(Techniques industrielles)
Filières Microtechnique, Électronique – Automatisation Industrielle, et Ingénierie de Gestion
Motorisation et Commande des
Machines
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Bernard Schneider
Copyright © Bernard Schneider, 2009-2011
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Toutes propositions d’améliorations et de corrections seront les bienvenues.
Table des matières
Chapitre 1 Le mouvement dans les machines ... 5
1.1 Généralités ... 5
1.2 Types de machines ... 6
1.3 Types d’actionneurs et de moteurs... 10
1.4 Constitution des entraînements ... 14
1.5 Modes de fonctionnement des entraînements ... 15
Chapitre 2 Transmissions ... 21
2.1 Les charges... 21
2.2 Réducteurs ... 26
Chapitre 3 Moteurs électriques ... 35
3.1 Rappel théorique – l’électromagnétisme ... 35
3.2 Rappel théorique – équation différentiel d’ordre 1 ... 41
3.3 Moteurs à courant continu (DC) ... 44
3.4 Moteurs synchrones ... 54
3.5 Moteurs asynchrones ... 67
3.6 Moteurs pas à pas ... 74
3.7 Autres types de moteurs électriques ... 79
3.8 Choix d’un moteur électrique ... 84
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Chapitre 1
Le mouvement dans les machines
1.1 Généralités
Définition 1.1 Une machine est un ensemble de pièces ou d’organes liés entre eux, dont au moins un est mobile, réunis de façon solidaire en vue d’une application définie, notamment pour la transformation, le traitement, le déplacement et le conditionnement d’un matériau. Une machine comprend également tous les composants d’alimentation en énergie et
d’automatisation nécessaires à son fonctionnement. Un ensemble de machines est égale- ment considéré comme une machine.
Cette définition est celle de la « Directive sur les Machines » de l’Union Européenne. Au sens plus large du terme, les centrales de production d’électricité à partir d’énergie mécanique sont aussi des machines. Par exemple, une turbine entraînée par une chute d’eau fait tourner un alternateur qui délivre de l’électricité.
Les mouvements des machines remplissent une ou plusieurs fonctions, par exemple :
entraîner une pompe, un ventilateur, pour déplacer ou comprimer des liquides, des gaz ou de l’air ;
entraîner une broche, c’est-à-dire un outil de coupe, de perçage ou d’usinage comme une scie, un foret, un taraud, un disque de polissage, etc. ;
saisir un objet et le maintenir pendant son usinage ou son déplacement ;
déplacer un objet d’un endroit à un autre, pour le stocker ou le remettre dans le circuit de production, pour le positionner en vue d’un usinage ou d’un traitement, pour l’emballer et le préparer à la livraison, etc. ;
déplacer un objet en suivant une trajectoire déterminée, afin de le présenter sous un outil d’usinage, de découpe, de traitement thermique, etc. ;
former ou déformer un objet, par exemple pour le plier et pour le mouler.
L’objet saisi et déplacé est généralement le produit en cours d’élaboration par la machine, mais ce peut être également un outil, voire une machine complète, parfois même avec son conducteur et des passagers, comme dans le cas d’un ascenseur ou d’un véhicule.
L’extension des mouvements peut être :
limité dans une zone de travail ; les déplacements se font dans les deux sens de marche, de manière à ce que l’élément mobile ne dépasse pas les butées de fin de course, comme les extrémités gauche et droite d’une table X-Y de machine-outil ;
illimité (ou quasi illimité) ; les déplacements se font toujours dans le même sens de marche (même si de brèves marches arrières sont parfois nécessaires), comme dans un convoyeur de gravier dans un chan- tier, ou le bobinage de fils ; de tels mouvements comportent souvent une certaine périodicité.
Figure 1-1 Exemples de déplacements va et vient entre butées dans le cas d’une poin- çonneuse, et de déplacements monodirectionnels continus dans le cas du conditionnement des journaux
(sources : Trumpf GmbH – www.trumpf.com et Ferag AG – www.ferag.ch)
1.2 Types de machines
1.2.1 Programmation des mouvements
Dans une machine automatique, le mouvement peut être déterminé :
par un programme pièce pour une machine à cycle programmable comme dans une machine-outil à commande numérique ;
par le choix parmi diverses possibilités ou « recettes » pour une machine à cycle fixe, en fonction des caractéristiques du produit à fabriquer, comme dans une machine d’emballage ou d’imprimerie ; ces re- cettes sont déterminées par programmation, une fois pour toutes, par le fabricant de la machine ; l’utilisateur ne fait que choisir le type de produit à traiter.
par apprentissage, l’opérateur réalisant une première fois la succession de mouvements en mode ma- nuel, puis déclenchant leur répétition en mode automatique ;
de manière non automatique, en "marche à vue".
1.2.2 Machine-outils
Les machines-outils sont généralement des machines à cycle programmable.
Les mouvements des machines-outils sont combinés pour permettre un positionnement dans plusieurs direc- tions et plusieurs orientations, par exemple :
● mouvements 2D – dans un plan horizontal (X-Y) ou vertical (X-Z) ;
● mouvements 3D – dans l’espace (X-Y-Z) ;
● mouvements 6D – dans l’espace (X-Y-Z) avec orientation 3D ;
● mouvements > 6 D – mouvement coordonnés de plusieurs groupes 2D et 3D, comme dans un tour multibroche.
Figure 1-2 Exemple de machine-outil – centre d’usinage
(source : Precitrame – www.precitrame.ch)
1.2.3 Autres machines de production
Les machines d’imprimerie, textile, d’emballage et d’assemblage sont généralement des machines à cycle fixe.
Figure 1-3 Exemple de machine d’assemblage – machine à cycle fixe
(source : Ismeca Semiconductor SA – www.ismeca.com)
Les mouvements de leurs éléments mobiles sont combinés et programmés une fois pour toutes par le fabri- cant de la machine pour réaliser les processus souhaités. Anciennement, ces machines étaient entraînées par un seul moteur, qui mettait en mouvement une multitude de pièces par l’intermédiaire d’un arbre maître, de courroies, d’engrenages, de crémaillères, de cames, etc.
Figure 1-4 Structure d’une machine avec arbre maître
Figure 1-5 Structure d’une machine avec arbre électronique Variateur de
M
fréquence
BSR20041214_A.des
M
Servo amplificateur
M
Servo amplificateur
M
Servo amplificateur
M
Servo amplificateur
M
Servo amplificateur
M
Servo amplificateur
BSR20041214_B.des
Actuellement l'évolution des automatismes de commande permettent de remplacer ce type d'entraînement par un arbre électronique. Les éléments mobiles sont entraînés chacun par un servomoteur, dont les mouve- ments sont coordonnés de manière électronique, imitant les divers types d’accouplements à l’arbre maître :
boîte à vitesse (variable progressivement) ;
accouplement / débrayage ;
profil de came ;
différentiel utilisé pour la mise en phase (exmeple: alignement des couleurs en imprimerie).
La réalisation de ces fonctions mécaniques par voie électronique et informatique présente l’immense avan- tage de changer et modifier les « recettes » très facilement et très rapidement, que ce soit entre deux lots de productions ou en cours de production.
C’est dans ce domaine en particulier que la synergie entre les techniques mécaniques, électroniques et in- formatique permet de réaliser des améliorations importantes. La combinaison des techniques d’accouplements mécaniques, des servomoteurs et des régulations électroniques est souvent appelée méca- tronique.
1.2.4 Robots
Les robots sont généralement des machines à apprentissage, parfois des machines programmables.
Figure 1-6 Exemples de robots à 6 degrés de liberté, à structures sérielle, respective- ment parallèle
(source : ABB – www-abb- ch)
Les robots comportent traditionnellement des articulations en série, chaque membre peut pivoter ou coulis- ser relativement au membre qui le supporte, un peu comme un bras humain. Le dernier membre de cette chaîne porte l’outil. Les mouvements de celui-ci ont plusieurs degrés de libertés, permettant le positionne- ment et l’orientation de l’outil dans l’espace.
Depuis 1985 sont apparus également des robots à structure parallèle. Requérant une commande nettement plus sophistiquée, ces nouvelles structures sont intéressantes par leurs basses inerties autorisant des mouve- ments très rapides, tout en conservant une grande rigidité.
1.3 Types d’actionneurs et de moteurs
1.3.1 Principes, Terminologie
Les composants permettant de mettre en mouvement les organes de machines sont appelés actionneurs. Ce sont essentiellement des moteurs et des vérins. Ils produisent de l’énergie mécanique à partir d’énergie élec- trique, hydraulique ou pneumatique, mais sont presque toujours contrôlés par des signaux de commande électriques. Les actionneurs sont souvent complétés par des transmissions mécaniques et/ou des réducteurs.
1.3.2 Actionneurs et moteurs pneumatiques
Les actionneurs pneumatiques sont utilisés principalement pour des mouvements séquentiels simples. Ils utilisent de l’air comprimé à ~6 bar et permettent de réaliser des vérins dont la force peut atteindre 50'000 N.
L’air est fourni par un compresseur, complété de filtres, d’un séparateur d’eau et d’un déshuileur. Il est sou- vent produit pour tout un atelier, et distribué à toutes les machines.
Les actionneurs sont généralement des vérins linéaires, mais aussi des turbines rotatives. On utilise égale- ment des aspirateurs suceurs à vide pour saisir des objets. Ils sont commandés en tout ou rien par des distri- buteurs, actionnés mécaniquement ou électriquement.
Figure 1-7 Principe de fonctionnement d’un vérin pneumatique
(source : Deyes Hihg School (GB) – www.deyes.sefton.sch.uk)
Dans certains cas, l’actionneur pneumatique réagit en continu en fonction du débit ou de la pression pneuma- tique. On utilise alors un distributeur proportionnel. La pression à sa sortie peut être modulée entre 0 et
~10 bar en fonction de la tension électrique appliquée. Il est ainsi possible de contrôler par exemple la vitesse d’un mouvement ou la force d’un serrage.
Avantages : Les actionneurs pneumatiques se distinguent par des faibles coûts d’entretien et des besoins minimaux en qualification du personnel. Ils conviennent particulièrement bien aux milieux hostiles : hautes température et humidité ambiantes, atmosphère explo- sive. Ils permettent de produire des vitesses élevées, comme dans certaines fraises de dentiste (~200'000 r/min).
Inconvénients : L’air comprimé est très élastique, ce qui ne permet pas d’obtenir des temps de réaction inférieurs à ~20 ms. Parfois, les bruits dus à des fuites ou à l’échappement sont consi- dérés comme gênants.
Les actionneurs pneumatiques n’offrent en général que deux positions possibles (en butée à gauche ou en butée à droite pour un vérin, enclenchée ou déclenchée pour une turbine). Ils sont rarement utilisés en association avec des régulateurs de position
Coûts : Les actionneurs pneumatiques représentent souvent la solution d’automatisation la moins chère. Si leurs performances répondent aux besoins, il ne faut pas hésiter à les utiliser.
Les entraînements pneumatiques sont traditionnellement présents dans les machines d’assemblage, par exemple pour les composants nécessaires à l’industrie automobile. Ils sont aussi utilisés pour actionner cer- taines machines outils, comme des petites presses, des machines de transfert, etc.
Figure 1-8 Machine avec actionneurs pneumatiques
(Source : Sysmelec (CH) – www.sysmelec.ch)
1.3.3 Actionneurs et moteurs hydrauliques
Les actionneurs hydrauliques sont utilisés pour des mouvements requérant des forces très élevées à faible vitesse. Utilisant de l’huile sous des pressions atteignant 400 bar, ils permettent de réaliser des vérins de force prodigieuse (jusqu’à 3'000'000 N, soit 300 tonnes force). Leurs temps de réponse sont plus rapides que pour l’air (quelques millisecondes), car l’huile est presque incompressible.
L’huile est fournie par une pompe hydraulique qui fait généralement partie de la machine. Elle est distri- buée par des tuyaux vers les organes récepteurs. L’huile qui s’échappe lors du fonctionnement des action- neurs est intégralement récupérée, et ramenée à la pompe après filtrage et refroidissement éventuel.
Figure 1-9 Principes d’un vérin linéaire et de son actionneur
Les actionneurs sont des vérins linéaires ou des moteurs rotatifs. Leur action est contrôlée par des distri- buteurs. Ils peuvent être de type tout ou rien, agissant comme des aiguillages, ou de type proportionnel, permettant de moduler la pression ou le débit d’huile.
Avantages : Les actionneurs hydrauliques sont des composants très performants. Ils sont appréciés pour leur prodigieuse densité d’énergie pouvant atteindre 40 MJ/m3 (très forte énergie pour un faible encombrement des actionneurs).
Ils peuvent aussi être utilisés dans des systèmes réglés en vitesse ou en position.
Inconvénients : Les fluides utilisés ainsi que les conduites présentent des défauts de rigidité et des comportements non-linéaires qui compliquent énormément la conception de régula- teurs à haute dynamique. Les temps de réponses sont de l’ordre de 2 ms.
La présence d’huile dans une machine de production est souvent considérée comme indésirable, à cause des fuites inévitables qui en compliquent l’entertient, mais par le fait que, contrairement à l’air comprimé, l’huile doit être récupérée, doublant ainsi les besoins en tuyauterie. Dans certains cas, les risques d’incendie et d’explosion sont aussi dissuasifs.
Coûts : Les entraînements hydrauliques ne sont économiquement acceptables que lorsque leurs avantages les rendent indispensables. C’est la raison pour laquelle on les trouve sur les machines de chantier et dans les grandes presses et des plieuses de l’industrie lourde en général, pour lesquelles les alternatives électriques seraient trop encom- brantes, voire simplement irréalisables. Ils étaient également utilisés dans l’aéronautique pour la commande de gouverne d’avions, mais même dans ces applica- tions où le rapport poids / énergie est très important, des alternatives électriques sont maintenant préférées (drive by wire).
Figure 1-10 Presse hydraulique et engin de chantier
(sources : Osterwalder (CH) – www.osterwalder.ch ; Cartepillar (US) – www.cat.com)
1.3.4 Moteurs électriques
Les moteurs électriques sont disponibles dans une très large gamme de puissance (de <10 mW à >100 MW).
Il en existe différentes technologies (voir Chapitre 3) qui, par leurs caractéristiques de fonctionnement, sont particulièrement adaptés à certains types d’usages. Ils sont utilisés pour pratiquement tous les mouvements rotatifs et une très grande partie des mouvements linéaires des machines et installations.
Figure 1-11 Exemples de moteurs électriques
Avantages : Le très grand nombre de fournisseurs et la grande diversité des technologies offrent des avantages significatifs en termes de performance et de logistique. Faciles à mettre en œuvre, les moteurs électriques ne présentent que peu de problèmes d’usure.
L’énergie électrique est très souple d’emploi et se prête facilement aux commandes et réglages automatiques. Les temps de réponse pouvant être de l’ordre de 0,1 millise- conde, les moteurs électriques sont particulièrement appréciés pour toutes les applica- tions à forte dynamique et grande précision.
Inconvénients : La plupart des moteurs électriques sont des actionneurs rotatifs, dont la vitesse se situe entre 500 et 6'000 tr/min. Or, les mouvements dans les machines sont plus souvent li- néaires. Même pour des mouvements rotatifs, la vitesse n’est généralement pas adap- tée (mouvements lents des articulations de robots, rotation à haute vitesse des outils d’usinage, etc.). Pour cette raison, les moteurs électriques doivent souvent être com- plétés par un réducteur (voir section 2.2), ce qui amène d’autres désavantages.
L’alimentation des moteurs électriques peut présenter des difficultés lorsque le réseau industriel n’est pas utilisable. C’est particulièrement le cas pour les véhicules.
Coûts : Les moteurs électriques sont généralement très économiques, grâce à leur relative simplicité de conception et à la concurrence entre les nombreux fournisseurs. Pour des entraînements simples, ils nécessitent peu d’équipements coûteux. Ce n’est que pour des entraînements plus sophistiqués (réglés en vitesse ou en position, sécurisé par des freins, etc.) que des équipements coûteux supplémentaires sont nécessaires. .
1.3.5 Comparaison
Le choix de la technique d’entraînement peu se résumer comme suit :
Pour les mouvements linéaires simples, relativement lents et de faible puissance, les entraînements pneumatiques sont préférés, surtout à cause de leur faible prix.
Pour les mouvements linéaires nécessitant des forces très élevées, les entraînements hydrauliques l’emportent, grâce à leur densité d’énergie qui peut atteindre 40 MJ/m3.
Pour tous les autres mouvements, les entraînements électriques sont préférés ; ils n’offrent qu’une densi- té d’énergie de 0,4 MJ/m3, mais sont capables de réagir 1'000 fois plus rapidement qu’un système hy- draulique, ce qui leur donne l’avantage sur le plan de la puissance volumique.
Figure 1-12 Performances comparées des moteurs et actionneurs électriques, pneuma- tiques et hydrauliques
(Source : HEIG-VD – Alain Beuret)
1.4 Constitution des entraînements
Le principe d'un entraînement est représenté sur le schéma ci-dessous :
Le moteur convertit l’énergie électrique, pneumatique ou hydraulique en énergie mécanique, et la transmet à la charge par l'intermédiaire d'une transmission mécanique. Il convient de remarquer que plu- sieurs entraînements permettent d’inverser le processus, la charge fournissant de l’énergie mécanique au moteur, et celui-ci la restituant à l’alimentation d’énergie.
Le moteur est alimenté par un dispositif de commande qui assure l’enclenchement et le déclenchement, éventuellement le réglage de la vitesse, de la position et de l'effort, tout en remplissant encore des fonc- tions de protection. Le moteur et la commande constituent l'actionneur qui reçoit l'énergie et les con- signes de fonctionnement.
La transmission communique à la charge l’énergie mécanique produite par le moteur. Elle adapte les caractéristiques et performances du moteur aux besoins de la charge, en termes de gamme de vitesse et de conversion de mouvement rotatif en mouvement linéaire.
La charge est l'unité mécanique de la machine à animer.
Figure 1-13 Schéma de principe d'un entraînement
(Source : HEIG-VD – Alain Beuret)
vitesse force
BSR20041216_A.des
hydraulique
électrique pneumatique
Le dimensionnement du moteur, de la transmission, et parfois de la commande s’effectuent simultanément, de manière itérative.
Les critères de choix sont non seulement techniques mais également économiques, la solution optimale doit tenir compte du coût de l'ensemble commande, moteur et entraînement. Les moteurs rapides sont en général moins chers que les moteurs plus lents en raison de leur taille et de leur simplicité de construction. En re- vanche ils nécessitent des transmissions à rapport plus élevé et plus complexes.
D'un point de vue mécanique, les exigences du cahier des charges imposées par la charge sont :
la vitesse nominale et le domaine de variation de celle-ci,
le couple nominal (ou la force nominale) et sa caractéristique en fonction de la vitesse,
l'évolution du couple (ou de la force) et de la vitesse en fonction du temps,
le couple ou l'effort résistant au démarrage,
l'inertie ou la masse de la charge,
la durée des cycles de fonctionnement et la fréquence des démarrages,
le temps admissible des démarrages et freinages,
la précision de la vitesse et du positionnement,
l'environnement : température, humidité, altitude, vibrations, atmosphère particulière, etc.
l'encombrement et la masse admissibles pour le groupe d'entraînement,
la source d'énergie disponible.
1.5 Modes de fonctionnement des entraînements
1.5.1 Définition
Le mode de fonctionnement de l’entraînement est un élément déterminant pour le choix des technologies. Le problème n’est en effet pas le même s’il s’agit d’élever une charge lourde de quelques mètres, de faire tour- ner le foret d’un outil à 10'000 tr/min, ou de disposer une pièce sur une autre avec une précision de un mi- cron.
1.5.2 Mode « tout-ou-rien »
Dans les cas les plus simples, l’actionneur ou le moteur est connecté ou non à une alimentation hydraulique ou pneumatique de pression constante, ou à une alimentation électrique de tension et fréquence constantes.
L’utilisateur dispose par exemple d’une commande à deux positions, par exemple : OFF (déclenché) ou ON (enclenché).
Le mouvement produit dépend de son principe de fonctionnement et des caractéristiques de son alimentation, mais aussi de la charge (frottements, couple d’usinage, etc.). Non alimenté, il ne produit plus aucune force ou couple et se laisse entraîner par la charge. Généralement, il s’arrête après un temps plus ou moins long sous l’effet des frottements ou par la présence d’une butée mécanique.
La commande est alors particulièrement simple à réaliser, à l’aide d’un distributeur pour les entraînements pneumatiques ou hydrauliques, et d’un interrupteur pour les entraînements électriques. Ils peuvent être ac- tionnés mécaniquement par l’opérateur, voire par un système de leviers mécaniques. Dans la plupart des cas cependant, ils sont actionnés par un électroaimant. On parle alors d’électrovanne, de relais et de contacteur.
Ainsi commandé, l’actionneur ou le moteur est généralement réversible et fonctionne dans 2 quadrants : Il peut fournir de l’énergie (moteur) ou en absorber (freinage). Par contre, l’inversion du sens de nécessite gé- néralement un deuxième distributeur, ou d’un interrupteur à 3 positions, ou plus simplement un ressort de rappel.
Figure 1-14 Exemples de commandes tout ou rien :
- interrupteur actionné à la main (source : Kraus et Naimer (D) – www.distrelec.ch) - ensemble d’électrovannes pneumatiques (source : Kuhnke (D) – www.kuhnke.de) - contacteur (source : Schneider Automation – www.telemecanique.com)
Avantages : Ce mode de fonctionnement est utilisé pour la plupart des pompes, ventilateurs et ou- tils d’usinage, voire pour certains mouvements comme celui des ascenseurs et des convoyeurs.
Inconvénients : Ce mode de fonctionnement ne permet aucune adaptation à la charge mécanique réel- lement entraînée. Les déplacements ainsi réalisés ne seront répétitifs que dans la me- sure où les conditions d’alimentation et de charge sont rigoureusement constantes.
Comme un tel entraînement doit être dimensionné pour le cas de charge extrême, il est souvent sous-utilisé à charge réduite, ce qui dégrade le rendement du procédé.
Coûts : Historiquement plus chers que les variateurs, les servo amplificateurs sont actuelle- ment très compétitifs, et le capteur de position n’est pas forcément plus cher que le capteur de vitesse. Ce mode reste cependant plus coûteux que les modes contrôle et régulation de vitesse à cause de la complexité de la commande. Celle-ci doit être ca- pable de faire plus de calculs, plus rapidement. De plus, le programme d’automate doit être complété par une programmation des mouvements et des trajectoires, ce qui aug- mente la charge d’ingénierie
1.5.3 Mode contrôlé « en boucle ouverte »
En ajustant la pression hydraulique ou pneumatique, la tension électrique ou la fréquence, il est possible de modifier la vitesse d’un actionneur ou d’un moteur de manière continue, au moins dans une certaine plage (par exemple de 20% à 100% de la vitesse nominale). Toutefois, la vitesse reste plus ou moins dépendante de la charge.
Dans certains cas, c’est l’effort fourni par l’entraînement, et non la vitesse, qui est influencé par l’ajustage.
Dans tous les cas cependant, le mouvement du moteur n’est pas mesuré. Seule l’intervention de l’utilisateur permet, par modification de l’ajustage, de le corriger. Il le fait généralement sans avoir une idée quantitative de la vitesse, mais plutôt en évaluant le résultat du processus, à la vue ou à l’oreille. C’est par exemple l’ajustage manuel en vitesse d’une perceuse électrique, ou l’ajustage manuel de la pression hydraulique pour contrôler les mouvements d’une pelle mécanique.
Les actionneurs et moteurs sont souvent identiques à ceux utilisés en mode tout ou rien. Leur commande requiert toutefois une servovalve, un variateur de tension ou un variateur de fréquence. Ces appareils existent pour toutes les puissances, des plus faibles aux plus élevées.
Dans leurs réalisations les plus économiques, ces commandes ne permettent le fonctionnement de l’actionneur que pour fournir de l’énergie mécanique, dans un seul sens de déplacement. D’autres com- mandes permettent également le freinage, voire le fonctionnement dans le sens inverse.
Le principe de la commande de vitesse est illustré ci-dessous. L’opérateur choisit une valeur u(t) en fonction de la vitesse ωc(t) qu’il souhaite obtenir. L’amplificateur de puissance ajuste en conséquence l’alimentation ua(t) du moteur.
Figure 1-15 Principe de la commande de vitesse en boucle ouverte
(Source : HEIG-VD – Michel Etique)
Avantages : Ce mode de fonctionnement est utilisé pour tous les entraînements dont on souhaite contrôler approximativement la vitesse ou l’effort fourni, comme les broches de ma- chines-outils et l’avance des véhicules et des grues.
Inconvénients : S’il permet d’ajuster la vitesse, ce mode de fonctionnement ne permet pas de l’ajuster de façon stable. Le résultat dépend des fluctuation de l’alimentation et des vairations de charge.
Coûts : Plus coûteux à réaliser que le mode tout ou rien, ce fonctionnement est plus écono- mique à l’utilisation. Même si les performances ne sont pas un critère de choix décisif, cette solution est de plus en plus choisie pour économiser l’énergie consommée. En ef- fet, le remplacement d’une commande tout ou rien par un variateur rudimentaire pour une pompe ou un ventilateur permet souvent d’économiser jusqu’à 70% d’énergie en ajustant le régime de fonctionnement en fonction du besoin réel.
i ua
L R
J u(t)
w(t)
M Rf
T (t)res
MEE_f_01_03.des
paliers
amplificateur de puissance
potentiomètre de consigne wc(t)
1.5.4 Mode réglé en vitesse, « en boucle fermée »
En ajoutant un capteur de vitesse sur l’arbre du moteur ou sur l’organe en mouvement, et en insérant un ré- gulateur de vitesse dans le variateur, il est possible d’obtenir exactement la vitesse souhaitée. L’ancêtre de ces appareils est le régulateur de vitesse équipant les machines à vapeur.
Figure 1-16 Régulateur de vitesse
(source : Musée des Arts et Métiers, Paris – http://visite.artsetmetiers.free.fr)
Le principe de la régulation est illustré dans la figure Figure 1-17 : L’opérateur ou le programme d’automate choisit une valeur de consigne w(t) en fonction de la vitesse ωc(t) qu’il souhaite obtenir. La valeur réelle ω(t) est mesurée et fournit le signal de contre-réaction y(t), qui est comparé à la valeur de consigne. La différence entre ces deux valeurs est appelée écart de réglage e(t). Le régulateur s’efforce de le minimiser en ajustant la grandeur de réglage u(t) et, par l’intermédiaire de l’amplificateur de puissance, l’alimentation ua(t) du mo- teur.
Figure 1-17 Principe de la régulation de vitesse en boucle fermée
(Source : HEIG-VD – Michel Etique)
Si par exemple, le moteur tourne trop vite, la valeur y(t) est supérieure à la valeur w(t), donc e(t) est négatif.
Le régulateur diminue alors l’alimentation u(t), ce qui ralentit le moteur. Si le régulateur agit trop faiblement, la correction n’est pas suffisante et la vitesse obtenue n’est pas assez précise. S’il agit trop fortement, la cor- rection est trop violente et la vitesse diminue trop. Comme cela entraîne alors une inversion de l’écart e(t), le système devient instable. L’étude des régulateurs fait partie du cours de Régulation automatique.
Le même principe est utilisé pour obtenir un entraînement qui fournisse exactement l’effort souhaité.
Avantages : La régulation en boucle fermée permet d’obtenir exactement le résultat désiré, prati- quement sans influence de l’alimentation ni de la charge. La différence dépendant es- sentiellement de la précision du capteur et de la performance du régulateur utilisés.
Inconvénients : La conception et l’ajustage du régulateur nécessitent un personnel d’autant plus quali- fié que les objectifs de précision sont élevés.
+
-
ei
ua T
y(t)
L R
J Kmw
e(t) u(t) w(t)
M Rf w(t)
u T (t)res
MEE_f_01_04.des
paliers
amplificateur depuissance capteur
potentiomètre de consigne
comparateur
régulateur wc(t)
Coûts : Ce mode d’entraînement est plus coûteux que le contrôle de vitesse en boucle ouverte, essentiellement à cause du capteur supplémentaire et de son câblage.
1.5.5 Mode servomoteur – réglé en position
En ajoutant un capteur de position sur l’arbre du moteur ou sur la charge en mouvement, il est possible de réaliser des déplacements point-à-point et d’arrêter le moteur à des positions très précises.
Il est aussi possible de réaliser des mouvements qui suivent une trajectoire précise. De telles trajectoires ne sont calculées que pour certains points, par lesquels l’organe en mouvement doit passer sans s’arrêter. Ces trajectoires peuvent être monodimensionnelles, ou multidimensionnelles comme dans les machines-outils.
Elles peuvent dépendre d’un autre mouvement en imitant les cames et autres systèmes d’accouplements.
Figure 1-18 Exemple de trajectoire pour servomoteur – X(t) représente la position à chaque instant t.
Les moteurs utilisés selon ce mode sont appelés servomoteurs, et leur commande nécessite un servo amplifi- cateur (ou servo variateur). Ceux-ci sont disponibles pour des puissances de ~1 W à ~100 kW.
Avantages : Ce mode de fonctionnement permet de bien contrôler tous les mouvements d’une ma- chine. Les variations d’alimentation et de charge sont automatiquement compensées.
La grande répétitivité des résultats obtenus est particulièrement adaptée aux exigences de qualité des utilisateurs. Les machines ainsi équipées présentent une grande flexibili- té : Le changement de fabrication, selon programme pièce ou selon recette, peut être très rapide, voire réalisé au vol (sans arrêt de la machine).
Inconvénients : La conception et l’ajustage des régulateurs nécessitent un personnel qualifié. Le choix entre les différentes solutions disponibles sur le marché est complexe, et la dépen- dance envers le fournisseur choisi est grande.
Coûts : Historiquement plus chers que les variateurs, les servo amplificateurs sont actuelle- ment très compétitifs, et le capteur de position n’est pas forcément plus cher que le capteur de vitesse. Ce mode reste cependant plus coûteux que les modes contrôle et régulation de vitesse à cause de la complexité de la commande. Celle-ci doit être ca- pable de faire plus de calculs, plus rapidement. De plus, le programme d’automate doit être complété par une programmation des mouvements et des trajectoires, ce qui aug- mente la charge d’ingénierie.
t X(t)
BSR20041215_B.des
1.5.6 Mode pas à pas
Le mode pas à pas combine le mode tout ou rien et le mode servomoteur. L’actionneur travaille bien en mode tout ou rien, mais il est alimenté par une succession d’impulsions électriques. A chaque impulsion, il avance d’une petite distance appelée pas ou incrément. La distance parcourue dépend directement du nombre d’impulsions reçues. La vitesse dépend de la fréquence des impulsions. De plus, lorsqu’il ne reçoit plus d’impulsions, un tel actionneur est tenu en place avec une certaine force de maintien.
Ce mode de fonctionnement est caractéristique des moteurs pas-à-pas. Ceux-ci sont décrits plus complète- ment à la section 3.6.
Figure 1-19 L’ancêtre – échappement à ancre d’une horloge (source : Horlogis (F) – www.horlogis.com)
La version électrique – moteur pas à pas (source : SAIA-Burgess (CH) – www.saia- burgess.com)
Ce type d’actionneurs permet sans aucun moyen de mesure supplémentaire de contrôler et de maintenir la position à chaque instant. Le contrôle est réalisé sans capteur ni régulateur. La commande d’un moteur élec- trique pas à pas requiert un générateur d’impulsions spécial, mais très courant sur le marché.
Les moteurs électriques pas à pas sont généralement rotatifs, mais des variantes linéaires existent également.
La technologie micro pas permet même de positionner le moteur à des positions intermédiaires. Connaissant le nombre de pas par tour, la relation entre le nombre d’impulsions fournies et la distance angulaire parcoure est immédiat.
Avantages : Les entraînements pas à pas sont particulièrement simples. Leur force de maintien (même si l’alimentation est coupée) permet de faire l’économie d’un frein.
Inconvénients : Les moteurs électriques pas à pas sont limités en puissance à ~200 W. Ils sont égale- ment limités en vitesse à ~1'000 tr/min. Leur précision est de l’ordre du pas, donc de
~1º angulaire dans le meilleur des cas. A l’arrêt, la position n’est maintenue qu’avec une certaine élasticité. Si la force perturbatrice est trop élevée, elle ne suffit plus à maintenir le moteur et celui ci saute au pas suivant. On dit qu’il décroche. Ce phéno- mène est très gênant dans la mesure où aucun autre capteur de position ne permet de savoir où ce trouve réellement l’organe en mouvement.
Coûts : Le mode pas à pas est particulièrement économique pour tous les mouvements néces- sitant un positionnement à quelques degrés angulaires près, et nécessitant une puis- sance ne dépassant pas une centaine de watt.
Chapitre 2 Transmissions
2.1 Les charges
2.1.1 Rappel théorique – loi de Newton
Les charges sont constituées de tous systèmes mécaniques qui permettent de mettre en mouvement un mobile ou un fluide. La mise en mouvement d’une charge requiert de modifier sa vitesse ou sa position ce qui im- plique de lui fournir un couple (ou une force) afin de vaincre les effets inertiels, les frottements et autres forces résistantes (par exemple : poids d’un système se déplacement verticalement).
En application des principes de la mécanique classique, et plus particulièrement de la loi de Newton, lorsque plusieurs forces sont appliquées à un corps libre de se déplacer selon un axe linéaire, la projection de la ré- sultante de ces forces sur l’axe de déplacement provoque une accélération inversement proportionnelle à la masse de ce corps.
Figure 2-1 Accélération d’un corps sous l’effet de plusieurs forces Loi de Newton :
L’accélération d’un corps libre de se déplacer sur un axe est directement proportionnelle à la projection sur cet axe de la somme vectorielle des forces appliquées à ce corps, et inversement proportionnelle à sa masse.
Équation 2.1 é
où a est la l’accélération en m/s2 , F chacune des forces en N et m la masse en kg Pour un corps libre de pivoter autour d’un axe, une loi similaire s’applique, qui fait intervenir les couples (moments de forces), l’inertie (moment d’inertie) et l’accélération angulaire.
m
F1
F3 F2
F1+ F2
ΣF
ΣFproj a
Loi de Newton pour les corps en rotation :
L’accélération angulaire d’un corps libre de pivoter autour d’un axe est directement proportionnelle à la somme des couples appliqués à ce corps, et inversement proportionnelle à son inertie.
Équation 2.2
où α est la l’accélération en rad/s2 , T chacun des couples en Nm et J l’inertie en kgm2
2.1.2 Rappel théorique – Inertie
Le calcul des inerties (appelés également moments d’inertie) est essentiel pour déterminer la cadence de production d’une machine qui utilise des mouvements rotatifs intermittents (va et vient, profil de came, etc.).
La formule ci-dessous indique comment se calcule l’inertie d’un cylindre plein tournant autour de son axe.
Elle montre surtout que l’inertie augmente avec la puissance 4 du rayon !
Figure 2-2 Inertie d'un cylindre homogène Équation 2.3 ∙
2
∙ ∙ ∙ 2
où m est la masse du cylindre en kg , R son rayon en m , L sa longueur en m , ρ sa masse spécifique en kg/m3, et J l’inertie en kgm2
2.1.3 Quadrants de fonctionnement
Remarque : Les explications ci-dessous sont relatives aux mouvements rotatifs, dans lesquels in- terviennent la vitesse angulaire et le couple. Les mêmes principes s’appliquent aux mouvements linéaires, dans lesquels interviennent la vitesse (linéaire) et la force.
Si l’on représente dans un diagramme la vitesse d’un corps mobile et le couple qui lui est appliqué par le moteur et la transmission, on détermine quatre zones de travail possibles, appelées quadrants.
R
L BSR20041215_C.des
m
Figure 2-3 Quadrants de fonctionnement d'un entraînement rotatif
Lorsque l’entraînement fonctionne en moteur, il fournit de l’énergie à la charge. C’est le cas des quadrants 1 et 3, dans lesquels le couple et la vitesse ont même signe :
Dans le quadrant Q1, la charge tourne dans le sens horaire.
Dans le quadrant Q3, la charge dans le sens antihoraire.
Lorsque l’entraînement fonctionne en générateur ou en frein, il reçoit de l’énergie fournie par la charge. Ce mode de fonctionnement est exploité pour le freinage. C’est le cas des quadrants 1 et 3, dans lesquels le couple et la vitesse ont même signe :
Dans le quadrant Q2, la charge tourne dans le sens horaire.
Dans le quadrant Q4, la charge tourne dans le sens antihoraire.
Il est important de déterminer dans quels quadrants la charge doit opérer, car pour pouvoir opérer dans plu- sieurs quadrants, il faut généralement choisir des composants (réducteur, commande) plus sophistiqués, et donc plus coûteux :
Les inversions de couple provoquent des à-coups dans les réducteurs.
Les inversions de puissance nécessitent des commandes équipées de convertisseurs réversibles.
Les inversions de sens de marche nécessitent un moyen pour intervertir 2 fils du moteur électrique, soit par des contacteurs, soit en utilisant la fonctionnalité correspondante dans le convertisseur.
M
T
e m0
T e mM
T e mM T e m
M
T e m M 123 4 f _ 0 1 _ a _ 0 3 . e p s
2.1.4 Charge à couple constant
Une charge fonctionne à couple constant lorsqu’en régime établi (vitesse stable), le couple nécessaire est pratiquement constant à toutes les vitesses.
Figure 2-4 Caractéristique de charge à couple constant
(Source : HEIG-VD – Alain Beuret)
Ce mode de fonctionnement correspond à des machines dans lesquelles l’effort résistant est prépondérant, comme dans un treuil. Au démarrage, dans ce type d'application l'entraînement doit non seulement être ca- pable de fournir le couple nominal (100%), mais il doit fournir du couple supplémentaire pour vaincre les frottements secs éventuels, et surtout pour accélérer la machine.
Exemples : Convoyeurs, rotatives d'imprimerie, pompes doseuses, compresseurs à vis ou à pis- tons, fours rotatifs (cimenterie), presses, broyeurs, pulpeurs, engins de levage.
2.1.5 Charge à couple croissant avec la vitesse
Une telle charge, en régime établi (vitesse stable), nécessite un couple croissant avec la vitesse. Cette crois- sance est généralement non-linéaire, à pente croissante.
Figure 2-5 Caractéristique de charge à couple croissant avec la vitesse
(Source : HEIG-VD – Alain Beuret)
Ce mode de fonctionnement correspond à des machines dans lesquelles les frottements visqueux et les frot- tements dynamiques sont prépondérants. Ces frottements croissent proportionnellement à une puissance de la vitesse, l’exposant étant compris entre 1 et 2. Souvent même, la caractéristique présente des variations diffi- cilement modélisables. Cela se produit en particulier avec les écoulements de fluides, lorsque des turbulences apparaissent.
Pour entraîner ces charges l'actionneur est moins sollicité au démarrage.
Exemples : Pour les pompes volumétriques à vis, les mélangeurs, les vis d'Archimède, les broches de machines-outils, nous pouvons considérer que le couple croît linéairement avec la vitesse (frottements visqueux).
Pour les pompes centrifuges, les ventilateurs et soufflantes, les centrifugeuses, nous pouvons considérer que le couple croît linéairement avec le carré de la vitesse.
2.1.6 Charges à puissance constante
Une charge fonctionne à puissance constante lorsqu’en régime établi, le couple nécessaire décroît de manière inversement proportionnelle à la vitesse.
Figure 2-6 Caractéristique de charge à puissance constante
(Source : HEIG-VD – Alain Beuret)
Ce mode de fonctionnement correspond surtout à des machines rotatives, dans lesquelles l’effort et la vitesse tangentiels sont constants, mais dont le diamètre varie. Le couple appliqué à la charge correspond au produit du rayon (variable) et de l’effort tangentiel (constant) ; sa vitesse angulaire correspond au quotient de la vi- tesse tangentielle (constante) et du rayon (variable). La puissance, égale au produit du couple et de la vitesse angulaire, est alors constante. En effet :
Équation 2.4 ∙ ∙ ∙ ∙ constante
où F et V sont la force et la vitesse tangentielles, constantes, et r t le rayon, variable.
La plage de fonctionnement à puissance constante est par nature limitée :
en basse vitesse par le couple max. que supporte l’axe de l’objet en rotation ;
en haute vitesse par des considérations de forces centrifuges et de dimensionnement des paliers ;
dans tous les cas par la plage de diamètre ou de rayon spécifié par le cahier des charges de la machine.
Exemples : Broches de machines outils, enrouleuses et dérouleuses, extrudeuses, malaxeurs, ca- landreuses.
2.2 Réducteurs
2.2.1 Généralités
Les actionneurs conventionnels sont généralement des moteurs électriques rotatifs avec une plage de vitesse de rotation limitée (env. 500 à 6000 rpm). Or le mouvement des machines demande principalement des vi- tesses plus lentes ou des mouvements linéaires. La fonction des réducteurs est d'effectuer cette transforma- tion.
Le besoin d'une vitesse d'entraînement rigoureusement précise est rare, habituellement une certaine plage de tolérance autour de la vitesse théorique est admise. Réaliser un rapport de réduction égale précisément à n’importe quelle valeur est difficile et coûteux, car, nous le verrons, il fait intervenir le rapport entre des nombres de dents des pignons, et que ces nombres ne peuvent être qu’entiers. Une vitesse précise ne peut être obtenue que par une commande contrôlée ou réglée en vitesse (voir sections 1.5.3 et 1.5.4).
Les critères de choix sont non seulement techniques mais également économiques, la solution optimale doit tenir compte du coût de l'ensemble commande, moteur et réducteur. Les moteurs rapides sont en général moins chers que les moteurs plus lents en raison de leur taille et de leur simplicité de construction. En re- vanche ils nécessitent des réducteurs à rapport plus élevé et plus complexes.
Les réducteurs se différencient suivant que leur sortie est rotative ou linéaire, ainsi que selon leurs axes de rotation ou de glissement. Pour cette raison, nous distinguons :
les réducteurs rotatifs-rotatifs (le moteur et la charge sont rotatifs) ;
les réducteurs rotatifs-linéaire (le moteur et rotatif et la charge est linéaire).
Dans le cadre de ce cours, c’est surtout le choix du rapport de réduction qui sera abordé. Les aspects cons- tructifs, de précision, de maintenance, etc. ne seront qu’évoqués.
2.2.2 Avantages et inconvénients
Les avantages des réducteurs sont les suivants :
Le rapport de réduction peut être choisi avec une très grande liberté, ce qui permet d’utiliser le moteur très efficacement à son régime nominal.
Le moteur électrique peut être placé à l’endroit où il gène le moins.
Il peut être placé en dehors de zones critiques en vibration, température, humidité et autres facteurs en- vironnementaux (poussière, produits de nettoyage en industrie alimentaire, risques d’explosion, etc.).
Certains types d’accouplements ne sont pas réversibles, ce qui signifie qu’à l’arrêt, la charge est freinée sans frein supplémentaire ni intervention du moteur.
Les réducteurs présentent également des inconvénients qu’il convient de bien maîtriser :
Ils présentent toujours un certain jeu, à l’exception notoire des courroies crantées. Cela signifie que lorsque le moteur commence à freiner la charge, il tournera d’un petit angle avant que les dents ne se touchent à nouveau. Ce phénomène peut être assimilé à un choc. S’il se produit trop souvent, les dents seront vite endommagées. Ce phénomène de jeu n’est pas critique pour des entraînements à 1 quadrant, ce qui recouvre toutes les applications de transport, convoyage, etc. Par contre, pour des entraînements à 2 quadrants et plus, l’inversion rapide de la force ou du couple peut provoquer une usure en quelques heures seulement. La courroie crantée est alors une bonne alternative, car sa plasticité amorti le jeu. Si cette solution ne peut être utilisée, par exemple à cause de problèmes d’encombrement, il faut alors uti- liser des engrenages à compensation de jeu ou une vis à billes, solutions beaucoup plus coûteuses.
La plupart des réducteurs créent des forces radiale et axiale, dont il convient de tenir compte dans le dimensionnement des paliers et bâtis de machines.
Les réducteurs provoquent des vibrations qui peuvent être gênantes.
Les réducteurs présentent forcément un phénomène d’usure. Celle-ci peut être particulièrement critique si les alignements ne sont pas assez précis.
Le rendement n’est pas très bon. Il peut n’être que de 60% pour les réducteurs les moins chers. Les ré- ducteurs avec plus de 90% de rendement sont plus coûteux.
Les réducteurs à courroie crantée peuvent poser des difficultés lors du démarrage à froid. En effet, ils doivent être tendus correctement en marche normale, c’est-à-dire à chaud. A basse température, leur contraction augment les forces radiales et peut diminuer le rendement à un point tel que le moteur ne parvient plus à mettre la machine en mouvement.
2.2.3 Réducteurs rotatifs-rotatifs
Pour les accouplements rotatif-rotatif, l’axe de sortie peut être :
en ligne avec l’axe d’entrée ;
décalé mais parallèle avec l’axe d’entrée ;
coudé à 90 degré, ou à un angle quelconque.
Figure 2-7 Exemples de réducteurs rotatifs-rotatifs
(source : Magtorq [India] – www.magtorq.com )
Une grande partie des réducteurs rotatifs-rotatifs sont réversibles, ce qui signifie que la charge peut, elle aus- si, entraîner l’ensemble et faire tourner le moteur. Parmi les difficultés d’utilisation des réducteurs à pignons réside, il faut relever la précision d’alignement de leurs axes, ainsi que l’apparition de forces radiales et axiales qui provoquent une charge supplémentaire des paliers. Certains réducteurs comme les vis sans fin (voir la 5ème illustration de la Figure 2-7) présentent des frottements tels qu’ils ne peuvent fonctionner que dans un sens : La vis tourne et entraîne le pignon (et non l’inverse).
Lorsqu’un rapport de réduction élevé est nécessaire, il est possible d’utiliser un réducteur épicycloïdal fin (voir la 6ème illustration de la Figure 2-7). Il est aussi possible de disposer plusieurs réducteurs de conception plus simple à la suite les uns des autres (en série).
Certains accouplements utilisent un organe de transmission intermédiaire, comme une chaîne ou une cour- roie crantée. Pour des machines, les accouplements à friction et les courroies lisses, plates ou trapézoïdales sont plus rarement employées. Les courroies crantées sont constituées d'une âme élastique enrobée dans le corps en élastomère. Les dents sont moulées ou rapportées et recouvertes d'un tissu qui offre une bonne résis- tance à l'usure tout en présentant un coefficient de frottement bas. Pour assurer la tension des courroies celles-ci sont préalablement mise en tension à une valeur voisine de la moitié de la tension maximale qu'elle subira en cours de fonctionnement.
Figure 2-8 Exemple de réducteurs à courroie crantée
(Source : Angst+Pfister )
Le rapport de réduction d’un réducteur rotatif-rotatif est calculé à partir du nombre de dents des pignons, comme suit :
Équation 2.5
où et sont les vitesses du moteur, respectivement de la charge, et où et les nombres de dents des pignons côté moteur, respectivement côté charge.
Figure 2-9 Représentation schématique des réducteurs rotatifs-rotatifs
Remarque 1 : Le rapport i d’un réducteur rotatif-rotatif est adimensionnel. Il est >1 lorsque le moteur tourne plus vite que la charge (ce qui est souvent le cas, mais pas toujours).
Remarque 2 : En calculant ce rapport, les vitesses peuvent être exprimées à choix en [rad/s], en [tr/min], en [tr/s], etc. Il suffit de prendre garde à ce que les deux vitesses soient ex- primées avec la même unité.
Remarque 3 : Le rapport i d’un réducteur détermine également le rapport entre les variations de po- sitions du moteur et de la charge, ainsi qu’entre leurs accélérations.
moteur
charge ZM
ZL
T ,M wM
T ,L wL BSR20070314_A.des
moteur
charge ZM
ZL
T ,M wM
T ,L wL BSR20070314_B.des
Le rapport de réduction détermine aussi le rapport des couples, côté moteur et côté charge : Équation 2.6
où et sont les couples du moteur, respectivement de la charge, en Nm .
2.2.4 Réducteurs rotatifs-linéaire
Pour les accouplements rotatif-linéaire, l’axe de glissement de la sortie peut être :
perpendiculaire à l’axe d’entrée (crémaillère)
en ligne avec l’axe d’entrée (vis, vis à billes, vis à rouleaux)
Figure 2-10 Exemples de réducteurs rotatifs-linéaires
Sources : Alpha [D] – www.alphagetriebe.com et Schunk - www.schunk.com)
Les réducteurs rotatifs-linéaires sont généralement réversibles. Même les réducteurs à vis à billes peuvent être mis en rotation en déplaçant le mobile linéaire. Dans certains cas, un réducteur rotatif-linéaire peut être combiné à un réducteur rotatif-rotatif.
Figure 2-11 Représentation schématique des réducteurs rotatifs-linéaires Le rapport de réduction d’un réducteur rotatif-linéaire est calculé comme suit :
Équation 2.7 2 ∙ ∙ m-1
où est la vitesse angulaire du moteur en rad/s , v la vitesse linéaire de la charge en m/ , le nombre de dents du pignon côté moteur, et p le pas de la crémaillère ou de la vis en m .
moteur
ZM
T ,M wM
p F , vL L
char ge
BSR20070314_C.des
moteur T ,M wM
charge F , vL L
p BSR20070313_D.des
Remarque 1 : Pour un réducteur rotatif-linéaire, le rapport i n’est pas adimensionnel. Si la vitesse angulaire est exprimée en [rad/s] et la vitesse linéaire en [m/s], sa dimension est l’inverse d’un mètre [m-1].
Remarque 2 : Pour un réducteur rotatif-linéaire à vis, il convient de considérer Zmoteur comme étant le nombre de filets, généralement égal à 1. Pour mieux comprendre ce fait, il faut consi- dérer que, si le moteur fait 1 tour, la charge se déplace d’une longueur de pas si sa vis comporte un filet.
Remarque 3 : Souvent, les vitesses angulaires sont exprimées en [tr/min] et en [tr/s], et les vitesses linéaires sont exprimées en [m/min]. Dans ce cas il est recommandé de convertir ces unités avant d’appliquer l’Équation 2.7.
Le rapport de réduction détermine aussi le rapport entre le couple moteur et la force appliquée à la charge : Équation 2.8 m-1
où est la force appliquée à la charge en N , et le couple moteur en Nm .
2.2.5 Choix du rapport de réduction –régime permanent
Pour un entraînement fonctionnant en régime permanent (couple et vitesse constants), le choix du rapport de réduction dépend :
des caractéristiques de vitesse et de couple (ou de force) du moteur, telles que spécifiées par son four- nisseur ;
des caractéristiques de mouvements de la charge, telles que spécifiées par le cahier des charges de la machine.
Pour dimensionner un réducteur rotatif-rotatif, exprimons par :
= couple nominal du moteur, qu’il peut délivrer en permanence
= vitesse angulaire la plus élevée à laquelle peut tourner le moteur tout en délivrant son couple nominal
= couple le plus élevée nécessaire pour entraîner la charge pour respecter le cahier des charges
= vitesse angulaire la plus élevée que la charge doit pouvoir atteindre pour respecter le cahier des charges
Dans un tel cas, le rapport de réduction doit respecter deux contraintes, comme exprimé ci-dessous.
Contrainte de vitesse pour un réducteur rotatif-rotatif :
Équation 2.9 ⇔ ∙ rad/s
où les deux vitesses angulaires doivent être exprimées avec les mêmes unités, par exemple en rad/s , et i le rapport de réduction adimensionnel
Contrainte de couple pour un réducteur rotatif-rotatif :
Équation 2.10 ⇔ Nm
où les deux couples sont en Nm , et i le rapport de réduction est adimensionnel
Généralement, ces contraintes fournissent les valeurs limites entre lesquelles plusieurs choix sont possibles pour le rapport i. Les facteurs de choix supplémentaires sont généralement les suivants :
Si, dans une autre machine, ou une autre partie de la même machine, le constructeur utilise déjà un ré- ducteur de performances similaires, il sera judicieux de choisir exactement le même réducteur pour la nouvelle machine, afin de simplifier la logistique (moins d’articles différents à gérer et à stocker).
Si l’objectif est d’utiliser un réducteur complet d’un fournisseur, il sera judicieux de choisir un modèle et un rapport de réduction parmi leurs choix possibles. Certains proposent même des gammes préféren- tielles pour lesquels les prix et les délais de livraison sont plus favorables.
Si l’objectif est d’utiliser des pignons avec ou sans courroie crantée, alors il convient de choisir une valeur de i telle que :
les nombres de dents doivent être des nombres entiers ;
ils doivent de préférence être entiers entre eux, de manière à ce que chaque dent d’un pignon ren- contre régulièrement chacune des dents de l’autre pignon, réduisant ainsi les problèmes d’usure ;
les nombres de dents doivent être réalisables (voir catalogue du fournisseur choisi, sinon éviter de choisir des nombres de dents inférieurs à 11) ;
si le rapport de réduction est très élevé, il peut être judicieux d’utiliser 2, voire 3 réducteurs en cas- cade.
Pour un réducteur rotatif-linéaire, il convient de remplacer la vitesse angulaire et le couple de la charge par :
= force la plus élevée nécessaire pour entraîner la charge pour respecter le cahier des charges
= vitesse linéaire la plus élevée que la charge doit pouvoir atteindre pour respecter le ca- hier des charges
Les contraintes sont très similaires.
Contrainte de vitesse pour un réducteur rotatif-linéaire :
Équation 2.11 m-1 ⇔ ∙ rad/s
où est la vitesse angulaire du moteur en rad/s , la vitesse linéaire du moteur en m/s , et i le rapport de réduction en m-1
Contrainte de couple pour un réducteur rotatif-linéaire :
Équation 2.12 ⇔ Nm
où est le couple nominal du moteur en rad/s , la force requise par la charge, et i le rapport de réduction en m-1
Au-delà du rapport de réduction, le choix du type de réducteur dépend de considérations mécaniques, comme la nature rotative ou linéaire des mouvements, l’encombrement, les jeux admissibles, la raideur (inverse de l’élasticité), la longévité, etc. Il dépend aussi de critères de coûts et de maintenance.
2.2.6 Choix du rapport de réduction –régime impulsionnel
Pour un entraînement fonctionnant en régime impulsionnel (accélérations et décélérations répétées), le choix du rapport de réduction doit, en plus des contraintes définies à la section 2.2.5 précédente, tenir compte des effets de la loi de Newton. Il s’agit surtout de déterminer les couples nécessaires pour accélérer et décélé- rer non seulement la charge. Par ailleurs, nous verrons qu’il existe un rapport de réduction optimum, pour lequel le cahier des charges (mouvements de la charge) peut être respecté avec une sollicitation minimale du moteur.
A première vue, il semblerait assez facile de déterminer le couple (ou la force) supplémentaire que le moteur doit fournir pour accélérer la charge, tenant compte de l’inertie (de la masse) de la charge et du rapport de réduction. Toutefois, cette démarche est insuffisante. En effet, il faut aussi tenir compte du fait que le moteur doit fournir du couple également pour s’accélérer et se décélérer lui-même.
Pour tenir compte de ces effets, la méthode la plus simple consiste, dans un premier temps, à déterminer l’inertie équivalente à la charge, vue du moteur. Si cette inertie équivalent est correctement calculée, le couple d’accélération que doit fournir le moteur est le même pour accélérer cette inertie que pour accélérer la charge par l’intermédiaire du réducteur. Pour un réducteur rotatif-rotatif, l’inertie équivalente à la charge peut se calculer par des considérations énergétiques : L’énergie cinétique de la charge et celle de l’inertie équivalente doivent être identiques, lorsque le rapport de leurs vitesses correspond au rapport de réduction i.
Nous avons ainsi : 1
2∙ ∙
é
1
2∙ é ∙ 1
2∙ é ∙ ∙
Ces deux énergies doivent être égales. Il en résulte, successivement : 1
2∙ é ∙ ∙ 1
2∙ ∙
é ∙
∙ Finalement :
Équation 2.13 é ∙ 1
∙ kgm2
Nous pouvons procéder de manière similaire pour un réducteur rotatif-linéaire : 1
2∙ ∙
1
2∙ é ∙ ∙ 1
2∙ ∙
é ∙
∙
Équation 2.14 é ∙ 1 ∙ ∙
2 ∙ kgm2
Pour tous les réducteurs, nous pouvons maintenant déterminer le couple nécessaire pour accélérer l’ensemble moteur + charge :
Équation 2.15 | ∙ ∙ é Nm
Attention : Le couple d’accélération que nous venons de calculer n’est pas mesurable à l’arbre du moteur. Ce couple doit être généré dans son processus de conversion d’énergie élec- trique en énergie mécanique. Une partie sert à accélérer son rotor, et seul le solde est fourni à l’arbre pour accélérer la charge.
Remarque : En réalité, il faudrait ajouter encore l’inertie du réducteur lui-même. La pratique montre cependant que celle-ci est généralement beaucoup plus faible que la somme des inerties du moteur et de la charge (rapportée au moteur). Pour cette raison, il est généralement acceptable de ne pas en tenir compte.
En faisant quelques considérations énergétiques, nous pouvons nous rendre compte que le choix du rapport de réduction influence la répartie des énergies cinétiques entre le moteur et la charge. Si le rapport de réduc- tion est trop faible, la vitesse du moteur sera relativement faible, et son énergie cinétique le sera également, ce qui peut paraître favorable. Par contre, pour accélérer la charge avec la même accélération, il devra fournir un couple plus élevé au réducteur, ce qui augmente le couple que doit fournir le moteur au réducteur. Inver- sement, si le rapport de réduction est trop élevé, le couple que doit fournir le moteur au réducteur sera plus faible, ce qui peut paraître favorable. Par contre, le moteur devra atteindre des vitesses plus élevées, et aura donc besoin de plus de couple pour s’accélérer lui-même.
Nous allons démontrer qu’il existe une valeur optimale pour le rapport de réduction. Pour simplifier le pro- blème, nous supposons que le mouvement de la charge et du moteur s’exécute sans aucun frottement, et qu’il n’y a aucun couple résistant. Ainsi, la totalité du couple produit par le moteur sert à accélérer et à freiner l’entraînement (moteur + charge). En partant de l’Équation 2.15, et si le réducteur est du type rotatif-rotatif, nous pouvons déterminer le couple d’accélération produit par le moteur comme suit, successivement :
| ∙ ∙ é ∙ ∙
| ∙ ∙
Nous constatons que, pour une accélération donnée de la charge (résultant généralement du cahier des charges), le couple que le moteur doit produire comporte un terme proportionnel au rapport de réduction i, et un terme proportionnel à son inverse.
Figure 2-12 Allure du couple que doit fournir un moteur pour accélérer une charge, en fonction du rapport de réduction i.
i Tacc-moteur
Tacc-chargemoteur
Tacc-total
ioptimal Tacc
Pour calculer la valeur optimale du rapport i, il suffit de dériver le contenu de la parenthèse dans l’équation précédente, et de déterminer quelle valeur de i l’annule :
∙
0 Nous en déduisons, pour un réducteur rotatif-rotatif :
Équation 2.16 sans dimension Une démarche similaire est possible pour un réducteur rotatif-linéaire :
| ∙ ∙ é ∙ ∙
| ∙ ∙
∙ 0
D’où, pour un réducteur rotatif-linéaire :
Équation 2.17 m-1
Que le réducteur soit rotatif-rotatif ou rotatif-linéaire, le rapport optimal ne fournit qu’une indication parmi d’autres en vue du choix du rapport i définitif. A contrario, les contraintes de vitesse et de couple dé- crites à la section 2.2.5 doivent impérativement être respectées. C’est d’autant plus important d’y faire atten- tion qu’il n’y a aucune certitude que la valeur optimale soit à l’intérieur de la plage définie par ces con- traintes.
Comme en régime permanent, le choix du type de réducteur dépend de considérations mécaniques, comme la nature rotative ou linéaire des mouvements, l’encombrement, les jeux admissibles, la raideur (inverse de l’élasticité), la longévité, etc. Il dépend aussi de critères de coûts et de maintenance.
Il convient de relever que si l’hypothèse de départ, selon laquelle les frottements et couples résistants sont négligeables par rapport au couple d’accélération, le rapport de réduction optimal doit se calculer de manière à en tenir compte, en appliquant la même méthode : exprimer d’abord le couple que doit fournir le moteur en fonction du rapport de réduction, des inerties et des couples supplémentaires, puis chercher la ou les va- leur(s) qui annule(nt) la dérivée de cette relation par rapport à i. Dans le cadre de ce cours cependant, ces variantes ne seront pas prises en compte. Ce choix est justifié par le fait que, dans la plupart des applications industrielles où des entraînements à forte dynamique sont nécessaires et doivent être optimisés, les frotte- ments et autres couples résistants dépassent rarement 10% des efforts à fournir. Or, l’allure du couple en fonction du rapport i (voir Figure 2-12) est très « plate » autour du rapport . Elle montre qu’un écart de 10% du rapport de réduction, quelle qu’en soit la cause, et même si c’est dû à une imperfection du mo- dèle « sans frottements », ne provoquera qu’une augmentation de 1% du couple fourni par le moteur.
