MAT244 - Ann´ee universitaire 2009-2010
Feuille d’exercices 3
Exercice 1. D´emontrer que les applications suivantes sont des produits scalaires :
(1) ϕ:C([a, b],R)×C([a, b],R)→R, ϕ(f, g) =Rb
af(x)g(x)ω(x)dx, o`u ω∈C([a, b],R), ω(x)>0 pour tout x∈R.
(2) ϕ:C([a, b],C)×C([a, b],C)→C, ϕ(f, g) =Rb
af(x)g(x)dx.
(3) ϕ:Rn[X]×Rn[X]→R,(P, Q)7→
Xn
i=0
P(ai)Q(ai), o`u a0, . . . , an∈R sont des r´eels distincts.
(4) ϕ: Mn(R)×Mn(R)→R,(M, N)7→Tr(MtN).
(5) ϕ:C([a, b],R)×C([a, b],R)→R, ϕ(f, g) =R1
0 xf(x)g(x)dx.
(Attention au raisonnement. Il y a un souci en x= 0 !)
Exercice 2. D´eterminer si les applications suivantes sont des produits sca- laires.
(1) ϕ:R3×R3 →R,(
x1
x2 x3
,
y1
y2 y3
)7→x1y1+ 2x2y2+ 9x3y3
(2) ϕ:C2×C2 →C,( µx1
x2
¶ ,
µy1
y2
¶
), x1y2+y2x1−2(x1y1+y1x1) (3) ϕ:Rn[X]×Rn[X],(P, Q)7→
Xn
i=1
P(ai)Q(ai), o`u a1, . . . , an∈R sont des r´eels distincts.
(4) ϕ: Mn(R)×Mn(R)→R,(M, N)7→Tr(MN).
Exercice 3. Soit A = µ2 1
1 2
¶ . Montrer que l’application
b:R2×R2 →R,(X, Y)7→XtAY
est un produit scalaire.
Utiliser l’algorithme de Gram-Schmidt pour trouver une baseb-orthonorm´ee.
Exercice 4.
Utiliser la m´ethode de Gram-Schmidt pour orthonormaliser dansR3avec son produit scalaire usuel la base e1 =
1 1
−1
, e2 =
1
−1 1
et e3 =
−1 1 1
. Si e01, e02, e03 est la nouvelle base, montrer que la matrice de passage correspon- dante est triangulaire.
Exercice 5.
Pour chaque espace euclidien V muni d’un produit scalaire φ, appliquer la m´ethode de Gram-Schmidt `a la famille F, afin de produire une base or- thonom´ee pour le sous-espace W engendr´e par F. Calculer la projection orthogonale de v ∈V sur W.
1. V = R3, φ= produit scalaire canonique, F =
1 0
−1
,
1
−1 0
, v =
1 1 1
.
2. V = R4, φ= produit scalaire canonique, F =
1 1 0 0
,
1 0
−1 1
,
0 1 1 1
v =
1 1 1 1
.
3. V = R3, φ(
x1 x2 x3
,
y1 y2 y3
) = 3x1y1 − x1y2 − x2y1 + 3x2y2 + 3x3y3,
F =
1 0 0
,
0 1 0
, v =
0 0 1
. 4. V =R3[X], φ(P, Q) = R1
−1P(x)Q(x)dx, F = 1, X, X2, v =X3. 5. V =R [X], φ(P, Q) = R1
P(x)Q(x)dx, F = 1, X, X2,v =X3.
Exercice 6. Soit C([−1,1],R) de fonction continues `a valeurs r´eelles sur l’intervalle [−1,1]. Nous munissons cet espace du produit scalaire
hf, gi= Z 1
−1
f(x)g(x)dx.
1. Utiliser la m´ethode de Gram-Schmidt `a fin de produire une base ortho- norm´ee pour le sous-espace R3[X]⊂ C([−1,1],R).
2. Trouver des r´eelsa, b, ctels queR1
−1(ex−ax2−bx−c)2dxsoit minimale.
Exercice 7. Soit R2[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a deux, on consid`ere sur R2[X] la forme quadratique qui `a un po- lynˆome associe son discriminant :
∆ : R2[X]→R
P(X) =aX2+bX +c7→∆(P) =b2−4ac
1. Montrer ∆ est une forme quadratique et donner sa forme polaire.
2. Donner la matrice de la forme polaire b dans la base F0 ={1, X, X2}.
3. Montrer que pour tout polynˆome P(X) =aX2+bX+c deR2[X], on peut ´ecrire :
∆(P) = b2+ (a−c)2−(a+c)2.
4. Montrer que la famille de vecteurs F1 ={12(X2−1), X,12(X2+ 1)} est une base de R2[X].
5. Donner la matrice de passage de la baseF0 `a la base F1.
6. Donner les coordonn´ees du polynˆome P(X) = aX2+bX +c dans la base F1.
7. Donner la matrice de la forme polaire b dans la base F1.
8. Exprimer ∆(P) en fonction des coordonn´ees de P dans la baseF1. 9. Donner le rang et la signature de ∆.
Exercice 8. Pour chaque cas, montrer que l’application consid´er´ee est une forme quadratique, et lui appliquer la r´eduction de Gauss :
1. q :R2 →R, q(
µx y
¶
) =x2+xy+ 3y2, 2. q :R2 →R, q(
µx y
¶
) =xy,
3. q :R3 →R, q(
x y z
) =x2−2y2+xz+yx,
4. q :R3 →R, q(
x y z
) =xy−yz,
5. q :R3 →R, q(
x y z
) =x2+ 2xy+y2+yz, 6. q :R2[X]→R, q(P) =P(1)P(2) +P(1)P(0).
En d´eduire leur signature, leur rang, et donner dans chaque cas une base q-orthogonale (orthonormale lorsque cela est possible). Pour les formes 1, 2 et 3, calculer la forme polaire de q.
Exercice 9.
Pour chaque matrice sym´etrique suivante, d´eterminer les valeurs propres et une matrice orthogonale P de changement de base qui la diagonalise :
A1 =
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A2 =
1 0 2 0 2 0 2 0 1
A3 =
5 −1 2
−1 5 2
2 2 2
.
Exercice 10.
R´eduire les formes quadratiques suivantes avec des changements de base or- thogonaux.
1. q(
x y z
) =x2+y2+z2−2xy−2xz−2yz.
2. q(
x y z
) = 2x2+ 4y2+z2 + 4xy−2√
2xz+ 4√ 2yz.
Exercice 11.
Trouver le genre des coniques suivantes : 1. x2−xy+y2−3x+ 2y−1 = 0
2. 3x2+ 5xy+ 2y2+ 2x+y−1 = 0 Exercice 12.
Trouver les ´equations r´eduites dans des rep`eres orthonorm´ees des coniques suivantes.
1. x2−xy+y2+x+y= 0, 2. xy+ 2x+y = 0,
3. x2−2xy+y2−10x−6y+ 25 = 0, 4. 4x2+ 12xy+ 9y2−8x−12y−5 = 0, 5. 5x2−6xy+ 5y2+ 2x−14y+ 13 = 0, 6. 15x2+ 24xy+ 15y2+ 30x−24y+ 20 = 0, 7. 15x2−16xy−15y2−62x−44y−13 = 0.
