Corrigé – Groupement académique 2 – Mathématiques (2014)

(1)

La montée à la station

1.

REMARQUE : Le schéma incite à utiliser les relations trigonométriques dans le triangle rectangle. Ici, on connait un côté de l’angle droit, adjacent à l’angle considéré, et le côté opposé à cet angle. Ceci incite à utiliser la tangente de cet angle (voir tome 1, chap. 17 p. 369 à 384).

α

route

100 m

25 m tan(α) = côté opposé = = côté adjacent 25

100 0,25

En utilisant la touche [tan⁻¹] ou [arctan] d’une calculatrice, on obtient : α ≈ 14°.

2.

REMARQUE : Un schéma peut être utile pour comprendre la question posée et y répondre. Dans ce cas, il s’agit de trouver la longueur du tronçon de route dénommé ici « route ».

α

route

? m

145 m

A B

C

Dans cet exercice, toutes les mesures de longueur sont en mètres et les mesures d’angle en degrés.

[AC] est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont [AB] et [BC], donc on peut utiliser le théorème de Pythagore (voir tome 1, chap. 16 p. 354) :

AC²= AB² + BC² 1 ,

ce qui conduit à chercher la longueur AB.

corrigés

PREMIÈRE PARTIE PARTIE A

académique 2, de la session 2014. L’énoncé est téléchargeable gratuitement, au format pdf, sur le site du ministère de l’Éducation nationale.

http://cache.media.education.gouv.fr/file/sujets_2014/18/3/PE2-14-2-PG2_318183.pdf

Ces corrigés sont conformes aux règles de la nouvelle orthographe.

ier 2014 - Hatier concours

(2)

Méthode 1

Utilisation du théorème de Thalès dans le triangle ABC, avec (B′C′) // (BC) (voir tome 1, chap. 16 p. 356).

′ = ′ ′ ABAB BC

B C donc AB100=145

25

= × = × =

donc AB 145 10025 145 4 580 ^α

route

100 m

? m

145 m

A B′

C′

B C

25 m

Méthode 2

Utilisation d’une relation trigonométrique dans le triangle rectangle ABC.

tan(α) = côté opposé = côté adjacent BC

AB

= =

donc 0,25 BCAB 145 AB

× = = =

donc 0,25 AB 145 et AB 1450,25 580

Méthode 3

Le déplacement horizontal est proportionnel au dénivelé :

comme 100 m = 25 m × 4, le déplacement horizontal est le quadruple du dénivelé ; donc si le dénivelé est de 145 m, le déplacement horizontal est de 145 m × 4 = 580 m.

Connaissant maintenant AB et en utilisant l’égalité 1 , on a : AC²= 580² + 145²= 357 425

donc AC= 357 425 ≈ 598.

Au mètre près, la longueur du tronçon de route est donc de 598 m.

Autre méthode

La réponse s’obtient plus rapidement en utilisant une autre relation trigonométrique dans le triangle rectangle ABC :

sin(α) = côté opposéhypoténuse

donc sin(14 ) 145° =AC, donc AC= 145° sin(14 ).

Comme sin(14°) ≈ 0,242, on a AC ≈ 599 m.

ATTENTION ! Dans un calcul, il faut garder les valeurs exactes le plus longtemps possible.

(3)

CONSEIL : Pour résoudre des problèmes de vitesse, on dispose de plusieurs méthodes (voir tome 1, chap. 9 p. 189-190) :

1. Utiliser la formule v= d

t où v est la vitesse, d la distance et t la durée (avec des unités adaptées).

2. Utiliser un tableau de proportionnalité à l’aide de la distance parcourue et de la durée du parcours.

3. Dans certains cas, utiliser les propriétés additive et multiplicative de la linéarité en jouant sur la proportionnalité des distances et des durées.

Dans le cas présent, les nombres en jeu n’étant pas simples, la méthode 1 est plus appropriée.

1. Vitesse moyenne d’Albert

• durée de la descente : 15 h 03 min 08 s − 14 h 58 min 47 s = 4 min 21 s Il faut transformer cette durée en heure : 4 min 21 s = 261 s = 2613600 h

 

car 1 h = 3 600 s donc 1 s = 13600 h .

• longueur de la descente : 3 312 m = 3,312 km

• vitesse moyenne : v=3,312 km= × ≈45,7 km h 3600 h261

3,312 km 3600261 h /

La vitesse moyenne d’Albert est donc, arrondie¹ au dixième, de 45,7 km/h.

CONSEIL ! Dans cette question, on a calculé une différence portant sur des mesures de durée.

Pour cela, deux méthodes peuvent être utilisées :

Méthode 1 : En utilisant le support d’une « ligne du temps » et en cherchant la durée qu’il faut ajouter à 14 h 58 min 47 s pour obtenir 15 h 03 min 08 s :

14 h 58 min 47 s 14 h 59 min 15 h

13 s 1 min 3 min 08 s

15 h 03 min 08 s

donc 1 min + 3 min 08 s + 13 s = 4 min 21 s.

Méthode 2 : En posant l’opération en colonnes :

63 min 68 s

15 h 03 min 08 s

−14 h 58 min 47 s

+1 h +1 min

0 h 4 min 21 s

Comme on ne peut pas calculer 08 s − 47 s, on ajoute 60 s au 1^er terme de la différence et 1 min au 2^e terme (en ajoutant une même quantité aux deux termes, on obtient une différence égale).

On calcule alors 68 s − 47 s.

Comme on ne peut pas calculer 03 min − 59 min, on ajoute 60 min au 1^er terme de la différence et 1 h au 2^e terme.

On calcule alors 63 min − 59 min…

Le calcul s’appuie sur les mêmes propriétés que celles mobilisées dans une des techniques de la soustraction habituelle (voir tome 1, chap. 4 p. 84, méthode dite « traditionnelle »), mais en tenant compte des équivalences entre unités de mesure des durées.

1. Pour la notion d’arrondi, voir tome 1, chap. 3 p. 62.

(4)

RAPPEL : En utilisant des unités cohérentes, la vitesse (v) est le rapport entre la distance parcourue (d) et la durée du parcours (t) : v d

= t. D’où on déduit : d = v t et t d

= v.

• temps mis par le skieur, en heure : t=3,312 km=

100 0,03312 h

On convertit cette durée en secondes : comme 1 h = 3 600 s, le temps en secondes est égal à 0,033 12 × 3 600 = 119,232 s.

• temps mis par Albert : 261 s

• avance du meilleur skieur de la station : 261 s – 119,232 s ≈ 141,8 s soit 2 min 21,8 s Le meilleur skieur de la station serait donc arrivé environ 2 min 21 s et 8/10 s avant Albert.

Saut sur la Steif

1.

L’image de 10 par la fonction S est égale à _{2,5 20 55}₋

(

⁻

)

1210

2

≈ 1,49.

Cela signifie que, après un déplacement horizontal de 10 m, Albert est à environ 1,49 m du sol.

2. Étude graphique

REMARQUE : Les auteurs du sujet n’ont pas précisé les grandeurs représentées sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. Mais l’énoncé permet de savoir que sur l’axe des abscisses, sont représentées les valeurs de x (longueur du déplacement horizontal) et sur l’axe des ordonnées, les valeurs de S (hauteur par rapport au sol).

a. La valeur 55 sur l’axe des abscisses représente 55 m qui est la longueur totale du saut d’Albert (en déplacement horizontal).

b. Par lecture sur le graphique, la hauteur maximale du saut d’Albert est d’environ 2,5 m.

Elle correspond à un déplacement horizontal compris entre 27 m et 28 m.

3.

S est la différence entre 2,5 et

(

2x−55

)

1210

2.

Comme (2x – 55)² est un carré, sa valeur est toujours positive ou nulle, de même que celle de

(

2x−55

)

1210

2.

La valeur de S ne peut donc pas être supérieure à 2,5.

2,5 est donc la valeur maximum de S atteinte lorsque x = 27,5 m.

La hauteur maximale du saut d’Albert est donc de 2,5 m.

PARTIE C

(5)

CONSEIL : Probabilités, voir tome 1, chap. 11 p. 239 à 255.

1.

L’aire d’un disque est donnée par la formule 𝒜= π r², où r désigne le rayon du disque.

Les trois disques ont donc respectivement pour aire : 25 π, 100 π et 225 π. Ceci permet de déterminer l’aire de chaque zone :

• zone noire : 25 π soit 19 de la surface totale  =

 

car 25225 1

9 ;

• zone en points : 100 π – 25 π= 75 π soit 39 de la surface totale (3 fois l’aire de la zone noire) ;

• zone quadrillée : 225 π – 100 π= 125 π soit 59 de la surface totale (5 fois l’aire de la zone noire).

Quand la cible est touchée, la probabilité d’atteindre une zone est proportionnelle à l’aire de cette zone. Ici, la probabilité d’atteindre la couronne extérieure (zone quadrillée) est donc égale à 5/9.

2.

La probabilité de l’évènement « atteindre la cible » est égale à 1/2.

Celle de l’évènement « atteindre le cœur de cible » est égale à 1/9 (lorsque le premier évènement est réalisé).

La probabilité que le tireur débutant touche la cible et atteigne le cœur de la cible est donc déterminée par la réussite des deux évènements précédents. Elle est donc égale à 1/18 car 1× =

2 1

9 1

18.

1.

Ce problème relève de la division euclidienne. En effet, chaque fleur comporte 5 pétales et on cherche combien de fois 5 est contenu dans le nombre de pétales effeuillés.

2.

Procédures possibles pour répondre à la question posée.

REMARQUE : En fait, la question posée comporte deux sous-questions :

• le nombre de fleurs effeuillées totalement (qui correspond au quotient dans la division euclidienne de 83 par 5) ;

• l’existence ou non de pétales restants sur la dernière fleur effeuillée et si oui, leur nombre (qui correspond à la différence entre 5 et le reste dans la division euclidienne).

(voir tome 2, chap. 11 p. 253 à 256) DEUXIÈME PARTIE

EXERCICE 1

(6)

dénombrement des groupements obtenus (ce qui donne le nombre de fleurs) et des pétales non regroupés (ce qui permet de savoir qu’il reste des pétales sur la dernière fleur).

Procédure 2 : Addition de séries de « 5 » pour s’approcher le plus possible de 83 et complément par un nombre inférieur à 5 (le reste), puis dénombrement des séries additionnées (ce qui donne le nombre de fleurs) et prise en compte du reste.

Procédure 3 : Soustraction de séries de « 5 », en partant de 83, pour s’approcher le plus possible de 0 et jusqu’à obtenir un nombre inférieur à 5 (le reste), puis dénombrement des séries soustraites (ce qui donne le nombre de fleurs) et prise en compte du reste.

Procédure 4 : Essais de produits de nombres par 5 pour s’approcher le plus possible de 83 et complément par un nombre inférieur à 5 (le reste) ; le facteur le plus grand possible est alors le quotient cherché.

Procédure 5 : Division euclidienne de 83 par 5, puis interprétation du quotient et du reste.

REMARQUE : D’autres procédures sont possibles, notamment en mixant certaines de celles citées ci-dessus. Par exemple :

• soustraction de multiples de 5 ;

• on peut considérer que 2 fleurs correspondent à 10 pétales ; comme 83 = (8 × 10) + 3, le nombre de fleurs est égal à 16 (8 × 2) et 3 pétales ont été effeuillés d’une 17^e fleur.

1.

Le nombre obtenu en enlevant un bonbon est un multiple commun de 2, 3, 4, 5 ou 6.

RAPPEL : Pour trouver les multiples communs de plusieurs nombres, on peut :

• écrire les premiers multiples de chacun de ces nombres et identifier ceux qui sont communs ;

• calculer le plus petit commun multiple (ppcm) de ces nombres. Les multiples communs sont les multiples de leur ppcm.

Pour obtenir le ppcm de ces cinq nombres, on peut les décomposer en facteurs premiers qui ne sont pas premiers (voir tome 1, chap. 6 p. 125).

Comme 4 = 2² et 6 = 3 × 2, le ppcm des cinq nombres est égal à 2² × 3 × 5 = 60.

Les autres multiples communs à ces nombres sont les multiples de 60 : 0, 60, 120, 180…

Seuls 0 et 60 conviennent car Emma a moins de 100 bonbons.

Elle a donc 61 bonbons (l’énoncé indiquant qu’elle peut les regrouper par deux, trois...).

REMARQUE : Le nombre 1 vérifie également les conditions arithmétiques de l’énoncé, mais l’emploi du pluriel permet d’écarter cette réponse.

EXERCICE 2

(7)

a. _{RAPPEL :} Le symbole $ sert à figer soit une cellule, soit une colonne, soit une ligne lorsqu’on recopie (étend) cette cellule, colonne ou ligne.

Voici quatre exemples :

• $A$1 fige la cellule A1 (en cas de copie de cette cellule) ;

• $A1 fige la colonne A (en cas de copie de la formule, seule la ligne évolue dans la référence) ;

• A$1 fige la ligne 1 (en cas de copie de la formule, seule la colonne évolue dans la référence).

Les formules « = MOD (A2 ; 2) » et « = MOD (A2 ; B$1) » peuvent être insérées en B2.

b. Jules peut utiliser ce tableau en le complétant vers le bas, jusqu’à 99 pour les colonnes A à F, et en cherchant une ligne pour laquelle tous les restes sont égaux à 1 (dans les colonnes B à F).

Ce sera le cas lorsque le nombre écrit dans la colonne A sera égal à 61 (et également à 1 !).

RAPPEL : Pour prouver qu’une affirmation générale est vraie, il faut la démontrer.

Dans le cas d’une affirmation relative à des objets géométriques, on utilise les propriétés de géométrie. Dans le cas d’une affirmation relative à des nombres, on s’appuie sur le calcul littéral. Pour prouver qu’une affirmation générale est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple (voir tome 1, chap. 15 p. 337-338).

1.

Test

Avec les nombres 5, 4, 3 et 2, on a 5² – 4² – 3²+ 2²= 25 – 16 – 9 + 4 = 4.

Conjecture

Pour tout entier n, on a (n + 3)² − (n + 2)² − (n + 1)²+ ²= 4.

2.

ATTENTION ! Le fait que la conjecture soit vérifiée pour trois séries de nombres (et même pour davantage de séries de nombres) ne suffit pas à prouver qu’elle est vraie. Une démonstration faisant appel au calcul littéral est nécessaire (voir tome 1, chap. 12 p. 259 à 262).

Soit n un nombre naturel.

Calculons S = (n + 3)² − (n + 2)² − (n + 1)²+ n ²

en utilisant l’identité remarquable (a + b)²= a ²+ b ²+ 2 a b S = n ²+ 6 n + 9 – (n ²+ 4 n + 4) – (n ²+ 2 n + 1) + n ² S = n ²+ 6 n + 9 – n ² – 4 n – 4 – n ² – 2 n – 1 + n ² S = n ² – n ² – n ²+ n ²+ 6 n – 4 n – 2 n + 9 – 4 – 1 S = 4

La conjecture est ainsi démontrée.

EXERCICE 3

(8)

1.

_{REMARQUE :} La figure est présentée en perspective. On ne visualise donc pas les figures planes qui la composent telles qu’elles sont dans le plan. Sachant que le solide représenté est un cube, il faut en déduire que chacune de ses faces est un carré, y compris, par exemple, la figure ABCD qui a ici la forme

d’un parallélogramme. Dans le plan, la face supérieure est représentée ainsi :

C J

D K

L A

B I

Pour démontrer que IJKL est un carré, on peut utiliser plusieurs méthodes (propriétés, voir tome 1 p. 478). Par exemple, on peut essayer de prouver que ses quatre côtés sont de même longueur (donc que c’est un losange) et qu’un de ses angles est droit (ce qui en fait un carré).

• Démontrons que IJ = LK.

Dans le triangle ABC, I et J sont respectivement les milieux des côtés [BA] et [BC], donc IJ = AC2 et (IJ) ^// (AC) (propriétés T4 et T5, voir tome 1 p. 477).

De même, dans le triangle ADC, L et K sont respectivement les milieux des côtés [AD] et [DC], donc LK = AC2 et (LK) ^// (AC).

On conclut des deux égalités précédentes que IJ = LK = AC2 . 1 De même, on peut établir que IL = JK = BD2 2

et que (IL) et (JK) sont parallèles à (BD).

ABCD étant un carré, ses diagonales ont la même longueur, donc AC = BD. 3 Des égalités 1 , 2 et 3 , on déduit que IJ = LK = IL = JK.

IJKL est donc un losange (propriété L1, voir tome 1 p. 478).

• Prouvons maintenant que l’angle IJK est droit. On a déjà démontré (IJ) // (AC) et (JK) // (BD).

Or, (AC) et (BD) sont deux diagonales du carré ABCD. Elles sont donc perpendiculaires (propriété C4, voir tome 1 p. 478).

(IJ) parallèle à (AC) et (AC) perpendiculaire à (BD) implique (IJ) perpendiculaire à (BD) (propriété D3, voir tome 1 p. 477).

De même, (JK) parallèle à (BD) et (BD) perpendiculaire à (IJ) implique (JK) perpendiculaire à (IJ).

Donc l’angle IJK est bien un angle droit.

Le losange IJKL a un angle droit. C’est donc un carré.

Autre méthode

Démontrer que IJKL possède des diagonales de même longueur, perpendiculaires et qui se coupent en leur milieu (propriété C3, voir tome 1 p 478).

(9)

Méthode 1

ABCD est un carré de côté 12 cm. Sa diagonale mesure donc 12 2 cm (ce qui peut être établi en utilisant le théorème de Pythagore, voir tome 1, chap. 16 p. 355). Or IJ AC= 2 =6 2 . L’aire du carré IJKL est donc égale (en cm²) à

( )

^{6 2} ²^{= × =}^{36 2} 72^.

Méthode 2

Le carré IJKL est obtenu en enlevant du carré ABCD quatre triangles rectangles isocèles identiques dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm.

L’aire de chacun de ces triangles est égale (en cm²) à 6 6× = 2 18.

Donc aire du carré IJKL = aire du carré ABCD – 4 × aire d’un triangle

= 12² – 4 × 18 = 144 – 72 = 72.

L’aire du carré IJKL mesure 72 cm².

3.

La pyramide AILM est un tétraèdre (toutes ses faces sont des triangles), donc chacune de ses faces peut être considérée comme une base.

Choisissons comme base la face ALI ; la hauteur associée est le segment [AM], donc 𝒜_(ALI)= 6 6× =

2 18 cm².

AM = 6 cm donc 𝒱(AILM)= 18 cm ×6 cm=

3 36 cm

2 3.

Le volume de la pyramide AILM est égal à 36 cm³.

4.

Le volume 𝒱 du solide obtenu est égal à celui du cube initial diminué du volume de huit pyramides identiques à la pyramide AILM,

donc 𝒱⁼¹²³^{– 8}^×³⁶⁼ 1 728 – 288 = 1 440.

Le volume du solide obtenu est donc bien égal à 1 440 cm³.

Compléter un énoncé

CONSEIL : Proportionnalité, voir tome 1, chap. 8 et 9 p. 159 à 214 et tome 2, chap. 12 p. 293 à 326.

1.

_RAPPEL : Pour parler de situation de proportionnalité, il faut tout d’abord préciser quelles sont les deux grandeurs mises en relation. Ici, on peut considérer que l’une des grandeurs est le nombre d’élèves accueillis et que l’autre est le prix payé pour un nombre donné d’élèves. La situation est une situation de proportionnalité s’il existe un même coefficient multiplicatif permettant de passer de chaque nombre de la 1^re suite de nombres (nombre d’élèves) au nombre correspondant de la 2^e suite de nombres (prix payé).

TROISIÈME PARTIE PARTIE A

(10)

précédente. L’énoncé pourrait donc être complété par la phrase : « Le guide tarifaire indique que le prix payé par élève est le même, quelle que soit la taille du groupe. »

2.

Pour que la situation ne soit plus une situation de proportionnalité, il suffit de faire en sorte que la condition précédente ne soit plus satisfaite. L’énoncé pourrait donc être complété par la phrase : « Le guide tarifaire indique que, jusqu’à 25 élèves, le prix payé par élève est le même.

Pour les élèves suivants, entre le 26ê et le 50ê, une réduction de 2 € par élève est appliquée et, à partir du 51ê, la réduction passe à 3 €. »

Institutionnalisation de la proportionnalité

REMARQUE : L’expression utilisée dans l’énoncé « institutionnalisation de la proportionnalité ci-dessous » n’est pas très claire. Sans doute faut-il comprendre « institutionnalisation des propriétés de la proportionnalité utilisées dans les exemples ci-dessous ».

1.

Dans l’exemple 1, la propriété caractéristique illustrée est celle relative au coefficient de proportionnalité : les valeurs prises par la 2^e grandeur (prix en €) sont obtenues en multipliant les valeurs correspondantes de la 1^re grandeur par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité.

2.

Dans l’exemple 2, la propriété caractéristique illustrée est celle relative à l’aspect multi- plicatif de la linéarité (appelé aussi propriété d’homogénéité) : quand une valeur relative à l’une des grandeurs est multipliée ou divisée par un nombre, la valeur correspondante relative à l’autre grandeur est multipliée ou divisée par le même nombre.

3.

Dans l’exemple 1, le rapport entre les nombres désigne le coefficient de proportionnalité : c’est le coefficient multiplicatif qui permet de calculer les nombres de la 2^e suite à partir de ceux de la 1^re suite.

Dans l’exemple 2, le rapport entre les nombres désigne un rapport scalaire (ou rapport de linéarité) : il associe deux nombres de la 1^re suite et les deux nombres correspondants de la 2^e suite.

REMARQUE : Le coefficient de proportionnalité est unique, alors qu’il existe plusieurs rapports scalaires.

Dans l’exemple 2 :

• le rapport scalaire (× 2) associe 4 gâteaux à 8 gâteaux et 6 € à 12 € ;

• le rapport scalaire (÷ 2) associe 4 gâteaux à 2 gâteaux et 6 € à 3 €.

PARTIE B

(11)

n’est pas vérifiée.

Pour mettre en évidence que la situation n’est pas une situation de proportionnalité, on aurait pu utiliser également :

• la propriété additive de la linéarité :

pour les stylos → 6 = 3 + 3, alors que pour les prix → 6 ≠ 5 + 5 (le prix de 6 stylos (6 €) n’est pas égal à la somme du prix de 3 stylos + 3 stylos (10 €)) ;

• le coefficient de proportionnalité :

il n’existe pas de coefficient multiplicatif unique permettant d’associer chaque quantité de stylos à chaque prix.

REMARQUE : D’autres propriétés, comme celles des « rapports égaux » ou du « produit en croix », peuvent aussi être évoquées (voir tome 1, chap. 8 p. 164-165). Elles ne seront toutefois enseignées qu’au collège.

Analyse de productions d’élèves

Les productions sont classées en fonction des propriétés de la proportionnalité mobilisées, avec des éléments d’analyse :

• aspect additif de la linéarité

Émeric utilise correctement cette propriété et conclut par une phrase qui répond à la question posée.

• aspect multiplicatif de la linéarité

Auriane et Kévin utilisent correctement cette propriété et concluent par une phrase qui répond à la question posée. Tous deux mobilisent cette propriété pour d’abord chercher le nombre d’œufs pour 1 personne. Cette procédure est souvent dénommée « passage par l’image de l’unité » ou encore « règle de trois » (voir tome 2, chap. 12 p. 299).

On peut noter qu’Auriane effectue les calculs pas à pas, en suivant les étapes de son raisonnement. Elle maitrise le calcul avec les nombres décimaux et n’est pas gênée par le fait que le premier calcul aboutit à 0,75 œuf.

Kévin fait le même raisonnement, mais résume ses calculs en une seule écriture qui n’en suit pas les différentes étapes. Il écrit « 6 × 20 ÷ 8 » qu’il considère, à raison, comme égale à (6 ÷ 8) × 20. Cela lui permet d’éviter le recours à des nombres décimaux.

• procédure erronée liée à l’obstacle additif (voir tome 2, chap. 12 p. 302-303)

Nicolas utilise une propriété fausse classique : si on ajoute 12 personnes, il faut ajouter le même nombre d’œufs. On parle souvent à ce propos d’obstacle additif, dans la mesure où le dépassement de cette difficulté est indispensable pour accéder à une première compréhension de la proportionnalité.

PARTIE C

(12)

CONSEIL : Pourcentage, voir tome 1, chap. 9 p. 191 à 198 et tome 2, chap. 12, entrainement 2 p. 306-307.

1.

La notion de pourcentage est une application de la proportionnalité. Ici, par exemple, l’expression 40 % signifie qu’on considère que sur 100 ouvrages 40 sont des romans, avec une hypothèse de proportionnalité entre nombres d’ouvrages et nombres de romans.

REMARQUE : C’est grâce à ce type d’exercice que les élèves de fin d’école primaire peuvent traiter des problèmes où interviennent des pourcentages, sans avoir recours à des formules qui ne seront enseignées qu’au collège.

2.

^a. Paul justifie son résultat par le fait que 50 % est à mi-chemin entre 40 % et 60 %. Il semble considérer, à tort, que si on réunit les deux médiathèques qui comportent, l’une 40 % de romans (donc 10 % de moins que 50 %), et l’autre 60 % de romans (donc 10 % de plus que 50 %), il y a une sorte de compensation.

REMARQUE : La réponse de Paul peut aussi être interprétée comme le calcul de la moyenne des pourcentages, ce qui n’est correct que si les deux pourcentages s’appliquent au même effectif (voir question suivante b).

b. Le raisonnement de Paul serait correct si les deux médiathèques comportaient le même nombre d’ouvrages.

Si on considère que chacune possède 4 000 ouvrages, 40 % de ce nombre correspond à 1 600 romans pour la médiathèque Jean-Jaurès et 2 400 romans pour la médiathèque George Sand ; soit un total de 4 000 romans pour 8 000 ouvrages, donc 50 % de romans parmi tous les ouvrages de la ville.