1.2 Étude de fonctions

Lycée Pierre de Fermat 2020/2021

MPSI 1 TD

Fonctions usuelles 1 Manipulations techniques des fonctions

1.1 Généralités

⊲ Exercice 1.1. Composition de fonctions monotones, paires et impaires, périodiques SoientD etD^′ deux parties de R,f :D→D^′ etg:D^′→Rdeux fonctions.

1. Montrer que, sif etg ont la même monotonie alorsg◦f est croissante.

2. Montrer que, sif etg n’ont pas la même monotonie alorsg◦f est décroissante.

3. Montrer que, sif est paire, alorsg◦f est paire.

4. On suppose quef est impaire. Discuter en fonction de la parité ou de l’imparité deg, celle deg◦f. 5. Montrer que, sif est périodique, alorsg◦f est périodique. Montrer sur un exemple que la plus petite

période strictement positive deg◦f peut être strictement plus petite que la plus petite période strictement positive def.

⊲ Exercice 1.2. Équation fonctionnelle (raisonnement par analyse-synthèse).

Déterminer les fonctionsf :R^∗₊→Rtelles que

∀x∈R^∗₊ , f(x) + 3f 1

x

=x²

⊲ Exercice 1.3. Exemple de raisonnement par analyse-synthèse.

Montrer que toute fonction réelle d’une variable réelle définie sur R s’écrit de manière unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Application. Soientn∈Net (a0, . . . , an)∈Rⁿ⁺¹. Que dire de la fonction polynomialeP(x) = Xn k=0

akx^k si l’on sait qu’elle est paire (resp. impaire) ?

1.2 Étude de fonctions

⊲ Exercice 1.4. Recherche du domaine de définition 1. Quel est le domaine de définition dek(x) = ln|sinx|?

2. Quels sont les domaines de définition dej1(x) = ln|lnx|et j2(x) = 1 ln|lnx|? 3. Quel est le domaine de définition dei(x) = 1

sin(2x)−cos(3x)? 4. Quel est le domaine de définition deh(x) =√

2 sinx+ 1 ? 5. Quel est le domaine de définition deg(x) = ln(cosx) + ln(sinx) ?

6. Quel est le domaine de définition def(x) = ln(sin(2x)) ? cette fonction est-elle très différente de la fonction gprécédente ?

⊲ Exercice 1.5. Étude des branches infinies

Étudier les branches infinies des fonctions définies par les expressions suivantes et représentez-les dans le repère orthonormé (O,−→i ,−→j) usuel.

1)f(x) = x³

(x−1)² 2)f(x) = 1 +e^x1 3)f(x) = 1−3x−2x² x+ 2 4)f(x) = ln(|lnx|) 5)f(x) =p

4x²−2x+xe^x 6)f(x) = 4 +q

4x²+x√ x+ 1

⊲ Exercice 1.6. Étude de fonction

Étude complète de la fonctionf définie parf(x) =p

x²−2x−3.

1. Domaine de définition, réduction du domaine d’étude.

2. Étude des variations.

3. Étude des branches infinies (position relative courbe asymptote).

4. Calculer, pouru > 0, f(3 +u)−f(3)

u puis étudier l’existence d’une limite pour cette quantité lorsque u→0⁺. Que peut-on en déduire ?

5. Tracer.

⊲ Exercice 1.7. Étude de fonction Étudier la fonction définie parf(x) =jx

2 k−1

2⌊x⌋

⊲ Exercice 1.8. Étude de fonction

Étudier la fonction définie par f(x) = ⌊x⌋ −(⌊x⌋ −x)² puis tracer son graphe. En déduire les graphes des fonctionsget hdéfinies parg(x) =fx

2

et h(x) =f(|x+ 1|).

1.3 Notion de bijection

⊲ Exercice 1.9. Montrer que la fonction définie pour tout x∈Rpar f(x) =

1 + ln(x+ 1) six>0, x+ 1 six <0.

est une bijection et expliciter sa bijection réciproque.

Représenter sur un même graphef etf⁻¹.

⊲ Exercice1.10. Montrer que, sif est bijective deIdansJ, alors−f est une bijection deIdans−J ={−y|y∈ J}et expliciter sa bijection réciproque.

⊲ Exercice 1.11. Considérons la fonctionf définie par l’expressionf(x) = e^x e^x−1. 1. Montrer quef est une bijection de ]0,+∞[ sur un intervalle à préciser.

2. Donner les propriétés def⁻¹ qui se déduisent de celles def (monotonie, limites au bord du domaine et asymptotes, continuité, dérivabilité). Expliciterf^−1′(x).

3. Expliciterf⁻¹(x) en résolvant directement l’équationf(x) =yet retrouver les propriétés établies dans la question précédente.

2 Fonctions usuelles

2.1 Valeur absolue, partie entière notée E( · ) ou ⌊·⌋

⊲ Exercice 2.1. Montrer que, pour tout entiern∈N, n−1

2 6

jn 2 k

6 n 2.

⊲ Exercice 2.2. Montrer que,∀(x, y)∈R², E(x) +E(y) +E(x+y)6E(2x) +E(2y).

⊲ Exercice 2.3.

1. Montrer que,∀(n, x)∈N^∗×R, 06E(nx)−nE(x)6n−1.

2. En déduire que,∀(n, x)∈N^∗×R, E

E(nx) n

=E(x).

⊲ Exercice 2.4. Montrer que,∀(n, x)∈N^∗×R,

n−1

X

k=0

E

x+k n

=E(nx).

⊲ Exercice 2.5. Résoudre dansR,

x−1 x+ 3 62.

⊲ Exercice 2.6.

1. Montrer que, pour tout (a, b)∈R², max(a, b) =a+b+|a−b|

2 et min(a, b) =a+b− |a−b|

2 .

2. Soientf etgdeux fonctions réelles définies et continues sur un intervalle réelI. Montrer quem

I → R

t 7→ min(f(t), g(t)) etM

I → R

t 7→ max(f(t), g(t)) sont des fonctions continues surI.

2.2 Fonctions puissance, logarithme et exponentielle

⊲ Exercice 2.7. Calcul

1. Simplifier (écrire différemment et plus simplement) les expressions : 1) (a⁽ⁿ²⁾)² 2) aⁿ²

aⁿ 3) a³ⁿ(aⁿ)³ 4) (aⁿ)ⁿ

5) 1

(1 +x)² 6) −x¹²

1+x x

7) x^ln(lnlnxx) 8) (e^{−5 lnp})^lnq− 1

q⁵ lnp

9) (2ⁿ−1)²−4ⁿ−2ⁿ⁺¹ 10) (1 +√

5)²−6−2√

5 11) (n+ 2)!−n! 12) n+ 2 (n+ 1)! − 1

n!.

2. Que pensez-vous des expressions suivantes : 8 + sin(^π₆) sin(^7π₆)

(sin^π₄)³ et cos(^π₃)²−2³ (cos^π₄)³ .

⊲ Exercice 2.8. Exprimer, en fonction denet du premier terme, le terme général des suites récurrentes réelles suivantes :

u0∈R

∀n∈N, un+1=u²n

,

v0∈R^∗

∀n∈N, vn+1 =vⁿn

,

w1∈R^∗

∀n∈N^∗, wn+1=wⁿn

,

x1∈R

∀n∈N^∗, xn+1=nxn .

⊲ Exercice 2.9. Résoudre 1. 2^(x2)= 3^(x3). 2.

8^x = 10y 2^x = 5y 3. x^√x=√

x^x.

⊲ Exercice 2.10. Résoudre les inégalités 1. ln|x+ 2|6ln 3 + ln|x−1|. 2. 2√⁴

x+ 3√³ x>√

x

2.3 Trinôme du second degré

⊲ Exercice2.11. Interprétation analytique des propriétés géométriques du trinôme du second degré 1. Quelle est l’équation de l’axe de symétrie de la paraboley= 3x²−6x+ 1 ? Quelles sont les coordonnées

de son sommet ? tracer l’allure de cette parabole.

2. Le trinômex²+ 4x−2 admet-il des racines réelles ? que dire de leur signe ? que dire de l’ensemble des solutions de l’équationx²+ 4x−2<0 ?

3. Le trinômex²+ 4x+ 3 admet-il des racines réelles ? que dire de leur signe ? que dire de l’ensemble des solutions du système

x²+ 4x+ 360

x>0 ?

⊲ Exercice 2.12. Inéquations

Résoudre les inégalités (on ne se privera pas d’une représentation graphique) 1. x²+ 2x−3<5.

2. |x²+ 2x−3|<3.

3. ln|x+ 3|<2 ln 2−ln|x−1|.

⊲ Exercice 2.13.

Soitα∈Rtel que −π < α < π.

1. Montrer que sin²α−2(1 + cosα) =−4 cos⁴α 2.

2. Résoudre dans le corpsCdes nombres complexes l’équation d’inconnuez : z²−2zsinα+ 2(1 + cosα) = 0 .

3. Exprimer, en fonction deαle module et l’argument dans [0,2π[ des racines de l’équation.

3 Inégalités

3.1 Manipulation des inégalités

⊲ Exercice 3.1. Entraînement aux estimations sans étudier les fonctions à encadrer.

Prouver les encadrements ci-dessous 1. ∀x∈[0,1], 1

√2 6x³+x+ 1

√1 +x² 63.

2. ∀x∈[−1,1],−16x³+x+ 1

√2−x² 63.

3. ∀x∈R, 2

3 63 + cosx

2 + cosx64 puis changer de technique pour obtenir∀x∈R, 4

3 63 + cosx 2 + cosx 62.

4. ∀x∈R, 1

2 +√2 6 1

cosx+ sinx+ 2 6 1 2−√2. 5. ∀x∈]0,1], 1

π 6 sinx x²+x61.

⊲ Exercice 3.2. Montrer que, pour toutn∈N^∗,

∀(x1, x2, . . . , xn)∈[0, 1]ⁿ, Xn i=1

xi= Xn i=1

x²i ⇒ ∀i∈ {1, 2, . . . , n}, xi∈ {0, 1}.

⊲ Exercice 3.3. 1. Soitn∈N^∗ fixé quelconque. Considérons la fonctionf(x) = Xn k=1

kx^k. Montrer que,

∀x∈R\ {1}, f(x) =x× d dx

x×1−xⁿ 1−x

=x× d dx

1−xⁿ⁺¹ 1−x

. 2. Montrer que,

∀n∈N^∗, Xn k=1

k 2^k = 2

1−n+ 2 2ⁿ⁺¹

et calculer la limite de cette expression lorsquentend vers +∞. 3. En déduire que,

∀n∈N^∗, 2¹² ×4¹⁴ ×8¹⁸ × · · · ×(2ⁿ)²¹ⁿ <4.

Peut-on améliorer cette inégalité en remplaçant 4 par un nombre réel strictement inférieur à 4 ? 4. En reprenant la preuve conduite ci-dessus, montrer que,

∀x∈R\ {1}, ∀n∈N^∗, Xn k=1

kx^k =x(1−(n+ 1)xⁿ+nxⁿ⁺¹) (1−x)²

et en déduire que

∀x∈]−1,1[, lim

n→+∞

Xn k=1

kx^k = x (1−x)² puis que

∀λ∈]1,+∞[, ∀n∈N^∗, Yn k=1

λ^{k 1}

λk < λ^(λ−1)2λ , cette dernière inégalité ne pouvant pas être améliorée.

⊲ Exercice 3.4. Propriétés de la moyenne de Cesaro

Soit (un)n∈N une suite réelle à laquelle on associe la suite réelle (vn)n∈Ndéfinie par vn= u0+u1+u2+· · ·+un

n+ 1 .

1. Montrer que si (un)n∈Nest croissante, alors (vn)n∈N l’est aussi.

2. Montrer que si (un)n∈Nest majorée, alors (vn)n∈Nl’est aussi.

3. Montrer que si (un)n∈Nest bornée, alors (vn)n∈Nl’est aussi.

4. Dans chacun des cas précédents, démontrez l’assertion réciproque ou infirmez la, en explicitant un contre- exemple.

3.2 Preuves d’inégalités

⊲ Exercice 3.5. Récurrence Montrer, par récurrence, la propriété

∀n∈N^∗ , 1 + 1 2² + 1

3² +. . .+ 1

n² 62−1 n

⊲ Exercice 3.6. Récurrence Démontrer que :

∀x∈]−1,+∞[, ∀n∈N, (1 +x)ⁿ>1 +nx .

⊲ Exercice3.7. Montrer que∀x∈R, x(x−1)>−1

4. On donnera trois preuves, une algébrique, une analytique et une graphique.

⊲ Exercice 3.8. Méthode fonctionnelle basée sur une étude de variations d’une fonction Montrer que

1. ∀x∈[0, π], 1−x²

2 6cosx61.

Application : montrer que la suiteun= 1 n

Xn k=1

coskπ

n² converge et calculer sa limite.

2. ∀x∈[0, π], x−x³

6 6sinx6x.

Application : montrer que la suiteun= Xn k=1

sinkπ

n² converge et calculer sa limite.

ettracerles courbes représentatives des 3 fonctions de chaque encadrement sur un même dessin.

⊲ Exercice 3.9. Inégalités avec3 variables Montrer que,∀(x, y, z)∈R^∗₊³ tels quex6y+z,

x

1 +x < y

1 +y + z 1 +z Indic :en posant f :t7→ t

1 +t, on pourra montrer que ∀s∈R^∗

+ , ∀t∈]0, s[, f(s)< f(t) +f(s−t).

⊲ Exercice 3.10. Intérêt des inégalités 1. Montrer que∀x∈R₊, x−x²

2 6ln(1 +x)6x.

2. (*) En déduire la limite deun= Yn k=1

1 + k

n²

.

3. (**) En déduire la limite devn= Yn k=1

1− k

n²

.

4 Limites usuelles et théorème des croissances comparées

⊲ Exercice 4.1. Préciser le comportement des suites suivantes lorsquentend vers +∞: 1) n²lnn

eⁿ 2) 8ⁿ+ 3²ⁿ

p√

n+ (lnn)¹⁰⁰ 3) n7ⁿ+ 3²ⁿ lnn+√

n 4) ln(n)9ⁿ+ ln(n+ 1)3²ⁿ

(3²ⁿ⁺³+n2³ⁿ) ln(n+√n) 5) lnn+ lnⁿ₄²

3 lnn+ 1 6) 7n⁵+n²

(n+ 3)⁵−ln(n¹⁰)

7) 3²ⁿ−2³ⁿ

ln(n+ 2)−ln((n+ 4)³+ 1) 8)

lnn (3e)ⁿ

_2n¹

9) a^3nlnn

nⁿ , a∈R^∗₊ 10)

X2n k=n

a^k , a∈R, 11)

√nln(n⁴)−3nln

(n+ 2)^√1n

e⁶ⁿ+ 100ⁿ 12) n²+√ nⁿ

√n! +e⁶ⁿ 13) (n+ 3)ⁿ−(n+ 1)ⁿ⁺¹

2 lnn!−P2n k=1lnk

⊲ Exercice 4.2. Préciser le comportement des suites suivantes lorsquen tend vers +∞en utilisant les limites usuelles et le théorème des croissances comparées :

1) ln (1 +e⁻ⁿ)

e⁻ⁿ 2) nsin 1

n+ 1− 1 n²

3) tan²(ne⁻ⁿ) (n+ 1)²ln(1−2e⁻²ⁿ) 4) 2n+√

n_ln(n+1)¹ 5) n²+√

n_ln(n+1)¹ 6)

1 + ln(1 + 2n³)

√2n

√n lnn

7) n(3ⁿ² −1) 8) 1−cos(^ln_nⁿ)

(nⁿ² −1)² 9) ln(2√ eⁿ+ 1) 2n((ln 3)¹ⁿ−1)

Correction des exercices

⊲ Corrigé de l’exercice 1.1

1. ⋆ Supposons que f etg sont croissantes.

Soient (x, y)∈D² fixés quelconques tels quex < y.

Par croissance def,f(x)6f(y) d’où, par croissance deg,g(f(x))6g(f(y)).

Par conséquent,g◦f est croissante.

⋆ Supposons que f etg sont décroissantes.

Soient (x, y)∈D² fixés quelconques tels quex < y.

Par décroissance def,f(x)>f(y) d’où, par décroissance deg,g(f(x))6g(f(y)).

Par conséquent,g◦f est croissante.

2. ⋆ Supposons que f est croissante etg est décroissante.

Soient (x, y)∈D² fixés quelconques tels quex < y.

Par croissance def,f(x)6f(y) d’où, par décroissance deg,g(f(x))>g(f(y)).

Par conséquent,g◦f est décroissante.

⋆ Supposons que f est décroissante etgest croissante.

Soient (x, y)∈D² fixés quelconques tels quex < y.

Par croissance def,f(x)>f(y) d’où, par croissance deg,g(f(x))>g(f(y)).

Par conséquent,g◦f est décroissante.

3. Supposons quef est paire.

(i) puisquef est paire,∀x∈D,−x∈D, (ii) ∀x∈D, (g◦f)(−x) =g(f(−x)) =g(f(x))

| {z } f est paire

=g◦f)(x).

Par conséquent, g◦f est paire . 4. On suppose quef est impaire.

(i) puisquef est impaire,∀x∈D,−x∈D, (ii) ∀x∈D,

⋆ sigest paire, (g◦f)(−x) =g(f(−x)) =g(−f(x)) =g(f(x))

| {z } g est paire

= (g◦f)(x),

⋆ sigest impaire, (g◦f)(−x) =g(f(−x)) =g(−f(x)) =−g(f(x))

| {z } g est impaire

=−(g◦f)(x).

Par conséquent, sig est paire alorsg◦f est paire, sigest impaire alors g◦f est impaire.

5. Supposons quef est périodique.

SoitT >0 une période def.

(i) puisquef admetT pour période,∀x∈D,x+T ∈D et x−T ∈D, (ii) ∀x∈D, (g◦f)(x+T) =g(f(x+T)) =g(f(x))

| {z } T période def

= (g◦f)(x).

Par conséquent,T est une période deg◦f donc g◦f est périodique .

PosonsD =D^′ =R, f = sin et g =| · |. Alors la plus petite période strictement positive def est 2π tandis que la plus petite période strictement positive deg◦f estπ.

⊲ Corrigé de l’exercice 1.2 • Analyse.

Soitf une fonction solution de l’équation fonctionnelle fixée quelconque.

Soitx∈R^∗

+ fixé quelconque.

Puisquef est une solution,

f(x) + 3f 1

x

=x² (1)

Par ailleurs, en appliquant l’équation fonctionnelle pourx← 1 x, f

1 x

+ 3f(x) = 1

x² (2)

En calculant (1)-3×(2),

−8f(x) =x²− 3 x²

doncf(x) =−1 8

x²− 3

x²

.

Ainsi, l’équation fonctionnelle possède au plus une solution, il s’agit de la fonctionh:

R^∗

+ → R

x 7→ −1 8

x²− 3

x²

• Synthèse.

Soitx∈R^∗

+ fixé quelconque.

Calculons

f(x) + 3f 1

x

= −1 8

x²− 3

x²

−3 8

1 x² −3x²

= 1

8

−x²+ 3 x² − 3

x²+ 9x²

= x²

donc l’équation fonctionnelle possède au moins une solution, il s’agit de la fonctionh.

Il existe une unique solution :h:







R^∗₊ → R x 7→ −1

8

x²− 3 x²

⊲ Corrigé de l’exercice 1.3 Soitf ∈ F(R) fixée quelconque.

• Analyse.

Supposons qu’il existe (fp, fi)∈ F(R)²telles que







fp est paire, fi est impaire, f =fp+fi . On a donc, pour toutx∈R,

f(x) =fp(x) +fi(x) (3)

et,

f(−x) =fp(−x) +fi(−x) =fp(x)−fi(−x) (4) En procédant à la demi-somme et à la demi-différence des égalités (3) et (4), on obtient

fp(x) = f(x) +f(−x)

2 et fi(x) = f(x)−f(−x) 2

Nous observons alors que les fonctionsfpetfisont entièrement déterminées parf, elles sont donc uniques.

Nous venons de prouverl’unicité de la décomposition sous hypothèse d’existence !

• Synthèse.

Posonsgp

R → R

x 7→ f(x) +f(−x) 2

etgi

R → R

x 7→ f(x)−f(−x) Observons que 2

⋆ gp est définie surR donc∀x∈R,−x∈Ret gp(−x) = f(−x) +f(−(−x))

2 = f(−x) +f(x)

2 =gp(x) doncgp est paire,

⋆ gi est définie sur Rdonc∀x∈R,−x∈Ret gi(−x) = f(−x)−f(−(−x))

2 = f(−x)−f(x)

2 =−gi(x) doncgi est impaire,

⋆ ∀x∈R,gi(x) +gp(x) = f(x) +f(−x)

2 +f(x)−f(−x)

2 =f(x) doncf =gi+gp.

Nous venons de prouver qu’il existe au moins une façon d’écriref comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire, ce qui prouvel’existence d’au moins une décomposition.

Supposons queP est paire :

∀x∈R, P(x) = 1

2(P(x) +P(−x))

= 1

2 Xn k=0

akx^k+1 2

Xn k=0

ak(−x)^k

= Xn k=0

ak

1 + (−1)^k

| {z2 }

=

1 sik≡0 [2], 0 sik≡1 [2].

x^k

= Xn

k=0 k≡0 [2]

akx^k

= X

06i6⌊ⁿ2⌋

a2ix²ⁱ tous les coefficients d’indices impairs sont nuls

Supposons queP est impaire :

∀x∈R, P(x) = 1

2(P(x)−P(−x))

= 1

2 Xn k=0

akx^k−1 2

Xn k=0

ak(−x)^k

= Xn k=0

ak

1−(−1)^k

| {z2 }

=

0 sik≡0 [2], 1 sik≡1 [2].

x^k

= Xn

k=0 k≡1 [2]

akx^k

= X

06i6⌊ⁿ⁻¹2 ⌋

a2i+1x²ⁱ⁺¹ tous les coefficients d’indices pairs sont nuls

Pour justifier les plages de variation de l’indiceidans les deux calculs ci-dessus, on observe que

— sin≡0 [2],∃p∈N:n= 2p,p=⌊n

2⌋et p−1 =⌊n−1 2 ⌋,

— la somme X2p

k=0 k≡0[2]

. . .correspond à Xp i=0

. . .=

⌊ⁿ2⌋

X

i=0

. . .

— la somme X2p

k=0 k≡1[2]

. . .correspond à

p−1

X

i=0

. . .=

⌊ⁿ⁻¹2 ⌋

X

i=0

. . .

— sin≡1 [2],∃p∈N:n= 2p+ 1,p=⌊n

2⌋etp=⌊n−1 2 ⌋,

— la somme

2p+1X

k=0 k≡0[2]

. . .correspond à Xp i=0

. . .=

⌊ⁿ2⌋

X

i=0

. . .

— la somme

2p+1X

k=0 k≡1[2]

. . .correspond à Xp i=0

. . .=

⌊ⁿ⁻¹2 ⌋

X

i=0

. . .

⊲ Corrigé de l’exercice 1.4 1. x∈ D^k ⇐⇒

x∈ Dsin

|sinx| ∈ Dln ⇐⇒

x∈R

sinx6= 0 ⇐⇒

x∈R

x /∈πZ ⇐⇒ x∈R\πZ. Ainsi,D^k=R\πZ.

2. Quels sont les domaines de définition dej1(x) = ln|lnx|et j2(x) = 1 ln|lnx|?

3. Quel est le domaine de définition dei(x) = 1

sin(2x)−cos(3x)? 4. Quel est le domaine de définition deh(x) =√

2 sinx+ 1 ? 5. Quel est le domaine de définition deg(x) = ln(cosx) + ln(sinx) ?

6. Quel est le domaine de définition def(x) = ln(sin(2x)) ? cette fonction est-elle très différente de la fonction gprécédente ?

⊲ Corrigé de l’exercice 1.5 1. f(x) = x³

(x−1)².

Branches infinies en−∞, +∞, 1⁺et 1⁻.

⋆ Au voisinage de−∞. f(x) = x³

(x−1)² = x³ x²

1−1

x

2 = x

1−1 x

2 donc lim

x→−∞f(x) =−∞. Étudions

f(x)

x = x³

x(x−1)² = x³ x³

1−1

x

2 = 1

1−1 x

2

donc lim

x→−∞

f(x) x = 1.

Étudions

f(x)−x= x³

(x−1)² −x=x³−x³+ 2x²−x (x−1)² =

2x²

1− 1 2x

x²

1−1 x

2 = 2

1− 1

2x

1−1 x

2

donc lim

x→−∞f(x)−x = 2 si bien que le graphe de f admet au voisinage de −∞ la droite d’équation y=x+ 2 comme asymptote oblique. De plus, au voisinage de−∞,

f(x)−(x+ 2) = 2

1− 1

2x

−2

1−1 x

2

1−1

x

2 = 3 x

1− 2

3x 2

1−1

x

2 <0 doncau voisinage de−∞ le graphe de f est situé en-dessus de son asymptote.

⋆ Au voisinage de +∞. f(x) = x³

(x−1)² = x³ x²

1−1

x

2 = x

1−1 x

2 donc lim

x→+∞f(x) = +∞. Étudions

f(x)

x = x³

x(x−1)² = x³ x³

1−1

x

2 = 1

1−1 x

2

donc lim

x→+∞

f(x) x = 1.

Étudions

f(x)−x= x³

(x−1)² −x=x³−x³+ 2x²−x (x−1)² =

2x²

1− 1 2x

x²

1−1 x

2 = 2

1− 1

2x

1−1 x

2

donc lim

x→+∞f(x)−x = 2 si bien que le graphe de f admet au voisinage de +∞ la droite d’équation y=x+ 2 comme asymptote oblique. De plus, au voisinage de +∞,

f(x)−(x+ 2) = 2

1− 1

2x

−2

1−1 x

2

1−1

x

2 = 3 x

1− 2

3x 2

1−1

x

2 >0 doncau voisinage de+∞ le graphe de f est situé au-dessus de son asymptote.

⋆ Au voisinage de 1⁻ et 1⁺.

xlim→1f(x) = +∞doncle graphe def admet en1la droite d’équationx= 1comme asymptote verticale.

Remarque concernant l’étude des branches infinies en −∞ et +∞ :la division euclidienne de x³ par (x−1)² =x²−2x+ 1 donnex³ = (x+ 2)(x−1)²+ 3x−2 d’où, après simplification : f(x) = x+2+ 3x−2

(x−1)², ce qui permet de trouver directement la présence d’une asymptote oblique en +∞et−∞

ainsi que la position relative courbe/asymptote qui se déduit du signe du termef(x)−(x+ 2) = 3x−2 (x−1)².

y=x+ 2

x= 1

−

→i

−

→j

Figure1 – Branches infinies def :x7→ x³ (x−1)².

2. f(x) = 1 +e^x1.

Branches infinies en−∞, +∞et 0⁺(pas de branche infinie en 0⁻ car la limite def(x) est finie à gauche en 0).

⋆ Au voisinage de−∞.

x→−∞lim f(x) = 2 donc le graphe de f admet en −∞ la droite d’équation y = 2 comme asymptote horizontale.De plus, au voisinage de−∞,f(x)−2 =e^x1 −1 <0 doncle graphe de f est situé en-dessous de son asymptote.

⋆ Au voisinage de +∞.

x→lim+∞f(x) = 2 donc le graphe de f admet en +∞ la droite d’équation y = 2 comme asymptote horizontale. De plus, au voisinage de +∞, f(x)−2 = e^1x −1 > 0 donc le graphe de f est situé au-dessus de son asymptote.

⋆ Au voisinage de 0⁺.

xlim→0⁺f(x) = +∞doncle graphe de f admet à droite en 0la droite d’équation x= 0comme asymptote verticale.

y= 2

x= 0

−

→i

−

→j

Figure2 – Branches infinies def :x7→1 +e^1x.

3. f(x) = 1−3x−2x² x+ 2 .

Branches infinies en−∞, +∞,−2⁻ et −2⁺.

⋆ Au voisinage de−∞. f(x) = 1−3x−2x²

x+ 2 =−2x²

1 + 3 2x− 1

2x²

x

1 + 2 x

= −2x

1 + 3 2x− 1

2x²

1 + 2 x

donc lim

x→−∞f(x) = +∞. Étudions

f(x) x =

−2

1 + 3 2x− 1

2x²

1 + 2 x

donc lim

x→−∞

f(x) x =−2.

Étudions

f(x)−(−2x) =1−3x−2x²

x+ 2 + 2x=x+ 1 x+ 2 =

x

1 + 1 x

x

1 + 2 x

=

1 + 1 x

1 + 2 x

donc lim

x→−∞f(x)−(−2x) = 1 si bien quele graphe de f admet au voisinage de −∞la droite d’équation y=−2x+ 1 comme asymptote oblique. De plus, au voisinage de −∞,

f(x)−(−2x+ 1) =

1 + 1 x

−

1 +2 x

1 + 2 x

= −1 x

1 + 2 x

>0

doncau voisinage de−∞ le graphe de f est situé au-dessus de son asymptote.

⋆ Au voisinage de +∞. f(x) = 1−3x−2x²

x+ 2 =

−2x²

1 + 3 2x− 1

2x²

x

1 + 2 x

=

−2x

1 + 3 2x− 1

2x²

1 + 2 x

donc lim

x→+∞f(x) =−∞. Étudions

f(x) x =−2

1 + 3

2x− 1 2x²

1 + 2 x

donc lim

x→+∞

f(x) x =−2.

Étudions

f(x)−(−2x) =1−3x−2x²

x+ 2 + 2x=x+ 1 x+ 2 =

x

1 + 1 x

x

1 + 2 x

=

1 + 1 x

1 + 2 x

donc lim

x→+∞f(x)−(−2x) = 1 si bien quele graphe de f admet au voisinage de +∞ la droite d’équation y=−2x+ 1 comme asymptote oblique. De plus, au voisinage de +∞,

f(x)−(−2x+ 1) =

1 + 1 x

−

1 +2 x

1 + 2 x

= −1 x

1 + 2 x

<0

doncau voisinage de+∞ le graphe de f est situé en-dessous de son asymptote.

⋆ Au voisinage de−2⁻ et −2⁺.

f(x) =

x→−→2−1

z }| { 1−3x−2x²

x+ 2 donc

⋆⋆ lim

x→−2⁻f(x) = +∞ donc le graphe de f admet en 1 la droite d’équation x = 1 comme asymptote verticale.

⋆⋆ lim

x→−2⁺f(x) = −∞ donc le graphe de f admet en 1 la droite d’équation x = 1 comme asymptote verticale.

Remarque concernant l’étude des branches infinies en −∞ et +∞ :la division euclidienne de

−2x²−3x+ 1 parx+ 2 donne−2x²−3x+ 1 = (x+ 2)(−2x+ 1)−1 d’où, après simplification :f(x) =

−2x+1− 1

x+ 2, ce qui permet de trouver directement la présence d’une asymptote oblique en +∞et−∞

ainsi que la position relative courbe/asymptote qui se déduit du signe du termef(x)−(−2x+1) =− 1 x+ 2.

y=−2x+ 1

x=−2

−

→i

−

→j

Figure3 – Branches infinies def :x7→ 1−3x−2x² x+ 2 .

4. f(x) = ln(|lnx|).

Branches infinies en 0⁺, 1⁻, 1⁺ et +∞.

⋆ Au voisinage de 0⁺.

xlim→0⁺f(x) = +∞doncle graphe de f admet à droite en 0la droite d’équation x= 0comme asymptote verticale.

⋆ Au voisinage de 1 (en 1⁺ et 1⁻).

xlim→1f(x) =−∞doncle graphe def admet en1la droite d’équationx= 0comme asymptote verticale.

⋆ Au voisinage de +∞.

x→lim+∞f(x) = +∞ Étudions

f(x)

x = ln(|lnx|)

|lnx| ×|lnx|

x =

pour|{z}x >1

ln(lnx) lnx

| {z }

x→→+∞0

(composition des limites)

× lnx

|{z}x

x→→+∞0

(croissances comparées) donc lim

x→+∞

f(x)

x = 0 si bien quele graphe de f admet en +∞ une branche parabolique de direction asymptotique (O−→i).

x= 1

x= 0

−

→i

−

→j

Figure4 – Branches infinies def :x7→ln(|lnx|).

5. f(x) =p

4x²−2x+xe^x. Branches infinies en−∞et +∞

⋆ Au voisinage de−∞.

x→−∞lim f(x) = +∞. Étudions

f(x) x =

2|x| r

1− 1 2x+ e^x

4x

x =−2

r 1− 1

2x+ e^x 4x donc lim

x→−∞

f(x) x =−2.

Étudions

f(x)−(−2x) =

p4x²−2x+xe^x+ 2x p

4x²−2x+xe^x−2x

√4x²−2x+xe^x−2x

=

−2x

1−e^x 2

2|x| r

1− 1 2x+e^x

4x

!

−2x

= −2x

1−e^x

2

−2x r

1− 1 2x+e^x

4x+ 1

!

= 1−e^x

r 2 1− 1

2x+e^x 4x+ 1 donc lim

x→−∞f(x)−(−2x) = 1

2 si bien quele graphe de f admet au voisinage de −∞ la droite d’équation y=−2x+1

2 comme asymptote oblique. De plus, au voisinage de−∞,

f(x)−

−2x+1 2

=1−e^x 2 −1

2 −1 2

r 1− 1

2x+ e^x r 4x

1− 1 2x+ e^x

4x+ 1

=

x→−∞→ 0⁻

z }| {

x→−∞→ 0⁻ z }| {

−e^x 2 +1

2

x→−∞→ 0⁻

z }| {

















 1−

x→−∞→ 1⁺ z }| { vu

uu uu uu ut

1− 1 2x







 1 + e^x

| {z }4

x→−∞→ 1

























 r

1− 1 2x+ e^x

4x+ 1

| {z }

x→−∞→ 2 si bien qu’au voinage de −∞, f(x)−

−2x+1 2

<0 doncau voisinage de −∞le graphe de f est situé en-dessous de son asymptote.

⋆ Au voisinage de +∞.

x→lim+∞f(x) = +∞.

Étudions f(x)

x =

√xe^x2√

4xe^−x−2e^−x+ 1

x = e^x2

√x

→|{z}

x→+∞+∞ (croissances comparées)

√4xe^−x−2e^−x+ 1

| {z }

x→→+∞1

(croissances comparées)

donc lim

x→−∞

f(x)

x = +∞si bien quele graphe def admet en +∞une branche parabolique de direction asymptotique la droite (O,−→j).

y=−2x+1 2

−

→i

−

→j

Figure5 – Branches infinies def :x7→p

4x²−2x+xe^x.

6. f(x) = 4 +q

4x²+x√ x+ 1 Branche infinie en +∞.

x→lim+∞f(x) = +∞. Étudions

f(x) x = 4

x+ 2x

s 1 + 1

4√ x+ 1

4x²

x = 4

x+ 2 s

1 + 1 4√x+ 1

4x² donc lim

x→+∞

f(x) x = 2 Étudions

f(x)−2x = 4 + (p

4x²+x√

x+ 1−2x)(p

4x²+x√

x+ 1 + 2x) p4x²+x√x+ 1 + 2x

= 4 + x√

x+ 1 p4x²+x√x+ 1 + 2x

= 4 +

x√ x

1 + 1

x√ x

2x s

1 + 1 4√

x+ 1 4x² + 1

!

= 4 +√ x

1 + 1

x√x

2 s

1 + 1 4√

x+ 1 4x² + 1

!

| {z }

x→→+∞+∞ donc lim

x→+∞

f(x)

x = +∞si bien que le graphe de f admet en +∞ une branche parabolique de direction asymptotique la droite d’équation y= 2x.

⊲ Corrigé de l’exercice 1.6

Observons que−1 est une racine évidente du trinômex²−2x−3, or le produit des racines est−3 donc l’autre racine vaut−1. Par conséquent, la forme factorisée du trinôme est

x²−2x−3 = (x+ 1)(x−3) 1.

f(x) existe ⇐⇒ x²−2x−3>0 ⇐⇒ (x+ 1)(x−3)>0 ⇐⇒ x∈]− ∞,−1]∪[3,+∞[ Ainsi, le domaine de définition def estD^f =]− ∞,−1]∪[3,+∞[.

Nous savons que la courbe représentative du trinômex²−2x−3 = (x+ 1)(x−3) admet la droite verticale d’équationx= 1 (médiatrice du segment formé par les racines) comme axe de symétrie. Il en va de même pour la fonctionf.

Nous étudieronsf surD^f∩[1,+∞[= [3,+∞[ puis nous tracerons le grapheG+ correspondant. La courbe représentative de f sera obtenue en adjoignant à G+ son image G₋ par la réflexion d’axe la première bissectrice.

2. «partie brouillon» : Sachant que la fonction √

· est dérivable sur R^∗

+, Le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions dérivables s’applique en tout x0 ∈ [3,+∞[ tel que x²₀−2x0−3 ∈R^∗

+, or pourx0 ∈ [3,+∞[, x²₀−2x0−3>0 avec égalité si et seulement six0= 3.

«partie rédaction» :

⋆ x7→x²−2x−3 est dérivable sur]3,+∞[et à valeurs dansR^∗

+,

⋆ √

·est dérivable surR^∗

+ dansR

donc le théorème sur la dérivabilité d’une composée de fonctions dérivables s’applique et montre que f ∈ D¹(]3,+∞[,R).

Attention : le théorème ci-dessus ne s’applique pas en 3, cela ne prouve cependant pas que f n’est pas dérivabele en 3.

∀x∈]3,+∞[, f^′(x) = 2x−2 2√

x²−2x−3 >0

x 3 +∞

f^′(x) ?

+∞

f ր

0

Remarque : le tableau des variations pouvait être obtenu sans avoir recours au calcul de la dérivée def car f est la composée d’un trinôme du second degré qui est strictement croissant sur [3,+∞[ et de la fonction√

·qui est aussi strictement croissante d’où la stricte croissance def sur [3,+∞[.

3. Étude de la branche infinie en +∞. Pourx>3, f(x)

x = r

1− 2 x− 3

x² donc lim

x→+∞

f(x) x = 1.

Calculons, pourx>3, f(x)−x=p

x²−2x−3−x= −2x−3

√x²−2x−3 +x =−2x x

1 + _2x³ q1−x²−x³² + 1 donc lim

x→+∞f(x)−x=−1.

Par conséquent, la courbe représentative de f admet la droite d’équationy = x−1 comme asymptote oblique en +∞.

De plus, pourx>3,

f(x)−(x−1) = −2x−3 +xq

1−²x−x³² +x

√x²−2x−3 +x =

−3 +x

<0

z }| { r

1− 2 x− 3

x² −1

!

√x²−2x−3 +x <0 donc sur [3,+∞[, la courbe représentative def est toujours située en-dessous de son asymptote.

−

→i

−

→j

y=−x+ 1 y=x−1

Figure6 – Graphe def :x7→p

x²−2x−3.

4. Soitu >0.

f(3 +u)−f(3)

u =

p(3 +u+ 1)(3 +u−3)−0

u =

pu(4 +u)

u =

√4 +u

√u donc lim

u→0⁺

f(3 +u)−f(3)

u = +∞.

Par conséquent, la fonction f n’est pas dérivable à droite en 3 et son graphe admet en ce point une demi-tangente verticale.

5.

⊲ Corrigé de l’exercice 1.7

⊲ Corrigé de l’exercice 1.8

⊲ Corrigé de l’exercice 1.9

⊲ Corrigé de l’exercice 1.10

Considérons l’équation d’inconnuex∈I et de paramètrey∈−J fixé quelconque : (−f)(x) =y

x∈I ⇐⇒

−f(x) =y x∈I

⇐⇒

f(x) =−y x∈I

⇐⇒

x=f⁻¹(−y)

x∈I car−y∈J

L’existence (⇐) et l’unicité (⇒) d’une solution permettent d’affirmer que−f est une bijection deIdans−J et sa bijection réciproque est

(−f)⁻¹

−J → I z 7→ f⁻¹(−z) .

⊲ Corrigé de l’exercice 1.11

⊲ Corrigé de l’exercice 2.1

Procédons par disjonction des cas selon la parité den:

• si n ≡ 0[2], ∃k ∈ N : n = 2k, alors n−1

2 = k− 1 2, jn

2

k = k et n

2 = k, or k− 1

2 6 k 6 k donc n−1

2 6

jn 2 k

6 n 2,

• sin≡1[2],∃k∈N : n= 2k+ 1, alors n−1

2 =k,jn 2

k=

k+1 2

=ket n

2 =k+1

2, ork6k6k+1 2 donc n−1

2 6

jn 2 k

6 n 2. Ainsi,∀n∈N, n−1

2 6

jn 2 k

6n 2.

⊲ Corrigé de l’exercice 2.2 Soient (x, y)∈R²fixés quelconques.

Posonsnx=E(x)∈Z, δx=x−nx∈[0,1[,q=E(y)∈Zetδy=y−ny ∈[0,1[ de sorte que 2x=nx+δx, 2y=ny+δy

Procédons par disjonction des cas en fonctions de la parité des entiersnx etny.

• Supposons quenx≡0 [2] etny ≡0 [2].

Dans ce cas∃(n^′_x, n^′_y)∈Z² :nx= 2n^′_x etny= 2n^′_y. Alors

x=2x

2 = 2n^′_x+δx

2 = n^′_x

|{z}

∈Z + δx

|{z}2

∈[0,1 2[

⇒E(x) =n^′_x

y =2y

2 = 2n^′_y+δy

2 = n^′_y

|{z}

∈Z + δy

|{z}2

∈[0,1 2[

⇒E(y) =n^′_y

x+y= 2x+ 2y

2 =2n^′_x+δx+ 2n^′_y+δy

2 =n^′_x+n^′_y

| {z }

∈Z

+ δx

|{z}2

∈[0,1 2[

+ δy

|{z}2

∈[0,1 2[

| {z }

∈[0,1[

⇒E(x+y) =n^′_x+n^′_y

Par conséquent,E(x) +E(y) +E(x+y) = n^′_x+n^′_y+ (n^′_x+n^′_y) = 2n^′_x+ 2n^′_y =E(2x) +E(2y) d’où le résultat attendu.

• Supposons quenx≡1 [2] etny ≡1 [2].

Dans ce cas∃(n^′x, n^′y)∈Z² :nx= 2n^′x+ 1 etny= 2n^′y+ 1.

Alors

x=2x

2 = 2n^′_x+ 1 +δx

2 = n^′x

|{z}

∈Z

+1 +δx

| {z }2

∈[0,1[

⇒E(x) =n^′x

y= 2y

2 = 2n^′_y+ 1 +δy

2 = n^′y

|{z}

∈Z

+1 +δy

| {z }2

∈[0,1[

⇒E(y) =n^′y

x+y= 2x+ 2y

2 = 2n^′_x+ 1 +δx+ 2n^′_y+ 1 +δy

2 =n^′_x+n^′_y+ 1

| {z }

∈Z

+ δx

|{z}2

∈[0,1 2[

+ δy

|{z}2

∈[0,1 2[

| {z }

∈[0,1[

⇒E(x+y) =n^′_x+n^′_y+1

Par conséquent,

E(x) +E(y) +E(x+y) =n^′_x+n^′_y+ (n^′_x+n^′_y+ 1) = 2n^′_x+ 2n^′_y+ 162n^′_x+ 1 + 2n^′_y+ 1 =E(2x) +E(2y) d’où le résultat attendu.