1. Soit E = {a, b, c, d} l'ensemble à 4 éléments dont on forme les partitions. Les nombres cherchés sont respectivement 1, 7, 6, 1. En eet :

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Problème

1. Soit E = {a, b, c, d} l'ensemble à 4 éléments dont on forme les partitions. Les nombres cherchés sont respectivement 1, 7, 6, 1. En eet :

Une seule partition en une seule partie : {E}

Sept partitions en deux parties :

{{b, c, d}, {a}}, {{a, c, d}, {b}}, {{a, b, d}, {c}}, {{a, b, c}, {d}}, {{a, b}, {c, d}}, {{a, c}, {b, d}}, {{a, d}, {b, c}}

Six partitions en trois parties :

{{a, b}, {c}, {d}}, {{a, c}, {b}, {d}}, {{a, d}, {b}, {c}}, {{b, c}, {a}, {d}}, {{b, d}, {a}, {c}}, {{c, d}, {a}, {b}}

Une seule partition en quatre éléments constituée des singletons : {{a}, {b}, {c}, {d}}

2. a. Les k éléments de π(f ) sont des parties de A . On doit montrer qu'ils constituent une partition de A c'est à dire que tout x ∈ A est dans l'une de ces parties et que deux parties distinctes sont disjointes.

Soit x ∈ A , alors f (x) ∈ f (A) donc il existe un i tel que f (x) = y _i ce qui entraine x ∈ f ⁻¹ ({y i }) .

Soit y _i et y _j distincts, alors :

x ∈ f ⁻¹ ({y i }) ⇒ f(x) = y i

x ⁰ ∈ f ⁻¹ ({y j }) ⇒ f (x ⁰ ) = y _j )

⇒ x 6= x ⁰

car y _i 6= y _j donc f ⁻¹ ({y i }) ∩ f ⁻¹ ({y j }) = ∅ .

On pourrait aussi remarquer que les f ⁻¹ ({y i }) sont les classes d'équivalence de la relation dénie par f :

xR _f y ⇔ f (x) = f (y)

b. Soit P = π(f ) la partition en k parties associée à f . Quelles sont les f ∈ F k telles que P = π(f ) ?

Sur chaque élément de P (un tel élément est une partie de A ), les fonctions f et g sont constantes mais elles ne prennent pas forcément la même valeur. D'autre part ces k valeurs sont deux à deux distinctes. Le nombre de ces fonctions est

donc le même que le nombre de k -uplets d'éléments de X deux à deux distincts c'est à dire encore le nombre d'injections d'un ensemble à k éléments dans un ensemble à m éléments. Sot d'après le cours

m(m − 1) · · · (m − k + 1) = m ^k

3. On classe d'abord l'ensemble des fonctions de A dans X suivant le cardinal de l'image de A . Ce cardinal est compris entre 0 et min(m, n) . D'après le cours, on connait le nombre total de ces fonctions. Il vient

m ⁿ =

min(m,n)

X

k=1

]F k

On classe ensuite les f d'un même F k suivant leur π(f ) . Le nombre de partitions est n

k

. Pour chaque partition P , le nombre de f telles que π(f ) = P est m ^k . On en déduit la formule demandée.

]F _k = n

k

n ^k ⇒ m ⁿ =

min(m,n)

X

k=1

n k

m ^k

Exercice

1. À partir des quatre points introduits par le troisième axiome, on peut former ⁴ ₂

= 6 paires de points qui dénissent 6 droites D(a, b) avec a et b dans {a 1 , a 2 , a 3 , a 4 } . Ces droites sont-elles distinctes ?

Si deux de ces droites sont égales entre elles (nommons δ cette droite) celle ci contien- dra l'union de deux paires. Comme l'union de deux paires distinctes est un ensemble d'au moins 3 éléments, la droite δ contiendra 3 des points a i en contradiction avec le troisième axiome.

2. Supposons que le plan soit l'union de deux droites δ et δ ⁰ . D'après le troisième axiome, les points a i se répartissent deux par deux sur les droites. Disons a 1 , a 2 dans δ et a 3 , a 4 dans δ ⁰ .

Considérons la droite D(a 1 , a 3 ) . Peut-elle contenir un point autre que a 1 et a 3 ? Soit m un tel point. Si m ∈ δ alors m ∈ δ ∩ D(a 1 , a 3 ) . Mais δ ∩ D(a 1 , a 3 ) contient déjà a 1 et le deuxième axiome montre alors que m = a 1 . On montre de même que m ∈ δ ⁰ entraine m = a ₃ . La droite D(a ₁ , a ₃ ) se réduit donc à la paire {a 1 , a ₃ } . On

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peut raisonner de même pour D(a 2 , a 4 ) et : D(a 1 , a 3 ) = {a 1 , a 3 } D(a 2 , a 4 ) = {a 2 , a 4 } )

⇒ D(a 1 , a 3 ) ∩ D(a 2 , a 4 ) = ∅

en contradiction avec le deuxième axiome. Il est donc impossible que Π soit l'union de deux droites.

3. Remarquons d'abord que deux droites étant données, l'existence d'un point O n'ap- partenant à aucune est assurée par le résultat de la question 2.

Deux droites distinctes δ et δ ⁰ étant xées, f est l'application de δ dans δ ⁰ qui, à un point m ∈ δ , associe l'unique point d'intersection de D(O, m) avec δ ⁰ .

Dénissons symétriquement une application f ⁰ de δ ⁰ dans δ qui, à un point m ⁰ ∈ δ , associe l'unique point d'intersection de D(O, m ⁰ ) avec δ .

Considérons f ⁰ ◦ f . C'est une application de δ dans lui même. Soit m quelconque dans δ et m ⁰ = f (m) . Par dénition, m ⁰ ∈ D(0, m) donc D(0, m) est une droite qui contient O et m ⁰ . C'est donc la droite (deuxième axiome) passant par m ⁰ et O d'où D(O, m) = D(O, m ⁰ ) . On en déduit que m ∈ D(O, m ⁰ ) ∩ δ donc f ⁰ (m ⁰ ) = m . Ceci étant valable pour tous les m ∈ δ , on a prouvé f ⁰ ◦ f = Id δ . Les deux droites jouant des rôles symétriques, f ◦ f ⁰ = Id δ

donc f et f ⁰ sont bijectives et réciproques l'une de l'autre. Ceci montre que toutes les droites ont le même nombre d'éléments. On le note d .

4. Notons ∆ _O l'ensemble des droites passant par O . Convenons d'appeler droite épointée une droite passant par O de laquelle O a été enlevé et notons ∆ ⁰ _O l'ensemble des droites épointées. D'après le deuxième axiome, l'intersection de deux droites de ∆ _O est le singleton {O} , deux droites épointées distinctes sont donc disjointes. De plus, par un point m quelconque autre que O passe la droite épointée D(O, m) \ {O} . On en déduit que les droites épointées forment une partition du plan privé de O , comme de plus elles ont toutes le même nombre d'éléments d − 1 , on obtient

p − 1 = n O × (d − 1)

Ceci montre que tous les n O sont égaux entre eux lorsque O varie dans le plan.

5. Fixons un point O et une droite δ 0 qui ne passe pas par O . Notons ϕ l'application de δ 0 dans ∆ O qui à un point m de δ 0 associe D(O, m) . Notons ψ l'application de ∆ O

dans δ 0 qui à une droite δ de ∆ O associe l'unique point d'intersection de δ avec δ 0 . On vérie facilement que ϕ ◦ ψ = Id ∆

et que ψ ◦ ϕ = Id δ

. On en déduit que les deux applications sont bijectives et bijections réciproques l'une de l'autre. Les deux ensembles ont donc le même nombre d'éléments.

n _O = d

6. Notons n = d − 1 .

Par dénition de d et d'après la question 5., le nombre de points sur une droite est égal au nombre de droites passant par un point et ce nombre est n + 1 .

D'après la question 4., p − 1 = (n + 1)n donc le nombre de points dans le plan est n ² + n + 1 .

Soit δ = {m ₁ , · · · , m _d } une droite. Pour tout point m ∈ δ , notons ∆ ⁰ _m l'ensemble (privé de δ ) des droites passant par m . Comme toutes les droites (sauf δ elle même) coupent δ en un seul point, les parties ∆ ⁰ _m

1

, · · · ∆ ⁰ _m

d

forment une partition de l'ensemble de toutes les droites (privé de δ ). On en déduit

nombre de droites − 1 = d × (d − 1)

Le nombre total de droites est donc lui aussi 1 + (n + 1)n = n ² + n + 1 .

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