Rappel théorique – l’électromagnétisme

3.1.1 1

^er

principe – induction magnétique

Les moteurs électriques sont des appareils qui transforment l’énergie électrique en énergie mécanique, ou vice versa. Leur fonctionnement repose sur trois principes généraux de l’électromagnétisme, dont le premier est le suivant :

Loi de Biot-Savart :

Un courant électrique crée un champ magnétique, comme un aimant. Ce champ parcourt des lignes de forces qui entourent le conducteur électrique.

Figure 3-1 Champ électromagnétique et règle du tire-bouchon

En 1819 le savant danois Hans Christian Oersted découvrit qu'un conducteur rectiligne parcouru par un cou-rant électrique produisait dans l’air ambiant un champ magnétique capable de faire dévier l'aiguille d'une boussole. Ce champ magnétique n’est pas matériel ; c’est plutôt une zone d’influence de ce courant sur d’autres courants et aimants.

Le champ magnétique est d'autant plus fort que l'intensité du courant est importante et que la ligne de force est proche du conducteur. L'induction magnétique B

est liée au courant I

et au rayon r. Elle est orientée selon la règle « du tire-bouchon ». Dans le cas particulier où les 3 vecteurs sont perpendiculaires deux à deux, l’induction est donnée par :

Équation 3.1 ^∙

2 ∙ ∙

où B est l’induction en tesla T , I le courant en A , r le rayon en m , et  la perméabi-lité magnétique du milieu supposé homogène où circule la ligne de champ

II

B r

BSR20041231_B.des

Dans le vide et dans l’air, la perméabilité est identique à celle du vide : Équation 3.2 0,4 ∙ ∙ 10 H/A²

₀ est une constante universelle appelée constante d’induction.

Dans d’autres milieux, la perméabilité est un multiple de cette constante d’induction :

Équation 3.3 ∙

Ce multiple μ est appelé perméabilité relative du matériau considéré. Celle-ci vaut 1 pour le vide, l’air et la plupart des matériaux. Ce n’est que dans les matériaux ferromagnétiques comme le fer et le nickel qu’elle prend des valeurs supérieures. Attention cependant : Un matériau magnétique n’a pas une perméabili-té relative constante. Même si elle peut atteindre 100'000 et plus pour de faibles courants, elle baisse rapide-ment lorsque le courant augrapide-mente. On dit que « le fer sature », ce qui se produit pour des valeurs d’induction B comprise entre 0,2 et 1,5 T suivant la composition de l’alliage.

Utilisé sous forme de noyau pour une bobine, le fer augmente fortement l'induction créé par une bobine en concentrant les lignes de forces, comme le montre la Figure 3-2. Tout se passe comme si l’induction magné-tique cherchait les chemins qui présentent la plus forte perméabilité relative. Par exemple, elle se concentre dans le fer d’un transformateur.

Figure 3-2 Induction magnétique dans une bobine contenant du fer

gauche : bobine à air – l’induction est faible (μr = 1) et répartie tout autour droite : bobine sur fer – l’induction est forte (μr > 1’000) et concentrée Par ailleurs, l’effet du courant peut être augmenté par la multiplication des spires. Pour une telle bobine, l’induction vaut :

Équation 3.4 ∙ ∙ ∙

où N est le nombre de spire, et L la longueur de la bobine, en m

i(t)

B(t)

BSR20041231_G.des

i(t)

B(t)

L

L

3.1.2 2

^ème

principe – force électromagnétique

Loi de Laplace :

Un conducteur dans lequel circule un courant électrique, placé dans un champ magnétique, est soumis à une force. Celle-ci est perpendiculaire à la direction du courant et à celle du champ magnétique.

Figure 3-3 Force électromagnétique et règle des trois doigts

Lorsqu'un conducteur parcouru par un courant se trouve dans une région de l'espace où règne un champ ma-gnétique, il est soumis à une force électromama-gnétique, perpendiculaire à la fois au conducteur et au champ.

Cette force est parfois appelée force de Laplace, même si cette interaction de deux courants par l'intermé-diaire du champ magnétique a été décrite en premier par le savant français André Marie Ampère, en 1820.

D’une importance capitale, ce phénomène est à la base du fonctionnement des moteurs, des haut-parleurs, d’un grand nombre d’appareils de mesure, des contacteurs, etc.

Si le conducteur est rectiligne, et si celui-ci est soumis sur une distance l à une induction magnétique uni-forme la force de Laplace correspond au produit vectoriel suivant :

Équation 3.5  ∙ N

où le vecteur est orienté dans l’axe du conducteur ; son amplitude et son sens cor-respondent à l’intensité I du courant ;

où le vecteur est orienté dans l’axe du champ magnétique ; son amplitude et son sens correspondent à l’intensité B de l’induction magnétique ;

où l est la longueur, en m , de la partie du conducteur qui est placée dans le champ uniforme .

La force est orientée selon la règle des trois doigts. Numériquement, elle se calcule comme suit : Équation 3.6 ∙ ∙ ∙sinα N

où α est l’angle formé par les deux vecteurs et 90º s’ils sont perpendiculaires comme dans la Figure 3-3.

N S B

I F

l

BSR20041231_A.des

3.1.3 Flux magnétique

Le flux magnétique Φ exprime la quantité d’induction magnétique interceptée par un circuit électrique. La Figure 3-4 représente le cas d’un circuit électrique plan, placé dans un champ magnétique homogène.

Figure 3-4 Flux magnétique interceptant un circuit électrique, où S

est le vecteur surface, dont l’amplitude est égale à la surface de la spire, orienté perpendiculairement à la spire ;

où  est l’angle entre ce vecteur et le champ magnétique B .

Définition 3.1 Le flux magnétique ^ exprime la quantité d’induction magnétique interceptée par un circuit électrique fermé.

Ce flux magnétique se mesure en weber [Wb]. Dans le cas d’une géométrie simple comme dans la Figure 3-4, le flux magnétique correspond au produit vectoriel suivant :

Équation 3.7  Wb Numériquement, elle se calcule comme suit : Équation 3.8 ∙ ∙ sinα Wb

où α est l’angle entre l’induction magnétique et le plan du circuit

Le flux Φ est proportionnel à l’intensité de l’induction magnétique B et à la surface interceptée S. Il est maximum quand le champ magnétique est normal (perpendiculaire) au plan du circuit électrique.

3.1.4 3

^ème

principe – tension induite par variation du flux magnétique

Loi de Faraday-Lenz :

Un circuit électrique, soumis à un flux magnétique variable, est le siège d’une tension induite.

Équation 3.9 V

Une tension induite ui(t) peut être modélisée par une source idéale de tension. Si l’on ferme le circuit, par exemple sur une résistance R, un courant i(t) se met à circuler. En tenant compte de l’Équation 3.9, la tension induite vaut :

Équation 3.10 ^{∙ ∙ sinα t} V

B

BSR20041231_C.des

S a

Figure 3-5 Circuit électrique interceptant un flux magnétique

Il en résulte que la tension induite peut être produite en variant l’induction magnétique, la surface du circuit électrique, l’angle formé entre eux, ou toute combinaison de ces actions.

Plusieurs chercheurs avaient déjà constaté ce phénomène. Le physicien balte Heinrich Lenz fut le premier à expliquer, en 1833, la manière de déterminer le sens de la tension induite :

Loi de Lenz :

Le sens d’une tension induite est tel que le courant électrique et les forces électromagnétiques qui en résul-tent tendent, par leurs effets, à s'opposer à la variation de flux.

 EXEMPLE 1

Si l’on fait pivoter une spire dans un champ magnétique, une tension induite apparaît à ses bornes. En effet, on fait ainsi varier l’angle α entre le plan de la spire et l’induction magnétique. Plus la rotation est rapide, moins il faut de temps pour faire passe cos α de 1 à -1 et réciproquement. L’amplitude de la tension induite ainsi créée est proportionnelle à l’induction magnétique et à la vitesse de rotation de la spire.

Figure 3-6 Tension induite aux bornes d’une spire tournant dans un champ uniforme (source : Walter Fendt (D) – www.walter-fendt.de)

En connectant cette spire sur une charge, par exemple une résistance, il s’établit un courant induit dans ce circuit.

Ce courant crée à son tour un couple électromagnétique en vertu du 2^ème principe vu au paragraphe 3.1.2. Ce couple s’oppose à la rotation de la spire en vertu de la loi de Lenz, cherchant ainsi à réduire la vitesse, donc l’amplitude de la tension induite.

Ce phénomène est à la base du fonctionnement d’un alternateur. Plus on le charge électriquement, plus il faudra lui fournir du couple pour maintenir sa vitesse.

B(t)

BSR20070814_D.des

u (t)

i

a (t) S(t)

i(t)

R

 EXEMPLE 2

Si le champ magnétique est créé par une bobine (électro-aimant) et que l’on fait varier le courant Ie qui y circule, on obtient une induction magnétique B variable. En particulier, si ce courant Ie est sinusoïdal, l’induction B l’est aussi. La tension induite ui qui apparaît aux bornes d’une deuxième spire interceptant l’induction magnétique B est donc également sinusoïdale. Son amplitude est proportionnelle au courant Ie circulant dans la première bo-bine, et à sa fréquence. En effet, la dérivée d’une fonction sinusoïdale est donnée par :

2 ∙ ∙

2 ∙ ∙ 2 ∙ ∙

Figure 3-7 Principe de fonctionnement d’un transformateur Ce phénomène est à la base du fonctionnement des transformateurs.

 EXEMPLE 3

Si 2 fils électriques reliant un capteur de mesure à la commande d’une machine ou d’une installation sont câblés dans un environnement où d’autres appareils créent des champs magnétiques variables, une tension induite s’ajoute comme une source de tension, en série dans le circuit de mesure, et peut en perturber le fonctionnement.

Une première manière de diminuer ce phénomène consiste à router ces 2 fils côte à côte plutôt que séparément.

Ainsi, on réduit la surface de ce circuit électrique, donc le flux intercepté.

Si cela ne suffit pas, il est possible de diminuer encore cette perturbation en torsadant les 2 fils. Ainsi, le flux in-tercepté par une demi-spire avec un angle de 90° est compensé par celui inin-tercepté par la demi-spire suivante, car celle-ci ayant approximativement la même surface voit l’induction magnétique avec un angle de -90°.

Figure 3-8 Réduction de la sensibilité aux perturbations obtenue en torsadant 2 fils

Ces phénomènes sont d’autant plus importants que la fréquence et l’intensité des champs perturbateurs sont éle-vées. Leur bonne compréhension permet d’améliorer la compatibilité électromagnétique (CEM) des appareils et des machines, et d’assurer ainsi leur bon fonctionnement.

i(t)

B(t)

u (t)

_i

BSR20041231_E.des

B

u

i

-u

i

u

i

-u

i

u +(- )=0

i

u

i

BSR20041231_F.des

u +(- )=0

i

u

i

Dans le document Motorisation et Commande des Machines (Page 35-41)