DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – Combinaisons d’un coffre-fort
Soitn∈N∗. On consid`ere un coffre-fort. Pour l’ouvrir (de mani`ere l´egale), on doit pousser dans un certain ordre lesnboutons de la serrure : chaque bouton n’est pouss´e qu’une seule fois, mais il est possible de pousser simultan´ement plusieurs boutons.
La mod´elisation est effectu´ee de la mani`ere suivante : une n-combinaison est une famille (P1, . . . , Pj) de parties de [[1, n]] (o`u j ∈[[1, n]]), ces parties ´etant deux `a deux disjointes (Pl∩Pk =∅ d`es que l 6=k), toutes non vides, et leur r´eunion est [[1, n]] (autrement dit, ces parties sont toutes non vides, et [[1, n]] en est la r´eunion disjointe).
On notean le cardinal de l’ensemble desn-combinaisons. On pose par conventiona0= 1.
Par exemple, pourn= 1, l’unique n-combinaison est ({1}), eta1= 1.
Pour n= 2, les troisn-combinaisons sont ({1},{2}), ({2},{1}) et ({1,2}) : dans la premi`ere, on pousse le bouton 1 puis le bouton 2, dans la deuxi`eme, on pousse le bouton 2 puis le bouton 1, et dans la troisi`eme, on pousse les deux boutons simultan´ement.
I.1Montrer quean>n!.
I.2 Exhiber les 3-combinaisons au cours desquelles on appuie simultan´ement sur au moins deux boutons.
Donner la valeur dea3. I.3Montrer que :an=Pn
k=1 n k
an−k =Pn−1 k=0
n k
ak.
Indication : on pourra ´ecrire l’ensemble des n-combinaisons comme une union disjointe.
I.4Pour toutn∈N, on posebn=an!n. Montrer, pour toutn∈N∗, que
bn=
n
X
k=1
bn−k k! .
I.5
a Montrer que les suites (index´ees parN∗) de termes g´en´erauxun=Pn k=0
(ln(2))k
k! et vn =un+(ln(2)n!n) sont adjacentes. Onadmet que leur limite commune est 2.
bMontrer que pour tout entier naturel non nuln:bn6 ln(2)1 n.
cSoitn∈N∗. Montrer :un−2>−2ln(2)(n+1)!n+1.
dMontrer que pour tout entier naturel non nuln:bn> 2 ln(2)1 n.
Indication :on pourra proc´eder par r´ecurrence, et, dans l’h´er´edit´e, isoler le terme d’indicen+1 dans la relation bn+1=Pn+1
k=1 bn+1−k
k! .
