ECE 1 MATHEMATIQUES
Devoir Surveillé 1 - durée : 4 h 25 septembre 2010 Les documents, la calculatrice, et tout matériel électronique sont interdits.
Le soin, la précision et la qualité de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursui- vra sa composition, en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Cours.
1. Donner les dénitions de : a. fonction périodique ; b. fonction croissante ;
c. maximum d'une fonction.
2. Soitf etgdeux fonctions, telles que la composéeg◦f soit bien dénie.
Démontrer que sif etg sont décroissantes, alors g◦f est croissante.
Exercice I.
1. Trouver et justier les erreurs (deux au total) se trouvant dans les programmes suivants, et proposer une modication.
2. Détailler, ligne par ligne, le fonctionnement du programme "number2" ainsi modié.
PROGRAM number1 ; VAR x :integer ; BEGIN
x :=5 x :=-3*x+4 ; writeln(x) ; END.
PROGRAM number2 ; VAR x :integer ; BEGIN
x :=8 ; x :=x/2 ; writeln(x) ; x :=x-1 ; END.
Exercice II.
Calculerg◦f, et préciser son ensemble de dénition,f etgayant pour expressions respectives : f(x) =−3x−2 et g(x) = 2x−5
−4x+ 3. Exercice III.
Etudier la parité de la fonction f dénie par f(x) =x3
e−2x−1 e−2x+ 1
3
. Exercice IV.
Résoudre dans Rles équations suivantes :
(E1) 2x4+ 4x2−5 = 0 (E2) ln(x+ 3) + ln(2x) = ln(3) (E3) 3−2x+1×2−3 = 5x 45
1/3
Exercice V.
Résoudre dans Rl'inéquation (I) x(x−1) x−2 +1
x ≤x. (On pourra réduire au même dénominateur.)
Problème.
Soit la fonctionf dénie par f(x) =xp
3−x2. On note Cf la courbe représentative def. On donne √
2'1.414 et √
3'1.732
1. a. Montrer que son ensemble de dénition est Df = [−√ 3;√
3]. b. Calculerf(0).
c. Etudier la parité de f. Graphiquement, que cela signie-t-il ? d. Montrer que f(x) est du signe dex.
2. a. Dériver f, et montrer que f0(x) = 2
q3 2 −x
q3 2 +x
√3−x2 . b. f0 est-elle dénie surDf?
c. En déduire l'étude des variations de f sur Df. d. Quels sont les extrema def?
3. a. Déterminer l'équation de la tangente à Cf à l'origine.
b. Quels sont les points où la tangente àCf est horizontale ? 4. Justier l'encadrement 1.2≤q
3
2 ≤1.25 5. On prendra dorénavant q
3
2 '1.225
On admet que les tangentes àCf aux bornes de son ensemble de dénition sont verticales.
Sur l'annexe, tracer l'allure deCf, en s'aidant des tangentes.
Question supplémentaire.
Déterminer toutes les fonctions qui sont paires et croissantes surR.
(Le raisonnement sera principalement pris en compte.)
2
NOM : Prénom :
Annexe
3
