A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T OULOUSE
P IERRE B OOS
Propriétés caractéristiques de courbes gauches
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 3
esérie, tome 28 (1936), p. 63-102
<http://www.numdam.org/item?id=AFST_1936_3_28__63_0>
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PROPRIÉTÉS CARACTÉRISTIQUES DE COURBES GAUCHES
Par M. PIERRE BOOS.
INTRODUCTION
Les différents éléments d’une
figure,
formée par un arc de courbe et la cordequi
le
sous-tend,
sont des fonctions d’unparamètre qui
fixe laposition
de lafigure
et.d’un
paramètre qui
en fixe lagrandeur ;
nous cherchons les conditions nécessaires et suffisantes pour que ces fonctions aient certaines formesparticulières
et nous endéduisons des
propriétés caractéristiques
decourbes
admettant un groupe continu de transformations en elles-mêmes(’).
Dans un
premier chapitre,
nousenvisageons
une courbegauche
d’un espace euclidien ou non-euclidien de courbure constante K(la
cordequi
sous-tend l’arcest une
géodésique
del’espace).
Lesparamètres
dontdépend
lafigure
sont l’abscissecurviligne s
del’origine
M de l’arc et lalongueur
l de cet arc ou bienl’angle u
que forment la corde et l’arc àl’origine
de celui-ci. Nous déterminons lescourbes,
quenous
appelons
courbes(P),
, telles quel’angle
et nedépende
que de l(et
non des),
etles courbes
(P’)
telles que lalongueur
1 soitégale
auproduit
d’unefonction
de s par’
une
fonction
de ce ; les courbes(P)
ont une courbure et une torsion constantes, ce sont les hélices circulaires del’espace envisagé;
les courbes(P’)
n’existent que dansl’espace
euclidien et sont les hélicesconiques.
Dans un deuxième
chapitre,
nous étudions les fonctions de s et de ex(ou
de set
1) qui
donnent lalongueur
L de lacorde,
lerapport
r de L àl, l’angle fi
formépar la corde et l’arc à l’extrémité
M,
decelui-ci,
l’aireJo balayée
par unegéodésique
de
l’espace qui
passe par M et dont unpoint
décrit l’arcMM,, l’angle
y souslequel
on voit de M l’arc
opposé
àMM~
et nous démontrons que : : Si l’une desfonctions
.l, L, J6,
,a,
y est unefonction impaire
de ce(ou
de1)
ou bien si lafonction
r est unefonction paire
de la mêmevariable,
la courbe est nécessairement une courbe(P).
- Sil’une des
fonctions
L ou ~,~(et
l pardéfinition)
nedépend
que de a, , la courbe est(’)
Cf. Comples rendus,194, 1932,
p. 1623 et 2271;202, 1936,
p. 197.64
une courbe
(P);
; si l’une de ces mêmesfonctions
estégale
auproduit
d’unefonction
des par une
fonction
de x, , la courbe est une courbe(P’).
. - Si l’une desfonctions
r,
p
Y nedépend
que de a , la courbe est une courbe(P)
ou(P’).
La démonstration est obtenue par l’établissement de
développements limités;
mais il faut
quelquefois
déterminer des termes d’ordre élevé et il est alors intéres- sant de chercher la méthodequi permet
le calcul le moinscompliqué;
enparticulier
il faut remarquer que l’utilisation des coordonnées de Weierstrass
permet
souvent d’obtenir le résultat bienplus simplement
que la méthode de calculqui
sembledirecte dans le cas de
l’espace
euclidien(nous
avonspourtant
effectué certains calculs directs à titre devérification).
Remarquons
que s’il n’existe pas de courbes(P’)
dans un espace de courbure K,non nulle, du moins les courbes
qui
ont pouréquations intrinsèques :
(p courbure, r torsion; î,, ~~. constantes)
sont telles que la différence entre les fonc- tions l,L,
r,~,
y et une fonctionayant
la formecorrespondant
aux courbes(P’) soit,
parrapport
à a, d’un ordreplus
élevé de deux unités que pour toutes les autres courbesgauches
du même espace. La fonctionJb
n’a d’ailleurs sur ces courbesaucune
particularité analogue.
,En terminant ce
chapitre
nous cherchons s’il existe des courbes(P)
telles que lalongueur
de l’arc soitproportionnelle
àl’angle
ce ; cettepropriété
caractérise les cercles del’espace euclidien;
dans un espace de courbureK,
les courbesqui
ontpour
équations intrinsèques : 3ç2 = K, ~ = 3?
sont celles pourlesquelles
la diffé-rence entre l et une fonction linéaire de ce est d’ordre le
plus élevé,
on a alors :Dans un troisième
chapitre,
nousgénéralisons
cette étude dans le cas des courbesplanes
ougauches
engéométrie affine;
mais pour obtenir des résultats intéressants il faut ici se limiter à des éléments invariants par les transformations affines fondamentales duplan
ou del’espace;
aussi devons-nousprendre
commeparamètres
l’abscissecurviligne
affine s del’origine
de l’arc et lalongueur
affine 1de celui-ci et
n’envisageons-nous
que la fonctionL(Z, s) qui
donne lalongueur
affine de ce
qu’il
est natureld’appeler
la corde de l’arc : à savoir la distance affine des éléments linéaires del’origine
et de l’extrémité de celui-ci. Nous disonsqu’une
courbe est une courbe
(P)
si L nedépend
pas de s; et, pourpouvoir
définir descourbes
(P’),
nousenvisageons
unepropriété caractéristique
des courbes(P’)
engéométrie
euclidienne : lerapport r
deslongueurs
de la corde et de l’arcdépend
seulement du
quotient
de l par une fonction de s. Nous obtenons ainsi un résultatgénéralisant
lesprécédents :
: Les courbes(P)
onl une courbure et une torsionaffines constantes; les
courbes(P’)
sont toutes les autres courbes W de Klein etLie
; si lerapport
r est une fonctionpaire
de l la courbe est une courbe(P); donc,
ici encore,les courbes
(P)
et(P’)
admettent un groupe continu de transformations en elles- - mêmesqui
transforment les éléments linéaires en élémentslinéaires,
conservent les distances(affines)
dans le cas des courbes(P)
oumultiplient
les distances par un même facteur dans le cas des courbes(P’). Remarquons
aussi que ce résultat meten évidence l’intérêt de l’introduction des éléments affines pour l’étude des courbes W.
ESPACES EUCLIDIEN OU NON-EUCLIDIEN
CHAPITRE PREMIER
Recherche des courbes
(P)
et(P’).
1. - Nous examinons en
premier
lieu le cas del’espace euclidien;
il est naturelde définir la courbe
gauche (F),
que nous cherchons, par seséquations intrinsèques,
et nous
désignerons
parp (s)
et lesexpressions
de la courbure et de la torsionau
point
d’abscissecurviligne s.
,Nous supposons que les fonctions inconnues
p(s)
et~(s)
admettent autant dedérivées
qu’il
est nécessaire auvoisinage
de la valeur scorrespondant
à l’ori-gine
M de l’arcétudié;
dans ce cas nous savons que l’onpeut
trouver undévelop- pement
limité des coordonnées x, y, z, d’unpoint
voisin deM, lorsqu’on rapporte
la courbe au trièdre de Frenet relatif à ce
point
M. Il suffit de dériver les formules de Frenetqui
nous donnent les coefficients de cesdéveloppements
en fonction des valeurs en M de p, - et de leurs dérivées. Nous obtenons ainsi pourreprésenter
lescoordonnées du
point M,,
extrémité de l’arcMM, ayant
M pourorigine
et 1 pourlongueur,
lesexpressions
suivantes(dont
les coefficientsdépendent
engénéral
de laposition
dupoint M) :
les termes écrits interviennent seuls dans les calculs de ce
paragraphe.
L’angle
a, souslequel
on voit, deM,
l’arcMM~,
estl’angle
de la droiteMM,
avec la
tangente
en M à lacourbe,
c’est-à-dire avec l’axe des x. Nous avons donc facilementl’expression
detang a, qui
tend vers zéro en mêmetemps
que 1 ; nous en déduisons ledéveloppement
de a . Il nous suffit donc d’effectuer descalculs,
rela-1
tivement
simples,
àpartir
desdéveloppements (1),
pour obtenir(y~
+z~)2 ~-1,,
puis :
Pour que la courbe
possède
lapropriété (P),
il faut que a soitindépendant
de s
quel
que soitl,
il est donc nécessaire que tous les coefficients dudéveloppe-
ment
(2)
soientindépendants
de s; celaexige
que la courbure et la torsion soient des constantes; donc il est nécessaire que la courbe soit une hélice circulaire.Cette condition nécessaire est suffisante
(on peut
le vérifier par un calcul élémen-taire,
sansgrand intérêt).
Les hélices circulaires admettent un groupe continu de transformations en elles-mêmes(ce
sont desdéplacements),
et une transformation de ce groupepermet
de transformer lafigure, correspondant
à une valeurparticulière
de s, en la
figure correspondant
à une autre valeurquelconque
de l’abscisse curvili- gne del’origine
del’arc;
cette transformation conserve lalongueur
de l’arc ainsi quel’angle
de la corde et de l’arc àl’origine;
nous voyons doncgéométriquement
que ledéplacement
dupoint
M lelong
d’une courbe(P)
n’entraîne aucune déformation de lafigure étudiée,
par suite 1 nedépend
que de a et, demême,
tous les élémentsde la
figure
doivent êtreindépendants
de s.’
Pour
qu’une
courbegauche
del’espace
euclidien soit une courbe(P’),
il fautque 1 soit
égal
auproduit
d’une fonction de 03B1 par une fonction de s. Nous pouvonsen conclure
(car
noshypothèses permettent
de calculer une fonction inverse holo-morphe
auvoisinage
des valeurs 03B1 = o, 1 =o)
quel’angle 03B1
nedépend
alors que duquotient q
de lalongueur
1 par une fonction inconnue9(s).
Il en résulte que ledéveloppement (2) doit,
dans le cas d’une courbe(P’), pouvoir
être identifié audéveloppement
d’une fonctionF(q);
autrementdit,
lespremiers
termes de(2)
doi-vent être de la forme
suivante,
où nousdésignons
par A,B,
C ... des constantes :donc la
fonction ;
est une fonction linéaire de s(d’après
les termes en l etf)
soit
a(s - so),
la courbure esth (s
-so)-’
et lerapport
de la courbure à la torsionest constant : la courbe doit être une hélice
conique.
Cette condition nécessaire est suffisante
(on peut
le vérifier par lecalcul);
en effetune hélice
conique
est transformée en elle-même par un groupe continu de transfor- mations(rotation-homothétie) qui
transforment les droites endroites,
conserventles
angles
etmultiplient
les distances par un même facteur.Soit alors
NN,
un arc défini parl’abscisse so
fixe dupoint
N et parl’angle
cesous
lequel
on le voit deN ;
une transformation du groupepermet
de transformer cet arc en celuiqui correspond
à une valeurquelconque s
et à la même valeur del’angle
«, lalongueur
de l’arc transformé sera leproduit
de lalongueur
deNN, (qui
. ne
dépend
que dece)
par une fonction de l’abscissecu rviligne s
del’origine
dutransformé;
nous avons donc bien une relation de la formel = ~ {s) . h (a) .
2. -
Lorsque
la courbe est tracée dans un espace non-euclidien de courbure constanteK,
nousprocédons
de la même manière que ci-dessus pour définir la courbe en utilisant unsystème
de coordonnées de Weierstrass défini parl’égalité :
(nous précisons
les axesplus loin),
M et Adésignent
des vecteursd’origine
fixe etd’extrémité NI ou
A,
le vecteur A et les vecteurs unités e,, es, es vérifient les relations :d’où résulte la relation suivante entre x, y, z, t :
Nous déterminons les axes de
coordonnées,
relatifs à unpoint particulier
de lacourbe
(r) étudiée,
de la même manière que le sont les axes de Frenet : lepoint
Aest situé sur la
courbe,
les vecteurs e,, e~, ea sontportés respectivement
par la tan-gente,
la normaleprincipale
et la binormale définies comme dans le cas d’une courbe del’espace
euclidien. Nous avons donc en dérivant le vecteurM(s),
définis-sant le
point
M de la courbe dont l’abscissecurviligne
non-euclidienne est s, et les vecteu rs unitéscorrespondant :
où
R = ; -’ (s)
et T =~-’ (s)
sont des fonctions inconnues de s donnant les rayons de courbure et de torsion de la courbe en M.Ces formules nous
permettent
de calculer lesdéveloppements limités,
suivantles
puissances
del,
des coordonnées x, y, z, t dupoint
de la courbe extrémitéd’un arc
ayant
pourorigine
A et pourlongueur l
car nous supposons que les fonc-tions p
et ï admettent, auvoisinage
de la valeur scorrespondant
àA,
autant de dérivéesqu’il
est nécessaire. Les dérivées successives, parrapport à l,
de x, y, z, tont en effet pour
valeurs, lorsque
1 estnul,
les valeurs desprojections
des dérivées successives du vecteur M en A et l’on obtient ainsi ::~
Le cosinus de
l’angle
de deuxdirections,
définiesl’une
pardx, dy,
dz, dt etl’autre par est donné par la relation :
or une
géodésique passant
parl’origine
des coordonnées(point
o, o, o,i) peut
êtrereprésentée paramétriquement
par leséquations :
donc la
géodésique
del’espace qui joint l’origine
aupoint (a, b,
c,d)
a une direc-tion définie
à l’origine
par : ’et l’on a ôs =1. La direction de la
tangente
à la courbe aupoint origine
de l’arcétudié est donnée par
dx = i ; dy _-._ dz = dt = o;
doncl’angle
formé par lagéodésique
corde(qui joint l’origine
aupoint
x, y, z,l)
et par latangente
à la courbe est déterminé par l’une ou l’autre des relations suivantes et cetangle
doittendre vers o en même
temps
que l :qui
se déduisent l’une de l’autre par des transformations élémentaires en tenantcompte,
pour ladernière,
de la relation(4)
et danslesquelles
on doitremplacer
x, y, z, t
par les développements (5).
On en déduit quel’angle il
admet undévelop- pement
limité suivant lespuissances
de l et l’onobtient,
pour lespremiers
termesde ce
développement, l’expression
suivanteoù p, cB p",
... et r,7’,
...désignent
les. valeurs
prises
àl’origine
de l’arc étudié par lacourbure,
la torsion et leurs dérivées parrapport
à l’abscissecurviligne (nous
l’avons calculée à l’aide de la formule don- nant latangente
del’angle Il)
:3. - Ce
développement (6)
doit êtreindépendant
de squel
que soit 1lorsque
la courbe est une courbe
(P),
il est donc nécessaire que ces courbes(P)
aient leurcourbure et leur torsion constantes et elles sont des hélices circulaires de
l’espace envisagé.
Cette condition nécessaire est suffisante : en effet les coefficients des déve-loppements (5) dépendent uniquement
desvaleurs,
àl’origine
descoordonnées,
dela
courbure,
de la torsion et de leurs dérivéessuccessives,
donc si p et r sont des constantes, les coefficients de cesdéveloppements
seront les mêmesquelle
que soit laposition
sur la courbe del’origine
del’arc ;
par suite lescalculs,
que l’on doit effectuer pour obtenirl’angle
acorrespondant
à des arcs de mêmelongueur,
serontidentiques
et la courbepossède
effectivement lapropriété (P).
Les courbes à courbure et torsion constantes, sont définies par une
équation
différentielle à coefficients constants que l’on déduit
simplement
des formulesde Frenet : P
et nous pouvons vérifier directement que la condition nécessaire obtenue ci-dessus est suffisante en calculant
l’angle a
pour certaines des courbes définies parl’équa-
tion
(’y).
Pour cela nous utilisons lareprésentation
de Poincaré faisantcorrespondre
à notre espace non-euclidien le
demi-espace (z positif)
danslequel
l’élément linéaireest défini ar d03C32 = et les éodési ues sont des demi-cercles ortho- gonaux au
plan
horizontal. Parmi les hélices circulaires del’espace
non-euclidienfigurent
les courbes dont lareprésentation
dans ledemi-espace
de Poincaré est unehélice
conique (au
sens ordinaire dumot)
dont lepoint asymptote
est dans leplan,
z = o, limitant le
demi-espace
etqui
est tracée sur uncylindre
àgénératrices
per-pendiculaires
à ceplan.
Les autres courbes vérifiant(7)
sont déduites de celles-ci par une transformation par rayons vecteursréciproques.
Le calcul del’angle
ex neprésente
aucune difficulté et l’on vérifie bienqu’il
estindépendant
de l’abscisse cur-viligne
non-euclidienne del’origine
de l’arc.Ce résultat est une
conséquence
de l’existence du groupe des transformations de l’héliceconique
en elle-même(groupe correspondant
à celui des transformations del’espace
non-euclidienqui
transforment en elle-même l’hélice circulaire dont l’héliceconique
estl’image).
Soit(G)
une héliceconique représentant,
dans ledemi-espace
de
Poincaré,
une courbe définie parl’équation (7).
En choisissant convenablement les axes de coordonnées etl’origine
des arcs sur(G),
onpeut représenter
lescoordonnées d’un
point
M de cette courbe en fonction de son abscissecurviligne
euclidienne s par les
expressions :
.les constantes
h, k,
a,b,
sont liées par la relation a’J = I- k’
-FIG. 1.
La courbe
(G) possède
lapropriété (P’) d’après
ce que nous avons vuplus
haut
(§ 1);
donc lalongueur
euclidienne d’un arcMM,
estégale
auproduit
d’unefonction de
l’angle
souslequel
on le voit de sonorigine
par la valeur du rayon de courbure(euclidien)
àl’origine.
Parconséquent
si lalongueur
d’un arcMM,
estproportionnelle
à l’abscissecurviligne s
dupoint M,
cet arc est vu de sonorigine
sous un
angle indépendant
de s car le choix del’origine
des arcs sur(G)
est tel quele rayon de courbure en M
ait pour valeur
kh
s kh1
+ h$ . Lalongueur
non-euclidienne du même arcMM,
est une constantequand
M décrit lacourbe;
eneffet,
si l’ondésigne
par A - i le coefficient deproportionnalité
de lalongueur
euclidienne à l’abscissecurviligne
deM,
lalongueur
non-euclidienne de l’arcMM,
estégale
à
log
A. Doncl’angle
souslequel
l’arcMM
est vu(au
sens non-euclidien)
de sonorigine
doitêtre,
luiaussi,
constantpuisque
la courbe(G)
estl’image
d’une courbe(P)
del’espace
non-euclidien.Ce résultat est une
conséquence
immédiate de l’existence du groupe des rotations-homothétiesqui
transforment(G)
en elle-même. Une transformation(T)
de ce groupe
transforme
l’arcMM,
en un arc dont lalongueur
euclidienne estégale
auproduit,
par A - t, de l’abscissecurviligne
euclidienne del’origine
M’ dutransformé; (T)
transforme la droiteMM.
en la droite etl’angle
formé en Mpar la corde et l’arc est
égal
àl’angle
formé en M’ par la corde etl’arc;
la cordenon-euclidienne de l’arc
MM,
est ledemi-cercle, orthogonal
auplan
limite dudemi-espace, qui
passe par M etM,
et ce demi-cercle est transformé en le demi- cercleanalogue passant
par M’etM1, c’est-à-dire,
en la corde non-euclidienne de l’arcM’M1;
comme la transformation(T)
conserve lesangles
nous voyons bien que la courbe(G)
est une courbe(P)
si on la considère comme une courbe del’espace non-euclidien;
nous remarquonségalement
que le trièdre formé par latangente
en M à
(G),
la droiteMM,
et latangente
en M au demi-cercleimage
de la cordenon-euclidienne,
resteégal
à lui-mêmelorsque
M décrit la courbe si lalongueur
euclidienne de l’arc
MM,
varieproportionnellement
au rayon de courbure(eucli- dien)
en M.’
4. - Il n’existe aucune courbe
(plane
ougauche)
del’espace
non-euclidienpossé-
dant la
propriété (P’)
. Nous avons vu, eneffet,
que, dans le cas d’une courbe(P’),
ledéveloppement
del’angle (x peut
être écrit sous la forme(3)
et nous déterminons les conditionsimposées
à la courbure et à la torsion de la courbe cherchée enexpri-
mant que l’on
peut
identifier ledéveloppement (6)
avec uneexpression (3);
lescoefficients de
(6)
et(3)
doivent être des fonctions de squi
sontidentiques.
Le
premier
terme nous montre immédiatement que la fonction inconnuecp(s) figurant
dansl’expression
de x doit êtreproportionnelle
àp-!
de sorte que le coeffi- cient d’unepuissance quelconque
de l dans(6)
doit êtreégal
auproduit
d’uneconstante par la même
puissance de p.
D’autrepart
les deux termes suivants nous donnentl’équation
différentielle àlaquelle
doit satisfaire p et une relation entre lacourbure et la torsion : ’
En tenant
compte
de(8)
nous pouvons obtenirl’expression
et des dérivées de p cequi
donne facilementl’expression
des coefficients de [i et de F dans ledéveloppement (6).
Le coefficient de il.est bien égal
auproduit de 03C14
par une cons- tante. Le coefficient de l5 est, endésignant
par A une constante dont la valeur nenous intéresse pas :
Si p
dépend
de s,l’expression
ci-dessus est une fonction de squi
doit êtreidentique
auproduit
dep5
par une constante, cequi exige
que 1"2 soitidentique
à ,un
polynôme
en p ; or des relations(8)
nous déduisons 03C4’2 =03BB2203C10 3K + 03C12
cequi
nepeut
êtreidentique
à unpolynôme
en p que si la courbure K del’espace
est nulle.Donc les termes écrits du
développement (6) exigent
quel’espace
soiteuclidien,
que la torsion soitproportionnelle
à la courbure et que celle-ci soit de la forme- a ( s - s o)
; nous . retrouvons seulement les hélicesconiques
obtenuesau $
i.Nous remarquons que les courbes de
l’espace
non-euclidienqui
ont pouréquations
intrinsèques :
,sont telles que la différence entre la fonction
x(/, s)
et une fonctionayant
la formecorrespondant
aux courbes(P’) soit,
parrapport
à1,
d’un ordresupérieur
de deuxunités à la même différence dans le cas de
tome
autre courbe du même espace.5. - Les transformations
qui
transforment en elles-mêmes les courbes(P)
et(P’)
nous montrent que les fonctions de deux variables
qui
donnent la valeur d’un élément t de lafigure
formée par l’arc et sa corde doivent avoir une formeparticulière ;
sur unecourbe
(P), quelle
que soit la variable choisie pour déterminer lagrandeur
de l’arcles éléments de la
figure
seronttoujours indépendants
de l’abscissecurviligne
de
l’origine
del’arc;
sur une courbe(P’)
nous voyons que le choix del’angle
en Mcomme variable arbitraire est
préférable
à celui de lalongueur
l de l’arc : l’énoncé de lapropriété qui
nous apermis
de trouver les courbes( P’)
estplus simple,
toutes les
longueurs
attachées à notrefigure jouiront
de la mêmepropriété
d’être leproduit
d’une fonction de s par une fonction de ex, enfin certains éléments(angles, rapports
de deuxlongueurs)
serontindépendants
de s si onexprime
leurs valeursen fonction de a et de s. Ces raisons
géométriques
nous invitent àremplacer
lavariable 1
qùe
nous avons utiliséejusqu’ici
par la variable a; lesdéveloppements (5)
étant connus en fonction de 1 et s, nous effectuerons certains des calculs en fonction de 1 et nous
utiliserons,
pour revenir à la variable ce ,l’expression
de 1 en fonctionde a,
expression
que nous obtenonssimplement
en déterminant ledéveloppement
limité de la fonction inverse
/(x, s)
définie par la relation(6).
On trouve :’
Les
développements (g) [ou (6)]
nous montrent immédiatement que l nepeut
être une fonctionimpaire
de (l[ou
oc une fonctionimpaire
del]
que si les coeffi- cients despuissances 2
et 4 sont nuls cequi exige
que la courbure et la torsion soient des constantes et la courbe doit être une courbe(P).
Il suffit d’ailleurs que la courbe soit une courbe(P)
pourqu’il
en soit ainsi car, p et 1; étant des constan-tes, on voit que les
composantes
de la dérivée 2mième du vecteur M sont nulles surles axes e, et es de même que les
composantes
de la dérivée(2m
+1)ième
sontnulles sur les axes A et e,. Il en résulte que x et z sont des fonctions
impaires
del,
y et des fonctionspaires
et par suite la valeur absolue de oc n’est pas altérée par lechangement
de len - l,
lepremier
terme de(6)
nous montre alors que (l estune fonction
impaire
de l.Remarquons
que nous avons dû choisir lesigne
de cepremier
coefficient en tenantcompte
des relationsqui
nous ontpermis
de calculerl’angle.
CHAPITRE II
Propriétés caractéristiques
des courbes(P)
ou(P’).
6. - Les formes
particulières,
quepossèdent
les fonctionsreprésentant
diffé-rents éléments de la
figure lorsque
la courbe est une courbe(P)
ou(P’), permettent-
elles de caractériser ces courbes ?
Le
premier
élément que nousenvisageons
est lalongueur
L de la cordequi
sous-tend
Farc;
la fonctionL (s, a)
estindépendante
de s sur une courbe(P)
etégale
auproduit
du rayon de courbure par une fonction del’angle a
sur unecourbe
(P’) .
’
La
longueur
L de la corde s’obtient trèssimplement
enremarquant
que leparamètre
o utilisé dans lareprésentation
d’unegéodésique
del’espace (§ 2)
estproportionnel
à lalongueur
sur cettegéodésique
de sorte que la distance de l’ori-gine (o,
o,0,1)
aupoint (x,
y, z,t)
est donnée suivant que K estpositif
ounégatif
par :
’
Cette formule nous
permet
de déterminer undéveloppement
limité de L par la méthode des coefficients indéterminésbeaucoup plus .simplement
que nous nepourrions
le faire dans le cas d’un espace euclidien par l’utilisation de la formulei
L =
(x$
+y~
+z~)2
et il est aisé de remarquer que le résultat doit êtrevalable
mêmelorsque
K est nul.Le calcul est ici très
simple,
L tend vers o en mêmetemps
quel,
et nous devons choisir lesigne
deL;
il est naturel deprendre
lepremier
coefficient dudéveloppement
cherchéégal
à + i. On trouve ainsi :d’où l’on
déduit,
en tenantcompte
de(9) :
Ces
développements
nous montrent immédiatement des conditions nécessaires pour que la fonctionL(s, 1)
ou la fonctionL(s, oc)
soitindépendante
de s. Il fautque la courbure et la torsion soient des
constantes,
donc que la courbe soit une courbe(P)
et cela suffitd’après
ce que nous avonsremarqué géométriquement.
Pour que la
longueur
de la corde soitégale
auproduit
d’une fonction de s parune fonction de x, il faut que les coefficients de
yo’)
soientégaux
auxproduits
d’une même fonction de s par des constantes ; donc
p’
doit êtreproportionnel
àp~
(le
rayon de courbure est donc une fonction linéaire del’arc).
Les coefficients de (l3 et a~exigent simplement
que ~~ - 3K soit aussiproportionnel à p2
Q[et
nousretrouvons les mêmes
premières
conditions que dans la recherche des courbes(P’)].
Le terme suivant du
développement (Jo/)
nous est donc nécessaire. Nous auronsultérieurement souvent à faire ces mêmes
hypothèses
sur la courbure et la torsion aussi devons-nouscompléter
les différentsdéveloppements lorsque p’
et r vérifient(8).
On a dans ce cas :’
où nous
désignons
par A une constante; dans les calculsanalogues
nousdésigne-
rons par de
grandes
lettres(autres
queK)
des constantes dont la valeur n’intervient pas; nous utiliseronsmême,
pour ne pasmultiplier les notations,
la même lettre pourreprésenter
des constantes de valeurs différentes intervenant dans un même calcul.Nous pouvons alors calculer le coefficient de a.5
figurant
dans ledéveloppement
de L
(les quatre premiers
coefficients sont effectivementproportionnels
àI /p),
onobtient :
ce
qui
nepeut
êtreproportionnel à I
que s’il existe une identité de la formep
suivante :
cette identité en s
exige,
si p n’est pas une constante, que K soit nul. Donc, si L.est
égal
auproduit
d’unefonction
de s par unefonction
de oc, ,l’espace
est euclidien etla courbe est une courbe
(P’)
.On voit aussi sur les
développements (lo)
et(lo’)
que la fonction L nepeut
être..une fonction
impaire
de l’une des variables 1 ou aqu’à
la condition que la courbe soit une courbe(P);
on démontre aisément que cela suffit(comme plus haut, § 5).
7. - Le
développement (10)
nous fournit immédiatement lespremiers
termesdu
développement
durapport
deslongueurs
de la corde et de l’arclorsque
l’onprend
pour variable lalongueur
del’arc; mais,
ainsi que nous l’avonsremarqué,
l’étude de ce
rapport
sera surtout intéressante enprenant
lavariable
a. Nousn’avons pas
jugé
utile d’écrire ledéveloppement
de cerapport
r suivant lespuis-
sances de
l;
on en déduit :Si r est une fonction
paire
de o:, nécessairement les coefficients de a3 et x~ 5 sont nuls dans(12),
par suitep’
et r’ sont nuls. Donc la courbe doit être une courbe(P).
Cela suffit
puisqu’alors
[ et L sont toutes deux des fonctionsimpaires
de a.Pour
que
cerapport
r nedépende
que de x , lapremière
condition nous estfournie par le coefficient de a3 3
qui exige que p’
soitproportionnel
àpB
Si l’onchoisit le
coefficient
deproportionnalité
nul(p
est alors uneconstante),
le coefficient de 03B14 nous montre que 1" est aussi une constante[la
courbe est alors unecourbe
(P)].
Si le coefficient de
proportionnalité
n’est pasnul,
le coefficient de 03B14 nousimpose
la deuxième des conditions(8)
et nous retrouvons les mêmes courbes queprécédemment. Mais,
comme dans lesquestions précédentes,
le coefficient suivant ’ dudéveloppement (12)
est conforme à ce que nousdésirons,
il faut donc calculer le coefficient de as dans cedéveloppement
de r.Les termes écrits des
développements (5)
ne suffisent pas pour effectuer le calcul et nous devons déterminer le coefficient de l8figurant
dans ledéveloppement
de t~.On trouve, en dérivant les formules de
Frenet,
que ce coefficient a pourexpression, lorsque
p et 1" vérifient(8) :
Nous pouvons alors déterminer très
simplement
le coefficient de f dans le.développement
deL(s, l),
c’est :et en utilisant
l’expression (11)
nous obtenons le coefficient de as dans ledévelop- pement
durapport r(s , x). [On
vérifie que les coefficients despuissances
de a dedegré
inférieur à 6 sont desconstantes J,
le coefficient de est :cette
expression
nepeut
être une constante,lorsque p
et r ne sont pas eux-mêmes des constantes, que si la courbure K est nulle. Donc si lerapport
deslongueurs
dela corde et de l’arc ne
dépend
que del’angle
souslequel
on voit l’arc de sonorigine,
la courbe est une courbe
(P)
ou une courbe(P’) ;
si la courbure del’espace
n’est pas’ nulle, les courbes dont les
équations intrinsèques
sont données par(8) jouissent
dela
propriété
suivante : on pourra trouver une fonctionh( (l) indépendante de s,
telleque la différence entre le
rapport
1 et la fonctionA (a) soit,
parrapport
à (l, d’un ordresupérieur
de deux unités à celui d’une différenceanalogue
pour toute autre courbe[les
courbes(P) exceptées].
,8. - Pour calculer
l’angle §
que forment l’arc et sa corde à l’extrémité del’arc,
nous pouvons utiliser
l’expression
établieplus
haut pourl’angle
àl’origine,
car cetangle §
n’est autre quel’angle
souslequel
onvoit,
de sonorigine,
un arc delongueur
- 1 dontl’origine
a pour abscissecurviligne s
+ 1. Donc nous avons(3(s, 1)
=a(s
+l, - l)
et nous pouvonscalculer
enremplaçant,
dans(6),
1 par- 1 et en
développant
p et r par la formule deTaylor.
Il est d’ailleurs facile de déterminer directement cet
angle ~
et nous auronsbesoin, ultérieurement,
de l’un des calculs intermédiaires que nous donnons ci- dessous. On déduit trèssimplement
de lareprésentation paramétrique
desgéodé- siques,
la direction aupoint
de coordonnées x, y, z, t, de lagéodésique qui joint
ce
point
àl’origine
des coordonnées :ce
qui
nous montre, en tenantcompte
de la relation(4),
quel’angle 6
est déterminépar la relation :
Nous avons