COMPACTOLOGIQUEMENT PLEINS

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COMPACTOLOGIQUEMENT PLEINS

B. AQZZOUZ, F. BELMAHJOUB et M.H. EL ALJ

We introduce the class of full compactological spaces and give conditions under which theεc-product of an ordered Schwartz b-space by an ordered quotient Ba- nach space is an ordered quotient bornological space.

AMS 2000 Subject Classification: 46M05, 46M15, 46M40.

Mots cl´es: quotient banachique ordonn´e,ε-produit,L∞-espace, espace compactologiquement plein.

1. INTRODUCTIONS ET NOTATIONS

D’après ([12], p. 553), si (E, _E) est un espace de Banach, un sous- espace banachique (F, _F) de E est un sous-espace vectoriel F de E, muni d’une norme _F telle que (F, _F) est un espace de Banach et l’injection (F, _F) → (E, _E) est continue. Il est clair que la norme _F de F ne co¨ıncide pas nécessairement avec la norme induite par _E sur F, et donc le sous-espace banachique (F, _F) n’est pas nécessairement fermé dans (E, _E). Un quotient banachique E|F est un espace vectoriel E/F tel que (E, _E) est un espace de Banach et (F, _F) un sous-espace banachique de E. Notons qu’un quotient banachique E|F n’est pas nécessairement un objet de la catégorie des espaces de Banach, mais il l’est si F est fermé dans E. Aussi, tout espace de Banach E est un quotient banachique et le note parE|{0}.

Soient (E, _E) un espace de Banach et (F, _F) un sous-espace banachique deE. Si ϑ_E (resp. ϑ_F) est la famille de toutes les parties compactes de E (resp. de F) pour la norme _E (resp. _F), alors ϑ_F ⊂ ϑ_E. De plus il est clair que si la norme deF ne co¨ıncide pas avec celle induite par la norme deE, alors ϑ_F ⊂(ϑ_E)_|_F, o`u (ϑ_E)_|_F est la famille de toutes les parties compactes de F pour la norme _E. Notons aussi que L. Waelbroeck ([11], p. 44) appelle la familleϑ_H la compactologie deH =E, F.

D’autre part, il r´esulte de ([8], p. 17) que si E est un espace vectoriel ordonn´e et F un sous-espace vectoriel de E, alors l’espace quotient E/F est

MATH. REPORTS9(59),2 (2007), 147–159

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ordonné si, et seulement si,F est plein (ordre convexe) dansE (i.e. si 0≤y ≤ x, avecx∈F ety∈E, alorsy ∈F). Dans le même esprit, nous disons qu’un quotient banachique E|F est ordonné si E est un espace de Banach ordonné et le sous-espace banachiqueF est plein dansE.

L’objectif de ce papier est l’étude du problème de l’ordre sur leε_c-produit qui a été défini dans ([2], Définition 5.1). Pour cela nous introduirons la classe des espaces compactologiquement pleins et les compactologies pleines. En- suite, nous donnerons des conditions suffisantes pour que certains espaces de fonctions prenant leurs valeurs dans des quotients banachiques ordonnés soient aussi ordonnés. Enfin, nous établirons que si G est un b-espace de Schwartz ordonné, E un espace de Banach ordonné et F un sous-espace banachique compactologiquement plein dans E, alors le ε_c-produit de G et E|F est or- donné.

Avant d’établir nos résultats, nous rappelons ci-dessous quelques défi- nitions dont nous aurons besoin dans la suite. Notons parBan la catégorie des espaces de Banach et des applications linéaires continues.

F :F → F₁ est continue. Le morphisme strict u est dit un pseudo-isomorphisme s’il est induit par une application lin´eaire continue et surjectiveu₁ :E →E₁ telle queu⁻¹₁ (F₁) =F.

Notons par ˜qBan la catégorie des quotients banachiques et des mor- phismes stricts. Dans cette catégorie, il existe des pseudo-isomorphismes qui ne sont pas inversibles. En effet, siE est un espace de Banach etF un sous- espace vectoriel fermé de E, l’application quotient π : E → E/F induit le pseudo-isomorphismeE|F → (E/F)|{0} qui n’est pas nécessairement un isomorphisme dans ˜qBan. Dans ([12], p. 554) L. Waelbroeck a introduit une catégorie abélienne qBan qui a les mêmes objets que ˜qBan et dans laquelle tous les pseudo-isomorphismes sont inversibles. Pour plus de détails sur ce sujet nous renvoyons le lecteur à [12].

2. SoitE un espace vectoriel ordonn´e de cˆoneC. Une partieAde E est dite pleine si pour tous x, z ∈ A et y ∈ E tels que x ≤ y ≤ z, on a y ∈ A.

L’enveloppe pleine d’une partieA deE est l’ensemble

[A]_E ={x∈E : il existe y, z∈A tels quey≤x≤z}.

Il est clair que A ⊂ [A]_E. Un sous-espace vectoriel F de E est dit plein, si pour tousx∈E ety ∈F tels que 0≤x≤y, on ax∈F.

La norme d’un espace de Banach ordonné (E, ) est dite pleine si pour toutx, y∈E tel que 0≤x≤y on ax ≤ y. Pour plus d’informations sur ce sujet nous renvoyons le lecteur à ([1], Définition 2.1.12).

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2. LES ESPACES COMPACTOLOGIQUEMENT PLEINS

SiAetB sont deux parties d’un espace vectoriel ordonn´eE, nous disons que A est domin´ee par B, et on ´ecrit A B, si pour tout x ∈ A, il existe y, z∈B tels que y≤x≤z.

D´efinition 2.1. Soient E un espace de Banach ordonn´e et F un sous- espace banachique deE. Nous disons que F est compactologiquement plein dansE si pour tous A∈ϑ_E etB ∈ϑ_F tels que AB, on aA∈ϑ_F.

Il est clair que, si le sous-espace banachique F est fermé dans E (i.e. la norme deF co¨ıncide avec celle induite parE), alorsF est plein dansE si, et seulement si,F est compactologiquement plein dansE. Mais si le sous-espace F n’est pas fermé dans E, alors F est compactologiquement plein dans E impliqueF est plein dansE alors que la réciproque n’est pas vraie.

D´esignons par Lat(E|F) l’ensemble de tous les espaces de BanachE₁ tels queE₁ est un sous-espace banachique deEetF un sous-espace banachique de E₁. Notons que tout sous-espace banachiqueE₁ ∈Lat(E|F), muni de l’ordre induit par celui de E, est un espace de Banach ordonn´e. On a les r´esultats suivants sur les sous-espaces banachique compactologiquement pleins:

Proposition2.2. Soit E un espace de Banach ordonn´e, et F un sous- espace banachique plein de E.

(i) Si F est compactologiquement plein dans E, alors pour tout E₁ ∈ Lat(E|F), le sous-espace banachique Fest compactologiquement plein dans E₁.

(ii)Si E₁ ∈ Lat(E|F) est tel que F est compactologiquement plein dans E₁ et E₁ est compactologiquement plein dans E,alors F est compactologique- ment plein dans E.

D´emonstration. (i) Soit E₁ ∈ Lat(E|F). Soient A∈ϑ_E₁ etB ∈ϑ_F tels queAB. Comme le sous-espaceF est plein dansE₁, alorsA⊂F. D’autre part,ϑ_E₁ ⊂ϑ_E et le sous-espace banachiqueF est compactologiquement plein dansE, il s’ensuit queA∈ϑ_F.

(ii) Soit E₁ ∈ Lat(E|F) tel que E|E₁ est ordonn´e. Comme ϑ_F ⊂ ϑ_E₁ et le sous-espace banachiqueE₁ est compactologiquement plein dans E, alors pour tous A ∈ ϑ_E₁ et B ∈ ϑ_F tels que A B, on a A ∈ ϑ_E₁. D’autre part, le sous-espace banachique F est compactologiquement plein dans E₁, par cons´equent, A∈ϑ_F.

La compactologie ϑ_E, d’un espace de Banach ordonnéE, est dite pleine si pour tout A ∈ ϑ_E, l’enveloppe pleine [A]_E ∈ ϑ_E. Notons que si F est un sous-espace vectoriel fermé dans E, la compactologie ϑ_F de F est pleine lorsque la compactologie ϑ_E de E l’est. Ceci n’est pas le cas si F n’est pas fermé dansE.

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Le r´esultat suivant ´etablit une relation entre les notions de compactologie pleine et de sous-espace banachique compactologiquement plein.

Théorème 2.3. Soit E un espace de Banach ordonné, et F un sous- espace banachique plein de E.

(i) Si la compactologie ϑ_F de F est pleine, alors F est compactologique- ment plein dans E.

(ii)Si la compactologie ϑ_E de E est pleine et F est compactologiquement plein dans E, alors la compactologie ϑ_F de F est pleine.

D´emonstration. (i) SoientA∈ϑ_E etB ∈ϑ_F tels queAB. Comme le sous-espaceF est plein dansE, alorsA⊂F. Et vu que la compactologie ϑ_F est pleine, il s’ensuit que [B]_F ∈ϑ_F, o`u [B]_F est l’enveloppe pleine deB dans F. D’apr`es l’inclusion B ⊂ [B]_F on a A [B]_F et puisque l’ensemble [B]_F est plein dansF, alorsA⊂[B]_F. D’autre part,Aest compact pour la norme

E et la topologie définit par la norme _F est plus fine que celle définit par la norme _E, il s’ensuit alors queA est fermé pour la norme _F. Par ailleurs, l’ensemble [B]_F est compact pour la norme _E et A ⊂ [B]_F, par conséquent, A est compact pour la norme _F.

(ii) Montrons que pour tout A ∈ ϑ_F, on a [A]_F ∈ ϑ_F, où [A]_F est l’enveloppe pleine de A dans F. Comme ϑ_F ⊂ ϑ_E et la compactologie ϑ_E est pleine, alors [A]_E ∈ ϑ_E, où [A]_E est l’enveloppe pleine de A dans E. Or [A]_E Aet le sous-espace banachiqueF est compactologiquement plein dans E, il s’ensuit que [A]_E ∈ϑ_F. Enfin, puisque [A]_E ⊂ F et [A]_E = [A]_F, alors [A]_F ∈ϑ_F. Ce qui montre que la compactologie ϑ_F est pleine.

Donnons maintenant quelque exemples de sous-espaces banachique compactologiquement pleins.

Exemple 2.4. Pour 1< q≤ ∞, on al¹ ⊂l^q et l’injection canonique l¹, ₁

→(l^q, _q)

est bornée. Considérons les quotients banachiques ordonnés l^q |l¹ avec 1 <

q ≤ ∞ (resp. c_o|l^p avec 1 ≤ p < ∞), alors le sous-espace banachique l¹ est compactologiquement plein dans l^q avec 1 < q ≤ ∞ (resp. l^p est compactologiquement plein dansc₀ avec 1≤p <∞).

En effet, d’après la Proposition 2.2 (ii), il suffit d’établir que le sous- espace banachique l¹ est compactologiquement plein dans l^∞, car l^q ∈ Lat(l^∞|l¹) pour 1 < q < ∞, et donc l¹ est compactologiquement plein dans l^q pour 1 < q < ∞. Ensuite, il résulte du Théorème 2.3 (i), que si la com- pactologieϑ_l1 est pleine, alorsl¹ est compactologiquement plein dansl^∞. Par conséquent, il suffit de prouver que la compactologie ϑ_l1 est pleine.

Soit A une partie compacte dans

l¹, ₁

. Il découle de ([5], Théo- rème 13.3 (VI)), que pour tout ε >0, il existe un entier n_ε tel que, pour tout

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n≥n_ε, on a _∞

k=n|x_k| ≤εpour toutx= (x_k)∈A. Consid´erons les parties B_(n_ε_)(M₎=

x= (x_k)∈l¹: ∞ k=1

|x_k| ≤M et pour toutε >0,|x_k| ≤ 1 ε

. Les ´el´ements de la famille

B_(n_ε_)(M)

n sont des parties compactes et pleines dans l¹, de plus tout élément A ∈ ϑ_l1 est contenu dans un certain B_(n_ε_)(M₎. Par conséquent, la compactologie ϑ_l1 admet une base de parties compactes pleines, et par suiteϑ_l1 est pleine.

Comme le quotient banachique ordonnél^∞|l¹ est tel que la compactologie ϑ_l1 est pleine, alors l¹ est compactologiquement plein dans l^∞ (Théo- rème 2.3 (i)). En utilisant le fait que l^q ∈ Lat

l^∞|l¹

pour 1 < q < ∞, on d´eduit que le sous-espace banachique l¹ est compactologiquement plein dansl^q (Proposition 2.2 (i)).

3. LES QUOTIENTS FONCTIONNELS ORDONN´ES

Avant de donner quelques exemples d’espaces de fonctions prenant leurs valeurs dans un quotient banachique ordonn´e, rappelons que le ε-produit de deux espaces de Banach E etF est l’espace de Banach

EεF ={f :E →F :f lin´eaire et f_|

BE estσ(E, E)-continue}, oùB_Eest la boule unité fermée du dual topologiqueE deEetσ(E, E) est la topologie faible deE. Siu_i :E_i →F_i,i= 1,2, sont des applications linéaires continues, leε-produit deu₁ etu₂ est l’application linéaire continue

u₁εu₂ :E₁εE₂ →F₁εF₂, f →u₂◦f ◦u₁, o`uu₁ est l’application duale de u₁.

Par exemple, si X est un compact et E un espace de Banach alors les espaces de BanachC(X)εEetC(X, E) sont isométriquement isomorphes, où C(X) est l’espace de Banach des fonctions continues surX. Notons que si F est un sous-espace banachique deE etGun espace de Banach, alors GεF est un sous-espace banachique deGεE. Pour plus de détails sur le ε-produit on renvoie le lecteur à ([10], Proposition 2).

De même, un espace de Banach E est dit unL∞,λ-espace, λ≥1, si pour tout sous-espace vectoriel de dimension finieA de E, il existe un sous-espace vectoriel de dimension finieB de E tel queA⊂B et d(B, l^dim_∞ ^B)≤λ, o`u

d(X, Y) = inf{T T⁻¹: T :X →Y un isomorphisme}

est la distance de Banach-Mazur des deux espaces de Banach X et Y. Si E est un L∞,λ-espace pour un certain λ <∞, alors E est un L∞-espace. Pour

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plus d’informations sur les L∞-espaces, on peut consulter par exemple ([9], p. 124).

Aussi, rappelons la d´eﬁnition de l’espace des fonctions continues C(X, E|F) lorsqueE est un espace de Banach etF un sous-espace banachique deE ([2], Exemple 1.4). D’abord il est clair queC(X, F) est un sous-espace banachique deC(X, E).

Dans ([2], p. 611) nous avons défini le ε-produitGε(E|F) d’un b-espace de SchwartzGet d’un quotient banachiqueE|F. Pour cela, nous avons utilisé le quotient banachique

Gε(E |F) = (GεF)|(GεF) et le foncteur ´evident

Gε. :qBan→qBan:E|F →Gε(E |F).

Pour le prolonger en un foncteurGε.:qBan →qBan, il faut et il suffit, que l’image de tout pseudo-isomorphisme deqBan parGε.soit un isomorphisme deqBan ([12], Proposition 4). Malheureusement ceci n’est pas toujours possible. En effet, D’après ([2], Contre-exemple 1.1) le foncteur

l²ε. :qBan→qBan, E|F → l²εE

| l²εF ne se prolonge pas en un foncteur

l²ε.:qBan→qBan, E|F → l²εE

| l²εF

.

Ensuite, nous avons établi dans ([2], Théorème 1.2), que si G est un espace de Banach, le foncteurGε. ci-dessus admet une extension uniqueGε.: qBan → qBan si, et seulement si, G est unL_∞-espace. Enfin, si X est un espace compact, comme l’espace de Banach C(X) est un L∞-espace [9], nous avons définiC(X, E|F) comme l’espaceC(X, E)|C(X, F) ([2], Exemple 1.4).

Aussi, notons que si E est un espace de Banach ordonn´e, l’espace de Banach C(X, E) est ordonn´e pour l’ordre suivant: f ≤ g dans C(X, E) si pour toutx∈X, on af(x)≤g(x) dans E.

Théorème 3.1. Soient X un espace compact, E un espace de Banach ordonné et F un sous-espace banachique compactologiquement plein de E.

Alors C(X, E|F) est ordonn´e.

D´emonstration. Soientf ∈C(X, E) et g∈C(X, F) tels que 0≤f ≤g.

Pour tout x ∈ X, on a 0 ≤ f(x) ≤ g(x) dans E. Comme le sous-espace vectorielF est plein dansE, alorsf(x)∈F pour toutx∈Xi.e. la fonctionf : X→F est bien définie. D’autre part,f(X)∈ϑ_E etg(X)∪{0} ∈ϑ_F tels que f(X)g(X)∪ {0}, et le sous-espace banachiqueF est compactologiquement plein dansE, il s’ensuit quef(X)∈ϑ_F. Par conséquent, l’application identité f(X), τ _F

→

f(X), τ _E

est un homéomorphisme, oùτ _E (resp. τ _F) est la topologie définie par la norme _E (resp. _F). Par suite, les topologies

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τ _E et τ _F sont identiques sur f(X). Maintenant, comme l’application f :X →f(X) est continue pour la topologie τ _E, alorsf :X →f(X)⊂F est continue pour la topologie τ _F. Ce qui montre que f ∈ C(X, F). Le r´esultat est ainsi ´etabli.

Regardons maintenant les quotients banachiques des fonctions p-int´e- grables L^p(Ω, A, m;E)|L^p(Ω, A, m;F), 1 ≤p < ∞. Rappelons que si E est un espace de Banach ordonné, l’espace de Banach L^p(Ω, A, m;E) est ordonn´e pour l’ordre défini par f ≤ g dans L^p(Ω, A, m;E) si pour tout s ∈ Ω, on a f(s)≤g(s) dansE.

Proposition 3.2. Soient E un espace de Banach ordonné, F un sous- espace banachique compactologiquement plein de E, (Ω, A, m) un espace de mesure avec Ωlocalement compact et mune mesure borélienne régulière posi- tive. Si la norme _F de F est pleine, alors le sous-espace vectoriel L^p(Ω, A, m;F) est plein dans L^p(Ω, A, m;E), 1≤p <∞.

Démonstration. Soient f ∈ L^p(Ω, A, m;E) et g ∈ L^p(Ω, A, m;F) tels que 0 ≤ f ≤ g. Comme l’application f : Ω → E (resp. g : Ω → F) est mesurable, il résulte du Théorème de Lusin ([4], Théorème 8.3, chap. 15), que pour tout ε > 0, il existe un compact K_ε ⊂ Ω (resp. K_ε ⊂ Ω) tel que m(Ω\K_ε)≤ ^ε₂ (resp.m(Ω\K_ε)≤ ₂^ε) et la restrictionf_|

Kε ∈C(K_ε, E) (resp.

f_|

Kε ∈C(K_ε, F)). Prenons l’ensemble K_ε=K_ε ∩K_ε, c’est un compact de Ω etm(Ω\K_ε)< ε. De plus,f_|_Kε ∈C(K_ε, E) et g_|_Kε ∈C(K_ε, F).

D’autre part, le sous-espace banachiqueF est compactologiquement plein dansE, il résulte donc du Théorème 3.1 queC(K_ε, F) est plein dansC(K_ε, E).

Maintenant, comme 0≤ f_|_Kε ≤ g_|_Kε, alors f_|_Kε ∈ C(K_ε, F). Ce qui montre quef : Ω→F est mesurable.

Il reste `a montrer que f : Ω→ F est p-int´egrable. Comme 0 ≤f ≤g, on a 0 ≤ f(t) ≤ g(t) pour m-presque tout t ∈ Ω. Par hypoth`ese, la norme

F de F est pleine, doncf(t)_F ≤ g(t)_F. Par suite,f(t)^p_F ≤ g(t)^p_F pour 1 ≤ p ≤ ∞. Par cons´equent, f_p,F ≤ g_p,F, où _p,F est la norme banachique deL^p(Ω, A, m;F). Enfin, comme g ∈ L^p(Ω, A, m;F), on obtient f ∈L^p(Ω, A, m;F). Ce qui montre le Th´eorème.

4. LE εC-PRODUIT ORDONN´E

L’objectif de ce paragraphe est d’étudier l’ordre sur le ε_c-produit définit dans [2]. D’après ([2], Théorème 1.2) le ε-produit d’unL_∞-espace G par un quotient banachiqueE|F est défini comme le quotient banachiqueGε(E|F) = (GεE)|(GεF).

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Le résultat suivant donne des conditions suffisantes pour que le quotient banachique (GεE)|(GεF) soit ordonné lorsque G est un L_∞-espace ordonné etE|F un quotient banachique ordonné.

Proposition 4.1. Soient G un L_∞-espace ordonné, E un espace de Banach ordonné et F un sous-espace banachique compactologiquement plein de E. Si la norme de G est pleine, alors Gε(E|F) est ordonné.

Démonstration. En effet, l’espace de Banach GεE s’écrit sous la forme suivante:

GεE ={f :G→E lin´eaire telle quef_|

BG ∈C(B_G, E)},

oùB_G est la boule unité fermée deG. Soient f ∈GεE etg∈GεF tels que 0 ≤ f ≤ g. Alors f(B_G) g(B_G) et f(B_G) (resp. g(B_G)) est compact pour la norme _E dans E (resp. compact pour la norme _F dans F).

Comme le sous-espace banachique F est compactologiquement plein dans E, alors l’ensemblef(B_G) est compact pour la norme _F dans F, c’est-`a-dire quef ∈C(B_G, F). Ce qui ach`eve la preuve.

Si E est un espace vectoriel et B un disque (i.e. un ensemble convexe

´

equilibr´e) de E, on note E_B l’espace vectoriel engendr´e par B muni de la semi-norme

x_B = inf{α∈R⁺:x∈αB}.

On dit queB est compl´etant si (E_B, _B) est un espace de Banach.

Une bornologie de b-espace surE, est une familleβ de parties deE telle que:

(1) toute partie ﬁnie deE appartient `a β;

(2) si A∈β etB ⊂A, alorsB ∈β;

(3)β est stable pour la r´eunion ﬁnie;

(4) l’homothétique de tout élément deβ est un élément deβ;

(5) si A∈ β, alors il existe un disque born´e compl´etant B de β tel que A⊂B.

Le couple (E, β) est appelé un b-espace. Un sous-espace vectoriel F d’un b-espace E est dit bornologiquement fermé, si pour tout disque borné complétantB de E, le sous-espace vectorielF ∩E_B est fermé dansE_B.

Si (E₁, β₁) et (E₂, β₂) sont deux b-espaces, une application linéaire u : E₁→E₂ est dite bornée si pour tout A∈β₁ on au(A)∈β₂. Un b-espace de SchwartzGest une limite inductive d’espaces de BanachG_B, avec la condition que tout disque borné complétant B de G est inclus dans un disque borné complétant B de G tel que l’application inclusion i_BB : G_B → G_B est compacte.

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On désigne parb, la catégorie des b-espaces et des applications linéaires bornées. Pour plus de détails sur ce sujet nous renvoyons le lecteur à ([6], p. 28) et ([11], p. 23).

Soit (E, β_E) un b-espace. Un sous-espace vectorielFdeEest dit un sous- b-espace deEs’il est muni d’une bornologie de b-espaceβ_F tel que l’inclusion (F, β_F) → (E, β_E) est bornée. Un quotient bornologique E|F est un couple (E, F), où E est un b-espace et F un sous-b-espace de E. On dit que u : E|F → E₁|F₁ est un morphisme strict s’il est induit par une application linéaire bornée u₁ : E → E₁ dont la restriction u₁_|

F : F → F₁ est born´ee.

Pour plus d’informations sur ce sujet nous renvoyons le lecteur `a ([13], p. 877) D’apr`es ([2], p. 609) une suite

(0, u, v) : 0→G→G₁→G₂

est dite fortement exacte à gauche dans la catégorie Ban si Ker(v) = Im(u) et l’image dev est fermée dans G₂. On appelle C(K)-r´esolution d’un espace de Banach Gtoute suite fortement exacte à gauche dansBan,

(0,Φ,Ψ) : 0→G→C(X)→C(Y) o`uX etY sont des espaces compacts.

A tout espace de Banach G nous pouvons faire associer une et même plusieursC(K)-résolutions. En effet, siX =B_G est la boule unité fermée du dual topologiqueG, muni de la topologie faible σ(G, G), alors l’application

Φ :G→C(X), x→Φ(x) telle que

Φ(x)(x) =x(x) pour toutx∈B_G

est une isométrie. PrenonsY =B_(C(X)/G) la boule unité fermée de (C(X)/G), muni de la topologie σ((C(X)/G), C(X)/G), alors l’application Ψ₂ : C(X)/G → C(Y) définie Ψ₂(x)(x) = x(x) pour tout x ∈ B_(C(X)/G), est aussi une isométrie. Maintenant, l’application composée Ψ = Ψ₂◦Ψ₁, où Ψ₁ : C(X) → C(X)/G est l’application quotient, vérifiée Im Φ = Ker Ψ et Im Ψ est fermé dansC(Y).

Soient E un espace de Banach et F un sous-espace banachique de E.

CommeC(Z) est unL∞-espace, alors

C(Z)ε(E|F) = (C(Z)εE)|(C(Z)εF), pourZ =X, Y.

D’autre part, l’application lin´eaire born´ee

ΨεId_E :C(X, E)→C(Y, E) induit le morphisme strict

ΨεId_E|F : (C(X)εE)|(C(X)εF)→(C(Y)εE)|(C(Y)εF).

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Comme la catégorie qBan est abélienne, le noyau Ker(ΨεId_E|F) existe. On obtient donc la suite exacte à gauche suivante:

Ker(ΨεId_E|F) = (ΨεId_E)⁻¹(C(Y)εF)|(C(X)εF). et (ΨεId_E)⁻¹(C(Y)εF) est un sous-espace banachique deC(X)εE.

Posons

Gε_res(E|F) = (ΨεId_E)⁻¹(C(Y)εF)|(C(X)εF).

On d´eﬁnit ainsi un foncteur

Gε_res.:qBan→qBan.

CommeGadmet plusieursC(K)-résolutions et que chacune d’elle définit un quotient banachiqueGε_res(E|F), en général nous ne pouvons pas montrer que Gε_res(E|F) est indépendant de toutes les C(K)-r´esolutions de G. Mais nous avons montré dans ([4], Théorème 3.3) que siGest unL∞-espace, alors l’objet Gε_res(E|F) est indépendant de toutes les C(K)-r´esolutions de G, de plus il co¨ıncide avec (GεE)|(GεF).

Enfin, si G est un b-espace de Schwartz, alors pour tout disque borné complétant B de G, il existe un disque born´e complétant B de G tel que l’application inclusioni_BB:G_B→G_B est compacte ([6], p. 59). Considérons lesC(K_D)-résolutions deG_D suivantes:

(0,Φ_D,Ψ_D) : 0→G_D →C(X_D)→C(Y_D)

avec D= B, B. Comme C(X_B) et C(Y_B) sont des L_∞-espaces, on obtient alors le diagramme commutatif suivant:

(0,Φ_B,Ψ_B) : 0 −→ G_i_B_B_B −→ C(X_R_B_B_B) −→ C(Y_S_B_B_B)

(0,Φ_B,Ψ_B) : 0 −→ G_B −→ C(X_B) −→ C(Y_B).

Il est facile de montrer que le système (G_Bε_res(E|F),i_BBεId_E|F)_Best inductif dans la catégorie des quotients bornologiques, et donc admet une limite inductive, où i_BBεId_E|F est le morphisme strictG_Bε_res(E|F)→G_Bε_res(E|F) induit par la restriction de l’application linéaire continueR_BBεId_E :C(X_B, E)→ C(X_B, E) au sous-espace banachique (Ψ_BεId_E)⁻¹(C(Y_B,, F)) deC(X_B, E).

Leε_c-produit du b-espace de SchwartzGet du quotient banachiqueE|F, a été défini dans ([2], p. 612) comme le quotient bornologiqueGε(E|F) = lim_B (G_Bε_res(E|F)). −−→

Revenons maintenant aux quotients ordonnés. SoitG un espace de Ba- nach ordonné, de cône positif G₊. Nous avons vu dans ([2], Proposition 3.2) qu’il existe toujours une partie compacteX et une application Φ :G→C(X)

(11)

qui identifieGà un sous-espace vectoriel fermé deC(X). D’autre part,C(X) muni de son ordre usuel est un espace de Banach ordonné. Mais l’ordre que C(X) induit sur G n’est pas nécessairement celui définit parG₊, parce que l’application Φ n’est pas nécessairement positive. Or il est possible de se ramener au cas positive, en prenant la partie compacte X⁺ = B_G ∩G₊, où G₊ est le cône qui définit l’ordre du dual topologique G de G. En ef- fet, si x ≤ y dans G, alors Φ (x) ≤ Φ (y) dans C(X⁺) si, et seulement si, Φ (x) (t)≤Φ (y) (t) pour tout t∈X⁺, c’est-à-dire quef(x)≤f(y) pour tout f ∈ X⁺. Ce qui est vrai puisque f ∈ G₊ et y−x ∈ G₊. Par conséquent, l’ordre deG est bien celui induit parC(X⁺).

Maintenant, nous sommes en mesure d’´etablir le r´esultat suivant:

Proposition4.2. Soient G un espace de Banach ordonné, E un espace de Banach ordonné et F un sous-espace banachique compactologiquement plein de E, alors Gε_res(E|F) est ordonné.

D´emonstration. Soit

(0,Φ,Ψ) : 0→G→C(X)→C(Y)

uneC(K)-résolution de G, avec Φ une application positive. Ainsi, l’ordre de G est celui induit par C(X). Si E est un espace Banach ordonné et F un sous-espace banachique compactologiquement plein dansE, alors le quotient banachiqueC(X)ε(E|F) est ordonné (Théorème 3.1). Posons

Gε_res(E|F) =A|C(X, F), o`u

A={f ∈C(X, E) : ΨεId_E(f)∈C(Y, F)}

que nous munissons de l’ordre induit par celui de C(X, E). Comme A ∈ Lat(C(X, E)|C(X, F)), il r´esulte de la Proposition 2.2 que le quotient ba- nachiqueGε_res(E|F) est ordonn´e.

Maintenant, rappelons qu’un b-espace ordonné est un espace vectoriel or- donnéEmuni d’une bornologie de b-espace tel que le côneE₊est bornologiquement fermé. Aussi, la bornologie d’un b-espaceE est dite pleine si elle admet un système fondamental de disques bornés complétants et pleins dansE. Pour plus d’informations sur les b-espaces ordonnés nous renvoyons le lecteur à ([1], p. 30).

Pour établir notre dernier théorème, nous aurons besoin de la proposition suivante:

Proposition 4.3 ([1], Proposition 2.1.9). i) Si A est un disque plein dans un espace vectoriel ordonn´e E, alors la norme de E_A est pleine.

(12)

ii) Tout b-espace ordonné (E, β) dont la bornologie est pleine s’écrit comme E =∪_BE_B, où E_B est un espace de Banach ordonné et dont la norme est pleine.

Enfin, rappelons qu’un quotient bornologique E|F est dit ordonné si E est un b-espace ordonné et F un sous-b-espace plein de E.

Théorème4.4. Soient Gun b-espace de Schwartz ordonné,E un espace de Banach ordonné et F un sous-espace banachique compactologiquement plein de E. Alors le ε_c-produit Gε_c(E|F) est ordonné.

Démonstration. Comme G est un b-espace de Schwartz ordonné, alors, pour tout disque borné complétantB deG, l’espaceG_B muni de l’ordre induit par G, est un espace de Banach ordonn´e. D’après ([2], Définition 5.1) pour tout quotient banachique ordonné E|F, on a

Gε_c(E|F) =∪_B(G_Bε_res(E|F)),

où la réunion ∪_B désigne la limite inductive dans la categorie des b-espaces.

Soit

(0,Φ,Ψ) : 0→G_B →C(X_B)→C(Y_B)

uneC(K)-résolution deG_B(avec Φ positive) qui définit le quotient banachique G_Bε_res(E|F). Comme le sous-espace banachiqueF est compactologiquement plein dansE, le quotient banachiqueG_Bε_res(E|F) est ordonné (Théorème 4.2).

Posons

G_Bε_res(E|F) =H_B|(C(X_B)εF).

o`u H ={f ∈G_BεE : ΦεId_E(f) ∈C(X_B)εF}. Montrons que le sous-espace

∪_BC(X_B)εF est plein dans ∪_BH_B. En effet, si 0≤x≤y tel quex∈ ∪_BH_B et y ∈ ∪_BC(X_B)εF, alors il existe des disques bornés complétants A₁ et A₂ de G tels que x ∈ H_A₁ et y ∈ C(X_A₂)εF. Prenons A = γ(A₁∪A₂), où γ(A₁∪A₂) est l’enveloppe complétante de A₁∪A₂, alors x ∈H_A et y ∈ C(X_A)εF. Comme le sous-espace C(X_A)εF est plein dans H_A, alors x ∈ C(X_A)εF, et par suite,x∈ ∪BC(X_B)εF.

D’autre part, nous savons que la limite inductive est un foncteur exact dans la cat´egorie des b-espaces [7], par cons´equent,

Gε_c(E|F) =∪B(G_Bε_c(E|F)) =∪B(H_B|C(X_B)εF) =∪BH_B| ∪B(C(X_B)εF). Comme le sous-b-espace ∪B(C(X_B)εF) est plein dans le b-espace ordonn´e

∪_BH_B, alors le quotient bornologique∪_BH_B| ∪_B(C(X_B)εF) est ordonn´e. Ce qui montre queGε_c(E|F) est ordonn´e.

(13)

REFERENCES

[1] M.T. Akkar,Espaces vectoriels bornologiques ordonnés; Th`ese de 3 éme cycle. Bordeaux, 1970 (voir aussi Séminaire Choquet, Initiation à l’analyse, 10ême année 1970/71, nê8, 27 p).

[2] B. Aqzzouz, The εc-product of a Schwartz b-space by a quotient Banach space and applications. Applied Categorical Structures10(6) (2002), 603–616.

[3] B. Aqzzouz, M.H. Elalj and R. Nouira,Some properties of the tensor product of Schwartz εb-spaces. Submitted to RACSAM in 2005.

[4] N. Dinculeau,Vector Measures. International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics.95, Oxford, 1967.

[5] N. Dunford and J. Schwarz,Linear Operator, Part I.General Theory. Interscience, New York, 1958.

[6] H. Hogbe Nlend,Th´eorie des bornologies et applications. Lecture Notes in Math.213.

Springer-Verlag, 1971.

[7] C. Houzel,S´eminaire Banach. Lecture Notes in Math.277. Springer-Verlag, 1972.

[8] G. Jameson,Ordered Linear Spaces. Lecture Notes in Math.141. Springer-Verlag, 1970.

[9] J. Lindenstrauss and L. Tzafriri,Classical Banach Spaces. Lecture Notes in Math.338. Springer-Verlag, 1973.

[10] L. Waelbroeck, Duality and the injective tensor product. Math. Ann. 163 (1966), 122–126.

[11] L. Waelbroeck,Topological Vector Spaces and Algebras. Lecture Notes in Math. 230. Springer-Verlag, 1971.

[12] L. Waelbroeck,Quotient Banach spaces. In: Banach Center Publ., pp. 553–562, Warsaw, 1982.

[13] L. Waelbroeck, The category of quotient bornological spaces. In: J.A. Barosso (Ed.), Aspects of Mathematics and its Applications, pp. 873–894. Elsevier Sciences Publishers B.V., 1986.

Re¸cu le 16 mai 2006 Universit´e Ben Tofail

Facult´e des Sciences, D´epartement de Maths.

Laboratoire d’Analyse Fonctionnelle, Harmonique et Complexe B.P. 133, K´enitra, Marocco

baqzzouz@hotmail.com