PSI* 2019/2020
T.D. 00 — Synchronisation et mise en route
1. c Combinaisons avec répétitions : étant donné un ensemble E de cardinal n et un entier naturel p, on connaît le nombre Apn d’arrangements p à p (oup-listes) d’éléments distincts de E (dans une liste, l’ordre a de l’importance. . . ) et le nombre np de combinaisons p à p d’éléments distincts de E (sans tenir compte de l’ordre ; c’est aussi le nombre de parties de cardinalp de E, jadis notéCnp).
Si 0≤p≤n, Apn=n(n−1). . .(n−p+ 1) = n!
(n−p)!, sinonApn= 0 et n
p =Cnp = Apn
p! . Le but de l’exercice est de déterminer le nombre Γpn de combinaisons p à p d’éléments de E avec répétitions éventuelles. Par exemple, le nombre de pièces dans un jeu de dominos estΓ27.
a)Pourn etp dansN∗, établir : Γpn= Γpn−1+ Γp−1n .
b)En déduire : ∀(n, p)∈N∗2 Γpn=Cnp+p−1 (on pourra procéder par récurrence sur n+p, en donnant un sens à cette idée. . . ).
c)Montrer que Γpn est aussi le nombre den-uplets d’entiers naturels dont la somme vaut p.
2. c Soit R une relation d’équivalence sur un ensembleE ; pour tout x de E, on rappelle que laclasse d’équivalence de x est l’ensembleπ(x) des éléments de E en relation avec x : π(x) ={y∈E / xRy}.
On appelleensemble quotient de Epar Rl’ensemble, notéE/R, des classes d’équivalences des éléments deE. On dispose donc de l’application π:E→E/R, appeléesurjection canonique.
a)Montrer que E/R est une partition de E (i.e. un ensemble de parties de E, non vides, disjointes deux à deux et dont la réunion est E). Qu’en déduit-on lorsque E est un ensemble fini ?
b)Soit (G,·) un groupe etH un sous-groupe de G. Montrer que la relationRdéfinie sur Gpar :
∀(x, y)∈G2 xRy⇔x−1y∈H
est une relation d’équivalence surG. Décrire la classe d’équivalence d’un élémentxdeG. En déduire que tout élément γ deG/R est équipotent àH (i.e. il existe une bijection entreγ etH).
c)Dans un groupe fini(G,·), établir les propriétés suivantes :
∗ le cardinal de tout sous-groupe deGest un diviseur deCardG (théorème de Lagrange) ;
∗ sif est un morphisme de(G,·) dans un autre groupe(G′,·), alors Card Kerf×Card Imf = CardG.
3. c Montrer que la réunion de deux sous-groupes d’un groupe (G,·) en est encore un sous-groupe si et seulement si l’un des deux est inclus dans l’autre.
4. Soit f une application d’un ensemble E dans un ensembleF. Montrer que : f injective⇔ ∀A∈ P(E) f(E\A)⊂F\f(A). Peut-on établir des caractérisations analogues de f surjective,f bijective ?
5. c Éléments nilpotents d’un anneau : soit(A,+,×) un anneau ; un élémentx deA est ditnilpotent si et seulement s’il existe kdans Ntel quexk= 0.
a)Montrer que, si x est nilpotent, alors 1−x est inversible et préciser son inverse.
b)Soient aet bdes éléments de A, montrer que si abest nilpotent, alors baest nilpotent.
Montrer que si aetbsont nilpotents et commutent, alorsa+b est nilpotent.
6. c (xk)1≤k≤n et(yk)1≤k≤n étant deux familles d’éléments d’un anneau commutatif A, établir :
n
k=1
xkyk 2
+
1≤i<j≤n
(xiyj −xjyi)2 =
n
i=1
x2i .
n
j=1
y2j
(identité de Lagrange).
Interpréter dans les casn= 2etn= 3.
7. Anneau des entiers de Gauss : soit Z[i] = u+iv, (u, v)∈Z2 . Montrer que (Z[i],+,×) est un anneau et que :
∀(a, b)∈Z[i]2 b= 0⇒ ∃(q, r)∈Z[i]2 a=bq+r
|r|<|b|
(on pourra utiliser le nombre complexe a/b). Le couple(q, r) est-il unique ?
8. Soient t∈Retn∈N∗ ; résoudre dansCl’équation d’inconnuez : (z+ 1)n=e2int. En déduire des expressions simples de fn(t) =
n−1
k=0
sin t+kπ
n et depn=
n−1
k=1
sinkπ n . 9. À quelle conditionP =aXn+bXn−1+ 1est-il divisible par(X+ 1)2 ?
10. Déterminer les polynômes P deR[X]vérifiant : P X2 =P(X)P(X+ 1) (on pourra s’intéresser aux racines de P dans C).
11. Montrer que, pour tout ndans N, il existe un polynôme réel Pn tel que
∀x∈R∗ Pn x+1
x =xn+ 1 xn.
12. Soient u etv les racines de X2−X+101 . Montrer que, pour tout polynômeP deR5[X],
1 0
P(t)dt= 1
18 5P(u) + 8P 1
2 + 5P(v) .
