UTBM 24 Juin 2013
FINAL IN41 P13
Dur´ee: 2 heures / tous les documents sont autoris´es / Calculette simple conseill´ee Les exercices suivants sont not´es 19 points sur 20
+ 1 point pour la lisibilit´e de la pr´esentation, la rigueur de la syntaxe et de l’orthographe
Exercise 1
On consid`ere une structure de filtre analogique (d’entr´ee e(t) et de sortie s(t)) d´ecrite par l’´equation diff´erentielle suivante. On suppose ´egalement que toutes les conditions initiales sont nulles.
k1 e0(t) + (1−k1)e(t) =s(t) +k2 s0(t) k1 etk2´etant deux r´eels strictement positifs ou nuls.
1. Cas 1: k1= 0 etk2>0
(a) Donner la fonction de transfertH1(p) en fonction dek2.
(b) Quel lien existe entre la r´eponse impulsionnelleh1(t) du filtre et sa fonction de transfert H1(p). Donner l’expression deh1(t).
(c) Calculer les limites h1(∞) et h1(0) `a partir de l’expression de h1(t) et tracer cette r´eponse.
(d) Retrouver les limites calcul´ees dans la question pr`ecedente en utilisant les th´eor`emes de la valeur initiale et de la valeur finale.
(e) Que dire de la stabilit´e du filtre? V´erifier ¸ca de 2 mani`eres
(f) Exprimer la r´eponse fr´equentielleH1(j.f) en fonction de k2, deπ et de la fr´equence f.
(g) Calculer lim
f→0H1(j.f) et lim
f→+∞H1(j.f). En d´eduire la nature du filtre (passe-bas, passe-haut,...).
2. Cas 2: k1=k2= 1
(a) Donner la fonction de transfertH2(p).
(b) Quelle est `a votre avis la nature du filtre? Justifier votre r´eponse.
(c) Donner l’expression du signal de sortie du filtre pour un signal d’entr´eex(t) =e+tΓ(t)
Exercise 2
On consid`ere une structure de filtre num´erique (d’entr´ee x[n] et de sortie y[n]) d´ecrite par l’´equation au diff´erences suivante:
b0 y[n] +b1 y[n−1] +b2y[n−2] =a0 x[n] +a1x[n−1] +a2 x[n−2]
a0, a1, a2, b0, b1, b2 sont des r´eels.
1. Cas 1: b0= 1; b1=b2= 0; eta1= 1
2; a0=a2=1 4
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UTBM 24 Juin 2013
(a) S’agit-il d’un filtre r´ecursif ou non r´ecursif? Justifier votre r´eponse.
(b) Donner l’expression de la fonction de transfertH1(z) du filtre
(c) Quelle relation existe-t-il entre la r´eponse impulsionnelleh1[n] et la fonction de trans- fertH1(z)?
(d) Donner la relation g´en´erale liant la sortiey[n], l’entr´eex[n] et la r´eponse impulsionnelle h1[n].
(e) Donner la r´eponse impulsionnelleh1[n] en fonction de l’impulsion num´eriqueδ[n].
(f) Retrouver cette r´eponse en calculant ses ´echantillons `a partir de l’´equation aux diff´erences.
(g) Dessinez la r´eponse impulsionnelle.
(h) Montrer que la r´eponse fr´equentielle est donn´ee par : H1(jΩ) = 1
2 e−j Ω(1 + cos(Ω)) (Ω = 2πff
e : la pulsation normalis´ee) (i) Esquissez||H1(jΩ)|| etarg(H(jΩ))
(j) Quelle est la nature du filtre? Justifier l’appellationfiltre `a phase lin´eaire.
(k) Exprimer la fr´equence de coupurefcen fonction de la fr´equence d’´echantillonnagefe. 2. Cas 2: b0= 1; b1= 1,8; b2= 0,8; et a1= 0,2; a0=a2= 0
(a) S’agit-il d’un filtre r´ecursif ou non r´ecursif? Justifier votre r´eponse.
(b) Montrer que la fonction de transfert est donn´ee par : H2(z) = 0,2z (z−1)(z−0,8) (c) En d´eduire la r´eponse impulsionnelleh2[n].
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