DM n ◦ 4
A rendre mercredi 6 novembre 2019
Problème 1
Le but du problème est d'étudier la suite réelle(un)dénie par :
u0∈R
∀n∈N, un+1= eun n+ 1 Pourn∈N, on notefn la fonction dénie par f0=idRetfn+1= 1
n+ 1(exp)◦(fn), et ainsiun=fn(u0).
I. Préliminaires
1. Montrer que∀x>3, ex>(x+ 1)2
2. (a) Étudier les variations degn :x→ 1
n+ 1ex−x. (b) En considérant g0et g1, compareru0, u1, u2.
3. (a) Justier quefn est dérivable sur R, et exprimerfn0 en fonction desfk. En déduire que fn est strictement croissante.
(b) Montrer que pourn∈N∗,fn a une limite nie, qu'on noteraαn, quandxend vers−∞. Donner une relation de récurrence dénissantαn.
(c) Déterminer la limite defn en+∞.
(d) DéterminerIn tel que fn:R→In soit bijective.
(e) Montrer quefn−1 est de classeC1 surIn.
4. Rappel d'une dénition : L'intervalleI est stable par l'applicationϕsi et seulement siϕ(I)⊂I. Pour quels couples(p, M)∈N∗×R∗+ l'intervalle]− ∞, M]est-il stable par 1
pexp?
II. Variations et convergence de (u
n) .
1. (a) Montrer queup>up+1=⇒up+1> up+2
(b) Montrer que la suite(un)est soit strictement croissante, soit strictement décroissante à partir d'un certain rang.
(c) Quelles sont les éventuelles limites possibles de(un)?
2. En donnant des valeurs approchées deα3etα4, justier l'existence d'unu0∈Rtel que(un)n'est pas croissante.
Dans la suite du problème on note C l'ensemble des u0 ∈R tels que (un) converge, et on note D le complémentaire deC dans R: D=R\C
3. (a) Montrer queCn'est pas vide. Vérier à la calculatrice queu0= 0,31est dansC(on veut voir les diérents résultats numériques).
(b) Siu0∈C, que vautlimun ? Montrer queun= 1 n+o(1
n) (c) Montrer que(αn)converge, et donner sa limite.
4. (a) On suppose que(un)est croissante. Montrer queu0∈D. (b) Montrer que pourp>3, up>p=⇒up+1>p+ 1.
(c) A l'aide def3, montrer queDn'est pas vide. Montrer queu0= 0,32est dansD.
Problème 2 : Sommation par paquets, changement de l'ordre des termes
Les questions : On dispose d'une série convergente X un.
1) Si on regroupe les termes de la première série par paquets (par exemple par paquets de 2, ou même par paquets de taille variable), la nouvelle série est-elle toujours convergente et dans l'armative, les deux sommes sont-elles égales ? 2) Si on modie l'ordre des termes de la série, la nouvelle série est-elle toujours convergente et dans l'armative, les deux sommes sont-elles égales ?
A. Sommation par paquets sans modication de l'ordre
On considère la sérieX un
1. Soitp∈ N. Posons vp =u2p+u2p+1. En travaillant sur les sommes partielles, montrer que si la série X un
converge alors la sérieX
vp converge et qu'alors
+∞
X
p=0
vp=
+∞
X
n=0
un. Réciproque ? On considère la série X
un oùun = (−1)n. Étudier la nature des 2 séries X
un etX
vp. Que conclure sur la réciproque ?
2. Soitϕ:N→N strictement croissante avecϕ(0) = 0. Pourn∈Non posewn=
ϕ(n+1)−1
X
k=ϕ(n)
uk. Montrer que siX
un converge alorsX
wn converge et qu'alors
+∞
X
p=0
wp=
+∞
X
n=0
un. Que penser de la réciproque ?
3. On suppose dans cette question que∀n, un>0. Soitϕ:N→Nstrictement croissante avec ϕ(0) = 0. Pourn∈N on posewn=
ϕ(n+1)−1
X
k=ϕ(n)
uk. Montrer queX
un etX
wn sont de même nature.
4. On suppose dans cette question que(un)converge vers0.
Soitϕ:N→Nstrictement croissante avecϕ(0) = 0telle que∃M >0,∀n, ϕ(n+ 1)−ϕ(n)6M (chaque paquet ne contient pas plus queM éléments).
Pourn∈N on posewn=
ϕ(n+1)−1
X
k=ϕ(n)
uk. Montrer queX
un etX
wn sont de même nature.
Exemple : étudier la convergence de la sérieX1 ncos(nπ
3 )
B. Modication de l'ordre des termes
On considère la série harmonique alternéeX
un oùun= (−1)n−1
n pourn>1. On sait que cette série converge vers ln(2). On considère la suite(vn)dénie parvn= 1
2n−1− 1
4n−2− 1 4n. 1. Montrer que les ensembles 1
2n−1, − 1
4n−2, −1
4n/n>1
et (−1)n−1 n /n>1
sont en bijection.
2. Étudier la convergence de la sérieX
vn et donner la valeur de sa somme.
3. Comparer avecX
un. Quel résultat étonnant vient on de mettre en évidence ?
Riemann a démontré que pour tout`∈R∪ {+∞,−∞}il existe une permutationσdeNtelle que la sérieX(−1)σ(n) converge vers`. σ(n)
Cette situation se généralise à toute sérieX
un qui est convergente mais pas absolument convergente (on dit que la série est semi-convergente). C'est le théorème de réarrangement de Riemann.
On verra dans le cours sur les familles sommables que si la sérieX
unconverge absolument, alors∀σpermutation de N, la sérieX
uσ(n)converge et
+∞
X
n=0
un =
+∞
X
n=0
uσ(n)
