Devoir de synthèse n°2 – Mathématiques:4ème Maths

Mr Hédi Ayache Devoir de synthèse N^o2 Durée : 4 H

4M Épreuve : Mathématiques Fév 2010

Exercice 1:

1. Soitx∈R^∗₊et f la fonction logarithme népérien notée^ln. a) Montrer que pour toutt∈[x,x+1], on a : ¹

x+16f^′(t)6¹ x. b) En déduire que pourx>0, on a : ¹

x+16ln µx+1

x

¶ 6¹

x. 2. Pourn∈N^∗, on poseu_n=1+1

2+. . .+1 n =

Xn k=1

1 k. a) Montrer que pourn∈N^∗,un−1+ 1

n+16ln(n+1)6un. b) Déduire un encadrement deu_n puis montrer que ^lim

n→+∞

u_n n =0 3. a) Montrer que pourt>0, on a :¹−t6 ¹

1+t 61. b) Déduire que pour x>0,x−x²

2 6ln(1+x)6x. 4. On posev_n=nⁿ

n!. a) Montrer que^{l n}

µv_n+1

vn

¶

=nln µ

1+1 n

¶ . b) Justifier que pour^k∈N^∗, ¹

k − 1 2k² 6ln

µ 1+1

k

¶ 6¹

k. c) Déduire que pourn∈N^∗,n−1

2un6_{ln (vn+1})6_n. montrer alors que ^lim

n→+∞

ln(v_n) n =1. 5. On pose pourⁿ∈N,^wn= n

pn

n!. a) Montrer que^ln(wn)=ln(v_n) n . b) Déduire que ^lim

n→+∞

n pn

n! Exercice 2:

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ^¡O;#»_{ı ,}#»_ ^¢. Soit f la similitude indirecte qui à tout point ^M d’affixe ^z, associe le point ^M′ d’affixe ^z′ tel que ^z′= −2i z+6 où ^z désigne le conjugué dez.

1. Déterminer le rapport de f.

2. Montre que f admet un seul point invariant, on le noteI. Calculer son affixe.

3. Déterminer l’ensemble des pointsM d’affixez tels que # »

I M^′=2# »

I M. En déduire une équa- tion de l’axe de f.

4. Caractériser ^f ◦f.

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Mr. Ayache A.S : 09/10 Dev. Sy. 2

Exercice 3:

Dans le plan rapporté au repère orthonormé direct^¡O;#»_ı,#»_ ^¢, on considère l’ellipse^(E)d’équation : ^x

2

4 +y²=1et on désigne par^Mle point de coordonnées (2 cosθ, sinθ), ouθest un réel de^i0,π

2 h

.

1. a) Déterminer, par leurs coordonnées les sommets et les foyers de^(E). b) Tracer^(E)et placer ses foyers.

c) Vérifier que le pointM appartient à^(E). 2. Soit⁽TM)la tangente à^(E)enM.

Montrer qu’une équation de^(TM)dans le repère^¡O;#»_{ı ,}#»_^¢est : ^xcosθ+2ysinθ−2=0. 3. Soit A(2, 0)et A(−2, 0)les sommets principaux de^(E).( sommets du grand axe).

On désigne respectivement par⁽T)et ^¡T^′¢

les tangentes à^(E)en A et A^′. On désigne res- pectivement parP etP^′les points d’intersections de⁽TM)avec les tangents⁽T)et^¡T^′¢

. a) Donner les coordonnées des pointsP etP^′.

b) Montrer que # » AP.# »

A^′P^′=1. Exercice 4:

Dans le plan orienté^P. On donne un carréABC D de centreOtel que^³á# » AB,# » AD´

≡π 2[2π]. S1est la similitude directe de centreC qui envoieD sur A.

1. Déterminer le rapport et une mesure de l’angle deS1. 2. On noteB^′l’image du pointB parS1.

a) Montrer queS1〈(DB)〉 =(AB). b) Montrer que la droite^¡C B^′¢

est tangente au cercle circonscrit au carré ABC D. c) Construire alors le pointB^′.

3. S2est la similitude directe qui transformeO en Aet A enB. a) Déterminer et construireB1=S2(C).

b) Déterminer le rapport et une mesure de l’angle deS2.

c) En déduire queS2◦S1est une homothétie dont on déterminera le rapport.

4. Soit^E le milieu du segment^[DC], la droite^(AE)la droite^(DB)en^I. Montrer que les points C,^I et^B1sont alignés.

5. On noteΩle centre deS2.

a) Montrer queΩappartient au cercle passant par AetB et tangente à⁽AC). b) Montrer queΩappartient au cercle de diamètre^[OB]. Construire alorsΩ.

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