Corrigé – Groupement académique 3 – Mathématiques (2014)

(1)

Problèmes

Optimisation du volume d’un moule

1.

Appelons x la longueur, exprimée en cm, du côté du carré découpé.

x ne peut pas être supérieur à 5, donc les graphiques 1 et 3 ne conviennent pas.

Pour x = 3,5 on constate que le graphique 2 donne une valeur d’environ 30 cm³ pour le volume, alors que le graphique 4 donne une valeur supérieure à 40 cm³. Le calcul exact du volume pour 3,5 permettra de déterminer le graphique qui représente le volume du moule en fonction de la longueur du côté découpé.

Si x = 3,5 (en cm) les dimensions du moule sont : 3,5 ; 3 (car 10 – 2 × 3,5) ; 3 et son volume (en cm³) est égal à : 3,5 × 3 × 3 = 31,5.

C’est donc le graphique 2 qui convient, puisque l’énoncé indique qu’un des graphiques représente le volume du moule.

2.

Le graphique 2 présente un maximum en un point dont les coordonnées sont approxima‑

tivement (1,7 ; 73). Cette lecture permet donc de conclure que le volume maximal est obtenu quand le côté du carré découpé est compris entre 1 et 2 cm.

Optimisation de la disposition des moules sur les plaques de cuisson

CONSEIL : Voici deux méthodes pour répondre à cette question :

1. Procéder par essais successifs, en augmentant progressivement le nombre de moules. C’est possible ici car les dimensions de la plaque ne sont pas très

« grandes ».

2. Utiliser le calcul littéral.

Méthode 1

Si on aligne 3 moules, il faut : 1 cm + 7 cm + 1 cm + 7 cm + 1 cm + 7 cm + 1 cm = 25 cm, soit (3 × 7) + (4 × 1) (1 cm correspond à l’espace entre deux moules ou un moule et le bord de la plaque).

corrigés

PREMIÈRE PARTIE PARTIE A

PARTIE B

académique 3, de la session 2014. L’énoncé est téléchargeable gratuitement, au format pdf, sur le site du ministère de l’Éducation nationale.

http://cache.media.education.gouv.fr/file/sujets_2014/18/4/PE2-14-2-PG3_318184.pdf

Ces corrigés sont conformes aux règles de la nouvelle orthographe.

ier 2014 - Hatier concours

(2)

Si on aligne 5 moules il faut : (5 × 7) + (6 × 1) = 41 cm.

Le pâtissier pourra donc placer dans la longueur de la plaque (70 cm), au maximum 8 moules et dans la largeur (40 cm), 4 moules ; soit un total de 32 moules (8 × 4).

Méthode 2

Soit n le nombre de moules maximum que l’on peut placer sur une plaque.

Pour n moules, la longueur totale en cm occupée par les moules, les espaces entre les moules, et les espaces entre les moules et les bords de la plaque est : n × 7 + (n + 1) × 1 = 8 n + 1.

(n + 1) × 1 correspond à la longueur totale des espaces entre deux moules ou entre un moule et le bord ; il y a en effet un intervalle de plus que de moules.

Pour la longueur de la plaque, il faut donc trouver l’entier n le plus grand possible, tel que 8 n + 1 ≤ 70, donc 8 n ≤ 69. Donc n est le quotient de la division euclidienne de 69 par 8, c’est-à‑dire 8.

Pour la largeur de la plaque, il faut donc trouver l’entier n le plus grand possible, tel que 8 n + 1 ≤ 40, donc 8 n ≤ 39. Donc n est le quotient de la division euclidienne de 39 par 8, c’est-à‑dire 4.

Au total, le pâtissier pourra placer au maximum 8 × 4 = 32 moules.

Optimisation du coût du chocolat

CONSEIL : Proportionnalité, voir tome 1, chap. 8 et 9 p. 159 à 214.

1.

Il y a proportionnalité entre la masse de chocolat et le nombre de personnes.

Il faut 200 g de chocolat pour 4 personnes, ce qui représente 50 g pour 1 personne.

Donc pour 17 personnes, il faut 50 g × 17 = 850 g de chocolat.

REMARQUE : On utilise ici le retour à l’unité, également appelé « règle de trois » (voir tome 1, chap. 8 p. 169).

2.

a. Le particulier doit acheter 850 g de chocolat en ne choisissant qu’un seul type de tablettes.

On peut établir un tableau pour faciliter les comparaisons. À noter qu’il est inutile de calculer le prix correspondant aux tablettes « Saveur » et « À cuisiner » car elles sont forcément plus chères que la tablette « Pâtissier » (prix supérieur pour une même masse).

Type de tablettes Nombre de tablettes nécessaires Prix Dégustation 6 (car 6 × 150 g = 900 g et 5 × 150 g = 750 g) 2,10 € × 6 = 12,60 € Pâtissier 5 (car 200 g × 5 = 1 000 g et 200 g × 4 = 800 g) 2,62 € × 5 = 13,10 € Intense 9 (car 100 g × 9 = 900 g et 100 g × 8 = 800 g) 1,36 € × 9 = 12,24 € Le chocolat « Intense » est le plus avantageux.

PARTIE C

(3)

C’est le chocolat « Pâtisser », mais le conditionnement de ce dernier oblige à en acheter 150 g de plus que la quantité souhaitée, alors qu’on n’achète que 50 g de chocolat « Intense » en plus.

b. CONSEIL : Appliquer un pourcentage, voir tome 1, chap. 9 p. 192.

Nouveau prix avec les tablettes « Dégustation » : 12,60 € × (1 – 0,05) = 11,97 €.

Le choix de ces tablettes devient plus avantageux.

RAPPEL : Pour prouver qu’une affirmation générale est vraie, il faut la démontrer.

Dans le cas d’une affirmation relative à des objets géométriques, on utilise les propriétés de géométrie. Dans le cas d’une affirmation relative à des nombres, on s’appuie sur le calcul littéral. Pour prouver qu’une affirmation générale est fausse, il suffit de trouver un contre-exemple (voir tome 1, chap. 15 p. 337-338).

1. Affirmation 1

Voici un contre-exemple prouvant que cette affirmation est fausse : Dimensions

du rectangle en cm Aire en cm² Périmètre en cm longueur : 8

largeur : 1 8 × 1 = 8 (8 + 1) × 2 = 18 longueur : 5

largeur : 3 5 × 3 = 15 (5 + 3) × 2 = 16

Le second rectangle a une aire plus grande que le premier et pourtant son périmètre est plus petit, donc l’affirmation 1 est fausse.

2. Affirmation 2

REMARQUE : On suppose ici que les sacs de ciment sont vidés dans les cubes.

En effet, s’ils ne le sont pas, on ne peut pas répondre car on ne connait pas leur forme !

Le cube de 1 m de côté a un volume de 1 m³= 1 000 dm³.

Si 40 sacs permettent de remplir ce cube, cela signifie qu’un sac a un volume en dm³ : 1 000 ÷ 40 = 25 dm³.

Donc 5 sacs correspondent à un volume de 25 cm³ × 5 = 125 dm³.

Le cube de 50 cm de côté a un volume de 50 cm × 50 cm × 50 cm = 125 000 cm³= 125 dm³. Donc l’affirmation 2 est vraie.

DEUXIÈME PARTIE EXERCICE 1

(4)

CONSEIL : Numération de position de base quelconque, voir tome 1, chap. 2 p. 26 à 28.

CONSEIL : Si on fait quelques essais, on n’arrive pas à trouver de contre-exemple.

Cela ne suffit évidemment pas pour prouver que cette affirmation est vraie ! Pour démontrer la conjecture, il faut utiliser le calcul littéral.

Le fait d’appeler A et B les deux nombres ne permet pas d’exploiter les données. Il faut faire intervenir les chiffres utilisés pour écrire ces nombres.

Posons A = du en base dix ; on a donc A = 10 d + u.

On a B = ud (d’après les données), donc B = 10 u + d.

A + B = 10 d + u + 10 u + d A + B = 11 d + 11 u = 11 (d + u).

d + u est un nombre entier, donc 11 (d + u) est un multiple de 11, donc A + B est un multiple de 11.

L’affirmation 3 est donc vraie.

4. Affirmation 4

CONSEIL : Problèmes d’augmentation et de diminution en pourcentages, voir tome 1, chap. 9 p. 193 à 196.

CONSEIL : On va prouver que cette affirmation est fausse en exhibant un contre-exemple.

On suppose que la masse de l’ourson est de 100 kg au début de l’hiver et de 70 kg à la fin de l’hiver.

Au printemps, il pèse : 70 kg × 1,30 = 91 kg.

L’affirmation 4 est fausse.

REMARQUE : Cette différence vient du fait que le pourcentage d’augmentation (1) ne s’applique pas au même nombre que le pourcentage de diminution (2).

Dans notre exemple, le pourcentage (1) s’applique à 70 kg et le pourcentage (2) à 100 kg.

5. Affirmation 5

CONSEIL : Section d’un solide par un plan, voir tome 1, chap. 19, entrainement 26 p. 431.

Méthode 1

Trouvons un contre-exemple.

On considère un cône de hauteur 6 cm et de rayon 2 cm.

Son volume est 𝒱⁼^{2 cm 2 cm}^× ₃^{× π ×}^{6 cm}^{= π}^{8 cm}³^.

S’il est rempli à mi-hauteur, le volume de l’eau correspond à un cône de hauteur 3 cm et de rayon r = 1 cm.

Son volume 𝒱′⁼^{1 cm 1 cm}^× ₃^{× π ×}^{3 cm}^{= π}^cm³^.

r 2 cm

3 cm6 cm

(5)

CONSEIL : On peut calculer le rayon du cône de hauteur 3 cm correspondant au volume de l’eau en utilisant le théorème de Thalès :

en cm, r = 2

3

6 donc r = 1.

Méthode 2

Le cône correspondant au volume de l’eau est une réduction du cône de départ.

Le coefficient de réduction est 1/2.

Donc le volume est réduit de (1/2)³= 1/8 et non 1/2 (voir tome 1, chap. 20 p. 451).

L’affirmation 5 est fausse.

1.

Il faut convertir la vitesse en m/s.

100 km/h = 100 000 m/h

= =

100 000

3600 m/s 1000

36 m/s 250 9 m/s

CONSEIL : Comme cette fraction n’est pas un nombre décimal, pour une meilleure précision du résultat, on a intérêt à garder l’expression sous forme de fraction : 100 km/h=250

9 m/s.

1 T = 1 000 kg

En joules, = × ×   E 1 

2 1000 250

c 9

2 donc E =31250 000

81 J

c .

On peut donner une valeur approchée de E_c à une unité près : 385 802 J.

CONSEIL : Il n’est pas précisé qu’il faut donner une valeur approchée. On a alors intérêt à donner une valeur exacte, et éventuellement, donner ensuite une valeur approchée en indiquant sa précision.

2.

Méthode 1

La formule indique que l’énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse, donc pas à la vitesse.

Méthode 2

Si on double la vitesse, l’énergie cinétique est multipliée par 4 ; donc la propriété multiplicative de la linéarité n’est pas respectée ; donc l’énergie cinétique n’est pas proportionnelle à la vitesse.

REMARQUE : On peut aussi se placer dans un cas particulier : si m = 10 kg et v = 3 m/s, alors en J : E_c= ×1 × =

2 10 3² 45. Doublons la vitesse, on a alors en J : E_c′ = ×1 × =

2 10 6² 180. L’énergie cinétique a été multipliée par 4 et non par 2.

EXERCICE 2

(6)

CONSEIL : Probabilités, voir tome 1, chap. 11 p. 239 à 255.

1.

Méthode 1

Dressons un tableau à double entrée pour recenser tous les cas possibles : 1^er enfant

2^nd enfant Garçon (G) Fille (F)

Garçon (G ; G) (F ; G)

Fille (G ; F) (F ; F)

Ici, les « résultats » sont équiprobables, donc on peut appliquer la formule (voir tome 1, chap. 11 p. 241) :

nombre de résultats favorables à la réalisation de l’évènement.

nombre de résultats possibles Nombre de résultats favorables : 1.

Nombre de résultats possibles : 4.

Probabilité d’avoir deux garçons : 1/4.

Méthode 2

On décompose l’évènement E « Avoir deux garçons » en l’intersection de deux évènements :

• E₁ : « Avoir un garçon pour 1^er enfant » ;

• E₂ : « Avoir un garçon pour 2^nd enfant ».

E₁ et E₂ étant des évènements indépendants (le résultat de l’un n’a aucune influence sur le résultat de l’autre) (voir tome 1, chap. 11 p. 243), on a :

p(E)¹= p(E₁ et E₂) = p(E₁) × p(E₂).

p(E₁) = 1/2 car on suppose qu’un nouveau-né sur deux est un garçon, et p(E₂) = 1/2,

donc = × =1

p(E) 12 1 4

2 .

La probabilité d’avoir deux garçons dans une famille de deux enfants est 1/4.

2.

La lecture du graphique permet de constater que plus on interroge de familles, plus la fré‑

quence de l’évènement « Avoir deux garçons » se rapproche de 0,25, ce qui correspond à la probabilité d’avoir deux garçons p(E) (voir question 1). Ce constat confirme la théorie selon laquelle : « Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence de n’importe quel évènement de cette expérience finit par se stabiliser autour d’un nombre qui est la probabilité de cet évènement. » (voir tome 1, chap. 11 p. 241)

CONSEIL : Sur l’axe des ordonnées, la fréquence est exprimée en pourcentage.

Il faut donc lire 25,00 %, donc 25 %, donc 0,25.

1. p(E) désigne la probabilité de l’évènement E.

(7)

1.

a. Formule saisie dans la cellule E9 : « =B9+C9+D9 » ou « =SOMME(B9:D9) ».

ATTENTION ! Bien mettre « : » entre B9 et D9 dans la seconde formule afin d’inclure la cellule C9.

b. Formule saisie dans la cellule B14 : « =(B9+B10+B11+B12+B13)/5 » ou « =SOMME(B9:B13)/5 » ou « =MOYENNE(B9:B13) ».

2.

ATTENTION ! La vitesse moyenne sur un parcours ne s’obtient généralement pas en faisant la moyenne des vitesses sur les différentes parties de ce parcours (voir tome 1, chap. 8, entrainement 6 p. 200).

CONSEIL : Pour résoudre des problèmes de vitesse, on dispose de plusieurs méthodes (voir tome 1, chap. 9 p. 189-190) :

1. Utiliser la formule v=d

t où v est la vitesse, d la distance et t la durée (avec des unités adaptées).

2. Utiliser un tableau de proportionnalité à l’aide de la distance parcourue et de la durée du parcours.

3. Dans certains cas, utiliser les propriétés additive et multiplicative de la linéarité en jouant sur la proportionnalité des distances et des durées.

• distance totale du parcours (d) en km : 1,5 + 40 + 10 = 51,5

• durée totale du parcours (t) en min : 25 + 68 + 40 = 133

ATTENTION ! Pour obtenir la vitesse en km/h, il faut convertir les minutes en heures.

t = 133 min = 13360 h

CONSEIL : Cette division ne se termine pas, on garde donc la fraction pour continuer les calculs.

• Sur l’ensemble des trois épreuves, la vitesse moyenne de l’athlète 1 est :

= = × =

v 51,5 13360

51,5 60

133 3090

133 km/h soit environ 23,23 km/h.

CONSEIL : Divisions de fractions, voir tome 1, chap. 5 p. 105.

(8)

En cycle 2

1.

CONSEIL : Problèmes de « multiplication », voir tome 2, chap. 11 p. 250 à 253.

Les procédures dépendent du choix du nombre d’enfants : c’est une variable didactique (voir tome 2, chap. 3 p. 49-50).

• Procédures correctes possibles pour un choix de 3 enfants :

– Procédure figurative : représenter les 3 enfants, et pour chaque enfant, dessiner les 4 bonbons puis dénombrer ces bonbons.

– Procédure additive : ajouter 4 + 4 + 4 ; éventuellement compter de 4 en 4.

– Procédure multiplicative : calculer 3 × 4 en utilisant la table de multiplication.

• Procédures correctes possibles pour un choix de 23 enfants :

– Procédure additive : à condition que les élèves effectuent des regroupements.

4  + 4 + 4  + 4  + 4+4  + 4 + 4  + 4  + 4+4  + 4 + 4  + 4  + 4+4  + 4 + 4  + 4  + 4+4



+



4 +



4

20    +   20    +   20    +    20 + 12

80                  +  12

– Procédure multiplicative : si les élèves la connaissent, utiliser la technique opératoire de 92 la multiplication pour calculer 23 × 4. S’ils connaissent la technique de la multiplication par 10, utiliser (implicitement) la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (par exemple, en effectuant (10 × 4) + (10 × 4) + (3 x 4)).

Ainsi, le passage à 23 enfants : – bloque la procédure figurative ;

– oblige, pour utiliser la procédure additive, à effectuer des regroupements ;

– suppose, pour la procédure multiplicative, que les élèves mobilisent la technique opératoire de la multiplication ou utilisent en acte la propriété de la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.

ATTENTION ! Il ne faut pas se contenter de citer le nom de la procédure, il faut la décrire en la contextualisant à la situation.

2.

CONSEIL : Problèmes de « division », voir tome 2, chap. 11 p. 253 à 256.

Dans les deux cas, les élèves peuvent utiliser les mêmes procédures : procédure figurative, procédure fondée sur l’addition ou la soustraction, procédure multiplicative², procédure mixte (multiplication et soustraction). Par contre, pour l’une d’entre elles, le fait de remplacer 4 aimants par 3 aimants crée une difficulté que nous allons étudier.

2. Il est peu probable que les élèves utilisent la procédure mixte (multiplication et soustraction). Les élèves ne peuvent pas utiliser la procédure de division euclidienne qu’ils ne connaissent pas et ne peuvent inventer !

PARTIE A

(9)

(1^er temps) et de 3 (2^e temps). Il n’y pas, a priori, de difficulté spécifique liée au nombre d’aimants par page dans la mesure où dans les deux cas, il ne reste pas d’aimant.

• Il en est de même pour la procédure additive (ou soustractive) pour laquelle l’élève addi‑

tionne des suites de 4 (respectivement de 3) jusqu’à aboutir à 36. Dans les deux cas, c’est pos‑

sible. Il n’a plus alors qu’à compter le nombre de termes de la somme. Le fait que pour 3 il y ait davantage de termes que pour 4 ne semble pas être une difficulté.

• Par contre, pour la procédure multiplicative, le fait de choisir 4 aimants par image simplifie la procédure : 36 est dans la table de 4, mais il n’est pas dans la table de 3 ³. Dans ce dernier cas, l’élève peut procéder par essais de produits ou par cumul de produits (par exemple, 10 images utilisent 3 × 10 = 30 aimants ; il reste 6 aimants qui permettent d’afficher 2 images, car 3 × 2 = 6 ; donc 12 images au total).

En cycle 3

1. Étude de la production de Lucie

Pour calculer 27 × 8, Lucie effectue deux opérations : 30 × 8 – 24, c’est-à-dire 30 × 8 – 3 × 8 qui est égal à (30 – 3) × 8. Elle utilise donc implicitement la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction.

2. Étude de la production d’Adèle

CONSEIL4 : Pour répondre à cette question, on peut reprendre les étapes de la résolution d’un problème et identifier, pour chacune de ces étapes, les compétences et les erreurs (voir tome 2, chap. 5 p. 76 à 82) :

1. construction d’une représentation du problème ; 2. élaboration d’une procédure ;

3. exécution de la procédure ; 4. communication du résultat.

1. Construction d’une représentation du problème : Adèle a schématisé un certain nombre de données ; l’entrepreneur a deux solutions possibles pour expédier ses colis ; il paie 8 € par colis pour le camion ; elle pense que c’est 420 € par colis pour le bateau, ce qui est une erreur d’interprétation car elle ne prend pas en compte la réduction possible.

2. Élaboration de la procédure : elle est correcte par rapport à la représentation de l’énoncé d’Adèle.

3. Exécution de la procédure : il y a des erreurs au niveau de la gestion des retenues dans la seconde multiplication.

4. Communication du résultat : Adèle répond à la question par une phrase.

3. On parle, bien sûr, des tables de multiplication classiques qui vont de 1 à 9.

4. Ce qui suit n’est pas à rédiger, par contre c’est une réflexion qui facilite les réponses aux questions posées.

Dans tous les cas, il faut commencer par résoudre effectivement l’activité.

PARTIE B

(10)

(voir tome 2, chap. 11, typologie de G. Vergnaud p. 246). On le constate lorsqu’elle calcule le prix de l’expédition des colis par camion ou bateau (même si dans ce dernier cas, il y a une erreur de compréhension de l’énoncé). Comme on dit souvent « elle a le sens de la multiplication ».

Adèle connait bien les tables de multiplication.

Adèle maitrise partiellement la technique opératoire de la multiplication posée (voir question suivante b) : elle effectue les multiplications intermédiaires dans le bon ordre et elle décale correctement le résultat de la seconde multiplication.

Adèle présente sa solution à l’aide d’une phrase.

b. Adèle fait une première erreur au niveau de la construction de la représentation de l’énoncé : elle pense que par bateau le coût est de 420 € par colis.

Ensuite, au niveau de l’exécution de la procédure, Adèle oublie d’additionner la retenue dans la seconde multiplication (dans 420 × 7) et oublie le chiffre des dizaines de milliers dans l’addition des produits intermédiaires (2 840 + 8 400).

REMARQUE : Ici, on ne demande pas d’analyser les erreurs des élèves ; il est donc inutile de le faire.

3. Étude de la production de Noémie

CONSEIL : Comme précédemment, on peut faire l’analyse de la production de Noémie à partir des étapes de la résolution d’un problème.

a. Comme Adèle, Noémie mobilise correctement la multiplication dans le cadre d’un problème de multiplication et maitrise les tables de multiplication.

Noémie sait effectuer une multiplication d’un nombre par un nombre de un chiffre (210 × 7 ; 210 × 2 ; 27 × 8). Elle sait également diviser mentalement 420 par 2.

Noémie présente sa solution à l’aide d’une phrase.

b. Noémie fait d’abord une erreur d’interprétation de l’énoncé dans la mesure où elle considère que le transport par bateau coûte 210 € par colis.

Ensuite, elle commet une double erreur au niveau de la technique opératoire de la multiplica‑

tion par un nombre de deux chiffres : elle ne décale pas d’un rang le second produit et elle se trompe en additionnant les produits intermédiaires (dans 1 470 + 420, le chiffre des milliers

« 1 » se transforme en « 2 »).

« Per Gelosia »

1.

_{REMARQUE :} La question est imprécise. En effet, il est demandé de retrouver le résultat par un calcul en ligne utilisant la distributivité. On pourrait donc avoir 32 × 45 = (30 + 2) × 45 = (30 × 45) + (2 × 45) qui est calculable mentalement.

Mais on peut aussi faire l’hypothèse que la question demande d’illustrer par un calcul en ligne la multiplication « per gelosia »… C’est cette interprétation de l’énoncé que nous avons retenue.

PARTIE C

(11)

que dans la 1^re diagonale (en bas à droite du carré), on place le chiffre des unités de 2 × 5 qui est le chiffre des unités du produit des unités des deux nombres et qui correspond au chiffre des unités du produit. Le chiffre des dizaines va s’ajouter aux autres chiffres des dizaines.

Dans la 2^e diagonale, on place le chiffre des unités des produits 2 × 4 et 3 × 5 (ce sont les chiffres des dizaines de 2 × 40 et de 30 × 5) et le chiffre des dizaines de 2 × 5. Le chiffre des unités de cette somme correspond bien au chiffre des dizaines du produit.

Calcul en ligne illustrant la multiplication « per gelosia » : 32 × 45 = (30 + 2) × (40 + 5)

32 × 45 = 30 × 40 + 30 × 5 + 2 × 40 + 2 × 5 32 × 45 = 1 200 + 150 + 80 + 10

32 × 45 = 1 440

2.

En partant de 32 × 45 = (30 + 2) × (40 + 5), on a 32 × 45 = 30 × 40 + 30 × 5 + 2 × 40 + 2 × 5.

Pour obtenir le chiffre des dizaines du produit, il faut ajouter les chiffres des dizaines des pro‑

duits 2 × 5 (1 dizaine) ; 30 × 5 (5 dizaines) et 2 × 40 (8 dizaines). Avec ce procédé, on obtient 14 dizaines, dont 10 peuvent être regroupées pour former une nouvelle centaine (retenue).

Le chiffre des dizaines (4) correspond donc au chiffre des unités du nombre obtenu (14).

3.

En partant de 32 × 45 = (30 + 2) × (40 + 5), on a 32 × 45 = 30 × 40 + 30 × 5 + 2 × 40 + 2 × 5, donc 32 × 45 = 1 200 + 150 + 80 + 10.

Le nombre de centaines (14) est obtenu comme somme de 12 centaines qui correspondent à 1 200, une centaine provenant de 150 et une autre centaine provenant de la retenue décrite à la question précédente (2).

4.

6 4 2

On trouve 304 950 qui est bien le résultat de 642 × 475.

2 4 1 6 0 8 4

4 2 2 8 1 4 7

3 0 2 0 1 0 5 3

0

4

9 5 0