MM Hedi Ayache - Brahim Ben Chrifa Devoir de synthèse No1 Durée : 3 H 4 M1- 4 M4 Épreuve : Mathématiques Lycée Taher Sfar
Exercice 1:
Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie.
Io/ SoitABCDun carré de sens direct de centreO.
1. Soitfl’isométrie définie par ;tAB# »◦SO◦tAB# »,fest égale à :
a) SA b) SO c) SB.
2. Soitgl’isométrie définie par ;tAB# »◦S(AB)◦tAD# »◦S(AD),gest une :
a) symétrie centrale b) rotation d’angle π2 c) translation.
3. L’ensemble des pointsMdu plan tels queS(AB)(M) =SA(M)est la droite
a) (AB) b) (AD) c) (BC).
IIo/
1. Soitfla fonction définie parf(x) =cos(x2). Pour toutx∈R,f′(x)est égale à : a) sin(x2) b) 2xcos(x2) c) −2xsin(x2). 2. Soitgla fonction définie parf(x) =cos(px). Alors on a :
a) gd′(0) =0 b) gd′(0) = −12 c) gd′(0)n’existe pas.
3. Soientn∈N∗et l’équation(En):x3+2nx−1=0(oùn∈N∗).(En)admet une unique solution dans l’intervalle
a) [−2,−1] b) [0, 1] c) [1,+∞[.
Exercice 2:
Io/On considère dansC:P(z) =z3+iz2+2i. 1. a) CalculerP(i).
b) Déterminer les complexesa,betctels que pour toutz∈C,P(z) = (z−i)(az2+bz+c). 2. a) Résoudre dansCl’équation(E):z3+iz2+2i=0.
b) Mettre les solutions de(E)sous forme exponentielle.
Io/ Soitfl’application définie surP par :f:P −→P
M(z)7−→M′(z′) tel quez′=iz+2i. 1/4
1. Montrer quefest une rotation dont on préciser les éléments remarquables.
2. Soitm∈C;BetCdeux points du plan d’affixes respectivesm2etm3. Déterminer les complexesmtels quef(B) =C.
Exercice 3:
Le planP est orienté.
On donneIABun triangle équilatéral de sens direct etCle symétrique deApar rapport àI. La figure jointe en annexe sera complétée au cours de l’exercice et remise avec la copie.
1. a) Montrer qu’il existe un unique déplacementR1tel queR1(B) =IetR1(A) =C. b) Montrer queR1est une rotation dont on précisera l’angle.
c) On noteOle centre deR1. ConstruireO.
2. Soits=R2◦R1oùR2est la rotation de centreAet d’angle−π3. a) Montrer quesest la symétrie centrale de centreB.
b) La droite(AB)coupe la droite(OI)enKetJle point tel que # » OA=# »
KJ.
Placer les pointsJetK. Montrer queB=A∗Ket queAOJest un triangle équilatéral.
3. Soitfl’antidéplacement tel que :f(A) =Cetf(B) =I.
a) Montrer quefest une symétrie glissante que l’on caractérisera.
b) SoitL=S(BI)(C). Montrer queABILest un parallélogramme.
Exercice 4:
Soitfla fonction définie surR+par :f(x) =2x3+1 x3+2 .
1. a) Montrer quefest dérivable surR+et pour toutxÊ0,f′(x) = 9x2 (x3+2)2. b) Dresser le tableau de variation def.
2. a) Montrer quefréalise une bijection deR+sur un intervalleJque l’on précisera.
b) On notegla réciproque def. Montrer que pour toutx∈J, on a :g(x) = 3
s2x−1 2−x . 3. a) Montrer que la droite∆:y=xest la tangente à(Cf)au point d’abscisse 1.
b) Étudier la position de(Cf)et∆.
4. Tracer les courbe(Cf)et(Cg)dans un même repère orthonormé.
2/4
Exercice 5:
On donne la courbe(Cf)d’une fonctionfcontinue et dérivable sur[0, 2]. (Voir l’annexe de la figure(2)).
Io/
1. a) Justifier quefest une bijection de[0, 2]sur lui même.
On note dans la suiteg=f−1.
b) Tracer dans le repère(O;#»ı ,#» )la courbe(Cg)deg. c) Étudier la dérivabilité degà droite en 0 et à gauche en 0.
2. Étudier la position relative de(Cg)et la droite(∆):y=x 3. On considère la suite(un)n∈N définie par
u0=165
un+1=g(un), n∈N a) Montrer par récurrence que pour tout entier natureln,0ÉunÉ1
b) Montrer que(un)n∈N est croissante en déduire que pour tout entier natureln, un∈[165, 1].
c) Montrer que(un)n∈N est convergente et calculer sa limite.
IIo/
On suppose dans la suite que pour toutx∈[0, 2],f(x) =32x2−12x3. 1. a) Justifier queg(165) =12.
b) Montrer que pour toutx∈[12, 1], on a : 98Éf′(x)É32. c) Déduire que pour toutxdans[165, 1], 23Ég′(x)É89.
2. a) Montrer que pour toutn∈ N, il existevn∈[un, 1]tel que1−u1−un+1n =g′(vn). b) En déduire que pour tout entier natureln,0É1−un+1É89(1−un).
c) Montrer par récurrence que pour tout entier natureln,0É1−unÉ(89)net retrouver lim
n→+∞un. 3. Soit(Sn)n∈N∗ la suite définie surN∗par :Sn=n−
n−1X
k=0
uk.
a) Montrer que la suite(Sn)n∈N∗est croissante.
b) Montrer que pour tout entier naturelnnon nul,SnÉ9(1− (89)n).
c) Montrer que la suite(Sn)n∈Nest convergente et donner un encadrement de sa limite.
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A compléter et à remettre avec la copie Nom : . . . . Prénom : . . . .
figure(1)
b
I
b
A
bB
b
C
1 2
−1
1 2
−1
∆:y=x
(Cf)
b
b b
O #»ı
#»
figure(2)
4/4
