Trigonométrie

I.U.T. de Brest D´epartement GMP

Connaissances de base

Trigonom´ etrie

1. Cercle trigonom´ etrique

0 1

1

−1

−1

M

cosx sinx

x

cos²x+ sin²x= 1 tanx= sinx

cosx pourx6= π

2 +kπ (k∈Z)

Valeurs remarquables

x 0 ^π6

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

5π

6 π

cosx 1 ^√₂^{3 √}₂^{2 1}2 0 −¹2 −^√2² −^√2³ −1

sinx 0 ¹2

√2 2

√3

2 1 ^√₂^{3 √}₂^{2 1}2 0

tanx 0 ^√3³ 1 √

3 imp. −√

3 −1 −^√33 0

0 1 1

axe des cosinus axe des

sinus axe des

tangentes

1 2

√2 2

√3 2 1

2

√2 2

√3 2

−¹2

−^√2²

−^√2³

−¹2

−^√2²

−^√2³

√3 3

1

√3

−^√3³

−1

−√ 3

π 6 π 4 π

3 π

2

5π 6

3π 4

2π 3

π

−^5π6

−^3π4

−^2π3

−^π2

−^π6

−^π4

−^π3

2

2. La fonction cosinus

Pour tout r´eel x,

cos⁰(x) =−sinx (d´eriv´ee)

cos(x+ 2π) = cos(x) (fonction p´eriodique de p´eriode 2π) cos(−x) = cosx (fonction paire)

Trac´e de la fonction cosinus :

0 1

−1

π

2 π ^3π₂ ^5π₂

−^π2

−^3π2

y= cosx

3. La fonction sinus

Pour tout r´eel x,

sin⁰(x) = cosx (d´eriv´ee)

sin(x+ 2π) = sin(x) (fonction p´eriodique de p´eriode 2π) sin(−x) =−sinx (fonction impaire)

Trac´e de la fonction sinus :

1

−1

0 ^π2 π 2π

−π

−2π

y= sinx

4

4. La fonction tangente

Pour tout r´eel x diff´erent de π

2 +kπ (avec k∈Z quelconque), tan(x) = sin(x)

cos(x) (d´efinition) tan⁰(x) = 1 + tan²(x) = 1

cos²(x) (d´eriv´ee)

tan(x+π) = tan(x) (fonction p´eriodique de p´eriode π) tan(−x) =−tan(x) (fonction impaire)

Trac´e de la fonction tangente :

0

π 2

π

3π 2

2π

5π 2

−π

−^π2

−2π

−^3π2

−^5π2

y= tanx

5. Formulaire

Relations fondamentales

cos²x+ sin²x= 1 1 + tan²x= 1

cos²x Fonctions de l’arc double

cos(2x) = cos²x−sin²x= 2 cos²x−1 = 1−2 sin²x sin(2x) = 2 sinxcosx

tan(2x) = 2 tanx 1−tan²x Formules d’addition

cos(a+b) = cosacosb−sinasinb cos(a−b) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa sin(a−b) = sinacosb−sinbcosa tan(a+b) = tana+ tanb

1−tanatanb tan(a−b) = tana−tanb

1 + tanatanb Equations trigonom´´ etriques

I cosx= cosα ssi ( x=α+ 2kπ ou x=−α+ 2kπ avec k ∈Z).

I sinx= sinα ssi ( x=α+ 2kπ ou x=π−α+ 2kπ avec k∈Z).

I tanx= tanα ssi ( x=α+kπ avec k ∈Z).

Formule de transformation de produit en somme cosacosb= 1

2[cos(a+b) + cos(a−b)]

sinasinb = 1

2[cos(a−b)−cos(a+b)]

sinacosb= 1

2[sin(a+b) + sin(a−b)]

Formule de transformation de somme en produit cosp+ cosq = 2 cosp+q

2 cosp−q

2 cosp−cosq =−2 sinp+q

2 sinp−q 2 sinp+ sinq = 2 sinp+q

2 cos p−q

2 sinp−sinq = 2 sinp−q

2 cos p+q 2

6

6. Compl´ ements

0 1

1

−1

−1

M

cosx sinx

−sinx

x

−x

cos(−x) = cos(x) sin(−x) =−sin(x) tan(−x) =−tan(x)

0 1

1

−1

−1

M

cosx sinx

−cosx

−sinx x x+π

cos(x+π) = −cos(x) sin(x+π) = −sin(x) tan(x+π) = tan(x)

0 1

1

−1

M

cosx cosx

sinx

−sinx

x

cos(x+π

2) =−sin(x) sin(x+π

2) = cos(x)