TD no5 Fonctions usuelles ECO1 LMA 2016/17
Exercice 1 (carrée et exponant fractionnaire) 1. Écrire à l’aide d’une puissance de 2 : √
2 ; 2√ 2 2 ;
√2
2. Écrire à l’aide de√
x:x12; x32;x−12 Exercice 2 (Logarithme et exponentielle)
1. Exprimer uniquement à l’aide de ln 2 : ln(8) ; ln(√
2) ; ln 6−ln 3 ; ln(2e2)−2.
2. Simplifier lorsque c’est possible : ex2
e2x; ex2−(ex)2; ex2+2x
e(x+1)2 ; ln(2x)
lnx ; e2 lnx; ln(2x)−lnx; ln 1
x2
. 3. Mettre sous forme exponentielle : 2x;x3;xy.
Exercice 3 (Comparaisons successives) 1. Montrer que : ∀x>0,
r 1 x+ 3 6
r 1 x+ 1. 2. Montrer que : ∀x∈R, e2x+16e(x+1)2. 3. Encadrer les expressions suivantes :
(a) e(1−x)2 sur [2; 4]
(b) x2sur [−1; 1]
(c) 1
ln(1−x2) sur ]0; 1[
Exercice 4 (Équations)
Résoudre les équation suivantes.
1. ln(1 +ex) = 2 2. (1 + lnx)2= 4 3. √
1−lnx= 2 4. |lnx|= 1
5. |ex|= 1
6. (lnx)2+ 3 lnx+ 2 = 0.
7. ex+ e−x= 2 (X = ex) Exercice 5 (Inéquations)
Résoudre les inéquations suivantes.
1. ln(2x)61 2. x2>0 3. e3x−161
4. 1 ex+ 1 <1 5. 2x63 6. 32x+1>1 Exercice 6 (Etude de fonction)
Soitf définie surRparf(x) = x
x2+x+ 1. On désigne parCf sa courbe représentative.
1. Justifier quef est bien définie et surR. 2. Étudier les variations def surR.
3. Représenter l’allure de Cf en tenant compte des résultats des questions précédentes. La fonction est-elle paire ? Impaire ?
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Exercice 7 (Inégalités et études de fonction)
1. (a) Déduire de l’inégalité ∀x∈R, ex>1 +xvue en cours, que :∀x∈R+, ex>1 +x+12x2. (b) En utilisant la même méthode, déduire que :∀x∈R+,ex>1 +x+12x2+16x3.
(c) Sauriez-vous généraliser ?
2. Soient a et b deux réels strictement positifs. Étudier les variations de la fonction f définie surR∗+ par f(x) = a
x+x
b. Déduire que :∀x >0, a x+x
b >2pa
b
Exercice 8 (Inégalités et études de fonction) Soitf définie parf(x) = ex
(1 + ex)2 1. DéterminerDf.
2. Démontrer quef est paire.
3. Démontrer quef est dérivable surRet montrer que∀x∈R, f′(x) = ex(1−ex) (1 + ex)3 . 4. Donner le tableau des variations de f.
5. Démontrer que :∀x∈[0,+∞[, −13 6f′(x)60.
6. Montrer :∀x∈[0,+∞[, −13x+14 ≤f(x). (on pourra poserg(x) =f(x)−(−13x+14)et étudier la fonction g)
Exercice 9 (Bijection)
Soit th la fonction définie surRpar th(x) = eexx−+ee−−xx
1. Montrer que th(x) = ee2x2x−+11
2. Résoudre l’équation th(x) =y en fonction des valeurs dey.
3. En déduire que th est une bijection de Rvers un ensemble à préciser.
Exercice 10 (Application à l’économie)
On estime que le nombre d’abonnés à une revue littéraire peut être modélisé par la fonction a définie par a(p) =−0.4p2−5p+ 13000, où pest le prix de l’abonnement annuel en euros (p∈[0; 150]).
La recette est le montant total des abonnements annuels perçus par l’éditeur. Calculer la recette maximale en précisant le nombre d’abonnés correspondant à cette situation.
Exercice 11 (Application à l’économie)
Le bénéfice en milliers d’euros que réalise une entreprise lorsqu’elle fabrique et vendxcentaines d’objets (pour xcompris entre 0 et 6) est donné parB(x) = (200x−300)ex−1+ 10.
Déterminer le bénéfice maximal ainsi que le nombre d’objets qui correspond à cette situation.
Exercice 12 (Application à l’économie)
On considère un objet dont le prix unitaire estxen centaines d’euros. D’après une étude de marché, l’offreO et la demandeD pour cet objet, en centaines d’unités sont définies pour toutx>0 par :
O(x) = e0.7x−1 et D(x) = 14
e0.7x+ 1. Calculer le prix d’équilibre.
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Exercice 13 (Adapté d’Ecricome 2003)
On définit les fonctionschetshpar : ch(x) = ex+ e−x
2 et sh(x) =ex−e−x 2 Soit alorsf la fonction définie par f(x) = x
sh(x) 1. Étude des fonctions sh etch
(a) Quels sont les ensembles de définition de ch et sh ? (b) Étudier la parité de ch et sh.
(c) Étudier les variations de sh surRpuis déduire son signe surR.
(d) Étudier les variations de ch.
(e) Montrer que :∀x∈R,ch(x)>sh(x).
(f) Tracer sur un même graphique les allures de ch et sh.
2. Étude de la fonction f
(a) Donner l’ensemble de définition def puis étudier sa parité.
(b) On pose :∀x∈R+, g(x) = sh(x)−xch(x). Étudier les variations deg puis déduire son signe.
(c) En déduire les variations def surR.
(d) En tenant compte de toutes les informations à votre disposition, tracer l’allure de la courbe def sur R.
3. Quelques formules
(a) Montrer que∀x∈R,ch2(x)−sh2(x) = 1.
(b) Montrer que∀(a, b)∈R2,ch(a) ch(b) + sh(a) sh(b) = ch(a+b).
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