Chapitre 1
Équations diérentielles
1.1 Introduction
La plupart des problèmes physiques se modélisent mathématiquement avec des équations diérentielles : le principe fondamental de la dynamique, les circuits électriques, la mécanique des uides, etc.
L'exemple qui nous intéressera particulièrement dans ce cours est l'équa- tion des cordes vibrantes. On fait vibrer légèrement une corde xée aux deux extrémités. L'évolution de la hauteur de la corde en chaque point est donnée par l'équation des ondes :
∂2y
∂x2 =ν2∂2y
∂t2.
En fonction des conditions au bord, des interactions avec l'extérieur et du degré de précision du modèle, cette équation peut se compliquer et d'autres termes peuvent s'ajouter.
Mentionnons également le problème de la conduction thermique qui se ré- sout de façon analogue. L'évolution de la température dans une tige uniforme est donnée par l'équation de la chaleur
∂2T
∂x2 =c∂T
∂t.
La résolution d'une équation diérentielle est un problème souvent dur et très souvent impossible. Trouver une primitive d'une fonction est déjà dicile. L'équation y0 = y par exemple n'a pas de solution exprimable en fonction des fonctions de base (polynômes, cosinus, sinus). On a ainsi donné un nom, l'exponentielle, à l'unique solution valant 1 en 0. Cependant, même
1
2 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES lorsqu'on ne peut pas exprimer les solutions, on peut tout de même décrire les propriétés (variations, limites, etc) des solutions.
1.2 Rappels sur les équations diérentielles
Une équation diérentielle linéaire d'ordrenest une équation diérentielle de la forme
an(x)y(n)(x) +an−1(x)y(n−1)(x) +· · ·+a1(x)y0(x) +a0(x)y(x) =b(x), où les ai etb sont des fonctions.
Par exemplexy(3)+e−2xy00−2y0−6xy= 4−2e2x est une équation dié- rentielle d'ordre 3. La fonction y(x) =e2x en est une solution.
L'équationyy0+ 1 = ln(y00) n'est pas une équation linéaire.
Les équations linéaires jouent un rôle important car ce sont essentielle- ment les seules pour lesquelles on dispose de méthodes de résolution. Mais même pour celles-là, il n'est pas toujours possible d'exprimer les solutions à partir des fonctions usuelles.
C'est le cas par exemple de l'équation de Bessel citée plus haut.
La résolution des équations linéaires repose sur les deux théorèmes sui- vants :
Théorème 1.2.1. Soit E0 une équation diérentielle homogène d'ordre n, c'est-à-dire telle que b(x) = 0 :
(E0) an(x)y(n)(x) +an−1(x)y(n−1)(x) +· · ·+a1(x)y0(x) +a0(x)y(x) = 0.
Alors sur tout intervalle où an ne s'annule pas, l'ensemble des solutions de cette équation est un espace vectoriel de dimension n.
Théorème 1.2.2. Soit E l'équation d'ordre n
(E) an(x)y(n)(x) +an−1(x)y(n−1)(x) +· · ·+a1(x)y0(x) +a0(x)y(x) = b(x).
Soit E0 l'équation homogène associée :
(E0) an(x)y(n)(x) +an−1(x)y(n−1)(x) +· · ·+a1(x)y0(x) +a0(x)y(x) = 0, et soit S0 l'espace vectoriel de ses solutions (sur un intervalle oùan ne s'an- nule pas).
1.3. ÉQUATIONS D'ORDRE 1 3 Soit enn yp une solution particulière de l'équation E.
Alors l'ensemble des solutions de E est l'ensemble S ={yp+y0 | y0 ∈S0}.
Autrement dit, pour résoudre une équation linéaire, on commence par chercher toutes les solutions y0 de l'équation homogène associée, puis on cherche une solution yp de E et on conclut enn que les solutions sont les fonctions de la forme yp +y0.
1.3 équations d'ordre 1
(E) a(x)y0+b(x)y=c(x).
Commençons par résoudre l'équation homogène associée : (E0) a(x)y0+b(x)y= 0.
L'ensemble des solutions de E0 est
S0 ={λe−R ba | λ∈R}.
(La seule diculté est donc de trouver une primitive R b
a de la fonction ba.) Il faut ensuite déterminer une solution particulière de E. Soit on en voit une qui est évidente, soit on peut utiliser la méthode de la variation de la constante. Cette méthode consiste à chercher une solution de la forme de celle que l'on a trouvée dans la première partie et à remplacer la constante λ par une fonction λ(x) : on cherche une solution particulière sous la forme yp(x) = λ(x)e−R ab. On injecteyp dans l'équation E. Certains termes doivent nécessairement se simplier et on aboutit à la condition
a(x)λ0(x)e−R ba =c(x).
Donc λ0 = c
ae−
R b
a. Il reste ainsi à trouver une primitive de c
ae−
R b a.
Il reste enn à conclure : l'ensemble des solutions deE est l'ensemble des solutions de la forme yp+y0 où yp est la solution particulière et les y0 sont les solutions de l'équation homogène.
4 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
1.3.1 équations d'ordre 2 à coecients constants
E ay00+by0+cy=f(x) oùa, b, c sont des constantes réelles.
Là encore, on commence par résoudre l'équation homogène associée : E0 ay00+by0+cy = 0
On associe à cette équation son polynôme caractéristique :aX2+bX+c. On détermine les racines r1 et r2 de ce polynôme. Alors les solutions de E0 (c'est un espace vectoriel de dimension 2) sont données par :
Si r1 6=r2 ∈R :
S0 ={λer1x+µer2x | λ, µ∈R}.
Si r1 =r2 =r∈R :
S0 ={λerx+µxerx | λ, µ∈R}.
Si r1 = ¯r2 =α+iβ ∈C:
S0 ={eαx(λcos(βx) +µsin(βx))| λ, µ∈R}.
Pour chercher une solution particulière, il existe une méthode de la varia- tion de la constante que nous n'étudierons pas ici. Lorsque le second membre
f(x)a une forme simple (polynôme, fonction trigonométrique, polynôme×exponentielle) on cherche une solution particulière de la même forme. En général, on cherche
une telle solution avec un polynôme de même degré quef, mais il faut parfois élever ce degré.
Chapitre 2
Séries numériques, séries de fonctions
Les solutions aux problèmes abordés dans ce cours s'écriront sous forme de séries, c'est-à-dire de sommes innies.
Les séries numériques mériteraient un cours à part entière mais nous n'aurons que le temps d'en survoler la complexité.
2.1 Dénitions
Dénition 2.1.1. Soit (un)n∈N une suite réelle (ou complexe). On appelle série de terme général un, notée P
nun la suite des sommes partielles SN =
N
X
n=0
un.
Si la suite des sommes SN est convergente, on dit que la série converge.
On note alors S =P+∞
n=0un la limite et on l'appelle somme de la série.
Insistons : une série est un objet mathématique faisant appel aux suites et aux limites. Comme pour les suites, la première question qui se pose lorsqu'on étudie une série est : converge-t-elle ?
Si oui, la seconde question est alors : quelle est sa limite ?
Et enn une question importante pour l'ingénieur derrière son ordina- teur : converge-t-elle rapidement ? Combien de termes faut-il sommer pour obtenir une bonne approximation de la somme innie ?
5
6 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES, SÉRIES DE FONCTIONS Il existe des critères pour assurer la convergence ou la divergence d'une série.
Théorème 2.1.1. Soit (un)n une suite. On considère la série P
nun. Si un ne converge pas vers 0, la série diverge.
Si un+1un converge vers l, alors la série converge si 0 6 l < 1 et elle diverge si l >1.
Si∀n, 06un6vnetP
nvn est convergente, alorsP
nun est conver- gente.
Quelques exemples de référence : Proposition 2.1.2. La série P
nxn converge ssi −1 < x < 1. Dans ce cas P+∞
n=0xn= 1−x1 . La série P
n 1
n diverge vers +∞. La série P
n 1
n2 converge et P+∞
n=1 1
n2 = π62. De manière générale P
n 1
nα converge ssi α >1. La série P
n (−1)n
n converge et P+∞
n=1 (−1)n
n = ln(2). Pour tout x∈R, la série P
n xn
n! converge et P+∞
n=0 xn
n! =ex.
Précisons la vitesse de convergence de certains exemples. Il s'agit de me- surer l'erreur commise en tronquant la série. On appelle cela le reste de la série : RN =P+∞
n=N+1un.
Dans le premier exemple, on obtient Rn = P+∞
n=N+1xn = x1−xN+1. Ainsi la convergence de la série vers sa limite 1−x1 est enxN (avec|x|<1). C'est une convergence rapide.
RegardonsP
n 1
n2. Le resteRN est majoré par N1−1. C'est une convergence assez lente. Pour obtenir une précision de l'ordre de10−2 sur la limite, il faut sommer les 101 premiers termes de la série :P101
n=1 1
n2 = π62 ±0.01.
2.2 Séries de fonctions
Une série de fonction est simplement une fonction dénie sous forme d'une série. C'est une application qui à x associe la somme d'une série dépendant de x. Nous avons par exemple vu la fonction x 7→ P+∞
n=0xn. Elle est dénie sur]−1,1[et n'est rien d'autre que la fonction 1−x1 .
En soi, une série de fonction ne présente pas plus de diculté que les sé- ries numériques. Mais l'étude des propriétés de ces fonctions est ardue. Nous
2.2. SÉRIES DE FONCTIONS 7 sommes par exemple habitués à ce qu'une somme de fonctions continues soit encore continue. Cela n'est plus forcément vrai avec les sommes innies (et cela a des conséquences très concrètes).
Nous ne ferons pas ici la théorie complète des séries de fonctions. Contentons- nous de présenter quelques grandes familles de telles séries.
Dénition 2.2.1. On appelle série entière une fonction de la forme
x7→
+∞
X
n=0
anxn.
On appelle série trigonométrique (ou série de Fourier) une fonction de la forme
x7→
+∞
X
n=0
bnsin(nx).
Les coecients bn sont des nombres réels et on pourrait remplacer le sin par un cos ou une exponentielle complexe.
L'intérêt de telles série est le suivant : sous certaines conditions, n'importe quelle fonction raisonnable peut s'écrire sous forme de telles séries. D'autre part, pour une fonction donnée, l'écriture sous forme de série entière (ou de série de Fourier) est unique : si P+∞
n=0anxn = P+∞
n=0a0nxn, alors on peut en déduire∀n, an=a0n.
Ces deux propriétés permettent de parler de décomposition en série en- tière (ou en série de Fourier). On dispose d'une nouvelle façon de représenter les fonctions qui se trouve être fructueuse dans le cadre de problèmes dié- rentiels.
Comme l'objet de ce cours est justement de résoudre des équations dié- rentielles et que nous comptons le faire à l'aide de séries de fonctions, nous serons bien obligés de considérer les dérivées de ces séries. Cela est plus subtil qu'il n'y paraît. On est tenté de dire que la dérivée d'une somme, qu'elle soit nie ou innie, est la somme des dérivées. C'est vrai, mais pas toujours ; il y a des hypothèses à vérier.
Théorème 2.2.1. Dérivabilité d'une série de fonctions Soit f une fonction dénie sur un intervalle I par f(x) =P+∞
n=0un(x)où les un sont des fonctions de classeC1.
8 CHAPITRE 2. SÉRIES NUMÉRIQUES, SÉRIES DE FONCTIONS Si pour tout n, il existe un majorant an de la fonction |u0n| sur I tel que la série P+∞
n=0an est convergente, alors f est dérivable sur I et
∀x∈I, f0(x) =
+∞
X
n=0
u0n(x).
Concrètement, dans plusieurs cas de ce cours, nous ne pourrons pas vé- rier les hypothèses de ce théorème mais nous l'utiliserons tout de même en espérant que cela est possible.
Exemple : f(x) =P+∞
n=1 1
n3cos(nx). On pose un(x) = n13cos(nx). Cette fonction est dérivable et sa dérivéeu0n(x) =−n12sin(nx)est majorée en valeur absolue par n12. Or la sérieP+∞
n=1 1
n2 est convergente. On en déduit quef est dérivable et f0(x) =
+∞
X
n=1
−1
n2sin(nx).
Chapitre 3
Séries de Fourier
Les séries de Fourier ont été développées pour la résolution de l'équa- tion de la chaleur. Elles ont montré par la suite qu'elles étaient un outil mathématique précieux dans de nombreux problèmes, en particulier dans les problèmes de traitement du signal.
3.1 Dénitions
Toutes les fonctions considérées seront continues par morceaux.
Dénition 3.1.1. Soit f une fonction 2π-périodique. On appelle coecients de Fourier de f les réels
a0 = 1 2π
Z 2π
0
f(x)dx, an= 1 π
Z 2π
0
f(x) cos(nx)dx, bn = 1 π
Z 2π
0
f(x) sin(nx)dx.
On appelle série de Fourier de f la fonction
Sf(x) = a0+
+∞
X
n=1
ancos(nx) +
+∞
X
n=1
bnsin(nx).
Proposition 3.1.1. a0 représente la valeur moyenne de f.
Les bornes de l'intégrales n'importent pas tant que la longueur de l'in- tervalle vaut 2π.
f est paire ssi ∀n≥1, bn= 0 et f est impaire ssi ∀n ≥0, an= 0. La série de Fourier d'une fonction trigonométrique est la fonction
elle-même.
Linéarité : an(λf +g) =λan(f) +an(g)...
9
10 CHAPITRE 3. SÉRIES DE FOURIER Dénition 3.1.2. Les coecients de Fourier complexes d'une fonction f 2π-périodique sont dénis pour n ∈Z par
cn= 1 2π
Z 2π
0
f(x)e−inxdx.
La série de Fourier de f est alors donnée par Sf(x) =
+∞
X
n=−∞
cneinx.
Liens entre coecients de Fourier réels et complexes : a0 = c0 et pour tout entier n≥1
an = cn+c−n
bn = −i(cn−c−n)
cn = 12(an−ibn) c−n = 12(an+ibn)
Dénition 3.1.3. Si f est une fonction T-périodique, les coecients de Fourier de f sont dénis par
a0 = 1 T
Z T
0
f(x)dx, an = 2 T
Z T
0
f(x) cos(2πnxT )dx, bn= 2 T
Z T
0
f(x) sin(2πnxT )dx.
∀n∈Z, cn = 1 T
Z T
0
f(x)e−i2πnxT dx.
Et la série de Fourier de f est donnée par Sf(x) =a0+X
n≥1
ancos(2πnxT ) +X
n≥1
bnsin(2πnxT ) =X
n∈Z
f(x)ei2πnxT .
3.2 Point de vue géométrique
On peut voir la série de Fourier d'une fonction f comme l'écriture de f dans une base orthonormée : si on considère le produit scalaire et sa norme associée
< f, g >= 1 π
Z 2π
0
f(x)g(x)dx, ||f||=p
< f, f >= 1 π
Z 2π
0
f2(x)dx, alors la famille innie des fonctions(√12,cos(nx),sin(nx))avecn≥1est une base orthonormée (une base de Hilbert pour être précis). Les coecients de Fourier (sauf a0) sont les produits scalaires de f avec les éléments de cette base, et la série de Fourier def est l'écriture de f dans cette base.
Les deux résultats suivants en sont des conséquences.
3.3. SPECTRE DISCRET 11 Théorème 3.2.1. Soit f une fonction 2π-périodique. Alors
f =Sf au sens L2, i.e. π1 R2π
0 (f −Sf)2 = 0.
Concrètement, cela implique que pour presque tout x, Sf(x) = f(x). Théorème 3.2.2. Égalité de Parseval :
||f||2 = 1 π
Z 2π
0
f2(x)dx= 2a20+X
n≥1
(a2n+b2n).
En complexe : 2π1 R2π
0 |f|2(x)dx=P
n∈Z|cn|2.
La décomposition en série de Fourier n'est qu'une décomposition parmi d'autres. Le point de vue géométrique présenté ici s'applique à bien d'autres décompositions. Citons par exemple les décompositions en polynômes or- thogonaux (utilisée pour l'approximation polygonale et dans des problèmes d'optiques), en fonctions de Bessel, en ondelettes (utilisée pour la compres- sion d'images jpeg).
3.3 Spectre discret
La décomposition en série de Fourier est une décomposition en fréquences.
Elle est ainsi adaptée aux phénomènes ondulatoires et plus particulièrement à l'étude du son : ltrage de fréquences, suppression du bruit, fonctionnement des fréquences radio.
D'après la partie précédente, la donnée d'une fonction f périodique est équivalente à la donnée de ses coecients de Fourier. On appelle spectre d'une fonction f la liste de ses coecients de Fourier et on le représente à l'aide d'un (ou des) graphe en bâtons.
Les basses fréquences de f correspondent aux coecients d'indices n pe- tits et les hautes fréquences correspondent aux coecients d'indice n élevé.
a0 a1
| 0
| 1
| 2
| 3
| 4
5|
| 6
| 7 2−
4−
−2− 0
La fonction f(x) = 2 + 4 cos(x)−3 cos(5x) et le spectre de ses coecients an.
12 CHAPITRE 3. SÉRIES DE FOURIER
3.4 Point de vue analytique
Du point de vue de l'analyse, une série de Fourier est une série de fonc- tions. On aimerait que cette série converge vers la fonctionf considérée. Nous allons préciser cela.
3.4.1 Convergence de la série de Fourier
La convergence simple de la série de Fourier est donnée par le théorème suivant.
Théorème 3.4.1. de Dirichlet
Soitf une fonction de classeC1 par morceaux. SoitSf sa série de Fourier.
Alors pour tout x dans R, la série Sf(x) converge vers f(x+)+f2 (x−). En particulier, si f est continue en x, Sf(x) converge vers f(x).
Là où la fonction n'est pas continue, on observe le phénomène de Gibbs : l'approximation numérique de f par sa série de Fourier est faus- sée au niveau des points de discontinuité def.
3.4.2 Décroissance des coecients de Fourier
On a déjà vu avec l'égalité de Parseval que la série desc2nest convergente.
On peut préciser plus de propriétés de ces coecients en fonction des propriétés de la fonction étudiée. Ces propriétés se résument ainsi : plus la fonctionf est régulière, plus ses coecients convergent vite vers 0.
Proposition 3.4.2. Notons(cn)n∈Z la suite des coecients de Fourier com- plexes d'une fonction f.
limn→±∞cn= 0.
Si f est continue et de classe C1 par morceaux, alors sa dérivée f0 admet une décomposition en série de Fourier et ses coecients sont donnés par
∀n ∈Z, cn(f0) =incn(f).
Si f est de classe Ck et Ck+1 par morceaux alors cn= o
1 nk+1
.
On peut en déduire en particulier que si la fonction est de classe C1 et C2 par morceaux, alors la convergence de la série de Fourier est uniforme.
Chapitre 4
Équation des ondes
4.1 Présentation du problème
On considère une corde élastique de longueur L xée en ses extrêmités.
On note y(x, t) la hauteur de la corde au niveau de l'abscisse xà l'instant t. En l'absence de gravité et en supposant que cette hauteur reste petite (c'est- à-dire que la vibration de la corde est très faible) une étude locale permet de montrer que l'évolution de cette hauteur est régie par l'équation des ondes :
∂2y
∂t2 =ν2∂2y
∂x2, où ν est un réel lié à la nature de la corde.
Si on considère une plaque vibrante, on ajoute une dimension spatiale et l'équation des ondes satisfaite par la fonction y(x1, x2, t) devient
∂2y
∂t2 =ν2∆y=ν2 ∂2y
∂x21 +∂2y
∂x22
En fonction du problème à traiter, des termes peuvent être ajoutés à ces équations.
Avec cette équation, si on connaît la postion et la vitesse initiales de la corde, on peut déterminer y(x, t) pour tous x ett.
Ce problème sert à modéliser tous les problèmes de vibrations : cordes de guitare, peaux de tambours, bâtiments, théorie des cordes...
13
14 CHAPITRE 4. ÉQUATION DES ONDES
4.2 Résolution du problème
Reposons le problème complètement. On cherche une fonctiony(x, t)vé- riant les trois conditions suivantes
Équation des ondes : ∂2y
∂t2 =ν2∂2y
∂x2 (1)
Conditions au bord : ∀t >0 y(0, t) = 0 et y(L, t) = 0 (2) Condition initiale : ∀x∈]0, L[ y(x,0) =y0(x) et ∂y
∂t(x,0) =y1(x) (3) Les fonctions y0(x) et y1(x) sont données. Elles représentent respective- ment la position et la vitesse à l'instantt = 0 de la corde.
4.2.1 Solutions stationnaires
Dans la plupart des problèmes de ce genre, on commence par chercher les solutions générales du problème, c'est-à-dire des solutions vériant les conditions (1) et (2).
parmi celles-ci, on cherche des solutions particulières appelées solutions stationnaires. Ce sont les solutions y de (1) et (2) s'écrivant sous la forme
y(x, t) = u(x)v(t).
Autrement dit, ce sont les solutions pour lesquelles il est possible de sépa- rer la composante spatiale de la composante temporelle. Ces fonctions jouent un rôle important ; elles sont en quelques sorte les positions d'équilibre de la corde vibrante.
Les solutions stationnaires de notre problème sont les fonctions yk(x, t) = sin(kπLx) Acos(νkπLt) +Bsin(νkπLt)
, pourk ≥1et A, B ∈R.
Chaque valeur dekcorrespond à un mode propre de vibration de la corde.
4.2.2 Solution du problème
On cherche maintenant l'unique solution du problème, c'est-à-dire celle qui vérie les conditions initiales. L'idée est de la chercher sous la forme d'une somme de solutions stationnaires. On cherchey sous la forme
y(x, t) =
+∞
X
k=1
sin(kπLx) Akcos(νkπLt) +Bksin(νkπLt) .
4.3. ÉQUATION DE LA CHALEUR 15 Comme les solutions stationnaires vérient les conditions (1) et (2) du problème, cette série les vériera aussi naturellement. Il ne reste qu'à trou- ver les valeurs des coecients Ak et Bk an que cette fonction satisfasse la condition (3). On doit ainsi avoir à t= 0
y(x,0) =y0(x) =
+∞
X
k=1
Aksin(kπLx).
On reconnaît la série de Fourier d'une fonction 2L-périodique impaire.
Pour que cette égalité soit valable, il faut que les coecientsAksoient les co- ecients de Fourier de la fonctiony0 (vue comme une fonction2L-périodique impaire). On obtient ainsi
Ak = 2 2L
Z L
−L
y0(x) sin(kπLx)dx= 2 L
Z L
0
y0(x) sin(kπLx)dx.
De plus on doit avoir
∂y
∂t(x,0) =y1(x) =
+∞
X
k=1
νkπ
L Bksin(kπLx).
On reconnaît encore une série de Fourier et on déduit νkπ
L Bk = 2 L
Z L
0
y1(x) sin(kπLx)dx.
On obtient ainsi les valeurs des coecients Bk. Les coecientsAk et Bk sont alors parfaitement connus et on a donc trouvé (sous forme d'une série de fonctions) l'unique solution du problème.
4.3 Équation de la chaleur
L'équation de la chaleur est du même type que l'équation des ondes. Sa résolution est parfaitement analogue. Nous présentons ci-dessous les résultats qu'on obtient.
4.3.1 Présentation du problème
On considère une tige métallique de longueur L. Elle est dans un milieu isolant et ses extrêmités sont en contact avec un milieu à0degré. On cherche à décrire l'évolution de la température dans la tige.
16 CHAPITRE 4. ÉQUATION DES ONDES On note T(x, t) la température à l'abscisse x de la tige à l'instant t. L'évolution de T est donnée pas l'équation de la chaleur :
∂T
∂t =c∂2T
∂x2,
oùcest le coecient de diusivité thermique de la tige.
Cette équation décrit de manière générale l'évolution de la température dans un solide. Pour des solides de dimension 2 ou 3, elle s'écrit.
∂T
∂t =c∆T
4.3.2 Solutions stationnaires
On cherhce les solutions vériant les conditions aux bords, l'équation de la chaleur et pouvant s'écrire sous la forme
T(x, t) =U(x)V(t).
En procédant comme dans la partie précédente, on montre que les solu- tions stationnaires du problème sont les fonctions
Tk(x, t) = Asin(kπLx)e−ctπ
2k2 L2 ,
avecA∈R.
4.3.3 Solution du problème
On ajoute maintenant une condition initiale : à t = 0, la température dans la tige est donnée par une fonction T0(x). On peut alors déterminer l'unique solution du problème en l'écrivant sous forme d'une somme de solu- tions stationnaires. Cette solution est la fonction
T(x, t) =
+∞
X
k=1
Aksin(kπLx)e−ct(kπL)2,
avec pour tout k,
Ak = 2 L
Z L
0
T0(x) sin(kπLx)dx.
Chapitre 5
Transformée de Fourier
5.1 Dénition
Dénition 5.1.1. Soit f ∈L1(R). On appelle transformée de Fourier de f l'application
fˆ: R → C ω 7→ R∞
−∞f(t)e−iωtdt.
Remarque 5.1.1. Il existe d'autres dénitions analogues : f(ω) =ˆ R∞
−∞f(t)e−2iπωtdt, f(ω) =ˆ √1
2π
R∞
−∞f(t)e−iωtdt.
Si f /∈L1(R), sa transformée de Fourier peut tout de même être bien dénie. Il sut en fait que limA→+∞
RA
−Af(t)e−iωtdt existe.
Le fait que f ∈L1(R) n'implique pas que fˆ∈L1(R).
La transformée de Fourier est la version continue des séries de Fourier.
Tout comme les séries de Fourier, elle permet de décrire les propriétés fré- quentielles d'une fonction. Elle est ainsi un outil fondamental dans l'étude des phénomènes ondulatoires. La formule d'inversion jour ici le rôle de la série de Fourier : elle permet d'écriref comme une somme intégrale de fonctions sinu- soïdales. Les coecients apparaissant dans cette décomposition sont donnés par la transformée de Fourier def.
Théorème 5.1.1. Théorème d'inversion Soit f ∈L1(R) tel que fˆ∈L1(R). Alors
f(t) = 1 2π
Z +∞
−∞
f(ω)eˆ itωdω.
17
18 CHAPITRE 5. TRANSFORMÉE DE FOURIER
Spectre d'absorption de la lumière par la chlorophylle (à gauche) et par diérents pigments (à droite).
Le signal bruité g et le signal initial f.
Valeurs des aλ(g) (à gauche) et bλ(g) (à droite) de la transformée deg.
5.2. PROPRIÉTÉS 19
5.2 Propriétés
Soientf etg des fonctions deL1(R)etλ, µdes nombres complexes. Alors Linéarité λf\+µg =λfˆ+µˆg.
Si f est une fonction réelle (resp. imaginaire pure) et paire, alors fˆ l'est aussi.
Sif est une fonction réelle (resp. imaginaire pure) impaire, alorsfˆest imaginaire pure (resp. réelle) et impaire.
De même que la suite des coecients cn tend vers 0, limω→±∞fˆ(ω) = 0.
Convolution
On appelle produit de convolution de deux fonctionsf etgla fonction f∗g(x) =R+∞
−∞ f(t)g(x−t)dt. On a f[∗g = ˆfgˆet cf g= ˆf∗gˆ.
Unicité de la décomposition de Fourier
L'application f 7→ fˆdénie sur L1(R) est injective : deux fonctions distinctes ont des transformées distinctes.
Dilatations-Contractions
Si g(t) = f(at), alorsg(ω) =ˆ |a|1 f(ˆ ωa).
Si f est à support borné, alors fˆne l'est pas et réciproquement, si fˆ est à support borné, alorsf ne l'est pas. Ces propriétés sont liées au principe d'incertitude de Heisenberg.
Décalage-déphasage
Si g(t) = f(t+α), alors g(ω) =ˆ eiαωf(ω)ˆ . Si g(t) = eitβf(t), alors ˆg(ω) = ˆf(ω−β).
Dérivation-intégration
Si f est de classe C1 telle que x 7→ xf(x) soit intégrable, alors fˆest dérivable et
( ˆf)0(ω) =(−ixf(x)).\ Si f0 est intégrable, alors
fb0(ω) =iωfˆ(ω).
Remarque : la transformée de Fourier est en fait bien dénie dans un cadre plus large que L1(R), celui de la théorie des distributions. Beaucoup
20 CHAPITRE 5. TRANSFORMÉE DE FOURIER de propriétés sont pour cette raisons encore valables pour des fonctions non intégrables.
5.3 Applications
L'équation de la chaleur se résout de la même manière : on considère une barre de longueur innie en contact à ses extrémités avec un milieu à 0 degré.
On passe à la transformée de Fourier dans l'équation de la chaleur. Et si on note T0(x)la répartition initiale de la température dans la barre, on obtient que la température dans la tige est donnée par
T(x, t) = T0(x)∗ 1 2√
πtce−x
2
4ct = 1
2√ πtc
Z ∞
−∞
e−(x−u)24ct T0(u) du.
