Chapitre 2 Transmissions
2.2 Réducteurs
2.2.1 Généralités
Les actionneurs conventionnels sont généralement des moteurs électriques rotatifs avec une plage de vitesse de rotation limitée (env. 500 à 6000 rpm). Or le mouvement des machines demande principalement des vi-tesses plus lentes ou des mouvements linéaires. La fonction des réducteurs est d'effectuer cette transforma-tion.
Le besoin d'une vitesse d'entraînement rigoureusement précise est rare, habituellement une certaine plage de tolérance autour de la vitesse théorique est admise. Réaliser un rapport de réduction égale précisément à n’importe quelle valeur est difficile et coûteux, car, nous le verrons, il fait intervenir le rapport entre des nombres de dents des pignons, et que ces nombres ne peuvent être qu’entiers. Une vitesse précise ne peut être obtenue que par une commande contrôlée ou réglée en vitesse (voir sections 1.5.3 et 1.5.4).
Les critères de choix sont non seulement techniques mais également économiques, la solution optimale doit tenir compte du coût de l'ensemble commande, moteur et réducteur. Les moteurs rapides sont en général moins chers que les moteurs plus lents en raison de leur taille et de leur simplicité de construction. En re-vanche ils nécessitent des réducteurs à rapport plus élevé et plus complexes.
Les réducteurs se différencient suivant que leur sortie est rotative ou linéaire, ainsi que selon leurs axes de rotation ou de glissement. Pour cette raison, nous distinguons :
les réducteurs rotatifs-rotatifs (le moteur et la charge sont rotatifs) ;
les réducteurs rotatifs-linéaire (le moteur et rotatif et la charge est linéaire).
Dans le cadre de ce cours, c’est surtout le choix du rapport de réduction qui sera abordé. Les aspects cons-tructifs, de précision, de maintenance, etc. ne seront qu’évoqués.
2.2.2 Avantages et inconvénients
Les avantages des réducteurs sont les suivants :
Le rapport de réduction peut être choisi avec une très grande liberté, ce qui permet d’utiliser le moteur très efficacement à son régime nominal.
Le moteur électrique peut être placé à l’endroit où il gène le moins.
Il peut être placé en dehors de zones critiques en vibration, température, humidité et autres facteurs en-vironnementaux (poussière, produits de nettoyage en industrie alimentaire, risques d’explosion, etc.).
Certains types d’accouplements ne sont pas réversibles, ce qui signifie qu’à l’arrêt, la charge est freinée sans frein supplémentaire ni intervention du moteur.
Les réducteurs présentent également des inconvénients qu’il convient de bien maîtriser :
Ils présentent toujours un certain jeu, à l’exception notoire des courroies crantées. Cela signifie que lorsque le moteur commence à freiner la charge, il tournera d’un petit angle avant que les dents ne se touchent à nouveau. Ce phénomène peut être assimilé à un choc. S’il se produit trop souvent, les dents seront vite endommagées. Ce phénomène de jeu n’est pas critique pour des entraînements à 1 quadrant, ce qui recouvre toutes les applications de transport, convoyage, etc. Par contre, pour des entraînements à 2 quadrants et plus, l’inversion rapide de la force ou du couple peut provoquer une usure en quelques heures seulement. La courroie crantée est alors une bonne alternative, car sa plasticité amorti le jeu. Si cette solution ne peut être utilisée, par exemple à cause de problèmes d’encombrement, il faut alors uti-liser des engrenages à compensation de jeu ou une vis à billes, solutions beaucoup plus coûteuses.
La plupart des réducteurs créent des forces radiale et axiale, dont il convient de tenir compte dans le dimensionnement des paliers et bâtis de machines.
Les réducteurs provoquent des vibrations qui peuvent être gênantes.
Les réducteurs présentent forcément un phénomène d’usure. Celle-ci peut être particulièrement critique si les alignements ne sont pas assez précis.
Le rendement n’est pas très bon. Il peut n’être que de 60% pour les réducteurs les moins chers. Les ré-ducteurs avec plus de 90% de rendement sont plus coûteux.
Les réducteurs à courroie crantée peuvent poser des difficultés lors du démarrage à froid. En effet, ils doivent être tendus correctement en marche normale, c’est-à-dire à chaud. A basse température, leur contraction augment les forces radiales et peut diminuer le rendement à un point tel que le moteur ne parvient plus à mettre la machine en mouvement.
2.2.3 Réducteurs rotatifs-rotatifs
Pour les accouplements rotatif-rotatif, l’axe de sortie peut être :
en ligne avec l’axe d’entrée ;
décalé mais parallèle avec l’axe d’entrée ;
coudé à 90 degré, ou à un angle quelconque.
Figure 2-7 Exemples de réducteurs rotatifs-rotatifs
(source : Magtorq [India] – www.magtorq.com )
Une grande partie des réducteurs rotatifs-rotatifs sont réversibles, ce qui signifie que la charge peut, elle aus-si, entraîner l’ensemble et faire tourner le moteur. Parmi les difficultés d’utilisation des réducteurs à pignons réside, il faut relever la précision d’alignement de leurs axes, ainsi que l’apparition de forces radiales et axiales qui provoquent une charge supplémentaire des paliers. Certains réducteurs comme les vis sans fin (voir la 5ème illustration de la Figure 2-7) présentent des frottements tels qu’ils ne peuvent fonctionner que dans un sens : La vis tourne et entraîne le pignon (et non l’inverse).
Lorsqu’un rapport de réduction élevé est nécessaire, il est possible d’utiliser un réducteur épicycloïdal fin (voir la 6ème illustration de la Figure 2-7). Il est aussi possible de disposer plusieurs réducteurs de conception plus simple à la suite les uns des autres (en série).
Certains accouplements utilisent un organe de transmission intermédiaire, comme une chaîne ou une cour-roie crantée. Pour des machines, les accouplements à friction et les courcour-roies lisses, plates ou trapézoïdales sont plus rarement employées. Les courroies crantées sont constituées d'une âme élastique enrobée dans le corps en élastomère. Les dents sont moulées ou rapportées et recouvertes d'un tissu qui offre une bonne résis-tance à l'usure tout en présentant un coefficient de frottement bas. Pour assurer la tension des courroies celles-ci sont préalablement mise en tension à une valeur voisine de la moitié de la tension maximale qu'elle subira en cours de fonctionnement.
Figure 2-8 Exemple de réducteurs à courroie crantée
(Source : Angst+Pfister )
Le rapport de réduction d’un réducteur rotatif-rotatif est calculé à partir du nombre de dents des pignons, comme suit :
Équation 2.5
où et sont les vitesses du moteur, respectivement de la charge, et où et les nombres de dents des pignons côté moteur, respectivement côté charge.
Figure 2-9 Représentation schématique des réducteurs rotatifs-rotatifs
Remarque 1 : Le rapport i d’un réducteur rotatif-rotatif est adimensionnel. Il est >1 lorsque le moteur tourne plus vite que la charge (ce qui est souvent le cas, mais pas toujours).
Remarque 2 : En calculant ce rapport, les vitesses peuvent être exprimées à choix en [rad/s], en [tr/min], en [tr/s], etc. Il suffit de prendre garde à ce que les deux vitesses soient ex-primées avec la même unité.
Remarque 3 : Le rapport i d’un réducteur détermine également le rapport entre les variations de po-sitions du moteur et de la charge, ainsi qu’entre leurs accélérations.
moteur
Le rapport de réduction détermine aussi le rapport des couples, côté moteur et côté charge : Équation 2.6
où et sont les couples du moteur, respectivement de la charge, en Nm .
2.2.4 Réducteurs rotatifs-linéaire
Pour les accouplements rotatif-linéaire, l’axe de glissement de la sortie peut être :
perpendiculaire à l’axe d’entrée (crémaillère)
en ligne avec l’axe d’entrée (vis, vis à billes, vis à rouleaux)
Figure 2-10 Exemples de réducteurs rotatifs-linéaires
Sources : Alpha [D] – www.alphagetriebe.com et Schunk - www.schunk.com)
Les réducteurs rotatifs-linéaires sont généralement réversibles. Même les réducteurs à vis à billes peuvent être mis en rotation en déplaçant le mobile linéaire. Dans certains cas, un réducteur rotatif-linéaire peut être combiné à un réducteur rotatif-rotatif.
Figure 2-11 Représentation schématique des réducteurs rotatifs-linéaires Le rapport de réduction d’un réducteur rotatif-linéaire est calculé comme suit :
Équation 2.7 2 ∙ ∙ m-1
où est la vitesse angulaire du moteur en rad/s , v la vitesse linéaire de la charge en m/ , le nombre de dents du pignon côté moteur, et p le pas de la crémaillère ou de la vis en m .
moteur
ZM
T ,M wM
p F , vL L
char ge
BSR20070314_C.des
moteur T ,M wM
charge F , vL L
p BSR20070313_D.des
Remarque 1 : Pour un réducteur rotatif-linéaire, le rapport i n’est pas adimensionnel. Si la vitesse angulaire est exprimée en [rad/s] et la vitesse linéaire en [m/s], sa dimension est l’inverse d’un mètre [m-1].
Remarque 2 : Pour un réducteur rotatif-linéaire à vis, il convient de considérer Zmoteur comme étant le nombre de filets, généralement égal à 1. Pour mieux comprendre ce fait, il faut consi-dérer que, si le moteur fait 1 tour, la charge se déplace d’une longueur de pas si sa vis comporte un filet.
Remarque 3 : Souvent, les vitesses angulaires sont exprimées en [tr/min] et en [tr/s], et les vitesses linéaires sont exprimées en [m/min]. Dans ce cas il est recommandé de convertir ces unités avant d’appliquer l’Équation 2.7.
Le rapport de réduction détermine aussi le rapport entre le couple moteur et la force appliquée à la charge : Équation 2.8 m-1
où est la force appliquée à la charge en N , et le couple moteur en Nm .
2.2.5 Choix du rapport de réduction –régime permanent
Pour un entraînement fonctionnant en régime permanent (couple et vitesse constants), le choix du rapport de réduction dépend :
des caractéristiques de vitesse et de couple (ou de force) du moteur, telles que spécifiées par son four-nisseur ;
des caractéristiques de mouvements de la charge, telles que spécifiées par le cahier des charges de la machine.
Pour dimensionner un réducteur rotatif-rotatif, exprimons par :
= couple nominal du moteur, qu’il peut délivrer en permanence
= vitesse angulaire la plus élevée à laquelle peut tourner le moteur tout en délivrant son couple nominal
= couple le plus élevée nécessaire pour entraîner la charge pour respecter le cahier des charges
= vitesse angulaire la plus élevée que la charge doit pouvoir atteindre pour respecter le cahier des charges
Dans un tel cas, le rapport de réduction doit respecter deux contraintes, comme exprimé ci-dessous.
Contrainte de vitesse pour un réducteur rotatif-rotatif :
Équation 2.9 ⇔ ∙ rad/s
où les deux vitesses angulaires doivent être exprimées avec les mêmes unités, par exemple en rad/s , et i le rapport de réduction adimensionnel
Contrainte de couple pour un réducteur rotatif-rotatif :
Équation 2.10 ⇔ Nm
où les deux couples sont en Nm , et i le rapport de réduction est adimensionnel
Généralement, ces contraintes fournissent les valeurs limites entre lesquelles plusieurs choix sont possibles pour le rapport i. Les facteurs de choix supplémentaires sont généralement les suivants :
Si, dans une autre machine, ou une autre partie de la même machine, le constructeur utilise déjà un ré-ducteur de performances similaires, il sera judicieux de choisir exactement le même réré-ducteur pour la nouvelle machine, afin de simplifier la logistique (moins d’articles différents à gérer et à stocker).
Si l’objectif est d’utiliser un réducteur complet d’un fournisseur, il sera judicieux de choisir un modèle et un rapport de réduction parmi leurs choix possibles. Certains proposent même des gammes préféren-tielles pour lesquels les prix et les délais de livraison sont plus favorables.
Si l’objectif est d’utiliser des pignons avec ou sans courroie crantée, alors il convient de choisir une valeur de i telle que :
les nombres de dents doivent être des nombres entiers ;
ils doivent de préférence être entiers entre eux, de manière à ce que chaque dent d’un pignon ren-contre régulièrement chacune des dents de l’autre pignon, réduisant ainsi les problèmes d’usure ;
les nombres de dents doivent être réalisables (voir catalogue du fournisseur choisi, sinon éviter de choisir des nombres de dents inférieurs à 11) ;
si le rapport de réduction est très élevé, il peut être judicieux d’utiliser 2, voire 3 réducteurs en cas-cade.
Pour un réducteur rotatif-linéaire, il convient de remplacer la vitesse angulaire et le couple de la charge par :
= force la plus élevée nécessaire pour entraîner la charge pour respecter le cahier des charges
= vitesse linéaire la plus élevée que la charge doit pouvoir atteindre pour respecter le ca-hier des charges
Les contraintes sont très similaires.
Contrainte de vitesse pour un réducteur rotatif-linéaire :
Équation 2.11 m-1 ⇔ ∙ rad/s
où est la vitesse angulaire du moteur en rad/s , la vitesse linéaire du moteur en m/s , et i le rapport de réduction en m-1
Contrainte de couple pour un réducteur rotatif-linéaire :
Équation 2.12 ⇔ Nm
où est le couple nominal du moteur en rad/s , la force requise par la charge, et i le rapport de réduction en m-1
Au-delà du rapport de réduction, le choix du type de réducteur dépend de considérations mécaniques, comme la nature rotative ou linéaire des mouvements, l’encombrement, les jeux admissibles, la raideur (inverse de l’élasticité), la longévité, etc. Il dépend aussi de critères de coûts et de maintenance.
2.2.6 Choix du rapport de réduction –régime impulsionnel
Pour un entraînement fonctionnant en régime impulsionnel (accélérations et décélérations répétées), le choix du rapport de réduction doit, en plus des contraintes définies à la section 2.2.5 précédente, tenir compte des effets de la loi de Newton. Il s’agit surtout de déterminer les couples nécessaires pour accélérer et décélé-rer non seulement la charge. Par ailleurs, nous verrons qu’il existe un rapport de réduction optimum, pour lequel le cahier des charges (mouvements de la charge) peut être respecté avec une sollicitation minimale du moteur.
A première vue, il semblerait assez facile de déterminer le couple (ou la force) supplémentaire que le moteur doit fournir pour accélérer la charge, tenant compte de l’inertie (de la masse) de la charge et du rapport de réduction. Toutefois, cette démarche est insuffisante. En effet, il faut aussi tenir compte du fait que le moteur doit fournir du couple également pour s’accélérer et se décélérer lui-même.
Pour tenir compte de ces effets, la méthode la plus simple consiste, dans un premier temps, à déterminer l’inertie équivalente à la charge, vue du moteur. Si cette inertie équivalent est correctement calculée, le couple d’accélération que doit fournir le moteur est le même pour accélérer cette inertie que pour accélérer la charge par l’intermédiaire du réducteur. Pour un réducteur rotatif-rotatif, l’inertie équivalente à la charge peut se calculer par des considérations énergétiques : L’énergie cinétique de la charge et celle de l’inertie équivalente doivent être identiques, lorsque le rapport de leurs vitesses correspond au rapport de réduction i.
Nous avons ainsi :
Ces deux énergies doivent être égales. Il en résulte, successivement : 1
Nous pouvons procéder de manière similaire pour un réducteur rotatif-linéaire : 1
Pour tous les réducteurs, nous pouvons maintenant déterminer le couple nécessaire pour accélérer l’ensemble moteur + charge :
Équation 2.15 | ∙ ∙ é Nm
Attention : Le couple d’accélération que nous venons de calculer n’est pas mesurable à l’arbre du moteur. Ce couple doit être généré dans son processus de conversion d’énergie élec-trique en énergie mécanique. Une partie sert à accélérer son rotor, et seul le solde est fourni à l’arbre pour accélérer la charge.
Remarque : En réalité, il faudrait ajouter encore l’inertie du réducteur lui-même. La pratique montre cependant que celle-ci est généralement beaucoup plus faible que la somme des inerties du moteur et de la charge (rapportée au moteur). Pour cette raison, il est généralement acceptable de ne pas en tenir compte.
En faisant quelques considérations énergétiques, nous pouvons nous rendre compte que le choix du rapport de réduction influence la répartie des énergies cinétiques entre le moteur et la charge. Si le rapport de réduc-tion est trop faible, la vitesse du moteur sera relativement faible, et son énergie cinétique le sera également, ce qui peut paraître favorable. Par contre, pour accélérer la charge avec la même accélération, il devra fournir un couple plus élevé au réducteur, ce qui augmente le couple que doit fournir le moteur au réducteur. Inver-sement, si le rapport de réduction est trop élevé, le couple que doit fournir le moteur au réducteur sera plus faible, ce qui peut paraître favorable. Par contre, le moteur devra atteindre des vitesses plus élevées, et aura donc besoin de plus de couple pour s’accélérer lui-même.
Nous allons démontrer qu’il existe une valeur optimale pour le rapport de réduction. Pour simplifier le pro-blème, nous supposons que le mouvement de la charge et du moteur s’exécute sans aucun frottement, et qu’il n’y a aucun couple résistant. Ainsi, la totalité du couple produit par le moteur sert à accélérer et à freiner l’entraînement (moteur + charge). En partant de l’Équation 2.15, et si le réducteur est du type rotatif-rotatif, nous pouvons déterminer le couple d’accélération produit par le moteur comme suit, successivement :
| ∙ ∙ é ∙ ∙
| ∙ ∙
Nous constatons que, pour une accélération donnée de la charge (résultant généralement du cahier des charges), le couple que le moteur doit produire comporte un terme proportionnel au rapport de réduction i, et un terme proportionnel à son inverse.
Figure 2-12 Allure du couple que doit fournir un moteur pour accélérer une charge, en fonction du rapport de réduction i.
i Tacc-moteur
Tacc-chargemoteur
Tacc-total
ioptimal Tacc
Pour calculer la valeur optimale du rapport i, il suffit de dériver le contenu de la parenthèse dans l’équation précédente, et de déterminer quelle valeur de i l’annule :
∙
0 Nous en déduisons, pour un réducteur rotatif-rotatif :
Équation 2.16 sans dimension Une démarche similaire est possible pour un réducteur rotatif-linéaire :
| ∙ ∙ é ∙ ∙
| ∙ ∙
∙ 0
D’où, pour un réducteur rotatif-linéaire :
Équation 2.17 m-1
Que le réducteur soit rotatif-rotatif ou rotatif-linéaire, le rapport optimal ne fournit qu’une indication parmi d’autres en vue du choix du rapport i définitif. A contrario, les contraintes de vitesse et de couple dé-crites à la section 2.2.5 doivent impérativement être respectées. C’est d’autant plus important d’y faire atten-tion qu’il n’y a aucune certitude que la valeur optimale soit à l’intérieur de la plage définie par ces con-traintes.
Comme en régime permanent, le choix du type de réducteur dépend de considérations mécaniques, comme la nature rotative ou linéaire des mouvements, l’encombrement, les jeux admissibles, la raideur (inverse de l’élasticité), la longévité, etc. Il dépend aussi de critères de coûts et de maintenance.
Il convient de relever que si l’hypothèse de départ, selon laquelle les frottements et couples résistants sont négligeables par rapport au couple d’accélération, le rapport de réduction optimal doit se calculer de manière à en tenir compte, en appliquant la même méthode : exprimer d’abord le couple que doit fournir le moteur en fonction du rapport de réduction, des inerties et des couples supplémentaires, puis chercher la ou les va-leur(s) qui annule(nt) la dérivée de cette relation par rapport à i. Dans le cadre de ce cours cependant, ces variantes ne seront pas prises en compte. Ce choix est justifié par le fait que, dans la plupart des applications industrielles où des entraînements à forte dynamique sont nécessaires et doivent être optimisés, les frotte-ments et autres couples résistants dépassent rarement 10% des efforts à fournir. Or, l’allure du couple en fonction du rapport i (voir Figure 2-12) est très « plate » autour du rapport . Elle montre qu’un écart de 10% du rapport de réduction, quelle qu’en soit la cause, et même si c’est dû à une imperfection du mo-dèle « sans frottements », ne provoquera qu’une augmentation de 1% du couple fourni par le moteur.