Université A. Mira de Béjaia Faculté de la Technologie Département ST2
Année 2011/2012
Les séries de TD de Maths 5
Série I
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Exercice
:::1 :
Soit (π) un plan affine rapporté à un repère or- thonormé direct. Déterminer l’ensemble (Γ) des points d’affixesz de (π) tels que :
i) |z−1|=|z−(1 +√ 3) +i|
ii) z2−(1 +i)2 =z2−(1−i)2 iii) z+ 3z = (2 +i√
3)|z|.
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Exercice
:::2 :
Caractériser l’ensemble des points M(z) du plan complexe tels que :
i) |z|<√ 2
ii) 1<|z+ 2i|<2 iii) π
3 ≤arg(z)≤ π 2 .
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Exercice
:::3 : Soit
f(z) := iz3+ (2i−1)z2 −(i+ 4)z+ 3(2i−1) etr un nombre réel.
1) Calculer Re(f(r)) etIm(f(r)).
2) Résoudre l’équation f(z) = 0 dans C sa- chant qu’elle possède une racine réelle.
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Exercice
:::4 :
Résoudre dansC les équations suivantes : 1) z2+ 4z+ 16 = 0
2) z8+ 4z4+ 16 = 0.
Série II
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Exercice
:::1 :
En aérodynamique et en mécanique des fluides, les fonctionsφ etψ dans l’expressionf =φ+iψ, où f est une fonction holomorphe sur C sur C, s’appellent respectivement :potentiel des vitesses etfonction courant.
Supposons que φ(x, y) = x2+ 4x−y2+ 2y.
— Déterminer l’expression deψ(x, y)en fonction dex et dey, puis en déduire l’expression de f(z) en fonction dez.
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Exercice
:::::::::::::::::::::::::::::::2(Exercice additionnel):
Soitf une fonction holomorphe surC dont l’ex- pression algébrique est donnée par :
f(z) = P(x, y) +i Q(x, y),
oùz =x+i y (x, y ∈R), P = Ref et Q= Imf. On donne :P(x, y) = ex(xcosy−ysiny).
1) Déterminer l’expression de Q(x, y)en fonc- tion dex et de y.
2) En déduire l’expression de f(z) en fonction dez.
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Exercice
:::3 :
La formule intégrale de Cauchy annonce ce qui suit :
Soit f une fonction holomorphe sur un ouvert D de C qui contient un chemin ferméγ et soit a un point du plan complexe se trouvant à l’intérieur de γ. Alors, on a :
f(n)(a) = n!
2πi I
γ
f(z) (z−a)n+1 dz,
où l’on a supposé que γ est orienté positivement.
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1) En utilisant la formule intégrale de Cauchy montrer que l’on a pour toutt ∈ R et tout n∈N :
(tn n!
)2
= 1 2π i
I
γ
tnetz n!zn+1 dz ,
où γ est un contour fermé entourant l’ori- gine (supposé orienté positivement).
2) En déduire que l’on a pour tout t∈R :
∑∞ n=0
(tn n!
)2
= 1 2π
∫ 2π 0
e2tcosθdθ.
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Exercice
:::4 :
Déterminer le domaine d’holomorphie de chacune des fonctions suivantes :
1) f(z) =zk (k ∈Z).
2) f(z) = x
x2+y2−i y
x2+y2 (avecz =x+i y, x, y ∈R).
3) f(z) =z|z|2.
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Exercice
:::5 :
Sur chacun des domaines suivants, trouver un dé- veloppement en série de Laurent valable pour la fonction :
f(z) = z2−1 (z+ 2)(z+ 3).
i) |z|<2, ii) 2<|z|<3,
iii) |z|>3.
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Exercice
:::6 :
Déterminer le développement en série de Laurent de la fonctionf définie ci-dessous autour du point singulier indiqué en précisant la nature de ce point singulier.
f(z) = cosz
z−π , z0 =π .
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Exercice
:::7 :
Soitf la fonction d’une variable complexe définie par :
f(z) = z2 z2+z−2.
1) Déterminer le domaine d’holomorphie de f.
2) Déterminer les points singuliers def en pré- cisant la nature de chacun d’entre eux.
3) Calculer H
γf(z)dz, où γ est le cercle défini par :
i) |z+i|= 3, ii) |z|=√
2.
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Exercice
:::8 : Montrer que l’on a :
1)
∫ 2π
0
cos 3θ
5−4 cosθ dθ = π 12, 2)
∫ +∞ 0
x2
x4+ 1dx= π 2√
2.
FIN
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