Devoir de Contrôle n°1(2015/2016) -Mathématique: 4 ème Maths

Exercice 1 :

(4 points)

I. Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois réponses proposées est exacte.

1) Soit, dans  , l’équation

 

^{E : z2 2 1 i z}



^



^{ 13 2 3 i  0}_{. On note}

z

1 _et

z

_{2 les} solutions de

  ^E

.Une mesure de

arg z 

1

 z

2



est

a)

4



b)

3

4



c)

5

4



2) Le module du nombre complexe

i2

1 e 3

  est égal à

a) 1

b)

2

^{c) 2}

II. Répondre par vrai ou faux. Aucune justification n’est demandée.

On considère trois suites

  u

n

,

  v

n

et

  w

n

ayant, pour tout entier naturel

n

_{, les} propriétés suivantes :

u

ⁿ

 v

ⁿ

 w

ⁿ_{, n}^{lim u}_ ^{n  1} _{et n}^{lim w}_ ^{n 1}_.

1) ⁿlim vⁿ 0

 

.

2) La suite

  v

n est bornée.

3) Pour tout entier

n

_{, on a :}

  1 v

ⁿ

 1

_.

4) On ne sait pas dire si la suite

  v

n a une limite ou non.

Exercice 2 :

(5 points)

Soit

f

la fonction définie par

   

 

²

x 1 cos x

f x si x 0

x

f x x x 1 x si x 0

   

 

 

     



1) Calculer

_x

^{lim f x}

_

  . Interpréter géométriquement le résultat obtenu.

2) Montrer que, pour tout x  0 _, ^{x 2 f x}   ¹

x

  

et en déduire

_x

^{lim f x}

_

  _.

3) Montrer que f est continue sur  .

1

Nov. 2015

Niveau : 4 Maths Lycée Ibn Khaldoun

DEVOIR DE CONTROLE N°1 Durée : 2heures

4) Montrer que l’équation ^{f x}   ^{ 0} admet une solution dans

1 , 0 2

  

 

  _. Exercice 3 :

(5 points)

On considère la suite

  u

n définie par

u

⁰

 0

et pour tout entier naturel

n

_,

u

^{n 1}_

 3u

ⁿ

 4

1)

a) Montrer que

  u

n est majorée par 4.

b) Montrer que

  u

n est strictement croissante.

c) En déduire que

  u

n

converge et déterminer sa limite.

2)

a) Montrer que pour tout entier naturel

n

_{, on a :} n 1



n



4 u 1 4 u



2

  

b) En déduire que pour tout entier naturel

n

, on a :

n n

4 u 4 1 2

       

_.

c) Retrouver alors le résultat de 1) c).

Exercice 4 :

(6 points)

1) Résoudre, dans  , l’équation :

^{2 z}

²

^{ 3}  ^{3 i z 1 }  ^{  3 i 0 }

Dans la suite le plan est rapporté à un repère orthonormé direct

 ^{O, u, v}

^{ }



_.

2) On considère les points A et B d’affixes respectives ^A

1 i 3

z 2

 

et

z

^B

 iz

^A_. On désigne par I le milieu de

  AB  

et on note

z

^I l’affixe de I.

a) Donner la forme exponentielle de

z

^A _et

z

_B. b) Placer les points A, B et I dans le repère

 ^{O, u, v}

^{ }



_.

3)

a) Montrer que le triangle OAB est isocèle et rectangle.

b) En déduire que OI 2

 2

et que

 ^{u, OI}

^{ }

 ^ ₁₂ ^{7      2 }

.

c) Ecrire

z

^C sous la forme algébrique et en déduire la valeur exacte de

cos 7

12



 

 

 

_.

2

Nov. 2015