(S)x, xi= Z M+ε

m

p(λ) dhE_λx, xi. (II.15) Le membre de droite de (II.15) est une intégrale au sens de Riemann-Stieltjes (cf.

Annexe A). Pour tout x ∈ H la fonction λ 7→ hE_λx, xi est croissante et donc a fortiori à variation bornée sur [m, M+ε]. Sa variation totale sur [m, M +ε] égale kxk². De plus, la valeur du membre de droite ne dépend pas de l’extension continue depchoisie ni de la valeur deε. Cela découle du fait déjà observé que siλ > µ > M, alorsE_λ−E_µ= 0.

Démonstration. Soit(Πn)^∞_n=1une suite de partitions de[m, M+ε]telle quelimn→∞|Π_n|= 0. Notons(λⁿ_k)^l_k=0ⁿ la partitionΠ_n. Observer que, d’une part, en vertu du LemmeII.3.5 et par la continuité du produit scalaire :

* _ln

Tandis que, d’autre part, le Théorème A.2.1 nous assure que, par la linéarité du produit scalaire : Par l’unicité de la limite, nous obtenons (II.15).

Nous sommes maintenant en mesure de montrer l’unicité de la famille spectrale d’un opérateur symétrique, comme annoncé dans le ThéorèmeII.3.4.

Preuve de l’unicité de la famille spectrale d’un opérateur symétrique. SoitSun opé-rateur symétrique. Considérons deux familles spectrales(E_λ)_λ∈Ret(F_λ)_λ∈Rvérifiant les conditions a) à d) du Théorème II.3.4 pour S. Par définition, nous avons déjà E_λ=F_λ pour tousλtels queλ≤m ouλ≥M+ε, oùm etM sont les bornes deS.

De plus, pour tout polynômepà coefficients réels, nous avons par le CorollaireII.3.6: hp(S)x, xi= variation bornée en tant que combinaison linéaire de fonctions à variation bornée.

En outre,φ(m) = 0etφ est continue à gauche. Ainsi par les PropriétésA.3.1, Z M+ε

m

pdφ= 0 pour tout polynômep.

Or pour toute fonction continuef : [m, M+ε]→R, il existe une suite de polynômes qui converge uniformément vers f par le théorème d’approximation de Weierstrass.

Il découle alors du ThéorèmeA.3.3que : Z M+ε

m

f dφ= 0 pour toute fonction continue f.

Le Théorème A.3.4nous assure donc queφ(λ) = 0 pour toutλ∈[m, M+ε]. C’est-à-dire, pour toutλ∈[m, M+ε]:

h(E_λ−F_λ)x, xi= 0 pour tout x∈ H.

Il découle alors du ThéorèmeII.1.2queEλ =Fλ pour toutλ∈[m, M+ε].

Nous illustrons dans un cas simple la construction de la famille spectrale d’un opérateur symétrique, comme décrite dans le ThéorèmeII.3.4.

Exemple II.3.7. Considérons l’espace de HilbertL₂[0,1]. Nous nous proposons de trouver la famille spectrale de l’opérateur borné et symétrique S défini pour tout f ∈L2[0,1]par

Sf(s) =sf(s) pour tout s∈[0,1].

Observer que pour tout λ∈R l’opérateurR_λ défini pour toutf ∈L₂[0,1]par R_λf(s) =|s−λ|f(s) pour tout s∈[0,1],

est positif puisque pour toutf ∈L₂[0,1]

hR_λf, fi= Z 1

0

|s−λ|f(s)f(s)ds= Z 1

0

|s−λ| |f(s)|²ds≥0, et qu’il vérifie évidemment pour tout f ∈L₂[0,1]

R²_λf(s) =|s−λ|²f(s) = (s−λ)²f(s) = (S−λI)²f(s) pour tout s∈[0,1].

Par l’unicité de la racine carrée positive de(S−λI)², nous avons nécessairement R_λ =|S−λI|.

Maintenant, nous avons pour toutf ∈L2[0,1] et pour touts∈[0,1], (S−λI)− |S−λI|

f(s) =

(s−λ)− |s−λ|

f(s) =−2(s−λ)⁻f(s), où

(s−λ)⁻ =

|s−λ| sis≤λ,

0 sinon.

Nous en déduisons que ker

(S−λI)−|S−λI|

=







L2[0,1] si λ≤0,

{f ∈L₂[0,1]|f(s) = 0pour tout s≤λ} si λ∈(0,1],

0 si λ >1.

Les projectionsP_λ sur les noyauxker[(S−λI)− |S−λI|]sont ainsi données par P_λf =χ_(λ,1]f pour tout f ∈L₂[0,1],

oùχ_(λ,1]: [0,1]→0,1 est la fonction indicatrice de l’intervalle(λ,1]avec la conven-tion queχ_(λ,1]≡1si λ <0etχ_(λ,1]≡0si λ≥1. La famille spectrale de S est alors donnée par

E_λ =I−P_λ. Explicitement, pourf ∈L2[0,1], nous avons :

Eλf = (I−Pλ)f =







0 si λ≤0, χ_[0,λ]f si λ∈(0,1], f si λ >1.

Dans ce chapitre, nous introduisons une notion d’opérateur linéaire qui étend celle utilisée jusqu’à présent. Nous étudions les proprié-tés de cette nouvelle notion. Nous exposons les résultats fondamen-taux pour la démonstration, au chapitre suivant, d’une extension du théorème spectral pour les opérateurs symétriques.

III.1. Étendre la notion d’opérateur linéaire

Dans le chapitre précédent, nous avons considéré des opérateurs linéaires bornés définis en chaque élément d’un espace de Hilbert. Nous étendons à présent ce concept à des applications étant définies seulement sur un sous-espace.

Nous étendons la notion d’opérateur linéaire de la façon suivante.

Définition III.1.1. SoitH un espace de Hilbert. Un opérateur (linéaire) surH est une fonctionT :D_T → Htelle que :

i) D_T est un sous-espace vectoriel de Happelé ledomainede T; ii) pour tous x, y∈D_T,

T(x+y) =T x+T y;

iii) pour tout λ∈Cet pour tout x∈D_T, T(λx) =λT x.

Nous adaptons aussi d’une façon évidente les notions d’image et de noyau d’un opérateur. SoitT un opérateur sur H. Sonimage est par définition

Im(T) ={T x|x∈D_T}, et sonnoyau

ker(T) ={x∈D_T |T x= 0}.

Considérons deux opérateursT etT⁰ surHdont les domaines respectifs sontD_T et D_T⁰. Si le domaine deT est inclus dans le domaine deT⁰, en symboles, siD_T ⊆D_T⁰, et siT x =T⁰x pour touTx ∈D_T, nous disons que T⁰ est un prolongement de T et nous notons :

T ⊆T⁰, ou T⁰ ⊇T.

Il est facile de voir que cela définit une relation d’ordre partiel sur les opérateurs de H. En particulier, deux opérateurs sont égaux siD_T =D_T⁰ et siT x=T⁰xpour tous x∈D_T.

Si un opérateurT est borné, c’est-à-dire s’il existe une constanteC ≥0telle que : kT xk ≤Ckxk pour toutx∈D_T,

alorsT admet un prolongement borné et défini partout surH. En effet, nous pouvons dans dans un premier temps prolonger T par continuité à l’adhérence D_T de son domaine. SiD_T n’est pas dense dansH, nous pouvons tout de même prolongerT au delà de D_T. En posant par exemple T x = 0 sur le complément orthogonal de D_T, avant d’étendreT surHtout entier par linéarité.

Il découle de cette observation que les opérateurs bornés qui sont définis sur un sous-ensemble deHne consistent pas en une extension essentielle de la notion d’opé-rateur linéaire. Les opéd’opé-rateurs que notre nouvelle définition d’opéd’opé-rateur introduit réellement sont les opérateurs linéaires non bornés. Pour cette raison, lorsque nous parlons d’opérateurs linéaires et bornés, nous sous-entendons qu’ils sont définis par-tout, c’est-à-dire qu’ils sont des opérateurs bornés au sens de la définition adoptée au ChapitreI. Lorsque nous voulons insister sur la nature de la véritable généralisa-tion de la nogénéralisa-tion d’opérateur linéaire, en contraste avec les opérateurs bornés, nous parlons d’opérateurs linéaires non (nécessairement) bornés.

De façon similaire au cas des opérateurs bornés, nous définissons le graphe d’un opérateurT :D_T → Hcomme le sous-espace vectoriel de l’espace de Hilbert produit H =H × H :

G_T ={(x, T x)|x∈D_T}.

Nous disons que T estfermési son graphe est un sous-ensemble fermé deH. Par le théorème du graphe fermé, lorsqueT est défini partout, il est fermé si et seulement s’il est borné. Si T1 etT2 sont des opérateurs, alors bien sûr T1 ⊆T2 est équivalent à G_T1 ⊆G_T2 pour l’inclusion des graphes.

Conceptuellement, la somme, la multiplication par un scalaire et la composition d’opérateurs se définissent comme dans le cas des opérateurs bornés. Cependant, le domaine de l’opérateur résultant varie selon les cas. Soient T₁ : D_T1 → H et T₂:D_T2 → Hdes opérateurs surHetλ∈C. La somme deT₁ etT₂ est l’opérateur :

T1+T2 :D_T1 ∩D_T2 −→ H

x7−→T₁x+T₂x.

La multiplication de T₁ par un sclaireλest définie comme l’opérateur : λT₁ :D_T1 −→ H

x7−→λT₁x.

Finalement la composition, ou le produit, deT₁ avec T₂ est l’opérateur : T₁T₂ :{x∈D_T2 |T₂x∈D_T1} −→ H

x7−→T₁(T₂x).

Nous étendons également le concept d’inverse à notre notion générale d’opérateur.

Si un opérateur T : D_T → H est injectif, i.e. si pour tous x, y ∈ D_T, T x = T y impliquex=y, nous appelons l’inversede T l’applicationT⁻¹ définie par :

T⁻¹ : Im(T)−→ H T x7−→x.

Observez que ce nouveau sens du concept d’inverse associe à certains opérateurs, même bornés, un inverse qui n’est pas défini partout. De manière générale, siT est injectif, alors :

T T⁻¹ ⊆I et T⁻¹T ⊆I.

III.2. Opérateur adjoint

Nous étendons la notion d’adjoint pour les opérateurs linéaires non bornés dont le domaine est dense.

Dans le cas d’un opérateur bornéT, nous avons défini l’adjoint deT par l’équation : hT x, yi=hx, T^∗xi pour tous f, g∈ H. (III.1) Nous avions procédé à cette définition en s’appuyant sur le ThéorèmeI.2.3en utilisant le fait que pour touty∈ H l’application

x7→ hT x, yi (III.2)

est une fonctionnelle linéaire continue. Dans le cas général qui nous intéresse, deux problèmes surgissent. Premièrement l’application suggérée par (III.2) ne peut être définiea priori que sur le domaine deT. Deuxièmement, en général cette application n’est pas bornée, du moins pas pour tout y ∈ H. Observez que même si pour un certainy, l’application (III.2) est bornée, alors dans le cas oùD_T n’est pas dense elle admet plusieurs prolongements continus et donc plusieurs élémentsy^∗ ∈ Hvérifiant :

hT x, yi=hx, y^∗i pour tout x∈D_T. Pour ces raisons, nous adoptons la définition suivante.

Définition III.2.1. SoitT :D_T → Hun opérateur dont le domaine est dense dans H. Le domaine de l’adjointT^∗ deT est par définition

D_T^∗ =

y∈ H

il existeC≥0tel que | hT x, yi | ≤Ckxk pour toutx∈D_T . Ainsi pour touty∈D_T^∗, commeD_T est dense dansH, il existe une unique extension continue de la fonctionnellex7→ hT x, yià toutH. Le théorème de Riesz, nous permet donc de définir, pour touty∈D_T^∗,T^∗(y) comme l’unique élément de Hvérifiant :

hT x, yi=hx, T^∗yi pour tout x∈D_T.

L’adjoint T^∗ est bien un opérateur. En effet, soient y₁, y₂ ∈ D_T^∗ et λ₁, λ₂ ∈ C. Alors pour tout x∈D_T,

hT x, λ₁y1+λ2y2i=λ1hT x, y₁i+λ2hT x, y₂i

=λ₁hx, T^∗y₁i+λ₂hx, T^∗y₂i

=hx, λ₁T^∗y₁+λ₂T^∗y₂i. Il s’ensuit queλ₁y₁+λ₂y₂∈D_T^∗ et nous avons :

T^∗(λ₁y₁+λ₂y₂) =λ₁T^∗y₁+λ₂T^∗y₂.

Un opérateur T dont le domaine est dense vérifie la relation immédiate suivante avec son adjoint :

hT x, yi=hx, T^∗yi pour toutx∈D_T pour touty∈D_T^∗.

Nous avons aussi la relation suivante entre l’image d’un opérateur T à domaine dense et le noyau de son adjoint

Im(T)^⊥= ker(T^∗).

En effet, y ∈ ker(T^∗) si et seulement si y est un élément de D_T^∗ tel que T^∗y = 0.

PuisqueD_T est dense, ceci est équivalent à la relation

hT x, yi=hx, T^∗yi= 0 pour toutx∈D_T. Ce qui est équivalent au fait quey appartiennent àIm(T)^⊥.

L’adjoint d’un opérateur dont le domaine est dense possède la propriété suivante.

Proposition III.2.2. Soit T un opérateur sur H dont le domaine D_T est dense.

Son adjoint T^∗ est fermé.

Démonstration. Soit (xn, T^∗xn)^∞_n=1 une suite du graphe de T^∗ convergeant vers (x, y)∈H. Montrons quex∈D_T^∗ ety=T^∗x. Du fait de l’identité,

k(x_n, T^∗x_n)−(x, y)k²_H×H=hx_n−x, x_n−xi+hT^∗x_n−y, T^∗x_n−yi

=kx_n−xk²+kT^∗x_n−yk²,

nous avons également x_n → x et T^∗x_n → y lorsque n tend vers l’infini. Il découle alors de la continuité du produit scalaire que pour toutz∈D_T :

hT z, xi= lim

n→∞hT z, x_ni= lim

n→∞hz, T^∗xni=hz, yi.

Ainsi z 7→ hT z, xi est bornée sur D_T et donc x ∈ D_T^∗. De plus, puisque T^∗x est l’unique élément deHà satisfaire l’égalité ci-dessus pour toutz∈D_T, nécessairement y=T^∗x.

La notion d’adjoint possède les propriétés élémentaires suivantes.

Propriétés III.2.3. Soient T1 et T2 des opérateurs sur H dont les domaines sont denses et λ∈C.

a) (λT)^∗ =λT^∗;

b) Si le domaine deT1+T2 est dense, alors T₁^∗+T₂^∗ ⊆(T1+T2)^∗; c) Si le domaine deT2T1 est dense, alors T₁^∗T₂^∗ ⊆(T2T1)^∗;

d) Si T₁ ⊆T₂, alors T₁^∗⊇T₂^∗.

III.3. Commutativité et réduction

Nous définissons ce que signifie pour un opérateur borné qu’il commute avec un opérateur non borné. Cette définition se justifie notamment par ses conséquences lorsque l’opérateur borné est une projection.

Nous adoptons la définition suivante.

Définition III.3.1. Soient B un opérateur borné et T un opérateur. Nous disons queB commute avecT et nous écrivonsB_`T si

BT ⊆T B.

Note III.3.2. (F. Genoud) La commutativité de deux opérateursauto-adjoints non bornés se définit par la commutativité de leurs familles spectrales. C’est ce qu’il faut pour la mécanique quantique.

Notez qu’il est suffisant, pour montrer que la moyenne d’une grandeur physique est conservée, que l’opérateur associeé commute avec lesU_t, ce qui est impliqué par la commutativité avecH, au sens défini ci-dessus.

Notre généralisation de la notion de commutativité entre opérateurs se justifie en particulier lorsqu’il s’agit de la commutativité d’une projection avec un opérateur quelconque.

Lemme III.3.3. SoientP une projection,Q=I−P la projection sur le complément orthogonal de ImP et T un opérateur. Si P_`T, alors les sous-espaces vectoriels fermésImP et ImQ réduisent l’opérateur T dans le sens où d’une part,

P T P =T P et QT Q=T Q, et d’autre part,

T =T P +T Q.

Démonstration. Comme P_`T, i.e.P T ⊆T P, nous avons P T P = (P T)P ⊆(T P)P =T P,

et comme les opérateurs P T P etT P ont le même domaine, P T P =T P.

Puisque, de plus,

QT = (I−P)T =T −P T ⊆T−T P =T(I−P),

c’est-à-direQ_`T, nous obtenons de la même façon que QT Q=T Q. En outre, nous avons

T = (P+Q)T =P T +QT ⊆T P +T Q⊆T(P+Q) =T et par conséquent

T =T P +T Q.

III.4. Le graphe d’un opérateur

Visualiser un opérateur à l’aide de son graphe permet d’établir certains résultats importants.

Nous considérons les opérateurs linéaires sur le produitHdéfinis par : U(x, y) = (y, x) et V(x, y) = (y,−x),

pour tout (x, y) ∈H. Ces opérateurs sont bijectifs et préservent le produit scalaire de H. Ils vérifient de plus les identités suivantes où I représente l’identité surH:

UV=−VU et −V²=U² =I.

L’observation cruciale de cette section est énoncée dans le lemme suivant.

Lemme III.4.1. Soit T un opérateur dont le domaine est dense. Les graphes de T et de son adjoint sont liés par la relation suivante :

G_T^∗ =

VGT

⊥

ou de façon équivalente VGT = (GT^∗)^⊥.

Démonstration. La relation entre T et son adjoint T^∗ consiste en le fait que pour toutx∈D_T et touty∈D_T^∗

hT x, yi=hx, T^∗yi, ce qui peut également s’écrire sous la forme :

V(x, T x),(y, T^∗y)

= 0.

Cela exprime que tous les éléments deG_T^∗ sont orthogonaux à chacun des éléments

Cela exprime que tous les éléments deG_T^∗ sont orthogonaux à chacun des éléments

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