Transformation de Fourier surL1(R

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Leçon 250 - Transformation de Fourier. Applications.

Cadre : Les fonctions considérées sont définies sur R, à valeurs dansC. On peut les généraliser àR^d.

1. Transformation de Fourier surL¹(R). — 1. Définition et premières propriétés. —

– Rappel: : (L¹(R),k.k1) est un espace de Banach.

– Def : Pourf ∈L¹(R) on définitfb(x) = ^√¹

2π

R

Re^−ixyf(y)dy.

– Ex : Pourf =χ_[−a,a],fb(x) =^2sin(xa)^√

2πx

Pourf(x) =e^−|x|, on afb(x) = ^√ ²

2π(1+x²). – Pro : f\+λ.g=fb+λbg

– Pro : fbest continue surR, etkfbk_∞≤^√¹

2πkfk1.

– Lemme de Riemann-Lebesgue : Quand|x| →+∞,fb(x)→0. Doncfb∈C₀⁰(R).

– Pro : Soitf ∈L¹(R),aR.

a) Pourg(x) =f(x)e^iax, on a bg(x) =fb(x−a).

b) Pourg(x) =f(x−a), on abg(x) =fb(x)e^−iax. c) Pourg(x) =f(−x), on abg(x) =fb(x).

d)Pourλ >0 etg(x) =f(^x_λ), on abg(x) =λfb(λx).

– Ex : Pourf(x) =e⁻^|x−a|^λ , on afb(x) =^√ ^2λe^−iax

2π(1+(λx)²). 2. Produit de convolution. —

– Def : Pourf, g:R→Cmesurables positives, on définit f∗g(x) :=R

Rf(y)g(x−y)dy=R

Rf(x)τ−x(g)(−y)dy∈[0,+∞].

– Pro : Si ces quantités sont finies, on af ∗g =g∗f,f ∗(g∗h) = ((f ∗g)∗h), et f∗(g+λh) =f∗g+λf∗h. La convolution de fonctions est commutative, associative, et bilinéaire.

– Inégalité de Young pour la convolution : Pour 1 = _p¹+¹_q et f ∈L^p, g ∈L^q, on a kf∗gk1≤ kfkp.kgkq.

– Ainsi, le produit de convolution est bien défini surL¹×L¹. – Ex : f ∗χ_[−1

2,¹₂](x) =Rx+¹₂ x−¹₂ f(t)dt.

– Pro : Ainsi,L¹(R) muni de * est donc uneC-algèbre commutative.

– Thm : Pour ¹_p +¹_q = 1, f ∈L^p,g ∈L^q, f∗g est uniformément continue sur Ret f∗g(x)→_|x|→+∞0.

– Thm : Pourf ∈L¹etg∈C¹ telle que g,g’ sont bornées, alorsf∗gest dérivable et (f ∗g)⁰=f∗(g⁰).

– Rem : Le produit de convolution régularise une fonction f en faisant une moyenne pondérée par g des valeurs de f en chaque point.

– Ex : Pour tout t > 0, la fonction Gt(x) = ^√¹

2πte⁻^x^2t² permet de régulariser les fonctions deL¹(R) par convolution.

– Pro : Pourf, g∈L¹(R),f[∗g=fb∗bg.√ 2π.

– App : L¹ne possède pas d’unité pour la convolution.

– App : Sif∗f =f dansL¹(R), alorsf = 0 pp.

3. Inversion de la transformée de Fourier. —

– Pro : Si f est de classeC¹ par morceaux etf, f⁰∈L¹(R), alorsfb⁰(x) = (ix)fb(x).

Si f est de classe C^k par morceaux et f, f⁰, . . . , f^(k) ∈ L¹(R), alors fd^(k)(x) = (ix)^kfb(x).

– App : Si f est de classeC² avecf, f⁰, f”∈L¹(R), alorsfb∈L¹(R).

– Rem : Plus f est dérivable avec des dérivées intégrables, plusfbdécroît rapidement vers 0 en l’infini.

– Pro : Six7→xf(x)∈L¹(R), alorsfbest dérivable, de dérivéefb⁰(x) =R

Re^−ixy(−iy)f(y)dy.

Six^k 7→xf(x)∈L¹(R), alorsfbestD^k, de dérivée k-ièmefb^(k)(x) =R

Re^−ixy(−iy)^kf(y)dy.

– Rem : Plus f décroît vers 0 rapidement en l’infini, plusfbest dérivable.

– Thm : Inversion de Fourier : Soitf ∈L¹(R) tq fb∈L¹(R).

Alors pourg(x) =^√¹

2π

R

Rfb(t)e^itxdt, on ag∈C₀⁰(R) et g=f pp.

– Cor : Soitf ∈L¹(R) tq fb∈L¹(R). Alors b

f(x) =b f(−x) pp.

– App : Injectivité de la transformée de Fourier : Sif ∈L¹(R) vérifie fb(x) = 0 pp, alorsf = 0 pp.

2. Extension de la transformée de Fourier. —

1. Prolongement de la transformation de Fourier à L²(R). —

– Dev : Théorème de Fourier-Plancherel : A chaque fonction f ∈ L²(R), on peut associer une fonctionfb∈L²(R) telle que :

1) Sif ∈L¹∩L², alorsfbest la transformée de Fourier de f.

2)∀f ∈L², on akfk2=kfbk2.

3)f ∈L²7→fb∈L² est une isométrie linéaire bijective d’espaces de Hilbert.

– Rem : On a ainsi un prolongement de la transformée de Fourier deL¹∩L² qui est une isométrie linéaire bijective.

– Pro : Pourf ∈L², en notantφA(t) := ^√¹

2π

RA

−Ae^−ixtf(x)dxet ΨA(t) := ^√¹

2π

RA

−Ae^−ixtfb(x)dx, on trouve :

lim_A→+∞(kφ_A−fbk₂) = 0 et lim_A→+∞(kψ_A−fk₂) = 0 – Cor : Pour f ∈ L² tq fb∈ L¹, on a alors f(x) = ^√¹

2π

R

Re^−ixyf(y)dy pp, donc la classe de f possède un représentant dansC₀⁰(R).

– Ex : f(x) =sinc(πx)∈L²(R)−L¹(R) etfb= ^√¹

2πχ_[−1 2,¹₂].

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2. Transformation de Fourier dansS(R). —

– Def : S(R) :={f ∈C^∞(R) tq sup_x|x^αϕ^(β)(x)|<+∞,∀α, β∈N}.

– Def : On munitS(R) des semi-normes : kϕk_α,β= sup_x|x^αϕ^(β)(x)|, ∀α, β∈N. – Ex : C_c^∞(R)⊂S(R) etx7→e^−x² ∈S(R).

– Rem : S(R)⊂L¹(R), donc la transformée de Fourier sur S est bien définie.

– Ex : SoitGα(x) =e^−x²^α. AlorsGcα=pπ αG1

4α.

Ainsi, la transformée de Fourier d’une gaussienne est encore une gaussienne, qui est encore dansS(R).

– Pro : 1) Les applicationsf 7→x^αf et f 7→f^(β)sont continues surS(R).

2) Sif, g∈S(R), alorsf ∗g∈S(R) etf[∗g=f .bbg.

– Thm : Inversion de Fourier : La transformation de Fourier est une application linéaire bijective deS(R) dansS(R).

De plus, pour toutf ∈S(R), on abfb(x) =f(−x).

3. Transformation de Fourier dansS⁰(R). —

– Def : On définit S⁰(R) comme l’espace vectoriel des formes linéaires continues de S(R) dansCpour les semi-normeskϕkα,β = sup_x|x^αϕ^(β)(x)|.

– Thm+Def : SiT ∈S⁰(R), on définit la transformée de Fourier de T, notéeTb, par la forme linéaire surS(R) :

<T , ϕ >:=< T,b ϕ >,b ∀π∈S(R).

On a de plusTb∈S⁰(R).

– Ex : δb₀≡^√¹

2π. b1 =√ 2πδ₀.

– Thm : La transformée de Fourier surS⁰(R) est bijective, bicontinue.

3. Applications en analyse. — 1. Etude de signaux à spectre borné. —

– Def : I=]−¹₂,¹₂[,BL²(I) ={f ∈L²(R) tq F(f).χR−I≡0}.

– Pro : C’est un sous-ev fermé deL²(R).

– Pro : Siu∈Bl²(R), alorsu∈C₀⁰(R) etkuk∞≤1.kuk2.

– Pro : La famille des (e_k(x) = sinc(π(x−k)))_k∈_Z) est une base hilbertienne de BL²(I).

– Dev: Echantillonnage de Shannon : L’applicationu∈BL²(I)7→(u(k))_k∈_Z∈l²(Z) est bien définie et est une isométrie linéaire bijective entre ces deux espaces.

De plus, la série P+∞

−∞u(k)en converge vers u dans L²(R) et dans C₀⁰(R). Donc u(x) =P+∞

−∞u(k)sinc(π(x−k)),∀x∈R. 2. Formule sommatoire de Poisson. —

– Thm : Pourf ∈S(R), la sérieP

n∈Zf(.+n) converge normalement sur tout compact deR.

De plus,∀x∈R,P

nf(x+n) =P

nfb(n)e^2iπnx En particulier,P

nf(n) =P

nfb(n).

– App : DansS⁰(R), on a δ_Z=P

k∈Zδk =δb_Z. 3. Polynômes orthogonaux. —

– Def : On appelle fonction poids une fonction ρ : I → R mesurable, strictement positive, telle que∀nR

I|x|ⁿρ(x)dq≤+∞.

– Def : On note L²(I, ρ) l’espace des classes de fonctions de carré intégrable pour la mesure de densitéρpar rapport à la mesue de Lebesgue. Muni de son produit scalaire R

If(x)g(x)ρ(x)dx, c’est un espace de Hilbert contenant les fonctions polynômiales.

– Pro : Il existe une unique famille (Pn)n de polynômes unitaires orthogonaux deux à deux, vérifiant deg(Pn) =n, que l’on appelle "famille des polynômes orthogonaux associée à ρ". On l’obtient en appliquant le procédé de Gram-Schmidt à la famille (Xⁿ)n.

– Ex : Polynômes de Hermite, de Lagrange, de Chebychev.

– App : Polynômes de meilleure approximation.

– Thm : S’il existea >0 tqR

Ie^a|x|ρ(x)dx≤+∞, alors (Pn)nest une base hilbertienne deL²(I, ρ).

4. Fonction caractéristique d’une variable aléatoire. —

– Def : Fonction caractéristique d’une v.a.

– Pro : La fonction caractéristique caractérise la loi de la v.a. par injectivité de la transformée de Fourier.

– Exemples de fonctions caractéristiques.

– Pro : Si X a un moment d’ordre k, alors ΦX est de classeC^k. On a de plus Φ^(k)_X (t) =E[(iX)^ke^iXt].

– Thm : Réciproquement, Si ΦX est de classeC^k, alors X a un moment d’ordre 2b^k₂c.

– Dev: Théorème de Lévy : Xn converge en loi vers X ssi ΦXn converge simplement vers ΦX.

– App : Théorème Central de la Limite.

Références

Rudin : Transformation de Fourier. Th de Fourier-Plancherel(Dev).

Briane,Pagès : Transformation de Fourier, produit de convolution, approximations de l’unité. Formule d’inversion de Fourier.

Zuily (Eléments de distributions et d’EDP) : Transformée de Fourier dans S(R), dans S⁰(R).

Gourdon : Formule sommatoire de Poisson.

Willem : Echantillonnage de Shannon.

Zuily,Queffélec : Fonction caractéristique, Théorème de Lévy+TCL(Dev).

Faraut : Transformation de Fourier, exemples. Th de Fourier-Plancherel(Dev).

Objectif Agrégation : Produit de convolution, exemples.

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Barbe,Ledoux/Ouvrard : Applications au TCL.

May 9, 2017

Vidal Agniel,École normale supérieure de Rennes

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