Prisme

1 PRISME 1) Définitions.

Un prisme est un milieu transparent, homogène et isotrope, limité par deux dioptres plans non parallèles.

La droite d'intersection des deux plans (qui n'existe pas toujours matériellement) est l'arête du prisme.

Tout plan perpendiculaire à l'arête est un plan de section principale.

L'angle A formé par les deux plans est l'angle du prisme. La base du prisme, face opposée à l 'arête , ne joue aucun rôle optique et peut ne pas être plane.

L'étude du prisme sera faite avec les hypothèses suivantes:

•les faces du prisme sont en contact avec le même milieu extérieur d'indice absolu n₂.

•le prisme, d'indice absolu n₁, est plus réfringent que le milieu extérieur: n₁n₂ ⇒ n= n₁ n₂1.

•les rayons incidents sont dans un plan de section principale.

•la lumière est monochromatique, sauf dans la dernière partie (étude de la dispersion).

2) Marche d'un rayon lumineux dans une section principale. Le rayon incident SI se réfracte selon II ' en se rapprochant de la normale au premier dioptre: n1 ⇒ ri.

Si l'angle d'incidence sur le second dioptre, r ', est inférieur à l'angle de réfraction limite λ tel que sinλ= 1

n, il y a réfraction en I', le rayon I 'S' émerge en s 'éloignant de la normale au second dioptre : ⇒ i 'r '.

Le rayon incident est toujours dévié vers la base du prisme.

Si r 'λ, il y a réflexion totale en I '.

3) Relations entre les angles.

Les lois de la réfraction en I et I' donnent: sin i=n sin r sin i '=n sin r' Dans le triangle II ' H: A=rr '

Dans le triangle II ' K : D= i−ri '−r' =ii '−A

Ces relations sont valables dans tous les cas (pour n > 1) en orientant les angles, comptés à partir des normales aux dioptres, dans le sens trigonométrique pour i et r et dans le sens inverse pour i ', r ' et D.

4) Construction géométrique des rayons réfractés. On applique deux fois la construction d'Huygens.

Les deux cercles de centre A,C₁etC₂, ont pour rayons R₁et R₂=n R₁.

Le rayon TA parallèle au rayon incident SI se réfracte sur le premier dioptre selon AM', donc le rayon réfracté II' est parallèle à AM'.

AM' se réfracte sur le second dioptre selon ANT', donc le second rayon réfracté I'S' est parallèle à ANT'.

Si M'H' ne coupe pas le cercle C₁ le rayon réfracté ANT' n'existe pas, il y a réflexion totale en I'.

S

H' H M

N

I' T' T

A

S' (C₂) (C₁)

I

M' arête

base

A

section principale

S

I I'

H

K D

i r r'

i' A

A

S'

2 5) Conditions d ' émergence.

a . Condition pour A.

Le rayon intermédiaire II' se réfracte en I' si r 'λ ⇒ A−rλ ou Aλr.

Or rλ donc A2λ. b . Condition pour i.

Si A2λ, les rayons qui peuvent émerger sont ceux pour lesquels r 'λ ⇒ A−rλ ou encore rA−λ, d 'où sin rsinA−λ.

Or sin i=n sin r ⇒ sinin sinA−λ.

Donc ii_min tel que sin i_min=n sinA−λ.

Un rayon TI arrivant sur la surface du premier dioptre sous l 'incidence i_min émerge en rasant la surface du second dioptre.

D'après la loi du retour inverse de la lumière, un rayon incident SI rasant la surface du premier dioptre émergera sous l ' angle i '_min=i_min.

c .Exemples des divers cas.

Pour un prisme d'indice n=



2 , l'angle limite de réfraction vaut λ=45°.

A2λ A=2λ λA2λ A=λ Aλ A=0

r 'λ réflexion un seul rayon A−λ0 i_min=0 i_min0 i_min= −90°

aucun rayon émergent i_min0 D=0

émergent pour i=90 ° i=i '

5) Étude théorique et expérimentale de la déviation.

L'angle de déviation D dépend du prisme utilisé, donc de n et A, et de l'angle d'incidence i.

D=f A, n, i ⇒ d D=



^∂∂DA



n,i

dA



^∂∂Dn



A ,i

dn



^∂∂Di



A, n

di.

a . Influence de A.

Expérience avec un prisme à eau (n = 1,33), d'angle A variable, utilisé sous incidence normale: i = 0.

On observe que la déviation D augmente quand A augmente, i et n restant constants , donc



^∂∂DA



n ,i

0.

Démonstration : D=ii '−A avec i et n constants, donc r constant.



^∂∂A^D



n ,i

=



^{∂ i '−∂AA}



n,i

=



^∂∂A^{i '}



n,i

−1.



^{∂∂sin i 'A}



n,i

=cos i '



^{∂∂Ai '}



n,i

=n



^{∂sin r '∂A}



n,i

=n cos r '



^{∂∂Ar '}



n, i

=ncos r ' car



^{∂∂Ar '}



n ,i

=1.

D' où



^∂∂AD



n ,i

=ncos r '

cos i '−1. Or n1 et ∣r '∣∣i '∣ ⇒ cos r 'cosi ', on a bien



^∂∂DA



n, i

0.

S I

I'

T' T

i_min λ

λ

i'_min A

S'

A i' A

D

3 b . Influence de n.

Expérience avec un polyprisme, ensemble de plusieurs prismes, de même angle mais d'indices différents, utilisés sous la même incidence.

On observe que D augmente quand n augmente ⇒



^∂D∂n



A, i

0.

Démonstration : D=ii '−A avec i et A constants donc



^∂D∂n



A, i

=



^{∂∂i '}n



A, i

.



^{∂sini '∂n}



A,i

=cos i '



^{∂∂i '}n



A,i

=sin r 'n cos r '



^{∂∂r '}n



A ,i

⇒



^{∂∂i '}n



A ,i

= 1

cos i '



^{sin r 'ncos r '}

^

^{∂∂r 'n}

^

^{A, i}



^.

Or rr '=A ⇒



^∂∂n^r



A ,i





^{∂∂r '}n



A ,i

=0 et sin i=n sin r ⇒ 0=sin rn cos r



^∂∂n^r



A,i

. Donc



^∂∂n^r



A,i

= −1

ntan r=−



^{∂∂r '}n



A,i

⇒



^∂D∂n



A, i

= 1

cosi '



^{sin r 'ncos r '1}n tan r



^.



^∂∂Dn



A,i

= cos r.sin r 'cos r '.sin r

cos r.cos i ' = sinrr '

cos r.cos i ' = sin A

cos r.cos i '

∣

^{sin Acos i 'cos r000 ⇒}

^

^∂∂Dn

^

^{A, i0.}

c .Influence de i.

Expérience avec un prisme tournant autour de son arête.

On observe que D est minimale pour une valeur particulière i₀ de l 'angle d'incidence ⇒



^∂∂Di



A ,n

=0 pour i=i₀.

Démonstration : D=ii '−A avec n et A constants donc



^∂∂i^D



A, n

=1



^{∂i '}∂i



A, n

.



^{∂sini '∂i}



A, n

=cos i '



^{∂i '}∂i



A, n

=n cos r '



^{∂∂r '}i



A, n

⇒



^{∂∂i '}i



A, n

=n cos r '

cos i '



^{∂∂r '}i



A ,n

. Or rr '=A ⇒



^∂∂i^r



A ,n





^∂∂i^{r '}



A,n

=0 et sin i=n sinr ⇒ cos i=ncos r



^∂∂ri



A, n

. D' où



^∂∂ri



A, n

=1 n

cosi

cos r = −



^{∂∂r 'i}



A ,n

⇒



^∂∂Di



A, n

=1ncos r '

cos i '



^{− 1n cos rcos i}



⁼¹⁻cos i.cosr ' cosi '.cos r.



^∂∂iD



A, n

=0 ⇒ cos i.cos r '=cos i '.cos r ou bien 1−sin²i1−sin²r ' = 1−sin²i '1−sin²r. 1−sin²i



^{1−sinn22i '}



^{= 1−sin2i '}



^1−sinn22i



^;



¹⁻ⁿ¹²



^{sin2i '=}



¹⁻ⁿ¹²



^sin2i.

Comme n1, i est solution de sin²i=sin²i ' soit i=±i '.

Seule la solution i=i ' convient car si i= −i ' alors r= −r ', ce qui est incompatible avec rr '=A0.

Donc D est minimale quand i=i ' ⇒ r=r '= A

2 et i=i₀ tel que sin i₀=n sinA 2. La déviation minimale vaut D_min=ii '−A=2 i₀−A.

Les mesures de A et D_min permettent de calculer l'indice du prisme:

i₀= AD_min

2 et sin i₀=n sin r₀ avec r₀=r '₀= A

2 ⇒ n=

sinAD_min 2 sin A 2

.

Quand la déviation est minimale, i=i '=i₀ et r=r '= A 2. Le triangle AII' est isocèle et le trajet de la lumière est symétrique par rapport à la bissectrice Ax de l'angle A.

Le rayon II' est perpendiculaire à Ax.

A i

D

S

I I'

x

D_min

i₀ r₀ r₀ i₀

A

S' n croissant

4 Allure de la courbe D=fi:

La condition d'émergence pour A A2λétant satisfaite, on a i_mini90° et 90°i 'i_min. i=i_min ⇒ i '=90°

i=90 ° ⇒ i '=i_min

]

^{donc D=90 °imin−A.}



^∂∂i^D



A, n

=1−cos i.cosr ' cosi '.cos r. Quand i=i_min,



^∂∂Di



A,n

 −∞ car cos i '=0.

Quand i=90 °,



^∂∂iD



A, n

=1 car cos i=0.

On remarque qu'on obtient la même déviation pour deux angles d'incidence différents i₁et i_2.

Quand i=i₁, l 'angle d 'émergence vaut i '=i₂et quand i=i₂ alors i '=i₁. 6) Cas d'un prisme d'angle faible utilisé sous faible incidence.

Si A et i sont faibles, r, r' et i' le sont aussi.

i≈n r i '≈n r '

A=rr '

]

^DDonc D est pratiquement constant , sa valeur^{=ii '−A≈nrr '−A= n−1A.}

étant celle de la déviation minimale : sini₀=nsin r₀=nsin A

2 ⇒ i₀≈n A 2.

D_min=2 i₀−A≈ n−1A. i₀=nA

2 7) Dispersion.

Avec un faisceau incident de lumière blanche, on observe un spectre continu du rouge au violet, la déviation des rayons augmentant quand la longueur d'onde diminue.

Donc



^∂∂Dλ



A ,i

0.



^∂D∂λ



A, i

=



^∂∂Dn



A ,i

. d n

dλ avec



^∂∂Dn



A ,i

0 d 'où d n dλ 0.

Pour les verres optiques on utilise souvent la relation de Cauchy n²=a b λ² c

λ⁴ où a, b, c sont trois constantes déterminées expérimentalement en mesurant n pour trois longueurs d'onde différentes.

-90° 90°

(n-1)A

i D

90° + i_min - A

i_min i₁ i₀ i₂ 90° i D_min = 2 i₀-A

D

S i I

A

spectre continu