1.3 Non-trivialité de la transition de phase

1 Mise en évidence de la transition de phase

1.1 Présentation du modèle

On considère un graphe inniG= (V, E), on se xep∈[0,1]et on en consi- dère un sous-graphe aléatoire G⁰ = (V, E⁰), où chaque arête deE est dans E⁰ avec probabilitép, sans dépendance entre les arêtes. On dit qu'il y a percolation siG⁰ admet une composante connexe innie.

Plus formellement, on poseΩ = Q

e∈E{0,1} : on peut identier Ω à l'en- semble des sous-ensembles deE. On noteF la tribu engendrée par l'ensemble des évènements ne dépendant qu'un nombre ni d'arêtes et, siµpest la mesure sur{0,1}telle queµp({1}) =petµp({0}) = 1−p, on notePpla mesure produit Pp=Q

e∈Eµp. On travaillera par la suite dans l'espace probabilisé(Ω,F, Pp). Une arête de E sera dite ouverte si elle est dans E⁰, et fermée sinon. De plus, six∈V, on noteraCxla composante connexe deE⁰ contenantx.

Dans la pratique, G est en général un graphe très régulier. Dans toute la suite, G sera le réseau carréL² : on a V =Z² et E est l'ensemble des {x, y}

avecx, y∈Z²et kx−yk= 1. Les résultats énoncés restent toutefois vrais pour des graphes susamment réguliers commeL^d ou le réseau hexagonal.

On noteraψ(p)la probabilité qu'il y ait percolation, etθ(p)la probabilité que la composante connexe contenant 0 soit innie. Le modèle étant invariant par translation, pour tout sommetx, la probabilité quexsoit dans une composante connexe innie vautθ(p).

1.2 Loi du 0-1 de Kolmogorov et transition de phase

On aura besoin de la loi du 0-1 de Kolmogorov. Bien qu'elle possède une formulation plus générale, on utilisera cette version :

Théorème 1.1. Soit A un évènement invariant quand on change l'état d'un nombre ni d'arêtes. Alors P_p(A)∈ {0,1}.

Démonstration. SoitBun évènement ne dépendant que d'un nombre ni d'arêtes : Pp(A|B) =Pp(A), donc siPp(A)>0,Pp(B|A) = ^Pp(B)P_P ^p(A|B)

p(A) =Pp(B). PpetE→Pp(E|A)sont donc deux mesures de probabilité sur(Ω,F), égales sur l'ensemble E des évènements ne dépendant que d'un nombre ni d'arêtes.

Soit F⁰ l'ensemble des E ∈ F tels que Pp(E) = Pp(E|A) : on vérie que c'est une tribu. F étant la plus petite tribu contenant E, on aF⁰ =F donc P_p(A) =P_p(A|A) = 1.

Or, siG⁰ admet une composante connexe innie, il existe une suite injective (x_n)de sommets tels que(x_n, x_n+1)est ouverte pour toutndeN. Si on ferme un nombre ni d'arêtes de G⁰, il existe N tel que (x_n, x_n+1)est ouverte pour n≥N, donc il y a toujours percolation. On pourra donc appliquer la loi du 0-1.

De plus,θ est croissante. On pose doncpc(L²) = sup{p∈[0,1], θ(p) = 0} : pc existe bien carθ(1) = 1>0.

Si p > pc, alorsψ(p)≥θ(p)>0 donc d'après la loi du 0-1,ψ(p) = 1.

Si p < pc, alors θ(p) = 0 par croissance de θ, donc pour tout sommet x, la probabilité quexsoit dans une composante connexe innie est nulle. Z² étant dénombrable, on a doncψ(p) = 0, d'où le théorème :

Théorème 1.2. On aψ(p) = 0 sip < pc etψ(p) = 1sip > pc.

On a ainsi mis en évidence une transition de phase :pcest appelée probabilité critique, et le comportement du modèle de part et d'autre de cette valeur change radicalement. Ce phénomène est assez courant en physique, et l'un des princi- paux intérêts de la percolation est d'être un des modèles mathématiques les plus simples présentant une transition de phase. Cependant, pour que le phénomène soit intéressant, il faut montrer que les régimes sous-critiques et surcritiques existent, c'est-à-dire que0< pc<1, ce qui fait l'objet du paragraphe suivant.

1.3 Non-trivialité de la transition de phase

Proposition 1.1. On a0< p_c <1.

Démonstration. Pour tout ndeN^∗ on noteP(n)l'ensemble des chemins auto- évitants de longueur. Si la composante connexe contenant0est innie, il existe un élément deP(n)dont toutes les arêtes sont ouvertes, d'où :

θ(p) ≤ P_p(Il existec∈P(n)ouvert)

≤ X

c∈P(n)

Pp(c est ouvert)

= |P(n)|pⁿ

≤ 4ⁿpⁿ

donc pourp < ¹₄,θ(p) = 0d'oùpc≥ ¹₄ >0.

Pour montrerpc <1, on utilise le réseau dualL^∗ deL², dont les sommets sont les pointsx+ (¹₂,¹₂)avecx∈Z², et les arêtes les{x, y}aveckx−yk= 1:

Figure 1 Le réseau carré et son dual

Chaque arêtee de L² coupe une unique arête e^∗ de L^∗. Chaque processus de percolation surL² induit donc un processus de percolation sur son dual, où les arêtes ouvertes sont lese^∗ aveceouverte.

Les composantes connexes nies dansL²sont alors entourées par des circuits du dual dont toutes les arêtes sont fermées, comme le montre la gure 2. Il est possible de formuler et de démontrer ce résultat de manière formelle, mais on l'admettra ici.

Figure 2 Une composante connexe nie entourée par un circuit du dual On peut maintenant procéder comme pourpc>0: si la composante connexe contenant 0 est nie, il existe un circuit γ entourant 0, dont toutes les arêtes sont fermées. Soit donc, pour toutndeN^∗,Γ(n)l'ensemble des circuits de lon- gueurnentourant l'origine : un tel circuit doit couper l'axex= ¹₂ en un point (¹₂, k+¹₂)avec0≤k≤nd'où |Γ(n)| ≤(n+ 1)4ⁿ, donc :

1−θ(p) ≤ X

γ

P_p(toutes les arêtes deγsont fermées)

≤ X

n∈N^∗

|Γ(n)|(1−p)ⁿ

≤ X

n∈N^∗

(n+ 1)4ⁿ(1−p)ⁿ

Cette dernière série entière en 1−pa un rayon de convergence non nulle, donc par continuité1−θ(p)≤¹₂ pour1−passez petit, d'où le résultat.

2 Décroissance exponentielle des diamètres des composantes connexes en régime sous-critique

On munit le plan de la normek.ktelle quek(x, y)k=|x|+|y|pour tousxet y et, siAest un ensemble ni de sommets, on poser(A) =max_x∈Akxk. Enn, on noteraS(x, n)la sphère de centrexet de rayon netS(n) =S(0, n).

Le but de cette section est de démontrer le théorème suivant :

Théorème 2.1. Soit p < p_c : alors il existe ξ(p)>0 tel que, pour toutn de N:

Pp(r(C0)≥n)≤e^−ξ(p)n

Ce théorème, ou au moins une bonne majoration dePp(r(C0)≥n), a long- temps été la pièce manquante au calcul de pc. Il permet, en utilisant l'auto- dualité du réseau carré, de montrerpc ≤¹₂.

2.1 Outils probabilistes

La démonstration du théorème utilise des propriétés probabilistes d'une cer- taine classe d'évènements, appelés évènements croissants :

Dénition 2.1. On écrit ω≤ω⁰ siω, ω⁰ ∈Ωetω(e)≤ω⁰(e) pour toute arête e.

Un évènement A ∈ F est dit croissant si pour tous ω ∈ A et ω⁰ ≥ ω, on a ω⁰∈A.

Dénition 2.2. Si Aet B sont deux évènements, on note A$B l'évènement :

"Il existe deux ensembles disjoints d'arêtes ouvertesαetβ tels queAse réalise dès que toutes les arêtes de α sont ouvertes et B se réalise dès que toutes les arêtes deβ sont ouvertes."

Autrement dit,A$B signie queA etB se réalisent "de manière disjointe".

On admettra l'inégalité suivante, dite BK :

Proposition 2.1. SoientAetBdeux évènements croissants ne dépendant que d'un nombre ni d'arêtes. Alors :

Pp(A$B)≤Pp(A)Pp(B)

Un outil essentiel sera la formule de Russo, admise elle aussi :

Dénition 2.3. Soient A un évènement et ω ∈ Ω : on dit qu'un arête e est pivot pour A et ω si ω ∈ A et, si ω⁰ est obtenu à partir de ω en fermant e, ω /∈A.

Autrement dit, une arête pivot dans une certaine conguration est une arête

"cruciale" pour que A se produise. On notera N(A) le nombre d'arêtes pivot pour A.

Proposition 2.2. SoitAun évènement croissant ne dépendant que d'un nombre ni d'arêtes. Alors :

d

dpPp(A) =Ep(N(A)) Enn, on admettra aussi la formule de Wald :

Proposition 2.3. Soient (Xn) une suite de variables aléatoires intégrables, indépendantes et de même loi, et N une variable aléatoire intégrable à valeurs dansN. Alors :

E(X1+...+XN) =E(N)E(X1)

2.2 Preuve du théorème

Pour p ∈]0, pc[ et n ∈ N^∗, on note An l'évènement r(C0) ≥ n et on pose gn(p) =Pp(An).

Quelques manipulations élémentaires à partir de la formule de Russo per- mettent d'obtenir la formule suivante :

g_n⁰(p) =1

pEp(N(An)|An)gn(p) (1) La majeure partie de la preuve consistera donc à minorer Ep(N(An)|An) an d'en déduire le résultat en intégrant l'équation précédente.

Or, siAnse réalise, il existe un chemin auto-évitant reliant0à un sommetx aveckxk=n. On notee1, ..., eN(A_n)les arêtes pivot, dans l'ordre par lequel ce

x₁ 0 y1

x₂ y2 x₃ y3

e1

e2 e3

Figure 3 Illustration pour n= 6de la dénition des ei (en gras),xi et yi : on a iciρ1= 1et ρ2=ρ3= 2.

chemin les traverse. Pour touti, on notex_iet y_i les extrémités dee_i, telles que le chemin passe enx_i avanty_i. On vérie que ces notations sont indépendantes du chemin choisi, comme sur la gure 3. Enn, on poseρ_i =kx_i−y_i−1kpour 2≤i≤N(A_n),ρ₁=kx₁k etρ_i= +∞pouri > N(A_n).

Pour minorerEp(N(An)|An), il faut que lesρinis soient "assez nombreux", et donc qu'ils ne soient "pas trop grands". C'est ce qu'exprime le lemme suivant : Lemme 2.1. SoientM une variable aléatoire de même distribution quer(C0), k∈N^∗ etr1, ..., rk∈N avecPk

i=1ri≤n−k. Alors pour0< p < pc :

Pp(ρk ≤rk, ρi=ri pour1≤i < k|An)≥Pp(M ≤rk)Pp(ρi =ri pour 1≤i < k|An) Démonstration. On note B l'évènement "ρi=ri pour 1≤i < k".

Etant donnés un sommet y et deux ensembles de sommets Γ et S, on notera Cy,S,Γ l'évènement : "Il existe un chemin ouvert reliant y à un point de S et ne passant par aucun point de Γ". De plus, on noteraGle graphe composé de l'arête e_k−1, et des sommets et arêtes ouvertes qu'on peut atteindre par des

chemins ouverts sans utiliserek. On peut alors écrire : Pp(An∩B) = X

(Γ,y)

Pp(B,(G, y_k−1) = (Γ, y))Pp(An|B, G= Γ, y_k−1=y)

= X

(Γ,y)

Pp(B,(G, y_k−1) = (Γ, y))Pp(C_y,S(n),Γ) où(Γ, y)décrit toutes les valeurs possibles de (G, y_k−1).

On montre alors, similairement : Pp(An, B, ρk > rk) = X

(Γ,y)

Pp(B, G= Γ, y_k−1=y)Pp(C_y,S(n),Γ$C_{y,S(y,rk+1,Γ)}) Or,Pp(C_{y,S(y,rk+1),Γ)})≤gr_k+1(p)pour tout(Γ, y), donc l'inégalité BK donne :

Pp(An, B, ρk> rk)≤gr_k+1(p)Pp(An∩B) d'où le lemme en divisant par P_p(A_n).

Comme espéré, ce lemme permet d'obtenir une minoration deEp(N(An)|An): Lemme 2.2. Pour0< p < pc :

Ep(N(An)|An)≥ n Pn

i=0gi(p)−1

Démonstration. Soit (Mi)_i∈N^∗ un suite de variables aléatoires indépendantes distribuées commer(C0): en itérantkfois le lemme 2.1, on obtient, pour tout k≥1, l'inégalité :

Pp(ρ1+...+ρk ≤n−k|An)≥P(M1+...+Mk≤n−k) On poseM_i⁰=M_i+ 1: en sommant surk, on obtient :

E_p(N(A_n)|A_n) ≥ X

k∈N^∗

P(M₁⁰+...+M_k⁰ ≤n)

= X

k∈N^∗

P(K≥k+ 1)

= E(K)−1 oùK=min{k|M₁⁰+...+M_k⁰ > n}.

D'après la formule de Wald, n≤E(M₁⁰ +...+M_k⁰) =E(K)E(M₁⁰)d'où :

E(K)≥ n

1 +E(M₁) = n Pn

i=0gi(p) d'où le Lemme 2.2.

Soient doncpavec0< p < pc, etq∈]p, pc[. En intégrant(1)entrepetqet en utilisant le lemme précédent, on obtient :

g_n(p)≤g_n(q)exp

−(q−p)

n Pn

i=0gi(q)−1

(2) Cette formule va permettre, à partir d'une majoration degn(p), d'en obtenir une meilleure. On commence donc par une majoration moins bonne :

Lemme 2.3. Soit p < pc : on agn(p) =O(^√1_n)

Démonstration. Soitp < pc : l'idée est de construire par récurrence deux suites (nk)et(pk)avecpk ≥ppour toutktelles que(gn_k(pk))décroît assez vite. Pour cela, on prend p0 tel quep < p0< pc et n0, qu'on xera plus tard. On dénit alors, par récurrence, pour k≥0:

gk=gn_k(pk)

pk+1=pi−3gk(1−lngk) n_k+1=b_g¹

kcnk

On montre alors par récurrence sur kqueg_k ≤g_k−1² sik≥1et quep_k+1 ≥p, ce qui assure l'existence des suites considérées. La première inégalité découle de (2)et du choix den_k etp_k. Pour la seconde, on a, en utilisant la première :

p_k+1 = p₀−

k

X

j=0

3g_j(1−lng_j)

≥ p₀−

∞

X

j=0

3g²₀^j(1−lng₀^2j)

Cette dernière somme converge pour 0 < g0 <1 et tend vers 0 quandg0 tend vers 0, donc est majorée par p0−ppour g0 assez petit. En prenantn0 assez grand, on a donc bienpk déni etpk ≥ppour toutk.

De plus, en itérant gj ≤ g_j−1² puis en utilisant le choix desnj, on obtient pour k≥1:

g_k−1 ≤ g0

√g1g2...g_k−1

≤

rn₀g₀ nk

Il ne reste maintenant plus qu'à "combler les trous". Soit doncn≥n₀:(g_k) tend vers0donc(n_k)tend vers+∞et il existektel que n_k−1≤n≤n_k. On a alors :

gn(p) ≤ gk−1

≤

√n0g0

√nk

≤

√n0g0

√n d'où le lemme.

La preuve du théorème est maintenant facile : en majorant lesgi(q)par^C(q)√_i dans(2), on obtient :

gn(p) =O exp(−D(p)√ n) d'oùP

n∈Ng_n(p)<∞pourp < p_c, puis le théorème en réappliquant(2).

Références

[1] G. Grimmett. Percolation. Springer-Verlag, 1989.

[2] A. Kolmogorov. Foundations of the theory of probability. Chelsea Publishing, 1956.