Université A. Mira de Béjaia Faculté de la Technologie Département ST2
Année 2012/2013
TD de Maths 5
Série I
Exercice 1 :
Soit (P) un plan affine rapporté à un repère orthonormé direct.
1) Dans chacun des cas suivants, déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’en- semble Γdes points d’affixe z de (P) vérifiants :
i) |z−2|=|z−i|; ii) |z+ 2i|=|z+i−1|. 2) Soit ∆ l’ensemble défini par :
∆ ={M(x, y)∈(P) :AM +BM = 10}, avec A(3,0)etB(−3,0).
i) Définir l’ensemble ∆sous forme complexe.
ii) Tracer ∆.
Exercice 2 :
Dans chacun des cas suivants, déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble des points du plan complexe dont les affixes z vérifient :
i) |z−i| ≤4; ii) 1<|z+ 2i|<3; iii) 0<|z| ≤2; iv) π
3 ≤Arg(z)≤ π 2. Exercice 3 :
Soit :
f(z) =iz3+ (1 + 4i)z2+ 3iz−1−8i (z ∈C) et r un nombre réel.
1) Calculer Re(f(r)) etIm(f(r)).
2) Résoudre l’équation f(z) = 0 sachant qu’elle admet une racine réelle.
Exercice 4 :
Résoudre dansC chacune des équations suivantes : 1) z2+iz−1 +i= 0;
2) z10+iz5−1 +i= 0.
B. Farhi http://farhi.bakir.free.fr/
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Série II
Exercice 1 :
Soit f une fonction holomorphe sur C, donnée par sa forme algébrique : f(z) = u(x, y) +iv(x, y),
oùz =x+i y,u = Ref etv = Imf. On donne :
v(x, y) =x2−y2+ 2xy−2x+y+ 5.
1) Déterminer u(x, y) sachant que f(1−i) = 0.
2) Ecrire f(z)en fonction de z.
Exercice 2 :
1) En utilisant une paramétrisation adéquate, calculerH
C z2
z−1dz, oùC désigne le cercle de centre Ω(1) et de rayon 1, orienté positivement.
2) En utilisant des paramétrisations, calculer l’intégrale H
Cz dz dans les deux cas suivants : i) C est le cercle de centre Ω(2) et de rayon 3, orienté positivement.
ii) C est le carré (OABC), avec O(0), A(1), B(1 +i)et C(i), orienté positivement.
3) Montrer que l’intégrale ∫1−i
3i 2z dz est indépendante du chemin joignant le point 3i au point (1−i).
— Calculer cette intégrale.
Exercice 3 :
En se servant de la formule intégrale de Cauchy, calculer les intégrales curvilignes suivantes : i)
I
C
z2+z+ 1
z−2 dz, où C désigne le cercle de centre O et de rayon 5, orienté positivement.
ii) I
γ
eiz
z3 dz, oùγ désigne le carré de sommets 1 +i,−1 +i, −1−i,1−i, orienté positivement.
iii) I
C
z+ 1
z(z−i)2 dz, où C désigne le cercle de centreO et de rayon 2, orienté positivement.
+ Pour la dernière intégrale, effectuer d’abord la décomposition en éléments simples.
Exercice 4 :
Déterminer le développement en série de Laurent de chacune des fonctions suivantes autour du point singulier indiqué et préciser la nature du point singulier en question ainsi que le résidu en ce point.
i) f(z) = ez+e−z−2
z2 ; z = 0.
ii) f(z) = 1
z2(1−z)3 ; z = 0.
iii) f(z) =z3cos (1
z )
; z = 0.
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Exercice 5 :
Soit f la fonction complexe à variable complexe, définie par : f(z) := 1
z2(z2 + 1).
1) Déterminer les singularités de f tout en précisant la nature de chacune d’entre elles.
2) Calculer les résidus de f en chacune de ses singularités.
3) En utilisant le théorème des résidus, calculer I
C
f(z)dz dans chacun des deux cas suivants : i) C est le cercle de centre O et de rayon 2, orienté positivement.
ii) C est le cercle de centre Ω(12i)et de rayon 1, orienté positivement.
Exercice 6 :
Soit f la fonction complexe à variable complexe définie par : f(z) := z2
z4−1.
Pour toutR > 0, on note par CR le cercle de centreO et de rayon R, orienté positivement.
1) En utilisant la majoration bien connue du module d’une intégrale curviligne, montrer que :
R→lim+∞
I
CR
f(z)dz = 0.
2) Retrouver ce résultat en utilisant plutôt le théorème des résidus.
Exercice 7 :
En utilisant le théorème des résidus, calculer les intégrales réelles suivantes : i)
∫ +∞ 0
x2
(x2+ 1)2dx . ii)
∫ 2π 0
dθ 2 + cosθ . Exercice 8 :
Montrer que l’on a pour tout a >0:
∫ +∞
0
cosax
x2+ 1dx = π 2e−a. + Introduire l’intégrale curviligne
I
CR
eiaz
z2 + 1dz, où CR (R >0) désigne le contour fermé (orienté positivement) constitué du segment [−R, R] et et du demi-cercle supérieur de centre O et de rayon R et utiliser le lemme de Jordan pour conclure.
B. Farhi http://farhi.bakir.free.fr/
